D I S C I P L I N A Geometria Analítica e Números...

Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

A hipérbole

Autores

aula

06

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio Felipe

Revisora das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

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Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno de Souza Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício LemosPedro Gustavo Dias Diógenes

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyMasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd,

East, San Rafael, CA 94901,USA.MasterFile – www.masterfile.com

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Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos �

Apresentação

Ahipérbole pode ser estudada tanto por coordenadas como geometricamente através do uso das esferas de Dandelin. As duas abordagens serão apresentadas nesta aula, sendo que a ênfase será na primeira, uma vez que estudaremos a hipérbole por

meio de sua equação. Para tanto, faz-se necessário apresentar a definição, os elementos e as propriedades dessa curva. Ao final da aula, serão feitos alguns comentários sobre a aplicação dessa cônica na construção de telescópios óticos e sobre o porquê da órbita de determinados corpos celestes ser hiperbólica.

ObjetivosAo final desta aula, espera-se que você identifique uma hipérbole por meio de sua definição e saiba elaborar e resolver problemas envolvendo essa cônica, utilizando, para tanto, sua equação e propriedades.

α

F

P P

F

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos�

Definição da hipérbole

Na antigüidade grega, a hipérbole era obtida pela interseção de um plano paralelo ao eixo de um cone, que não contém o vértice, com as duas folhas da superfície cônica, como mostra a figura a seguir.

Figura 1 – Hipérbole

Figura 2 – |d(F1, P) – d(F2,P)| = constante

Note que a equação : d(F1, P) – d(F2,P) = 2a é atendida quando P está no ramo direito da hipérbole visto que d(F1, P) > d(F2,P) e d(F1, P) – d(F2,P) = –2a é válida quando P pertence ao ramo esquerdo, uma vez que, nesse caso, d(F1, P) < d(F2,P).

Do mesmo modo que a parábola (aula 5), é possível desenhar a hipérbole utilizando régua e compasso. Para tanto, acompanhe os passos da atividade 1.

Com o advento de coordenadas no século XVII, pode-se definir hipérbole como o conjunto de todos os pontos P do plano de modo que a diferença, em valor absoluto, das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2, chamados de focos, é uma constante indicada por 2a, com a > 0. Significa dizer que P satisfaz a condição: |d(F1, P) – d(F2,P)| = 2a. Usando a definição de módulo, podemos reescrever a expressão anterior como duas outras:

d(F1, P )− d(F2, P ) = −2a ou d(F1, P )− d(F2, P ) = 2a . Donde se conclui que a hipérbole possui dois ramos, como mostra a Figura 2.

Nota – ao final desta aula, mostraremos que essas duas definições são equivalentes.

Marque na reta r dada na Figura 3 dois pontos F1 e F2 de modo que F1F2 > AB .

Em r, marque pontos P1, P2, P3, P4,... fora do segmento AB.

Com o auxílio de um compasso, trace por F1 uma circunferência de raio igual a d(P1, A) e por F2 uma outra circunferência de raio d(P1, B). Marque a interseção dessas circunferências, caso exista, obtendo os pontos Q1 e Q2.

Repita o procedimento do item (c) desta atividade para os outros pontos P2, P3, P4,... obtendo tantos pontos quanto desejar. Una-os e use a régua para constatar que se trata de uma hipérbole.

Conclua a partir dos itens 3 e 4 que F1 e F2 são os focos e que a medida do segmento AB é igual a 2a.

�

�

Atividade 1

3

�

5

A B r

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos 3

Figura 3 – Reta contendo os pontos A e B

B

FV

aV

B

c

x

P(x,y)

F

y


Figura � – Hipérbole com focos no eixo x e centro na origem

Assim como o círculo, a elipse e a parábola, vistas em aulas anteriores, é possível estudar a hipérbole por meio de sua equação. Para tanto, escolha um sistema de eixo cartesiano de modo que os focos F1 e F2 pertençam ao eixo x; e o eixo y seja a mediatriz do segmento F1F2, como mostra a figura a seguir.

Chamando a distância entre os focos de 2c, temos as coordenadas dos focos F1(– c, 0) e F2(c, 0). Sendo P(x, y) um ponto qualquer sobre a curva, temos pela definição de hipérbole que |d(F1, P) – d(F2, P)| = 2a, ou seja, d(F1, P )− d(F2, P ) = ±2a . Usando a fórmula da distância entre dois pontos, ficamos com

(x+ c)2 + y2 −

(x− c)2 + y2 = ±2a ,

que pode ser escrita como

(x+ c)2 + y2 = ±2a+

(x− c)2 + y2 . Elevando os dois membros ao quadrado e fazendo as simplificações pertinentes, obteremos:

xc− a2 = ±a

(x− c)2 + y2 . Elevando novamente ao quadrado e colocando os termos que dependem de x e de y no primeiro membro e o restante no segundo membro, ficamos com: (c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2

– a2).

Olhando para o ∆F1PF2 observamos que F2P + F1F2 > F1P . Logo,

F1F2 > F1P − F2P . Ou seja, 2c > 2a. Assim, c > a e c2 – a2 é positivo. Isso significa

dizer que existe um número real positivo b de modo que b2 = c2 – a2. A equação pode ser

reescrita como b2x2 – a2y2 = a2b2 ou simplesmente x2

a2− y2

b2= 1 . Essa equação é chamada

de equação reduzida ou padrão da hipérbole, com focos no eixo x e centro na origem do

sistema cartesiano.

Observando a Figura 4 que representa uma hipérbole de equação x2

a2− y2

b2= 1 ,

podemos concluir que:

Atividade 2

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos 5

Note que V1 e V2 são pontos do eixo x, fazendo com que tenham ordenadas zero. Da equação

x2

a2− y2

b2= 1,

conclui-se que V1(–a, 0) e V2(a, 0). Assim, V1V2 = 2a, que é o valor da constante apresentada na defi nição. Observe ainda que B1 e B2 são pontos do eixo y, tendo portando abscissas zero. Donde se conclui que as coordenadas desses pontos são respectivamente (0,–b) e (0, b). Logo, o comprimento do eixo conjugado é 2b. Os pontos V1, V2 são os extremos do eixo transverso e B1, B2 do eixo conjugado.

O que foi visto até agora pode ser resumido do seguinte modo: se uma hipérbole tem focos no eixo x, centro na origem e P(x, y) é um ponto qualquer da curva, então:

o gráfi co é simétrico em relação aos eixos x e y;

o centro da hipérbole, ponto médio do segmento F1F2 coincide com a origem;

a curva intercepta o eixo x nos pontos V1 e V2 denominados vértices e não intercepta o eixo y. O segmento V1V2 é chamado de eixo real ou transverso e o segmento B1B2 é denominado eixo imaginário ou conjugado.

a) |d(F1, P) – d(F2, P)| = 2a = d(V1,V2) (eixo transverso);

b) d(B1, B2) = 2b (eixo conjugado);

c) d(F1, F2) = 2c (distância focal);

d) cc22 == aa22 ++ bb22

e) xx22

aa22−− yy22

bb22= 1= 1 .

Você já sabe como se comporta a hipérbole quando tem os focos no eixo x e centro na origem. Seguindo raciocínio semelhante, desenhe uma hipérbole com focos no eixo y e centro na origem, determine sua equação e os extremos dos eixos transversal e conjugado.

y

y

x

yF x FV V

B

C

yB

P(x,y)

x x

x'

y'

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos6

Exemplo 1

Dada a hipérbole de equação 25y2 – 9x2 = 225, encontre os vértices, os focos, os comprimentos do eixo transversal e conjugado e a distância focal.

Solução

Simplificando a equação por 225, ficamos com y2

9− x2

25= 1, que é a equação reduzida de uma

hipérbole com focos no eixo y. Sendo assim, a2 = 9⇒ a = ±3 e b2 = 25⇒ b = ±5. Portanto, os vértices são V1(0, –3) e V2(0, 3) e 2a = 6. B1(–5, 0), B2(5, 0) e 2b = 10. Como c2 = a2 + b2, então, c2 = 9 + 25 e, portanto, c = ±

√34. Logo, F1(0,−

√34), F2(0,

34) e 2c = 2

√34 .

As equações apresentadas até agora têm como restrição o eixo focal coincidindo com um dos eixos coordenados e centro na origem. Acompanhe o raciocínio a seguir e veja como é a equação de uma hipérbole que tem eixo focal paralelo ao eixo x e centro no ponto C(x0, y0), como mostra a figura a seguir.

Figura 5 – Hipérbole com eixo focal paralelo ao eixo x e centro em C(x0, y0)

Translação

Processo que consiste em mover os eixos

coordenados no plano para uma posição diferente,

mantendo os novos eixos paralelos aos antigos.

Fazendo uma translação de maneira que a nova origem O’ coincida com o centro C(x0, y0), e chamando de (x1, y1), as coordenadas de P no plano x’y’, pela Figura 5 podemos concluir que:x = x0 + x1 e y = y0 + y1. Note que, ao transladarmos os eixos, a hipérbole passou a ter focos no eixo x’ e centro na origem O’. Logo, pelo que já foi visto, a sua equação é x21a2− y21

b2= 1. Como x1 = x – x0 e y1 = y – y0, temos (x− x0)

2

a2− (y − y0)

2

b2= 1, como

a equação da hipérbole procurada.

y

x

C VV

B

B

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos �

Exemplo 2

Mostre que a equação 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 43 = 0 representa uma hipérbole. Encontre seus focos, centro, e esboce seu gráfico.

Solução

A equação dada pode ser reescrita como 9x2 − 18x− 4y2 − 16y − 43 = 0, ou seja, 9(x2 − 2x)− 4(y2 + 4y)− 43 = 0 . Completando os quadrados em relação a x e a y, temos: 9(x2 − 2x+ 1)− 4(y2 + 4y + 4)− 43− 9 + 16 = 0 que é equivalente a9(x – 1)2 – 4(y + 2)2 = 36.

Dividindo a expressão por 36, encontramos (x− 1)2

4− (y + 2)2

9= 1 , que

representa a equação de uma hipérbole de centro C(1, –2) e eixo focal paralelo ao eixo x.

Pela Figura 5, percebe-se que os focos são dados por F1(x0 – c,y0) e F2(x0 + c,y0). Como c2 = a2 +b2, temos c =

√4 + 9 =

√13 . Assim, F1(1−

√13,−2) e F2(1 +

√13,−2). O

esboço da curva é dado por:

Figura 6 – Hipérbole com centro em C(1,–2) e focos em F1(1−√

13,−2) e F2(1 +√

13,−2)


Assíntotas da hipérbole

Considere a hipérbole da equação x2

a2− y2

b2= 1 . Resolvendo essa equação em y,

temos: b2x2 – a2y2 = a2b2 ou b2x2 – a2b2 = a2y2. Colocando b2 em evidência e dividindo por a2, ficamos com

y2 =b2(x2 − a2)

a2, ou seja, y = ±

b

a

√x2 − a2 .

Colocando x2 em evidência, dentro da raiz, ficamos com

y = ± b

a

x2(1− a2

x2) , que é equivalente a y = ± b

ax

1− a2

x2 .

Quanto maior for o valor de x em módulo, mais o radical1− a2

x2 se aproxima do valor 1, visto que a2

x2 fica próximo de zero.

O que nos leva a concluir que y se aproxima de ±b

ax.

Por isso, dizemos que as retas de equação y =b

ax e y = − b

ax são as assíntotas da

hipérbole de equação x2

a2− y2

b2= 1 .

De modo análogo, se y2

a2− x2

b2= 1 for a equação reduzida de hipérbole, suas assíntotas

serão y = ±a

bx. Desenvolva os cálculos e encontre esse resultado.

O cálculo dessas retas e dos vértices da curva oferece um método prático de esboçar gráficos de hipérboles.

Exemplo 3

Encontre as assíntotas do exemplo 1 e esboce o seu gráfico.

Solução

A equação reduzida é y2

9− x2

25= 1 em que a = ±3 e b = ±5. Logo,

y = ±35

x, V1(0,−3) e V2(0, 3) . Assim, o esboço do gráfico é dado por:

Assíntotas

Reta tal que, à medida que um ponto P da curva

se afasta para o infinito, a distância de P à reta

diminui continuamente e tende a zero.

x

V

V

y

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos �

Figura 7 – Hibérbole com vértice no eixo y, centro na origem e assíntotas y = ±3

5x

Exemplo 4

Encontre a equação da reta tangente à hipérbole de equação 9x2 – 16y2 = 144 que passa pelo ponto P(0, –1).

Solução

Dividindo a equação por 144, obtemos x2

16− y2

9= 1 . Logo, a2 = 16⇒ a = ±4 ;

b2 = 9⇒ b = ±3 e c2 = 25⇒ c = ±5 .

Sendo y = mx + n e P(0, –1) um ponto da reta, então, –1 = 0x + n, ou seja,n = –1 e y = mx –1. Substituindo y = mx –1 em 9x2 + 16y2 = 144, ficamos com9x2 + 16(mx –1)2 = 144 que simplificada resulta em:(9−16m2)x2+32mx−160m=0 .Como você já sabe, se a reta e a curva são tangentes, elas possuem apenas um ponto comum. Isso significa que a equação do segundo grau tem discriminante igual a zero. Assim,

6784− 10240m2 = 0⇒ m2 =678410240

=5380

, ou seja, m = ±

5380

= ±0, 8.

E, portanto, as retas procuradas são y = 0,8x – 1 ou y = –0,8x – 1. A Figura 8 é um esboço da resolução gráfica do exemplo 4.

Exercícios

�

�

3

�

5

y

x

y x y x

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos�0

Figura 8 – Reta tangente à hipérbole 9x2 – 16y2 = 144 no ponto P(0, -1)

Encontre as coordenadas do vértice, os focos, os comprimentos do eixo transverso e conjugado, as assíntotas e faça um esboço do gráfi co da hipérbole de equação 16y2 – 25x2 = 1.

Hipérbole eqüilátera é aquela em que as medidas do eixo transverso e conjugado têm o mesmo valor. Com base nessa defi nição, encontre a equação e construa o esboço gráfi co da hipérbole eqüilátera que passa pelo ponto P(2, 3), tem focos no eixo y e centro na origem do sistema cartesiano.

Latus rectum ou corda focal mínima de uma hipérbole é a corda que passa por um foco e é perpendicular ao eixo transverso. Mostre que o comprimento do latus rectum é dado por 22bb

22

aa, se a hipérbole tem

equação xx22

o comprimento do 2

o comprimento do o comprimento do

aa22−− yy22

o comprimento do 2

o comprimento do o comprimento do

bb22= 1= 1 .

Encontre a equação da hipérbole de focos F1(4, 3) e F2(–2, 3) e eixo transverso de comprimento 4. Esboce a hipérbole e determine os extremos dos eixos transverso e conjugado.

Encontre as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos, os vértices, as equações das assíntotas e faça um esboço gráfi co da hipérbole de equação 9x2 – 4y2 – 18x – 16y – 43 = 0.

Atividade 3

�

�

Continuando os exercícios

6

�

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos ��

Construa hipérboles com excentricidades � = 1, 2; � = 1, 4; � = 2; � = 3 e � = 4 e focos em F1(–6, 0) e F2(6, 0).

O que acontece com o ângulo entre as assíntotas quando � se aproxima de 1? E quando se afasta?

Excentricidade de uma hipérbole

Do mesmo modo que na elipse, a excentricidade � de uma hipérbole é defi nida

como a razão c

a. Como c > a, então, � é sempre um número maior que um, isto

é, ε =c

a> 1 . Já foi dito que na elipse a excentricidade determina quão achatada

ou não é a curva. Acompanhe a atividade 3 e veja qual é o seu signifi cado para o caso da hipérbole.

Escreva a equação da hipérbole que tem como excentricidade εε ==1122 e

focos nos pontos F1(-2, 0) e F2(2, 0). Faça um esboço de seu gráfi co.

Mostre que numa hipérbole a distância de um foco a um ponto P(x,y) da mesma, chamado de raio focal, é dada por d(F2, P) = |εx + a| e d(F2, P) = |εx – a|.

Você observou que quanto maior a excentricidade, maior o ângulo entre as assíntotas e mais achatada é a curva nos vértices. Ou seja, seus ramos estão mais afastados do eixo que contém focos, que é o eixo real. E quando a excentricidade se aproxima de 1, o que acontece?

Continuando os exercícios

�

�

�0

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos��

Dada a hipérbole de equação 5y2 – 4x2 = 20, encontre: as coordenadas dos focos e dos vértices; as equações das assíntotas; a excentricidade. Faça um esboço do seu gráfi co.

Mostre que se y = mx + n é tangente à hipérbole de equação xx22

aa22−− yy22

bb22= 1= 1, então, a2m2 = n2 + b2.

Use o resultado do exercício 9 para encontrar as equações das retas que passam pelo ponto (0, 4) e são tangentes à hipérbole de equação xx22

44−− yy22

55= 1= 1 .

Propriedades da hipérbole

Você estudou na aula sobre parábola que os telescópios refl etores utilizam-se de espelhos parabólicos, de modo que os raios provenientes de um planeta, por exemplo, chegando praticamente paralelos ao eixo, atingem o espelho e convergem para o foco,

onde a imagem é formada. O problema é que a pessoa que está observando essa imagem deveria estar com o olho na mesma posição do foco, o que não acontece na realidade. Uma forma de resolver esse problema é colocando um espelho hiperbólico entre o espelho parabólico de modo que um dos focos da hipérbole coincida com o foco da parábola.

Essa montagem é conhecida como espelho de Cassegrain e foi proposta pelo astrônomo francês de mesmo nome em 1672. Nesse tipo de telescópio, os raios vindos do espaço são refl etidos pelo espelho parabólico em direção ao seu foco, onde são captados pelo espelho hiperbólico e novamente refl etidos em direção ao outro foco da hipérbole, no qual formará a imagem, como mostra a fi gura a seguir.

F F

Espelhohiperbólico

Espelhoparabólico

Foco comum aparábola e hipérbole

F F

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos �3

Figura �0 – Visualização da reflexividade da hipérbole

Na aula 4 (A elipse), foi dito que alguns corpos celestes possuem órbita elíptica, como é o caso dos planetas. No caso dos cometas, o tipo de órbita depende da velocidade. Os que possuem órbita hiperbólica tendo o sol como um dos focos entram no sistema solar em alta velocidade, contornam o sol e vão novamente para o espaço.

Figura 9 – Telescópio de Cassegrain

Isso é possível, pois a hipérbole possui a propriedade de reflexão. Ela afirma que a reta tangente à hipérbole em um ponto P é também bissetriz do ângulo F1PF2. Como conseqüência, temos que todo raio incidente que passa por um dos focos do espelho hiperbólico é refletido em direção ao outro foco.

P F

B

P

F


Abordagem geométricada hipérbole

Como seção cônica, a hipérbole é obtida pela interseção de um cone com um plano inclinado que não passa pelo vértice, corta os dois cones e não é paralelo à geratriz. Foi dito que a hipérbole é o conjunto de todos os pontos do plano, de modo que a

diferença, em valor absoluto, das distâncias aos focos é uma constante.

Geometricamente, podemos obter os focos da hipérbole a partir da defi nição como seção de cone. Isso é feito fazendo-se uso das esferas de Dandelin. Construa duas esferas tangentes ao mesmo tempo ao plano e ao cone. Os pontos onde as esferas tocam o plano são os focos da hipérbole, como mostra a fi gura a seguir.

Figura 11 – Esferas de Dandelin

Observe na Figura 11 que se B é um ponto qualquer de interseção da esfera com o plano inclinado que determina a hipérbole, então, d(B, F1) = d(B, P1) pois B é externo à esfera e F1 e P1 são pontos de tangência a ela. Essa afi rmação pode ser justifi cada por congruência de triângulos da seguinte maneira: sendo E1 e E2 as duas esferas de Dandelin e chamando C1, R1, C2 e R2 respectivamente os centros e os raios dessas esferas, temos que se B é um ponto qualquer externo à esfera, os triângulos BP1C1 e BF1C1 são congruentes, uma vez que o segmento BC1 é comum, os segmentos C1P1 e C1F1 têm a mesma medida, pois são raios da esfera e os ângulos BP1C1 e BF1C1 medem 90°, uma vez que segmentos que tangenciam esferas são perpendiculares ao raio da mesma. Do mesmo modo, d(B, F2) = d(B, P2). Como d(P1, P2) = d(B, P2)− d(B, P1), d(B, P2) = d(B, F2)e d(B, P1) = d(B, F1), para qualquer ponto B da hipérbole, teremos d(B, F2) – d(B, F1) = constante. O que permite concluir que os pontos F1 e F2 são os focos da hipérbole.

F F

P

y

x

a ax =- x =

Aula 06 Geometria Analítica e Números Complexos �5

Unificação das cônicas usando foco, diretriz e excentricidade

No exercício 7 desta aula, você mostrou que o raio focal é dado por d(F1, P) = |�x + a| e d(F2, P) = |�x – a|, em que � é a excentricidade da hipérbole e P é um ponto qualquer da curva. Colocando � em evidência, temos

d(F1, P ) = εx +

a

ε

e d(F2, P ) = εx− a

ε

ou d(F1, P ) = ±εx +

a

ε

e d(F2, P ) = ±ε

x− a

ε

. Observe que as expressões x+

a

ε

e x−a

ε podem ser entendidas como as distâncias do ponto P às retas paralelas do eixo

y cujas equações são x = −a

εe x =

a

ε. Essas equações são chamadas de diretrizes.

Desse modo, a excentricidade também passa a ser interpretada como a razão entre a distância de um ponto qualquer da hipérbole a um foco, e a distância desse mesmo ponto a uma reta fixa, chamada diretriz. Como mostra a Figura 12.

Figura �� – Diretrizes da hipérbole

Dessa forma, tanto a elipse e a parábola (estudadas em aulas anteriores) como a hipérbole podem ser caracterizadas conhecendo-se um foco, uma diretriz e uma excentricidade. Assim, é possível encontrar uma definição que unifique essas três cônicas. Para todo ponto P de uma cônica, distinta do círculo, temos d(P, F) = � . d(P, r), em que F é um foco e r a

diretriz. Logo, ε =d(P, F )d(P, r)

. Já foi observado que inscrevendo uma esfera de Dandelin no

cone, tangente ao plano que determina a cônica, ela interceptará o cone ao longo de uma circunferência. A diretriz é a reta interseção do plano que contém a circunferência com o plano que contém a cônica. O foco é o ponto obtido pela interseção da superfície esférica com o plano que contém a curva. A figura a seguir ilustra o caso da elipse, mas o raciocínio é válido para qualquer cônica.

c r

P

F

R

QD


Figura �3 – Diretriz e foco de uma cônica a partir da esfera de Dandelin

εε ==cosγcosγ

cosαcosα<< 11, a curva é uma elipse;

εε ==cosγcosγ

cosαcosα= 1= 1 , a curva é uma parábola;

εε ==cosγcosγ

cosαcosα>> 11, a curva é uma hipérbole.

A Figura 13 permite as seguintes conclusões:

1. d(P, R) = d(P, F), pois P é externo à esfera e R e F são pontos de tangência a ela;

2. d(P, Q) = d(P, R)cos α, pois o triângulo PQR é retângulo em Q;

3. d(P, Q) = d(P, r)cos γ, pois o triângulo PQD é retângulo em Q;

4. dos itens 2. e 3., conclui-se que d(P, R)cos α = d(P, r)cos γ, ou seja, d(P,R)d(P, r)

=cosγ

cosα.

Como d(P, R) = d(P, F), temos: d(P, F )d(P, r)

=cosγ

cosα, ou seja, ε =

cosγ

cosα . Sendo assim,

se a cônica é uma elipse, temos γ > α e, conseqüentemente, cos γ < cos α, logo, � < 1. Se é uma parábola, γ = α e ε = 1, e se é uma hipérbole, γ < α, temos cos γ > cos α e, portanto, � > 1, que pode ser resumido como:

Resumo

�

�

3

�


Sugestões para as resoluções dos exercícios

1. Encontre a equação padrão da hipérbole.

2. Use o fato de que 2a = 2b.

3. Substitua a abscissa do foco na equação da hipérbole.

4. Note que a equação solicitada é a de uma hipérbole que tem eixo real paralelo ao eixo x.

Nesta aula, estudamos um processo para construir hipérbole utilizando régua e compasso. Com isso, vimos que utilizando a definição e a fórmula de distância entre dois pontos é possível obter uma equação para a curva e que cada expressão depende da localização dos focos e do centro, em relação aos eixos coordenados. Conceituamos a excentricidade a partir do foco e da reta diretriz, o que possibilitou unificar as retas em torno dessa definição. Vimos, por fim, que, como na elipse e na parábola, é possível determinar geometricamente os focos da hipérbole, utilizando, para tanto, as esferas de Dandelin.

Auto-avaliação Caracterize a hipérbole que tem eixo focal paralelo ao eixo y e centro em C(x0,y0). Construa o seu gráfico.

Mostre que o valor da excentricidade de uma hipérbole eqüilátera é igual a √2 .

Duas hipérboles são conjugadas quando o eixo transverso de uma é igual ao eixo conjugado da outra. Use essa definição e obtenha as equações de um par de hipérboles conjugadas, com centro na origem e focos nos eixos do sistema cartesiano.

Construa o gráfico de um par de hipérboles conjugadas e mostre que elas possuem em comum o centro e as assíntotas.


5. Complete o quadrado e compare com a equação correspondente.

6. Use a equação padrão da hipérbole de focos no eixo x e centro na origem do sistema cartesiano.

7. Coloque a hipérbole com o centro na origem e focos no eixo x.

8. Encontre a equação padrão da hipérbole de focos no eixo y e centro na origem.

9. Resolva o sistema e assuma que o discriminante é igual a zero.

10. Use o ponto dado para encontrar n e a expressão do exercício 9 para determinar m.

Referências

AVILA, G. A hipérbole e os telescópios. In: Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 34, p. 22-27, 1997. 1 CD-ROM.

LEHMANN, C. H. Geometria analítica. Tradução de Ruy Pinto da Silva Seeczkowaki. 4. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1982.

SEÇÕES cônicas. Disponível em: <http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/diversos/Cônicas.html>. Acesso em: 4 out. 2005.

SIMMONS, G. Cálculo com geometria analítica. Tradução de Seiji Hariki. São Paulo: Makron Books, 1988. 2 v.

VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. 5. ed. Curitiba, 2003. Disponível em: <http://www.geometriaanalítica.com.br/cq/cq.pdf>. Acesso em: 26 maio 2005.

Anotações


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