DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2008 - … · simples vácuo e sim o estado de escuridão e...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2008
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-040-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO - PEDAGÓGICA
MARGARETH PANGONI VEJAN
OS FRACTAIS EM UM LABORATÓRIO DE ENSINO
DE MATEMÁTICA
MARINGÁ – PR.
2008
MARGARETH PANGONI VEJAN
UNIDADE DIDÁTICA
Desenvolvido por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, na área de Matemática, com o tema de intervenção – Os fractais em um Laboratório de Ensino de Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco
MARINGÁ– PR.
2008
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ------------------------------------------------------------------------ 04
LISTA DE TABELAS ------------------------------------------------------------------------ 05
1 INTRODUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------- 06
1.1 Origem dos Fractais -------------------------------------------------------------------- 07
1.2 Definição dos Fractais ---------------------------------------------------------------- 08
1.3 Teoria do Caos -------------------------------------------------------------------------- 10
2 ATIVIDADES ------------------------------------------------------------------------------- 11
CONCLUSÃO --------------------------------------------------------------------------------- 27
REFERÊNCIAS ------------------------------------------------------------------------------ 28
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - Conjunto de Mandelbrot ------------------------------------ 08
FIGURA 2 - Imagem de uma samambaia com propriedades
fractais --------------------------------------------------------------------------- 09
FIGURA 3 - Triângulo de Sierspinski ------------------------------------ 09
FIGURA 4 - Comparação entre a dimensão Euclidiana e a
dimensão fractal --------------------------------------------------------------- 10
FIGURA 5 – Conjunto Julia ------------------------------------------------ 10
FIGURA 6 - Bloco quadrado de madeira ------------------------------- 15
FIGURA 7 - Fractal Triminó ------------------------------------------------ 15
FIGURA 8 - Fractal Heptaminó -------------------------------------------- 16
FIGURA 9 - Fractal Pentaminó -------------------------------------------- 17
FIGURA 10 - Triângulo de Sierspinski ----------------------------------- 19
FIGURA 11 - Triângulo aritmético de Pascal -------------------------- 19
FIGURA 12 - Triângulo de Pascal ---------------------------------------- 20
FIGURA 13 - 1° Passo para construção do Cartão Degraus
Centrais ------------------------------------------------------------------------- 21
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - Etapa x Número de triângulos ---------------------------- 14
TABELA 2 - Iteração x Número de paralelepípedos novos -------- 25
TABELA 3 - Volume dos Novos paralelepípedos em cada
interação e volume total para o Cartão Degraus Centrais ---------- 26
OS FRACTAIS EM UM LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Um dos maiores desafios atuais dos educadores matemáticos está em
encontrar métodos e processos para tornar suas aulas mais agradáveis e
interessantes e assim permitir aos alunos o acesso aos conhecimentos, dando-
lhes condições para explorarem a realidade, de tal maneira que possam
participar e interferir de maneira positiva na sociedade em que vivem.
Diante disso, é necessário repensarmos as nossas práticas
pedagógicas, atualizarmos nossos conhecimentos, renovar nossas
metodologias, fazendo assim com que a escola se torne um lugar realmente de
aprendizagem, onde o aluno se sinta motivado para adquirir o conhecimento.
Vivemos numa sociedade que está em constante mudanças e
transformações, exigindo profissionais críticos, criativos, com capacidade de
pensar, de aprender, de trabalhar em equipe e de se conhecer como pessoa.
Sendo assim, a escola não pode ficar alheia a tudo isto, tanto ela como nós
professores precisamos acompanhar essas mudanças.
O ensino da Geometria é uma das preocupações desses educadores,
visto ser um conteúdo de suma importância, de acordo com as Diretrizes
Curriculares da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná. Mas as
pesquisas mostram que as práticas pedagógicas nas escolas ainda
negligenciam este estudo. São muitas as dificuldades encontradas por alunos e
professores no processo ensino/aprendizagem da geometria, seja ela a
Euclidiana ou a Não-Euclidiana, e, por isso, esse conteúdo na maioria das
vezes fica em segundo plano, visto de maneira superficial e fragmentado.
Encontramos na natureza diversas formas geométricas, as quais são
difíceis de serem descritas pela Geometria tradicional Euclidiana. Suas formas
apresentam uma maior complexidade, que necessita de uma nova linguagem
para descrevê-las, modelá-las e interpretá-las, para isso hoje utiliza-se, a
Geometria da Natureza ou Geometria dos Fractais.
Partindo do pressuposto que os fractais estão presentes
7
em nosso cotidiano ou na natureza, tivemos curiosidade em aperfeiçoar nossos
conhecimentos referente a esta teoria, motivo pelo qual nos estimulou a realizar esta
pesquisa e aplicá-la em sala de aula, mais especificamente em uma 8ª Série do
Ensino Fundamental utilizando um Laboratório de Ensino de Matemática e
trabalhando com materiais manipuláveis, na medida que for possível.
Esta unidade didática explora a geometria dos fractais, suas propriedades e
características a partir da construção de cartões fractais tridimensionais, destacando
aspectos fundamentais da geometria euclidiana, e também outras atividades para
serem trabalhadas com materiais manipuláveis no Laboratório de Ensino de
Matemática.
Acreditamos que, por ser um trabalho diferente, possa motivar e envolver os
alunos para sair da “rotina” que tornam as aulas de matemática chatas e cansativas,
segundo depoimento dos próprios alunos.
1.1 Origem dos Fractais
A idéia de fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre
1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos catalogados como
“monstros” que se supunha não terem grande valor científico. Tais objetos acabaram
por adquirir um estatuto de dignidade matemática, constituindo hoje uma área
importante de investigação matemática.
Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com
propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte
diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904,
Helge Von Kock, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de
Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente
conhecida como kock snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de
infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que
novos triângulos são adicionados, o perímetro aumenta, e como conseqüência se
aproxima do infinito, dessa maneira o fractal abrange uma área finita dentro de um
perímetro infinito.
Houve também muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas
esta geometria só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 60,
com o auxílio da computação.
8
Esses objetos foram construídos para mostrar que existiam objetos
matemáticos interessantes além das curvas e superfícies regulares da geometria
tradicional.
Foram vários os tipos de Fractais descobertos desde os anos 80, cada um
tinha uma equação que gerava uma série de números complexos. Talvez a mais
famosa imagem fractal seja a chamada ‘Conjunto de Mandelbrot’ em honra a seu
descobridor.
1.2 Definição de Fractais
Diferentes definições de Fractais surgiram com o aperfeiçoamento de sua
teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoilt Mandelbrot por
meio do neologismo “Fractal”, que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa
“irregular” ou “quebrado”, conforme já foi mencionado anteriormente. Uma primeira
definição matemática dada pelo próprio Mandelbrot diz: “Um conjunto é dito Fractal
se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão
topológica”. É claro que essa definição recebeu críticas e também não satisfazia ao
próprio Mandelbrot.
Segundo K.J. Falconer, autor de duas obras importantes sobre fractais (1985
e 1990), sugeriu a definição de fractal por caracterização: Um conjunto é fractal se
possuir alguma forma de auto-similaridade ainda que aproximada, onde a sua
Os fractais deram origem a um novo ramo
da matemática, muitas vezes chamada como a
Geometria da Natureza. O termo fractal foi utilizado
pela primeira vez em 1967 por Benoit Mandelbrot
considerado o pai dos fractais. Mandelbrot quando
estava preparando sua primeira obra importante
sobre fractais para publicação em livro, sentiu
necessidade de encontrar um nome para sua
geometria. Começou então, a consultar um
dicionário de latim do seu filho, onde encontrou o
adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa
quebar. Criou se então o termo fractal.
Figura 1 Conjunto de Mandelbrot www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99
/icm14/mandelbrot.jpg
9
dimensão seja maior que a dimensão topológica, e que este conjunto possa ser
expresso por meio de um procedimento recursivo ou interativo.
Nota-se que este conceito de fractal ainda tem muito a desejar,
principalmente se queremos uma definição mais formal. Entretanto, essa dificuldade
não deve ser obstáculo na Educação, podemos passar para o aluno uma
conceituação mais simples e de fácil compreensão e entendimento. Para definirmos
os fractais de uma maneira simples, basta observarmos uma propriedade especial
que possuem que pode ser considerada característica, conhecida como auto-
similaridade, ou seja, os fractais possuem uma cópia de si própria, em cada uma de
suas partes. Segue que suas partes lhes são semelhantes.
As principais propriedades que caracterizam os fractais são:
� A auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas
de si mesmo em seu interior. Um pedaço é similar ao todo. Visto em
diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.
Auto-semelhança aproximada auto-semelhança exata
Fig. 2 Samambaia www.educ.fc.ul.pt/.../icm43/imagens/fractnat.gif
Fig. 3 Triângulo de Sierspinski www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/solres4.gif
� A complexidade infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que
nunca conseguiremos representá-la completamente, pois a quantidade de
detalhes é infinita.
� A dimensão dos fractais: Ao contrário do que acontece na geometria
euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira, e sim uma
quantidade fracionária. A dimensão de um fractal representa o grau de
ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade.
10
Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o
universo natural e em quase toda ciência, desde os aspectos das nuvens,
montanhas, árvores, brócolis, couve-flor, relâmpagos, até a distribuição das
galáxias, assim como na arte e na matemática.
É importante ressaltar que hoje a aplicação do conceito de fractal em
problemas reais, se estende por um vasto campo interdisciplinar como: Biologia,
Geografia, Medicina, Música, Economia, Indústria Cinematográfica, Análise de
Imagens por Satélite, Meteorologia, Geologia e outros.
Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das plantas. Para os
médicos dá uma nova visão da anatomia interna do corpo. Para os físicos, possibilita
o estudo de superfícies confusas. Enfim não faltam exemplos. Um dos mais belos e,
sem dúvida o mais colorido é o uso dos fractais na arte. Quando os computadores
são alimentados com equações eles criam magníficos desenhos abstratos.
1.3 Teoria do Caos
A Teoria do Caos é relativamente
recente, sua investigação teve início nos
anos 60 e é considerada a terceira grande
revelação deste século nas ciências
físicas.
Sabemos que a Geometria
Euclidiana estuda as formas regulares
Fig. 4 Comparação entre a Dimensão Euclidiana e a Dimensão Fractal http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php
Figura 5 - Conjunto Julia ocw.upm.es/.../ffb129cfaaff6d14985de92d6d1ba654
11
que quase sempre são feitas pelo homem, já a geometria fractal estuda padrões
regulares e organizados dentro de uma certa irregularidade, muito encontrada na
natureza.
Com isto, podemos dizer que a Geometria Fractal por explicar coisas de
estruturas quebradas, estranhas e infinitamente complexas, está intimamente ligada
à Teoria do Caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um
sistema aparentemente aleatório. Na Mitologia grega, Caos era o estado não-
organizado, ou o Nada, de onde todas as coisas surgiam. Mas não era apenas um
simples vácuo e sim o estado de escuridão e nebulosidade infinita.
Atualmente com o desenvolvimento da matemática e ciência a Teoria do
Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar respostas as formas e
irregularidades da natureza. Sistemas de comportamento caótico são encontrados
em muitos campos da ciência e engenharia e são estudados, pois muitas vezes são
achados padrões que mostram uma estrutura ordenada no sistema. Porém,
compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o
sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.
“O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço
que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem, e ele contém o universo
infinito”. (Frances A. Yates)
ATIVIDADES
Essa unidade didática se propõe a apresentar algumas atividades para
serem desenvolvidas tanto na sala de aula como em um Laboratório de Ensino de
Matemática (LEM), com materiais manipuláveis sobre o ensino da Geometria-Não
Euclidiana, mas especificamente os Fractais.
2.1 Atividade 01
Uma prática interessante, já que os fractais estão muito ligados a natureza,
seria que o professor levasse os alunos para observar um jardim, ou uma paisagem
natural para que eles mesmos identifiquem as formas fractais naturais na qual eles
convivem no dia-a-dia sem perceber.
12
Esta atividade se torna útil e interessante a medida que o aluno possa
perceber que a matemática não é uma disciplina isolada, e que está relacionada
com a Biologia e para que os alunos passem a observar e valorizar mais a natureza
ao invés de degradá-la e também para que a matemática não seja vista como
números e contas sem aplicações.
2.2 Atividade 02
A Geometria Fractal
A idéia de se explorar a Geometria Fractal deve-se ao fato de observar que
a Geometria freqüentemente é mostrada de uma forma não natural, já que não é
capaz de descrever as formas encontradas na natureza, como as montanhas, as
nuvens, os litorais. A percepção de tais formas levou matemáticos a estudá-las sob
os aspectos que Euclides não alcançou, tornando-se assim, um estudo das “formas
sem formas”.
Foi aceitando este desafio que Benoit Mandelbrot compreendeu e
desenvolveu esta Geometria da Natureza e planejou o seu uso em diversos
números de aplicações. A partir desta teoria, descreveu vários dos irregulares e
fragmentados modelos que encontramos a nossa volta por meio da família de
formas, a qual chamou de fractais.
Entre o final do século passado e o início do atual, matemáticos como
Cantor, Helge Von Koch, Gaston Julia e Pierre Fatou experimentaram o que hoje é
considerado como fractal clássico, a origem do que chamamos de Geometria
Fractal- a Geometria da Natureza. Rejeitados pela comunidade matemática como
“patologicamente diferente de qualquer coisa encontrada na natureza e
monstruoso”, entre os anos 60 e 70, Mandelbrot e outros matemáticos revisaram
esta teoria utilizando-se de uma nova e poderosa ferramenta: o computador.
O texto acima fala dos fractais, tema que vem conquistando estudiosos e
curiosos em todo mundo.
a) O texto destaca alguns nomes importantes para os estudos sobre
Geometria Fractal, entre eles: Cantor, Helge Von Koch, Gaston Julia e
Pierre Fatou. Faça pesquisas em livros, revistas ou na internet e busque
a imagem dos fractais que possui o nome dos estudiosos acima.
13
b) Observe as imagens e responda qual é a principal característica dos
fractais.
2.3 Atividade 03
Construindo fractais
Como você pode perceber, os fractais estão mais presentes em nossa vida
do que imaginávamos.
Nesta atividade, iremos construir um fractal, vamos utilizar uma régua, papel
quadriculado e lápis de cor.
� Usando o papel quadriculado, construa um triângulo eqüilátero.
� Marque o ponto médio em cada um de seus lados.
� Construa segmentos unindo esses pontos médios.
� Quantos triângulos você possui agora?
� Pinte os três triângulos (do exterior) de uma mesma cor. Não pinte o triângulo
central.
� Para cada triângulo colorido, marque o ponto médio em cada um de seus
lados e construa segmentos unindo esses pontos médios.
� E agora, quantos triângulos você possui?
Pense e responda:
a) Qual o nome do fractal que você acabou de construir?
b) Registre na tabela abaixo o número de triângulos em cada etapa da
construção.
14
Tabela 1: Etapa x Número de triângulos
Etapa Número de triângulos
0
1
2
3
4
5
2.4 Atividade 04
Os alunos desenvolveram em grupo no Laboratório de Ensino de
Matemática (LEM) algumas atividades com a construção de fractais com
manipulação de materiais concretos.
O material necessário mais adequado para as atividades que serão
desenvolvidas a seguir poderá ser um conjunto de aproximadamente 250 peças
quadradas, de madeira( com pequena espessura),conforme a figura abaixo:
Figura 6- bloco quadrado
Sugestão: Pode ser usado o material dourado.
15
ATIVIDADE 4.A - Fractal Triminó
Fig.7.1-nível 1 Fig.7.2-nível 2 Fig.7.3-nível 3
Construção:
1. Considere o triminó não-reto, construído por 3 quadrados (Fig.7.1), que serão
fractal em nível 1.
2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L (Fig.7.2), teremos
assim o Fractal em nível 2.
3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó (Fig.7.3), obtendo
assim o Fractal ao nível 3.
Exploração: Observe que no Nível 1 foram usadas 3 peças:no Nível 2: 3 x 3= 9
peças;no Nível 3: 3 x 32 = 27 peças
Agora é sua vez:
Fig.7.4- nível 4
16
- Construa o Fractal Triminó ao Nível 4 observando a figura 7.4.
- Quantas peças foram usadas?
- Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5, quantas peças serão necessárias?
- E para construir um Fractal Triminó ao Nível n?
- Agora você e capaz de descobrir que conteúdo da matemática está relacionado
com esta atividade?
- Qual o perímetro em cada nível, considerando a medida de cada peça conforme a
fig. 6 ?
ATIVIDADE 4.B - Fractal Heptaminó em H
Construção
1. Considere um quadrado e substitua-o por um H ( de 7 peças quadradas) para
obter o gerador (Fig.8.1)
2. Para obter o nível 2 (Fig.8.2), basta substituir cada quadrado pelo próprio H da
Fig.8.1.
Fig.8.1-nível 1 Fig.8.2-nível 2 Fig.8.3-nível 3
17
3. O nível 3 (Fig. 8.3) será obtido substituindo cada quadrado do nível 2 pelo 1,
conforme figura 8.3.( por utilizar muitas peças, pode ser feito uma ou duas figuras
na sala)
Exploração:
- Você observou que no Nível 1 foram usadas 7 peças, no Nível 2: 72 = 49 peças,
Nível 3 : 73 = 343 peças , e o Nível 4 teriam quantas peças?
-Qual o perímetro no nível 1 e no nível 2? (não esqueça que o lado de cada peça
mede 2,5 cm).
-Descubra a área das figuras em cada nível?
- O que acontece com o valor da área e do perímetro a medida que o nível
aumenta?
ATIVIDADE 4.C - Fractal Pentaminó em T
Fig. 9.1-nível 1
Fig.9.2-nível 2 fig.9.3-nível 3
Construção:
1. Usando 5 peças construa um T conforme (fig.9.1), este será o Nível 1
18
2. Observe a Fig.9.2 e substitua os quadrados pelo gerador da (Fig.9.1), formando
um T.
3. Continue e encontrará o Nível 3,conforme Fig.9.3.
Resolva:
- Quantas peças foram usadas em cada Nível?
Nível 1 ....peças Nível 2..........peças Nível 3 .........peças .
- Quantas peças seriam necessárias para construir a figura no nível 4 ?
-Encontre a área em cada nível, considerando as medidas de cada peça como a
fig.6 (lado 2,5cm).
- Calcule o perímetro de cada figura.
- O que acontece com o valor da área e do perímetro a medida que o nível
aumenta?
- Que fórmula poderia usar para encontrar a quantidade de peças que seriam
necessárias no nível n desta atividade?
3.5 Atividade 05
Relação entre o Triângulo de Sierpinski e o Triângulo de Pascal.
O importante desta atividade é observar como estes dois triângulos estão
intimamente ligados, apesar de que aparentemente nada parece que os relaciona,
visto que um deles é um “amontoado” de números e o outro contém no seu interior
um padrão geométrico.
Objetivos:
19
- Que no final da atividade o aluno possa visualizar a relação entre os dois
triângulos, identificando os padrões do triângulo de Sierpinski no Triângulo de
Pascal.
- Seja capaz de usar os critérios de divisibilidade de um número por 2, 3, 4, 5 e 10.
- Relacionar a simetria do padrão numérico do Triângulo de Pascal com as simetrias
patentes nos padrões geométricos encontrados a partir de um padrão numérico.
Triângulo de Sierpinski
O triângulo de Sierpinski é um fractal cuja principal característica é não
perder a sua definição inicial à medida que é ampliado. Observe esta característica
na figura abaixo. Esse triângulo foi criado pelo matemático polonês Waclaw
Sierpinski em 1915.
Para construção desse triângulo, partimos de um triângulo eqüilátero. Em
seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4 triângulos
cujos lados estão ligados. Elimina-se o triângulo que está no centro. A recursão
resume-se em repetir indefinidamente o procedimento anterior em relação a cada
um dos triângulos obtidos.
Triângulo de Sierpinski
Figura10-Triângulo de Sierpinski
www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/image02
4.jpg
Triângulo aritmético de Pascal
Figura 11- Triângulo aritmético de Pascal
Fonte:Descobrindo a Geometria Fractal para
sala de aula
Qual a relação do Triângulo de Sierpinski com o Triângulo de Pascal?
20
Construção:
1. Construir o Triângulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas( pode usar a
malha de triângulos equiláteros ou hexágonos).
2. Colorir em preto as casas correspondentes aos números ímpares.
3. Que observas?
4. Será que outros padrões numéricos geram também padrões geométricos?
Comentário: Realmente o Triângulo de Pascal se transforma no Triângulo de
Sierpinski,como podemos visualizar na figura abaixo, mas esta não é a única
configuração interessante que podemos obter com o Triângulo de Pascal.
Figura 12-Triângulo de Pascal
www.educ.fc.ul.pt/.../icm48/images/s1img676.gif
Sugestões:
a) Construa o Triângulo de Pascal (use a malha triangular) e pinte os números
divisores de 2? O que acontece?
b) Agora construa um outro Triângulo de Pascal e pinte os números que são
múltiplos de 4? Continua formando um fractal?
c) Experimente construir o fractal múltiplo de 5 em um outro Triângulo de Pascal.
Comentário: Pensamos que esses fractais podem motivar os alunos durante as
aulas de matemática, devido aos belos visuais, integrando a matemática com a arte.
Sugerimos, portanto, a realização de atividades educacionais de construção de
outros fractais por múltiplos no Triângulo de Pascal.
21
3.6 Atividade 06
Construindo o cartão Degraus Centrais
A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais é uma forma
interessante e motivadora de apresentar a geometria dos fractais para os alunos de
Ensino Fundamental, pois é uma atividade que envolve o raciocínio e a
concentração do aluno.
Os cartões resultam de uma seqüência de cortes (linhas cheias) e
dobraduras (linhas pontilhadas).
Figura 13: Planificação do cartão Degraus Centrais
[URIBE, 2004, p.19].
1. Pegue uma folha de tamanho A4.
2. Dobre a folha a meio, ao longo de sua altura, como mostra a figura 14.
22
Figura 14: Dobradura inicial (Passo 2). Imagens da autora
3. Com a folha dobrada ao meio, faça dois cortes verticais simétricos a uma
distância x
4 das extremidades da folha, de altura 2a , como mostra a figura
15. Observe que : a = 2 x x
4 =x
2
4. Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.
Figura 15: Passo 3 –
x
23
Figura 16: Passo 4.
5. Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da figura em
relevo. Podemos dizer que esta é a primeira geração do cartão fractal.
Figura 17: Primeira geração do cartão
fractal
6.Dobre a folha novamente, conforme a figura 16, pois as gerações seguintes
serão obtidas seguindo os mesmos passos de 3 a 5, porém em uma escala
menor, apenas na região dobrada. A segunda geração do cartão fractal é obtida
com o corte mostrado na figura 18.
Figura 18: Passo 6
24
7. Dobre o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra.
Figura 19: Passo 7
8.Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em relevo. Neste
momento, temos a primeira e a segunda geração do cartão fractal.
Figura 20: Primeira e segunda geração do cartão fractal. 9. Para obter mais gerações, repita esse processo enquanto for possível realizar os
cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida no
passo 3. Por fim, desdobre todos os recortes e puxe as figuras em relevo. A figura
21 mostra um cartão de quatro gerações obtido pelo processo descrito.
25
Figura 21: Cartão fractal Degraus Centrais-Imagens da autora
Podemos observar que o cartão da figura 21 possui estruturas auto-similares,
também é possível observar que as formas geométricas resultantes dos cortes e
dobraduras são paralelepípedos.
Durante a construção percebemos que, a cada novo corte e dobradura,
obtemos novos paralelepípedos. Se chamarmos de iteração zero, a primeira
geração do cartão, quantos paralelepípedos novos surgem a cada interação?
Podemos explorar a construção do cartão construindo a tabela 2.
Tabela 2: Iteração X Número de paralelepípedos novos
Iteração Número de paralelepípedos novos
0 1
1
2
3
4
... ...
n
Observe que a cada iteração, o número de novos paralelepípedos dobra,
porém, em escala menor. Com isso podemos concluir que o processo de construção
26
dos paralelepípedos em cada iteração é descrito pela lei de potência 2n
, onde n=
0,1,2,3.... é o número das iterações. Identificamos que a cada nova iteração temos
um paralelepípedo cercado por dois novos paralelepípedos. Este valor será
denominado fator multiplicador.
Podemos incrementar nossa tabela explorando o volume de cada
paralelepípedo gerado em diferentes iterações (Figura 22). Na primeira geração, o
volume do paralelepípedo construído será : a x a/2 x a/2 = a3
/4
A tabela 3 mostra o cálculo dos volumes dos paralelepípedos obtidos nas
diferentes iterações, assim como volume total. Nesse caso, a lei de potência dos
volumes produz equações de maior complexidade, onde não será possível
trabalharmos nesta unidade, pois se trata de conteúdo do ensino médio.
Portanto, podemos pedir para os alunos calcularem o volume do novo
paralelepípedo que aparece em cada iteração,como mostra a tabela abaixo e no
final da atividade, pedir para que calculem também o volume total.
Tabela 3: Volume dos novos paralelepípedos em cada iteração e volume total
para o cartão Degraus Centrais
Iteraçã
o
Volume do novo
paralelepípedo
Volume total
(Soma dos volumes de todos os
paralelepípedos)
Figura 22: Paralelepípedo obtido na primeira
iteração.
27
0
20
332
2242 ×
×
a=
a=a
a
a3
4
1
2
... ... ...
n
Observe também que o cartão possui auto-similaridade, ou seja, ele mantém
a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala e complexidade
infinita. Se fosse possível continuar infinitamente o processo de corte e dobradura,
nunca obteríamos o “cartão Final”, pois a lei que define o processo de construção
poderá continuar a ser aplicada infinitamente.
CONCLUSÃO
Este estudo mostra que existem objetos e fenômenos importantes à serem
trabalhados além daqueles que conhecemos na geometria Euclidiana.
Mostra se dessa forma, que os fractais, este novo ramo da matemática,
fornecem uma nova maneira de ver o mundo e sua geometria vem cada vez mais
sendo explorada pelos pesquisadores, devido à variedade de aplicações, na
Biologia, na Medicina, na Economia, na Arte, entre outras.
Por ser um tema atual e amplo, a exploração da geometria dos fractais por
meio de materiais manipuláveis, permite tornar as aulas de matemática um espaço
propício para aprendizagem, unindo aspectos lúdicos com a abordagem de
conceitos matemáticos.
É importante ressaltar que apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os
fractais têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários
problemas continuam sem solução.
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Vivemos num mundo em que a ciência revela novos mistérios a cada dia, e
para cada descoberta descortinam-se novos e inesperados horizontes, gerando
mais e mais interrogações.
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REFERÊNCIAS
ALMEIDA,Theodoro B.de; MARTINELLI, Rodiane.O.; RODRIGUES, Virgínia M.; SILVA, Ana M. Marques da. Fractais no Ensino Fundamental:Explorando essa Nova Geometria. Disponível em: <<www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO00995663033T.doc>> Acesso em13.09.2008. ALVES, Célia M.M.F.S.Jordão. Fractais: Conceitos Básicos, Representações Gráficas e Aplicações ao Ensino Não Universitário. 2007. 321f. Dissertação (Mestrado)-Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências- Departamento de Matemática. Disponível em: http://www.fractais.net/ Acesso em 12.09.2008 BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 160p. FERNANDES, Jaqueline Aparecida. Fractais, uma nova visão da Matemática. 2008. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação)-Centro Unversitário de Lavras- Unilavras, Lavras-Minas Gerais, 2007 LORENZATO, Sergio (org). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP. Autores associados, 2006. Coleção Formação de Professores. OLIVEIRA, L. H. A. Matemática do Delírio. SUPERINTERESSANTE. São Paulo: Ed. Abril, ano 8, n.10, out. 1994. 92 p. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Rede Pública do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006. SIQUEIRA, R. Desenvolvido por um grupo de pesquisadores, Fractarte. Disponível em: http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php acesso em 13.09.2008.