O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO– OESTE PARANÁ - UNICENTRO

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

CYNTHIA REJANE MAZZOTTI

GUARAPUAVA

ABRIL 2010

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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

A produção didático-pedagógica é caracterizada como atividade de idealização do

material didático a ser utilizado pelo professor em situações específicas, próprias do

processo ensino-aprendizagem, objetivando viabilizar meios para a busca da qualidade

teórica metodológica.

Devido a sua importância como meio para socializar os conhecimentos pesquisados

sobre Etnomatemática, no caso do presente plano de trabalho, optou-se por produzir uma

Unidade Didática, material este elaborado para orientar o desenvolvimento deste

conteúdo, podendo ser direcionado para professores e alunos. Para tanto, inclui-se uma

vasta bibliografia referente ao tema estudado a fim de fundamentar o trabalho na prática

pedagógica para o ensino da Matemática. Tem como pressuposto, focar a atenção na

Etnomatemática, com a intenção de despertar nos alunos e educadores, para um resgate

cultural dentro da disciplina da Matemática, cujo conhecimento tácito/empírico trazido do

ambiente não é estudado e valorizado dentro do currículo escolar, objetivando-se assim, a

busca de possíveis ajustes e adequações ao melhor método na resolução desses problemas,

contextualizando significativamente a aprendizagem dos alunos da rede pública do Ensino

Médio da Casa Familiar Rural de Coronel Vivida.

Este material didático será postado no ambiente virtual e estará disponibilizado

para validação pelo sistema online, no site http//www.diaadiaeducacao.pr.gov.br.

O Projeto de Intervenção na Escola deverá ser implementado no segundo semestre

de 2010, na Casa Familiar Rural, cuja Escola Base é o Colégio Estadual Arnaldo Busato,

localizado na cidade de Coronel Vivida

O município de Coronel Vivida, fundado em 1954 tem atualmente 23.271

habitantes e sobrevive da atividade agrícola. “O aglomerado urbano que deu origem a

Coronel Vivida surgiu em função do entroncamento de caminhos rurais, e basicamente era

constituído de pequenas casas de comércio e prestação de serviços, que tinham a finalidade

de fornecer apoio ao meio rural e ao fluxo rodoviário existente. Os primeiros moradores,

que se tem notícia, foram italianos que desembarcaram em Porto Alegre – RS em 1888 e,

posteriormente, fixaram residência em Coronel Vivida, mais precisamente na localidade de

Jacutinga. Criado através da Lei Estadual no 253, de 26 de novembro de 1954, e instalado

oficialmente em 14 de dezembro de 1955, foi desmembrado de Mangueirinha constituindo-

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se município”. (www.achetudoeregiao.com.br)

Em Coronel Vivida, atualmente a educação na rede municipal dispõe de 09 escolas

na área urbana e 4 escolas no interior, com 1.965 alunos e 2 centros de Educação Infantil,

atendendo 463 alunos de 0 a 6 anos, com um quadro de 132 professores.

Conta ainda com dois colégios estaduais na zona urbana, um colégio estadual e

duas escolas estaduais na zona rural que atendem aproximadamente 2.250 alunos de

Ensino Fundamental, 5ª a 8ª série e, 1.205 alunos no Ensino Médio, com aproximadamente

127 professores; uma escola especial (APAE – Escola Mundo Feliz), atendendo 108

alunos; uma sala de APED (Ações Pedagógicas Descentralizadas) de Ensino Fundamental

e duas salas de Ensino Médio, as quais funcionam na Escola Municipal Paulino Stédile,

atendidas pelo CEEBJA do município de Chopinzinho, atendendo 104 alunos. Desses

alunos 61 utilizam transporte escolar na Educação Infantil, 1179 no Ensino Fundamental e

420 no Ensino Médio. Há também três escolas particulares, atendendo 236 alunos, com 48

professores.

Localizado no centro de Coronel Vivida ocupa uma área de um quarteirão

conforme figura a seguir:

Figura 1- Colégio Estadual Arnaldo Busato – EFMNP

Fonte : http://maps.google.com.br/maps?hl=pt-BR&tab=wl acesso 14/01/2010

A Casa Familiar Rural, na qual será implementado o projeto, atende 73 alunos,

sendo que a maioria deles são oriundos do interior do município, filhos de agricultores.

Quadra de Esportes coberta

Bloco D salas de aula

Bloco C salas de aula

Bloco B salas de aula

Bloco A Administrativo

Bloco E – salas

especiais

Quadra de Esportes - areia

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Esses alunos fazem parte do corpo discente do Colégio Estadual Arnaldo Busato, onde são

matriculados e recebem a certificação do curso. A Casa Familiar Rural, conta com toda a

infra-estrutura deste colégio, uma vez que é a sua escola base, recebendo o suporte

necessário para garantir o bom funcionamento e qualidade de ensino aos jovens do campo.

Apresenta 2 salas de aula (com TV Pendrive), 1 refeitório, biblioteca, secretaria,

alojamento p 50 pessoas, sala dos professores, cozinha ampla, dispensa, almoxarifado,7

banheiros, horta, e amplo espaço para área de lazer e esportes.

Localizada na comunidade Flor da Serra, na PR 562, aproximadamente 6 km do

centro da cidade de Coronel Vivida, a escola ocupa 370m² de área construída, conforme a

figura abaixo:

Figura 2 -Casa Familiar Rural de Coronel Vivida (acervo pessoal)

Tendo em vista a excelente infra-estrutura da Colégio Estadual Arnaldo Busato

como da CFR e a preocupação dos profissionais de educação em contribuir com a prática

pedagógica e melhoramento da qualidade dos serviços educacionais, torna-se viável a

implementação desse projeto na escola.

O presente trabalho visa atender alunos do 2º ano do Ensino Técnico em Alimentos

da Casa Familiar Rural, tendo-se em vista a realidade desses alunos justificadas

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previamente no Projeto de Intervenção na Escola, objetivando assim uma valorização da

etnomatemática no processo educacional dessa turma e de seus familiares.

A implementação será embasada em uma das metodologias que fazem parte do

material didático pedagógico a ser produzido. Optou-se pela produção da unidade

didática com finalidade de orientar a pesquisa e difusão do programa etnomatemática

entre professores e alunos da rede pública de ensino.

Fontes: Projeto Político Pedagógico Colégio Estadual Arnaldo Busato – EFMNP , Coronel Vivida, 2009.

http://pt.wikipedia.org/wiki/PNUD. Acesso 14/01/2010

http://maps.google.com.br/maps?hl=pt-BR&tab=wl acesso 14/01/2010

MOMENTO1

Pesquisas e abordagens diversas sobre a Etnomatemática

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos

astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do

teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides.

São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria.

As origens da Geometria (do grego medir a terra ) parecem coincidir com as

necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construírem casas,

observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas

que sempre dependeram de operações geométricas.

Em Heródoto, historiador do século V a.C. , encontra-se relatos que explicam como

eram divididas as terras para tributação no Antigo Egito. As civilizações de beira-rio

( Nilo, Tigre, Eufrates, Ganges, e outros ) desenvolveram uma habilidade em engenharia,

na drenagem de pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na construção de

templos e também de edifícios. Era uma geometria prática, em que o conhecimento

matemático tinha uma função meramente utilitária. Quer dizer, que a Matemática era vista

pelos gregos, dos anos 500 a.C. até 300 d.C. , através da Geometria.

Evidência deste fato está, por exemplo, na afirmação referente a Pirâmide de

Quéops: “Os antigos egípcios nivelaram sua base de cerca de 52 quilômetros quadrados,

com tanta maestria que o ângulo sudeste é apenas um centímetro mais alto que o ângulo

noroeste.” (STRICKLAND E BOSWELL, p. 10).

Os cientistas, questionadores, arqueólogos e arquitetos têm-se impressionado com o

alto grau de precisão com que as pirâmides foram construídas. Isto faz supor que os

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egípcios possuíam profundos conhecimentos matemáticos dentro de cálculo de áreas.

Diversos documentos mostram que eles usavam uma corda, na qual davam nós a intervalos

de igual distância, formando com ela um triângulo. A Etnomatemática já se fazia presente.

Figura 3 – Antigo sistema de medições

IMENES (1984, pg.10)

Era assim o esquadro dos arquitetos egípcios: uma simples corda com 12 espaços

iguais entre os nós. Hoje, tende-se olhar este método, muito antiquado e já ultrapassado,

mas não é. Por incrível que pareça, muitos pequenos agricultores, por exemplo, utilizam

em suas terras, métodos parecidos para o desenvolvimento de diversas atividades. Na era

do conhecimento em que vivemos atualmente, o mais lógico seria abandonar a idéia de

utilizar-se do conhecimento matemático por meio de fórmulas eficazes, para agregar

valores a produtos básicos.

A Matemática é vista, de modo geral, como a disciplina da “resposta certa”, e esta

visão, interfere no processo de aprendizagem e evita que os alunos expressem seus

pensamentos matemáticos, que aprendam com seus erros, que testem suas hipóteses e as

reformulem ou as defendam. É importante pensar sobre o que promove a aprendizagem e o

que promove o acúmulo de informações. O estabelecimento de relações, a leitura e escrita

de textos, o confronto entre suposições e dados obtidos durante a investigação e o diálogo

são procedimentos fundamentais para a aprendizagem, em contraposição ao ensino de

algoritmos e “decorebas”. E é na Etnomatemática que encontramos o resgate dessa

aprendizagem significativa, através de uma matemática bastante utilitária , prática e de

fácil compreensão.

Etnomatemática é hoje considerada uma sub-área da História da Matemática e da

Educação Matemática, com uma relação muito natural com a Antropologia e as Ciências

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da Cognição. É evidente a dimensão política da Etnomatemática. Segundo Ubiratan

D’Ambrósio:

Etnomatemática é a matemática praticada por grupos culturais, tais como

comunidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes profissionais,

crianças de uma certa faixa etária, sociedades indígenas, e tantos outros

grupos que se identificam por objetivos e tradições comuns aos grupos.

(D’AMBRÓSIO, 2007, p. 9 ).

Baseando-se na fala de D’Ambrósio em relação a Matemática, o ideal é buscar

entendê-la enquanto uma das manifestações simbólicas de um determinado grupo social,

relacionada com sua posição de dominação no espaço social no qual está inserido e não

tratar-se de pensá-la de forma abstrata, imune às lutas do campo simbólico que buscam a

manutenção ou ascensão nas posições do espaço social onde ela é produzida e reproduzida.

Mas será que juntamente com o nascimento da Geometria, originou-se também a

Etnomatemática?

Na realidade ela sempre existiu, bem antes das pirâmides do Egito. Desde o início

dos tempos, civilizações primitivas já trabalhavam com Etnomatemática, em seus sistemas

de caça , pesca, comunicação, etc. Com o surgimento da agricultura, as primeiras

sociedades organizadas começavam a ser identificadas. A geometria e os calendários são

exemplos de uma Etnomatemática associada ao sistema de produção, resposta à

necessidade primeira das sociedades organizadas de alimentar o povo.

Conhecimentos e comportamentos são compartilhados e compatibilizados,

possibilitando a continuidade dessas sociedades. Esses conhecimentos e comportamentos

são registrados, oral ou graficamente, e difundidos e passados de geração para geração.

Nasce, assim, a história de grupos, de famílias, de tribos, de comunidades, de nações.

Segundo Ubiratan D’Ambrósio:

Gosto de me referir à Etnomatemática como um programa. Efetivamente, não é

uma disciplina nova, pois nasce de um inconformismo com a fragmentação do

conhecimento em Artes, Religião, Filosofia, Ciências. E cada um desses setores

em várias áreas (...) O que eu chamo de Programa Etnomatemática é um

programa de pesquisa no sentido lakatosiano que vem crescendo em

repercussão e vem se mostrando uma alternativa válida para um programa de

ação pedagógica.”Etnomatemática propõe um enfoque epistemológico

alternativo associado a uma historiografia mais ampla. Parte da realidade e

chega, de maneira natural e através de um enfoque cognitivo com forte

fundamentação cultural, à ação pedagógica. (D’AMBRÓSIO, 2002, p.7)

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Esse programa, baseando-se em D’Ambrósio, busca uma melhor compreensão da

história do conhecimento científico e do processo de desenvolvimento dos países

periféricos, que passaram pelo processo de conquista, colonização e agora subordinação

neo-colonialista. Esse processo enfatiza ciência e tecnologia, e ao procurar entender

comparativamente, nos países da chamada periferia e nos países centrais, industrializados,

os objetivos da educação matemática, leva à proposta crítica que é em essência o Programa

Etnomatemática.

Neste sentido, o Programa Etnomatemática conduz como a figura abaixo,

esquematizada por Ubiratan D’Ambrósio, a uma revisão crítica de teorias correntes de

cognição, epistemologia, história e política.

Figura 4: Esquema indicando uma revisão crítica do Programa Etnomatemática

D’AMBRÓSIO (2002, pg.11)

Na verdade a Etnomatemática procura a reincorporação da História da Matemática

e da Filosofia da Matemática à História e a Filosofia. Não há como fragmentar a história.

Como tampouco a filosofia. E muito menos a Matemática, que tem sua razão de ser na

busca de explicações e compreensões de maneiras e modos de lidar com a realidade, que é

necessariamente uma totalidade.

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De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN é importante que dois

caminhos impulsionem o trabalho com a Matemática em sala de aula: as aplicações no

cotidiano e as aplicações e avanços na própria ciência Matemática. Como o avanço

tecnológico nos coloca em uma nova era, tende-se a valorizar-se muito o conhecimento

formal, deixando-se de lado o conhecimento que o aluno traz de casa. Faz-se necessário

explorar a diversidade cultural de nosso país, principalmente de grupos que se identificam,

estimulando observação de padrões e regularidades, a discussão de similitudes e

diferenças, confrontos de conhecimentos descrevendo e entendendo o que se vê. Isto sim,

leva os alunos a uma aprendizagem significativa de uma matemática viva e utilitária.

Sob o ponto de vista de Pedro Paulo Scandiuzzi, “ A educação etnomatemática

está atenta às mudanças do tempo e pode optar pela educação onde cada sujeito é visto na

sua identidade e na sua integridade.”( p. 02).

O autor defende o fato de que ao termos respeito, solidariedade e cooperação pode-

se ganhar significados vitais se a pessoa que exerce o papel de profissional em educação

assim o desejar. Pensar nos conteúdos de matemática utilizados na sala de aula e também

pensar na compreensão do que é e para que o sirva. Grupos de profissionais diversos

praticam sua etnomatemática.

Esta nova linha de pesquisas começa a fortificar no momento que educadores

compreendem inclusive o significado da própria palavra: tica, como a arte ou técnica de

construir os matemas. Matema é a forma de compreender, relacionar classificar, medir...de

cada etno. Etno é todo e qualquer grupo com um ou mais elementos, que se encontra para

resolver os problemas que o cotidiano apresenta A etnomatemática ganhou espaço e

adeptos no mundo inteiro, entretanto o novo e diferente trazem alguns obstáculos. O

primeiro e o mais difícil a ser superado é a compreensão da palavra etnomatemática, pois

apesar de dizer-se que todos os povos produzem matemática, que em todas as situações

existem matemáticas, quando apresenta-se a etimologia da palavra, existe surpresa, onde a

maioria pensa em matemática como disciplina dos números e fórmulas. Então, para a

compreensão do prefixo etno, a dúvida parece ser a do entendimento de produções de

matemáticas diferentes. Por exemplo: para grupos de matemáticos, o cotidiano apresenta

um tipo de problema enquanto que para um grupo de pedreiros um outro tipo de problema

é apresentado pelo dia a dia. As resoluções nem sempre são as mesmas, por isso os

etnomatemáticos acreditam que existem mais de uma matemática. A forma de construir

matemática por diferentes grupos sociais leva a perceber que o caminho através de

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diferentes algoritmos é visível, mas os problemas podem levar a mais de um resultado e

podemos cair em casos onde encontramos resultados inexatos. Com esta forma de ver, os

etnomatemáticos precisam ir ao trabalho de campo, fazer pesquisas de caráter etnográfico.

Ao analisar os dados obtidos na pesquisa percebem que a área da história da matemática

ainda está para ser construída. Uma história voltada na produção matemática de todos

aqueles que produzem, sem etnocentrismo e aberto ao diálogo, ao novo, às diferenças.

Acreditar na alteridade e identidade de cada sujeito, conforme afirma Atlan, em entrevista

a Pessis – Pasternak: “Há uma grande diferença entre afirmar que existe uma realidade e

conhecê- la (...). A realidade é algo a interpretar, ela é feita daquilo que se pode chamar

interpretandos”. (p. 66)

A medida que vai-se descobrindo os processos educacionais de diferentes grupos

sociais e etnias, percebe-se que mais do que ensinar, os matemáticos muito tem a

aprender, construindo a verdadeira história da matemática, sem desejo do poder do saber

em qualquer instância social. D’Ambrósio,diz: “Como o colonizador dominou o

colonizado? Impondo uma nova língua, uma nova religião, uma nova matemática...

Nenhum professor pode agir como colonizador.” ( D’AMBRÓSIO, Revista Nova Escola,

março 2002, p.24).

Reconhecer e aceitar a pluralidade cultural e o direito de manejar, de maneira

autônoma, os recursos de sua cultura. Esses grupos que devem decidir seu futuro, segundo

projetos que partam de seus interesses e aspirações.

MOMENTO 2:

Apresentação de alguns vídeos com o professor de matemática Márcio Barbosa que

ensina a matemática de uma forma mais simples e prática, do que aquela aprendida na

escola.

YouTube - http://www.youtube.com/watch?v=7-644rpNVT4

Matemática sem Mistérios

Matemática Incrível

Show de Matemática

MOMENTOS 3 E 4:

Realização de entrevistas, fotografias e observações na prática matemática de

diferentes profissionais.Verificação de resultados: análises, confrontos , relatórios e

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conclusões sobre o assunto estudado. Assim como, sugestões de pesquisas e investigações

sobre a etnomatemática.

Baseando-se em Ubiratan D’Ambrósio, há inúmeros trabalhos sobre a

Etnomatemática do cotidiano. É uma Etnomatemática não aprendida nas escolas, mas no

ambiente familiar, no ambiente de brinquedos e de trabalho, recebida de amigos e colegas.

Mas, como se dá esse aprendizado? Constatamos então alguns exemplos da

etnomatemática:

-Na maneira como as crianças se organizam para construir um campo de futebol,

obedecendo, em escala, as dimensões oficiais: São crianças que não possuem maturidade

matemática suficiente para desenvolver cálculos matemáticos precisos através de fórmulas

matemáticas, mas se observarmos elas idealizando e delimitando terreno na construção do

campo, vamos sentir que a etnomatemática desenvolvida por elas é prática e funcional. Se

questionarmos sua construção, com certeza saberão explicar perfeitamente cada traço ali

feito e o porquê dele.

-O cotidiano das compras revela práticas aprendidas fora do ambiente escolar: uma

verdadeira etnomatemática do comércio. Utilizam uma visão crítica da realidade,

utilizando instrumentos de natureza matemática. Análise comparativa de preços, de contas

e de orçamentos. É muito interessante observar como tudo funciona perfeitamente no

comércio.

Nas práticas matemáticas de feirantes, por exemplo: Adquirem uma prática

aritmética muito sofisticada para lidar com dinheiro, fazer troco, ser capaz de oferecer

desconto sem levar prejuízo. Observa-se que o feirante não aplica a fórmula matemática

do desconto “por dentro” ou “por fora”como é ensinada e exigida na escola. Primeiro por

que a maioria desses profissionais não tem o conhecimento matemático para a execução

destes cálculos, como também pelo fato de que roubaria tempo dispendioso do freguês na

hora da compra. É muito interessante passar algumas horas na feira e observar essa prática

matemática. Entrevistar esses feirantes a respeito desta matemática prática e funcional. De

onde eles adquiriam tal habilidade, até que séries escolares estudaram, como era no início

de suas vendas, qual é o método que utilizam para dar o desconto. Quer dizer:

Transformarmo-nos em espectadores, alunos desta matemática não aprendida na escola,

desta metodologia tão diferente, sem uso de fórmulas e ao mesmo tempo prática eficaz.

Deixar o feirante explicar em detalhes a sua etnomatemática. E só então, traçar um

comparativo destes cálculos, se houver interesse por parte do feirante em vivenciar esta

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troca de experiências. Uma vez despertado o interesse neste profissional em conhecer os

cálculos trabalhados dentro do contexto escolar, é a vez dos alunos demonstrarem seus

conhecimentos aprendidos na escola e juntos, traçarem um comparativo sobre o melhor

método de resolução destes problemas.

-A matemática praticada pelos bicheiros para organizar um esquema de apostas

atrativo e compensador. Uma verdadeira etnomatematica dos números. A maneira como

dispõe em esquemas e tabelas as várias possibilidades de jogos, sem perder o raciocínio

lógico e funcional para cada aposta. Estes profissionais não se utilizam da análise

combinatória para organizar esses jogos. Simplesmente, de uma prática matemática

aprendida na necessidade da vida.

- Alguns madeireiros, ao cubarem toros de madeiras, desenvolvem uma fórmula

diferente, adaptada, entre eles, sem necessidade de medir-se o diâmetro delas. Outros

utilizam-se de tabelas prontas. E segundo eles, tudo dá certo. Se visitarmos diferentes

serrarias, identificaremos diferentes maneiras de cubagem da madeira. É de grande

importância possibilitar aos alunos meios para que entrem em contato com estes diferentes

métodos, principalmente, com aqueles mais usados quotidianamente, constatando a

realidade, serve a eles de motivação inclusive para os estudos dos métodos matemáticos

formais. A sugestão de trabalho aqui, seria visitar diferentes serrarias do município para

analisar os seus métodos de cubagem da madeira, constatando as diferentes metodologias

para a cubagem, de uma serraria à outra, aprendendo com os funcionários todos os

cálculos realizados. Em seguida, comparar e desenvolver em sala, cálculos de cubagem da

madeira, utilizando-se das mesmas medidas observadas nas serrarias, aplicando as

fórmulas matemáticas.

-Agricultores ao empreitarem roçadas, colheitas, plantios, utilizam conhecimentos

aprendidos entre eles, o conhecimento tácito/empírico no cálculo dessas áreas. Uma

verdadeira etnomatemática agrícola, a qual já se fazia presente a muito tempo atrás, como

por exemplo, na vida dos egípcios, os “escribas”, medidores de terra, contratados pelo

governo, já utilizavam-na nas famosas medições de terra após as cheias do rio Nilo.

NO EGITO: As medições de terras

A necessidade de medir os campos no Egito é relatada por Heródoto, filósofo grego

do século V a.C. Segundo Heródoto sempre que o Nilo inundava era necessário determinar

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a quantidade de terra que os agricultores perdiam, uma vez que deveriam pagar uma taxa,

ao rei Sesostris III (cerca de 1872-1853 a. C.), que deveria ser proporcional à taxa imposta

antes da inundação das terras.

Quando o Nilo transborda, cobre o Delta e as terras chamadas Líbia e Arábia,

numa distância de uma viagem de dois dias desde as duas margens, ..., não

consegui saber nada da sua natureza, nem dos sacerdotes, nem de qualquer

pessoa. Tinha curiosidade em saber por que é que o rio transborda durante cem

dias desde o solstício de Verão, ..., e o rio está baixo durante todo o Inverno até

transbordar de novo no solstício de Verão. ...Por esta razão o Egito foi dividido.

Disseram-me que este rei (Sesóstris) repartiu todo o país entre os egípcios,

dando a cada um uma porção igual de terra, e fez sua fonte de rendimento,

avaliando o pagamento de um tributo anual. E se qualquer homem que fosse

roubado pelo Nilo de uma porção de suas terras podia dirigir-se a Sesóstris e

expor a ocorrência, então o rei enviaria um homem para verificar e calcular e

parte pela qual a terra tinha sido reduzida, de tal forma qua a partir dessa

altura ele deveria pagar proporcionalmente ao tributo imposto originalmente.

Esta foi a forma como, na minha opinião, os Gregos aprenderam a arte de medir

a terra; os relógios de sol, os gnomos e as doze divisões do dia, vêem para a

Grécia da Babilônia e não do Egito. Heródoto (II, 109).

Embora Heródoto tenha relatado esta história mais de 1000 anos após Sesóstris ter

vivido, parece não haver dúvidas de que os antigos egípcios coletavam taxas, ou pelo

menos impostos. Pelo menos, esse parecia ser um dos deveres dos escribas egípcios de

acordo com o texto de cerca de 1250 a.C. “A Educação de Amenemope”. Os escribas

tinham como funções registrar as fronteiras das terras, os impostos, as terras, e ao medi-las

deveriam ser cuidadosos ao utilizar a corda. Esta medição deveria ter como objetivo

determinar a área do terreno, tal como relata o seguinte extrato:

Que registras as marcas das fronteiras dos terrenos.

Que fazes, para o rei, a sua listagem de taxas.

Que registras as terras do Egito.

O escriba que determina as oferendas para todos os deuses.

Que dás a escritura das terras ao povo.

O fiscal dos cereais, provedor da comida.

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Que forneces os celeiros, de cereais…

Não movas as marcas das fronteiras dos terrenos.

Nem movas a posição da corda de medir.

Não sejas mesquinho no cúbito de terra.

Nem invadas as fronteiras da janela.

The Instruction of Amenemope

New Kingdom

M. Lichtheim, Ancient Egyptian Literature, Volume II, pp. 448

Figura 5: A educação de Amenemope (1250 a. C.), disponível em

http://www.malhatlantica.pt/mathis/regras/Geometria/%C3%81reas.htm, acesso em

28/05/2010

Figura 6: Escriba inspecionando a pedra de fronteira dos terrenos, túmulo do escriba

Nebamun (1400 a 1390 a.C.), disponível em

http://www.malhatlantica.pt/mathis/regras/Geometria/%C3%81reas.htm, acesso em

28/05/2010

As cordas de nó

Para medir os terrenos os escribas utilizavam uma corda com nós. Há várias

representações de harpedonaptae, esticadores de cordas, tal como, Demócrito1 (cerca de

410 a.C.) os denominava, em túmulos egípcios. Por exemplo, no túmulo de Menna, escriba

que terá vivido, provavelmente no século XIV a.C., encontra-se uma pintura dos

esticadores de cordas, uma outra pintura com esticadores de cordas encontra-se no túmulo

do escriba Djeserkareseneb, também da mesma época.

1 Demócrito, citado por Clement de Alexandria (c. 215), terá afirmado: “Na construção de linhas, com demonstrações,

ainda ninguém me surpreendeu, nem mesmo os Harpedonatae do Egito

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Figura 7: Esticadores de cordas, túmulo de Menna (século XIV a. C.), disponível em

http://www.malhatlantica.pt/mathis/regras/Geometria/%C3%81reas.htm, acesso em

28/05/2010

Figura 8: Esticadores de cordas, túmulo de Djeserkareseneb (1405 a 1395 a. C.), disponível em

http://www.malhatlantica.pt/mathis/regras/Geometria/%C3%81reas.htm, acesso em

28/05/2010

Os nós poderiam servir como subdivisões, e as cordas mediam, provavelmente, um

cúbito real2.

Das cordas às áreas de terrenos

Há evidências de que os egípcios sabiam calcular, pelo menos aproximadamente, a

área das terras. Nos papiros egípcios, mais antigos, com conteúdos matemáticos, o papiro

de Rhind, de Moscovo, e de Lahun, do 2.º milênio a.C., contém problemas referentes a

áreas de terrenos, envolvendo triângulos, retângulos e outros quadriláteros.

Os egípcios utilizam métodos aproximados de cálculo das áreas dos terrenos,

provavelmente, porque seria extraordinariamente difícil determinar com precisão a sua

área, o que envolveria nalguns casos ter de dividir terreno em retângulos e triângulos o

que não seria praticável. Alguns autores são da opinião de que os egípcios conheciam a

regra para o cálculo da área de triângulos, mas que a dificuldade de, no terreno,

determinarem a sua altura relativamente a uma base levava-os a utilizarem, apenas, uma

estratégia aproximada para o seu cálculo.

É muito comum nos depararmos com alunos tentando ajudar familiares na

resolução de problemas referentes a cálculo de áreas. Na maioria dos casos, existem mais

2 Provavelmente as cordas tinham 100 cúbitos de comprimento. O cúbito variava entre 52,3 to 52,9 cm.

16

de um tipo de resolução para o problema, com resultados diferentes e acabam chegando a

um consenso, optando por um dos resultados obtidos. A investigação em torno do cálculo

de área é muito curiosa, pois a etnomatemática neste assunto já foi causadora de muitas

confusões... Ou por acaso alguém nunca ouviu falar em intrigas de vizinhos por divisas de

terra? E as famosas brigas de coronéis na época do Brasil Colônia? Cada qual defendendo

o seu cálculo etnomatemático.

À medida que nos aproximamos e acompanhamos estes trabalhadores agrícolas,

observamos que estranhamente não conseguimos ficar imparciais aos seus métodos de

resolução de problemas. A curiosidade é aguçada à medida que a discussão é feita em

torno dos cálculos. Cada grupo de trabalhadores tem seu “jeito” de resolver o problema.

Mas a etnomatemática não vem para exigir, obrigar que esses trabalhadores “larguem”

seus métodos de resolução e aprendam utilizar as fórmulas aprendidas na escola. Isto pode

vir até a acontecer, mas de uma forma muito natural e desde que se observe o desejo deste

trabalhador em aprender esse conhecimento formal explícito fornecido pela escola. Aí sim,

pode confrontar e utilizar-se do método que lhe parecer mais adequado.

A etnomatemática vem para valorizar estes trabalhadores que lidam

constantemente com uma matemática prática e cultural. E a escola, para aprender seus

métodos tácitos/empíricos, através de um verdadeiro resgate cultural.

Então, deixamos esses trabalhadores, explicarem para a escola como utilizam a

matemática em seus trabalhos na resolução de problemas. No tocante ao cálculo de área, os

alunos são orientados a ouvir, tirando dúvidas. Deixa-se completamente a vontade nossos

professores etnomatemáticos ensinar como fazem o “esquadrejamento da terra”, ou, a

“quadriculação da terra”, ou ainda, o “areamento da terra”.

As atividades desenvolvidas com os alunos nessa classe de trabalhadores agrícolas,

serão os cálculos de áreas apresentados por eles mesmos, em situações reais, como por

exemplo, uma empreitada de roçada. Observar e entender a maneira que desenvolvem o

cálculo da área a ser roçada e como procede matematicamente a divisão dos lucros e

acertos entre eles. Ou numa empreitada de colheita de feijão, observando-se os cálculos

dessa respectiva área. Ou mesmo na construção de uma horta familiar. Enfim, trabalha-se

situações reais, na resolução de cálculos de área. Os alunos estão aptos então a fazer

algumas perguntas em forma de entrevistas, elaborada por eles próprios sob a orientação

17

do professor, sobre, por exemplo, a origem da sua aprendizagem, quanto tempo utiliza-se

destas metodologias, se passou o conhecimento para mais alguém, se conhece outras

formas de resolução para estes mesmos problemas de cálculo de área, etc. Só então, após

vivenciar esta realidade, em sala de aula desenvolve-se o cálculos dessas mesmas áreas,

através da fórmula de Herão. Para isto faz-se necessário o conhecimento histórico da

utilização desta fórmula:

Na Grécia e Roma

Herão de Alexandria (c. 10 - 75 d.C.), resolveu o problema da determinação da

altura de um triângulo encontrando um processo para determinar a sua área qualquer que

sejam a medida dos seus lados.

Herão escreveu:

Há um método geral para encontrar, sem desenhar qualquer perpendicular, a

área de um triângulo, cujos lados são conhecidos. Por exemplo, sejam

os lados do triângulo 7, 8 e 9. Junte os três lados; o resultado é 24. Tome

metade disto, que dá 12. Tire 7; a diferença é 5. De novo, de 12 tire 8; a

diferença é 4. E ainda 9; a diferença é 3. Multiplique 12 por 5; o resultado é 60.

Multiplique isto por 4; o resultado é 240. Multiplique isto por 3; o resultado é

720. Tome a raiz quadrada deste número e terá a área do triângulo....

Em termos da linguagem matemática atual, a estratégia de Herão corresponde a:

A área de um triângulo de lados a, b e c e de semi-perímetro p, é dada por

))()(( cpbpappA

Embora a fórmula de Herão permita, de forma correta, determinar a área de qualquer

triângulo, sem ser necessário recorrer à sua altura, que em termos práticos pode ser uma

tarefa difícil, ela não parece se ter generalizado, e raramente é, hoje em dia, utilizada.

18

E, para uma área exata de um qualquer quadrilátero

Brahmagupta também Fórmula de Herão, dada em

notação matemática atual, válida para qualquer

quadrilátero cíclico, ou seja que se pode inscrever numa

circunferência, de lados a, b, c, e d e cujo semi-perímetro é

p:

))()()(( dpcpbpapA

Porém, para calcular-se a distância AC deste quadrilátero, marca-se em qualquer

dos quatro cantos, 1m cada lado formando então um ângulo, em seguida medindo-se a

distância entre essas duas marcas, obtêm-se o valor deste ângulo. Utilizar-se de um

teodolito para a conferência do cálculo desse ângulo é de fundamental importância, como

excelente recurso pedagógico, chegando-se então, a medida do segmento AC, através da

lei dos cossenos:

Em um triângulo qualquer ABC de lados BC, AC e AB que medem

respectivamente a, b e c e com ângulos internos , e valem as relações:

Uma vez calculado o segmento AC, então é só calcular a área dos dois

triângulos formados, através da formula de Herão e somá-las.

Referência: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_cossenos

E para construir um teodolito caseiro? Seria possível?

Então, mãos à obra:

Material necessário:

• Pote redondo com tampa (tipo tronco de cone).

• Canudo oco em formato cilíndrico reto ou tubo de antena de TV (20 cm).

• Suporte de papelão 20 x 20cm ou uma placa de madeira.

• 20 cm de arame grosso para a agulha

• Xérox de um transferidor de 360°

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Objetivo:

Medir ângulos para o cálculo de distâncias inacessíveis.

Procedimento para a construção

• Colar o xérox de transferidor de 360° num suporte de papelão 20 x 20cm.

• Colar a tampa do pote de requeijão sobre o xérox de modo que ela fique bem

centrada com o transferidor.

• Atravessar a agulha (arame grosso) o mais perto da base do pote de requeijão. Ela

deve passar pelo meio do pote. Para garantir essa reta, use a boca do pote para

desenhar um círculo em um pedaço de papel. Recorte-o. Dobre ao meio e use o

semicírculo como referência para passar a agulha.

• Colar a mira (tubo de antena) na base do pote, paralela à agulha. Se achar mais

seguro, faça um semicírculo em papel.

Como se usa o Teodolito

Posicione o teodolito caseiro de modo que a sua base fique perpendicular ao objeto

que vai observar, por exemplo, um poste ou uma árvore. Através do canudo, mirar o pico

do objeto (o ponto mais alto). O arame marcará um ângulo no transferidor e a leitura será

realizada.

Propor aos alunos que com esse ângulo use os seus conhecimentos de Trigonometria para

medir a altura inacessível.

Figura 9: Teodolito Caseiro (acervo pessoal)

Utilizando-se a fórmula e realizados os cálculos, faz-se extremamente necessário o

confronto de resultados para traçar-se um comparativo e uma análise apurada destes

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resultados. Qual método é mais vantajoso? E para quem? Alguém sai perdendo? Quem?

Quais seriam os empecilhos do trabalhador agrícola ou seus familiares em utilizar a

Fórmula de Heron na resolução dos problemas? Qual seria a possível opção do

trabalhador? E porque?

Uma vez conhecido, comparado e analisado os métodos de resolução, é necessário

o entendimento de todos que a etnomatemática esta aí para ser vivenciada, através das

diversas matemáticas também chamadas de adjetivações ( matemática de rua, matemática

agrícola, matemática de profissionais, matemática acadêmica, matemática da vida,

matemática popular, etc) onde inevitavelmente constatamos jogos de linguagem. E é

dentro dos jogos de linguagem que as palavras adquirem significados, quando se opera

com elas numa determinada situação e não quando simplesmente são relacionada as

imagens feitas delas.

Baseando-se na Teoria da Prática de Bourdieu, (História, Filosofia e Educação

Matemática, p. 98, 2009) as adjetivações (matemática de rua, matemática de profissionais,

matemática agrícola, matemática popular, matemática acadêmica, etc) evidenciam o

conhecimento público de que há produção de conhecimentos matemáticos por outros

agentes que não os matemáticos. As regras na matemática escolar geralmente são pautadas

numa lógica de regras fixas da lógica clássica, cuja presença nas adjetivações é bastante

alterada, pois é orientada por outros valores e regras.

Então, não se pode obrigar esses grupos profissionais a desenvolver o

conhecimento formal explícito vivenciado dentro da escola, mas sim a escola a conhecer

essas matemáticas vivenciadas na prática desses diferentes grupos culturais.

As atividades desenvolvidas com os alunos nessa classe de trabalhadores agrícolas,

serão os cálculos de áreas apresentados por eles mesmos, em situações reais, como por

exemplo, uma empreitada de roçada. Observar e entender a maneira que desenvolvem o

cálculo da área a ser roçada e como procedem matematicamente a divisão dos lucros e

acertos entre eles. Ou numa empreitada de colheita de feijão, observando-se os cálculos

dessa respectiva área. Ou mesmo na construção de uma horta familiar. Enfim, trabalha-se

situações reais, na resolução de cálculos de áreas. Só para então, desenvolver em sala estas

mesmas áreas, com o uso da Fórmula de Herão, traçando um comparativo dos diferentes

métodos utilizados.

21

-A matemática utilizada pelo ferreiro, ao contornar o ferro na roda da carroça, mas

antes mesmo de aprendermos a pratica do ferreiro, vamos conhecer um pouco mais sobre o

objeto do nosso estudo.

Roda

Figura10: Rodade carroça

http://pt.wikipedia.org/wiki/Roda#Hist.C3.B3ria_da_Roda, acesso em 04/06/2010

A roda é uma das seis máquinas simples com vastas aplicações no transporte e em

máquinas, caracterizada rotativo no seu interior.

A roda transmite de maneira amplificada para o eixo rotação eixo qualquer força

aplicada na sua borda, reduzindo a transmissão tanto da velocidade quanto da

distância que foram aplicadas.

Similarmente, a roda transmite de maneira reduzida para a borda qual aplicada no

seu eixo rotação eixo, amplificando a transmissão tanto da velocidade quanto da

distância que foram aplicadas.

O fator importante para determinar a transmissão de força, velocidade e distância é

a relação entre o diâmetro da borda da roda e o diâmetro do eixo.

22

A Roda e oTransporte

No transporte de objetos, o objetivo dela é diminuir a fricção total de arrasto de um

objeto entre dois pontos em uma superfície. O objeto sendo transportado, colocado no seu

eixo, necessita se arrastar por uma distância menor do que a distância percorrida pela borda

da roda em contato com a superfície, porque o eixo sempre reduz a transmissão da

distância percorrida pela borda da roda.

É interessante notar que a superfície por onde a borda da roda se desloca deve ser

preparada a priori para aumentar a eficiência da roda. A roda não é muito útil para o

transporte sem a presença de estradas.

É também interessante notar que embora a roda seja uma maneira eficiente de

transporte, as formas de vida usam-na de maneira muito limitada nesse sentido.

Rodas e Máquinas

Em máquinas, a roda age principalmente acoplando-se a outras rodas, de modo a

transmitir velocidade e torque através do seu típico movimento circular. Exemplos de

rodas especializadas usadas em máquinas são a engrenagem e a polia.

História da Roda

Para muitos cientistas, a roda é o maior invento de todos os tempos. Acredita-se que

seus inventores foram os povos que habitavam a antiga Mesopotâmia, atual Iraque, acerca

de 5.500 anos atrás.

Foi originada do rolo (um tronco de árvore). Mais tarde, este rolo se transformou

em disco. A evolução das rodas dos automóveis se originou diretamente das rodas das

antigas carruagens puxadas a cavalos, às quais eram, a princípio, idênticas. A roda é

também o princípio básico de todos os dispositivos mecânicos.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Roda#Hist.C3.B3ria_da_Roda, acesso em 03/06/2010.

23

Quem nunca sentiu curiosidade em observar a perfeição do ferreiro ao contornar o

ferro na roda da carroça?

Sua prática o leva a diminuir 15 mm do comprimento da circunferência, após

utilizar uma carretilha de ferro (estas que servem para fazer pastel) para medi-la,

garantindo firmeza e segurança ao rodar, onde o conhecimento formal não seria suficiente

para garantir a qualidade desta roda. Os alunos devem ser preparados antes da visita a esse

profissional, que a escola vai até ele para aprender sua matemática, seu método de

resolução de problemas, que somos espectadores de seus conhecimentos. Isto através de

uma entrevista bem elaborada, direcionada pelo professor, mas com a efetiva participação

dos alunos. Quanto tempo de profissão? Qual a origem da sua profissão? Com quem

aprendeu o trabalho com as rodas da carroça? Quando? Se passou seu conhecimento a mais

alguém, quem? Se alguma vez deu problemas em alguma roda? Se é só este jeito de fazer o

contorno com o ferro ou tem outro, qual, etc.

Assistir então, todo o trabalho desenvolvido pelo ferreiro, anotando, fotografando e

observando cada passo realizado deste profissional, até a roda ficar pronta para ser

utilizada com segurança.

Aí então, se o ferreiro der abertura e demonstrar interesse para uma troca de

informações, é o momento que os alunos viram professores e desenvolvem o cálculo do

contorno da circunferência através da fórmula matemática, utilizando sempre as medidas

das rodas apresentadas pelo ferreiro. Então o ferreiro pode tranquilamente dar seu parecer

quanto as maneiras de resolução, analisando a melhor metodologia a utilizar. Os alunos

também podem fazer sua análise uma vez que agora já vivenciaram esta realidade. Faz-se

necessário então, um relatório conclusivo, sobre as metodologias utilizadas na fixação do

ferro nas rodas da carroça e os resultados obtidos.

Uma vez despertado o gosto e aguçada a curiosidade nos alunos e professores

envolvidos neste Projeto, faz-se necessário tanto sua continuação, quanto a colaboração

dos mesmos em prol do enriquecimento cultural e curricular do nosso foco de estudos: a

Etnomatemática.

24

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática - Elo entre as tradições e modernidade.

Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

BUENO, Monia Andréia Tomieiro. Código e Arte : A Etnomatemática dos Incas –

Departamento de Matemática – UNESP Rio Claro. Disponível em

htttp://www.klepsidra.net/etnomatematica.html. Acesso em 23/09/2009.

SCANDIUZZI, Pedro Paulo. Etnomatemática e as transformações necessárias na

educação. Disponível em http://www.ethnomath.org/resources/brazil/a-

etnomatematica.pdf. Acesso em 03/11/2009.

SCANDIUZZI, P.P.Etnomatemática entre as Marés da Educação Matemática no

contexto educacional de grupos étnicos não privilegiados. In: ENCONTRO

NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, fev 1998. Anais do VI Encontro

Nacional de Educação atemática. São Leopoldo. UNISINOS. 1998. p. 289-291.

D’AMBRÓSIO, Ubiratam. Diário na Escola - Santo André: Etnomatemática. Diário

do Grande ABC, 31 de outubro de 2003. Disponível em

http://etnomatematica.org/articulos/bolrtin.pdf. Acesso em 05/10/2009.

Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação

Matemática. Ano 9, nº 1. Reedição, 2002, p 41.

PESSIS – PASTERNAK, Guita. Será preciso queimar Descartes? Lisboa: Relógio

D’Agua, 1993.

MONTEIRO, Alexandrina. Algumas Reflexões sobre a Perspectiva Educacional da

Etnomatemática. Revista Zetetiké, 2004.Vol 12. nº 22, pág 20. Campinas, SP.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática: um programa. Revista da Sociedade

Brasileira de Educação Matemática. Ano 9, nº1. Reedição 2002. São Paulo.

IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. Pg 10-

28. Scipione. São Paulo, 1987.

REFERÊNCIAS CONSULTADAS:

AZEVEDO, A. A. A Formação de Técnicos Agropecuários em Alternância no Estado

de São Paulo: Uma Proposta Inovadora. Marília: Universidade Estadual Paulista. Tese

de Doutorado (Educação), 1998.

25

Ensino de Geometria e tecnologia: um estudo de caso desenvolvido na escola de nível médio. Disponível em http//:euler.matufrgs.br/~ vclotilde/orientações/EGEMJAN.pdf.

Acesso em 03/09/2009

MONTEIRO, Alexandrina. Algumas Reflexões sobre a Perspectiva Educacional da

Etnomatemática. Revista Zeteniké. Campinas, n 22, v. 12. São Paulo, 2004.

LORENZATO Vila, M. C. Século XXI: Qual matemática é recomendável? Revista

Zeteniké. Campinas, nº 1, p 41-49. São Paulo, 1993.

NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1987.

BARBOSA, Ane Mãe T. B. A Arte e Educação no Brasil. São Paulo: Perspectiva, 1978.

SILVA, Tomaz T. O que produz e o que reproduz em Educação. Porto Alegre: Artmed,

1992.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino

Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, 1999.

GRANDO, Neiva e MORETTI, Méricles. Da cubagem de madeira às possibilidades

de discussão em sala de aula. Revista Zeteniké. Campinas, n 26, v.14. São Paulo, 2006.

MIORIM, Maria Angela e VILELA, Denise Silva. História, Filosofia e Educação

Matemática. Alínea. São Paulo,2009.

Trabalho com Pedagogia da Alternância nas Casas Familiares Rurais. Disponível em

http://itsbrasil.org.br/pages/15/Pedagogia _da _Alternancia.pdf. Acesso 03/09/2009.