O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES PROBLEMAS QUE ENVOLVAM FUNÇÕES

Marlene Muzyka Oyarzabal Nunes 1

Reinaldo Francisco 2

Resumo: Este trabalho apresenta a necessidade em descobrir uma maneira mais

adequada, atraente e simples de ensinar e aprender matemática, trabalhando com a

metodologia resolução de problemas e suas aplicações com recursos

computacionais no cotidiano de alunos jovens e adultos, trazendo benefícios tanto

aos professores quanto aos alunos.

A preocupação da escola pauta-se na interação entre o conteúdo e as formas

de ensino, deste modo os pressupostos teóricos que sustentaram este estudo

encontram seus fundamentos no estabelecimento de uma relação dialética entre

teoria e prática, ou seja, entre o conhecimento matemático do aluno jovem, adulto e

idoso, para que seja aplicado no processo de produção e nas manifestações

teóricas metodológicas que estruturam o conhecimento cientifico da matemática.

Foram realizados estudos e pesquisas que resultaram em metodologias

possíveis de serem aplicadas nas escolas e que favoreçam o aprendizado de

funções na disciplina de matemática.

Com esta investigação ficou evidenciada a dificuldade que o professor tem em

sala de aula para aplicar a metodologia proposta e orientar os alunos para fazerem

análise e aplicação em resolução de problemas, isso demanda de bastante tempo e

outros fatores como os relacionados a empatia da população idosa em trabalhar

com o computador sendo que o principal objetivo deste trabalho foi a utilização de

recursos tecnológicos para facilitar a compreensão da resolução de problemas.

Palavras-chave: Resolução de funções; Metodologias; Situações problemas.

_____________________ 1 Professora do ensino fundamental e médio, Laranjeiras do Sul, PR,

e-mail: marlenemuzyka@seed.pr.gov.br 2 Professor do Departamento de Matemática, UNICENTRO, Guarapuava - PR.

e-mail: reinaldo@unicentro.br

2

Abstract: This paper presents the need to find a more suitable, attractive and simple way to teach and learn mathematics, working with problem solving methodology and their applications to computing resources in the daily lives of students and young adults, bringing benefits to both teachers and students. The concern of the school is based on the interaction between the content and forms of education, thus the theoretical assumptions that supported this study have their foundations in establishing a dialectical relationship between theory and practice, is between the mathematical knowledge of young, adult and elderly students, to be applied in the production process and in the theoretical methodological manifestations that structure the scientific knowledge of mathematics. Studies and researches were done, that resulted in methodologies that are possible to be implemented at schools and that encourage learning in the discipline of mathematical functions. With this research, the difficulty that the teacher have in the classroom to implement the proposed methodology and guide students to do analysis and application in solving problems was highlighted. This implementation requires a lot of time and depends on other factors such as the empathy of the elderly population to work with the computer. Ultimately, the main objective of this study was the use of technological resources to facilitate understanding of problem solving. Keywords: function resolution; Methodologies; Situations problems.

I. INTRODUÇÃO

As atividades apresentadas neste trabalho foram desenvolvidas na 1a série do

ensino médio, da Escola de Educação de Jovens e Adultos (EJA) contou-se,

também, com a colaboração de professores do Grupo de Trabalho em Rede GTR.

Um dos principais objetivos da matemática é o de resolver problemas,

aplicando os conhecimentos matemáticos adquiridos, pois é assim que os alunos

iniciam o pensar matemático. No entanto, a maior dificuldade dos alunos é entender

o enunciado dos problemas e efetuar cálculos que envolvam vários algoritmos, pois

não conseguem relacionar com facilidade os dados e buscar métodos adequados

para as resoluções.

A resolução de situações problemas dá mais trabalho ao professor, o qual

precisa interagir com os alunos, mas estes, com certeza sentem-se mais motivados

e desafiados a querer resolve-los, fazendo uso dos recursos disponíveis e propondo

soluções às questões.

3

Hoje, o que se busca são pessoas com criatividade, iniciativa e que saibam

resolver situações problemas do seu dia-a-dia, trabalhando sozinhos ou em grupos,

tomando decisões rápidas e precisas.

Resolvendo problemas, o educando, vê aplicações da matemática e não fica

apenas resolvendo, mecanicamente, algoritmos e regras, sem significados e que

não exigem qualquer estratégia e procedimentos, passando a ver a importância da

matemática no seu cotidiano. Dessa forma, a matemática é vista com mais

afetividade, pois os alunos participam ativamente da resolução e também na

elaboração, já que os problemas dos livros didáticos, nem sempre, são uma situação

problema e às vezes são muito fáceis ou difíceis demais.

Assim, o professor está usando, dos educandos, conhecimentos adquiridos em

suas vidas, já que se trata de jovens, adultos e idosos, dos quais, a maioria não tem

computador em casa, e sentem a necessidade de saber usá-los, por isso se sentem

motivados.

II. Fundamentação Teórica

Resolver problemas tem como objetivo desenvolver inúmeras habilidades entre

as quais, fazer com que o aluno aprenda conceitos, a transformar a linguagem usual

em linguagem matemática. Portanto, trata-se, de salientar e evidenciar os processos

de pensamento e de aprendizagem dos conteúdos matemáticos por parte do aluno.

Desse modo, o aluno expõe seus processos de pensamento, tornando-se

consciente do modo de utilizá-los em suas operações.

Uma das maiores dificuldades do ensino da matemática é fazer com que o

ensino tenha significado. O professor alcançará seus objetivos no momento em que

o aluno estiver resolvendo exercícios que tenham sentido. É dever do educador o

apoio e incentivo, para que o educando compreenda o processo de resolução e para

que possa exercitar sua capacidade mental refletindo sobre seu próprio processo de

pensamento, a fim de melhorar conscientemente.

Segundo DANTE, (2005, p.60)

Devemos mostrar ao aluno a necessidade de resolver problemas na vida

diária, o valor de enfrentar desafios que exigem grande esforço e

4

dedicação, mesmo que não os solucione corretamente, pois o ato de tentar

resolvê-los com empenho já é um grande aprendizado.

É papel do educador oferecer estímulo para que o aluno confie em si gerando

idéias produtivas, a fim de que explore e descubra novas estratégias de resolução,

como também preparar este aluno para solucionar outras situações que envolvam

conceitos matemáticos, não apenas na escola, mas também no seu cotidiano.

É importante que o aluno tenha tempo suficiente de ler e compreender, para

que elabore seu pensamento para a busca de soluções frente à situação problema

apresentada, criando suas próprias estratégias de resolução,

Esse tipo de exercício deve englobar tanto os conhecimentos que o aluno tem

quanto os novos que aprende diariamente na escola. Assim o ensino da Matemática

pode tornar-se atrativo, significativo e coerente com a realidade que o cerca. Torna-

se de extrema importância que antes da resolução, o professor faça uma avaliação

do grupo envolvido para obter informações precisas quanto aos seus conhecimentos

matemáticos e quais são suas vivências diárias.

Portanto, é relevante lembrar que trabalhar com diferentes situações é muito

importante, e é conveniente que os alunos tragam problemas interessantes,

formando um banco de problemas, assim eles podem ajudar a construir outros que

podem ser resolvidos em duplas, em grupos ou mesmo individualmente, jornais e

revistas podem ser utilizados para desenvolver este tipo de trabalho que ajuda os

alunos a compreender melhor como é o processo de construção e resolução dos

mesmos.

O uso de diferentes meios pra resolução de situações problemas, inclusive o

tecnológico, nos faz perceber a importância do uso de diferentes tecnologias no

nosso dia-a-dia. Usar o computador no ensino de matemática se configura na

atualidade como uma necessidade de se aproximar a realidade do contexto social,

no qual o educando está inserido.

As situações problemas, ao longo da história da humanidade, surgiram de

problemas, tanto relacionados a questões cotidianas, quanto a partir daquela

vinculados a outras ciências.

A resolução de problemas deve ser um momento de investigação, descoberta e

aprendizagem, os alunos sendo encorajados a analisar detalhadamente o texto,

relacionando os dados numéricos e os outros elementos que o constituem.

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Trabalhar com situações problemas é um desafio para os professores, porque

é necessário que seja bem escolhido, desafiador, fazer com que o aluno se sinta

convidado aprender

De acordo com Freire (1983, p.33)

O desenvolvimento de uma consciência crítica que permite ao homem

transformar a realidade se faz cada vez mais urgente. Na medida em que os

homens, dentro de sua sociedade, vão temporalizando os espaços

geográficos e vão fazendo história pela sua própria atividade criadora.

É função da escola ser facilitadora da aprendizagem oferecendo a estes

alunos, não somente os recursos tecnológicos, mas sim, o de trabalhar o raciocínio

lógico tornando-os capazes de escolher os meios apropriados, encontrar resultados

e verificar as respostas.

É um grande engano em achar que o conhecimento é puramente fruto de

experiências, ele também é oriundo de conhecimentos acadêmicos, fonte de

aprendizagem quando leva o aprendiz a executar suas idéias para que o levem a

uma reestruturação intelectual na resolução de situações problemas.

A resolução de problemas é uma metodologia na prática educativa da

matemática que merece atenção de todos os professores deve-se trabalhar o ano

inteiro, não ser uma atividade isolada, usando os conceitos matemáticos que estão

sendo desenvolvidos, não constituindo experiências repetitivas, os mesmos

problemas com outros números, mas sim problemas que envolvam os alunos,

levando-os a pensar neles e a querer resolvê-los.

Quando deixamos os alunos falarem de como estão resolvendo, podemos

perceber como estão pensando e assim orientar e a aprendizagem se realizará mais

facilmente e permitira uma maior troca de experiências entre os mesmos, ampliando

o vocabulário matemático e fazendo com que idéias e procedimentos sejam

compartilhados.

O cálculo mental e de grande importância, pois os alunos irão fazer uso dessa

estratégia, está ligado a aspectos da vida cotidiana, muitos o associam com cálculo

não-exato, mas há situações onde se requer uma resposta exata e a resolução de

problemas demanda de um domínio crescente de recursos de cálculo.

6

III. Metodologia

Ensinar matemática de uma maneira interessante, isto é, útil e atual o mais

próximo possível da realidade do aluno com a utilização de métodos que privilegiem

a participação ativa do educando na construção de sua aprendizagem, como a

Resolução de Problemas que podem contribuir para uma melhor compreensão de

conceitos e conteúdos matemáticos, é o grande desafio que nós educadores

encontramos.

Como afirma Diniz (2001, p. 92)

O mais importante é que os alunos estejam envolvidos ativamente em sua

aprendizagem, refletindo constantemente frente a cada novo desafio e

interferindo na forma e no ritmo da atividade.

Com isso, não levamos o aluno aos problemas tradicionais, onde todos os

dados aparecem no texto e a solução sempre existe e é única, onde ele resolve

mecanicamente, muitas vezes sem ter entendido o que fez.

Segundo Diniz (2001, p. 89)

Devemos considerar que a resolução de problemas trata de situações que

não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine

seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da

solução.

Com o desenvolvimento do senso crítico, da curiosidade e da confiança com

problemas atuais, do nosso dia-a-dia, ou trabalhar com algum fato histórico, mas

sempre buscando coisas diferentes para chamar a atenção dos alunos com clareza

de objetivos a serem alcançados e planejamento cuidadoso das atividades e do

encaminhamento dos questionamentos, desenvolvendo atividades, como trabalhar

em grupo, ter confiança em si, não desistir na primeira dificuldade, tendo assim,

uma aprendizagem real.

7

3.1 Resoluções de problemas

Neste trabalho foi encaminhada a resolução de situações problemas de acordo

com as etapas desenvolvidas por Polya em seu livro, "A Arte de Resolver

Problemas"; que são:

Compreender o problema;

Elaborar um plano;

Executar o plano;

Fazer a verificação.

Algum aluno pode ter mais facilidade e conseguir chegar ao resultado pulando

alguma etapa, mas o correto é seguir todas as fases, pois pode acontecer de o

estudante ficar fazendo cálculos sem ter compreendido o problema, sem ter feito um

plano e verificando cada passo.

3.1.1 Compreensão do problema

O aluno deve compreender o problema e querer resolvê-los, para isto o

problema deve ser bem escolhido, e o professor precisa tirar algum tempo para a

sua apresentação.

O estudante deve indicar a incógnita e os dados.

3.1.2 Elaborar um plano

Para termos um plano precisamos conhecer quais os cálculos ou desenhos

usar, precisamente, para encontrar a incógnita organizando os dados em tabelas e

vendo o que é pedido, muitas vezes chegamos a uma sentença matemática.

O professor pode propiciar discretamente, com indagações e sugestões alguma

idéia.

Para se ter uma boa idéia é necessário relembrar certos itens relevantes do

conhecimento matemático já adquirido, como problemas já resolvidos.

8

3.1.3 Executar o plano

Para executar o plano não se pode desanimar na primeira dificuldade. Isto

requer conhecimentos anteriores, assim o aluno deve verificar cada passo do plano

elaborado.

3.1.4 Fazer a verificação ou retrospecto

Nesta etapa, analisamos e fazemos a verificação do resultado obtido.

Os alunos contam como chegaram aos resultados, se a resposta está correta, e

se há outra maneira de se chegar ao resultado obtido.

Segundo Dante (2005, p. 52)

Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa do que

ensinar algoritmos e equações. A postura do professor ao ensinar um

algoritmo é, em geral, a de um orientador dando instruções, passo a passo,

de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o professor deve

funcionar como incentivador e moderador das idéias geradas pelos próprios

alunos.

Com clareza de objetivos a serem alcançados, com o planejamento cuidadoso

das atividades e com o encaminhamento dos questionamentos, desenvolvem-se

atitudes de como trabalhar em grupo, ter confiança em si, não desistir na primeira

dificuldade para adquirir uma aprendizagem real.

Nesta perspectiva, procura-se desenvolver uma metodologia de ensino que

não seja centralizada no professor, como detentor único do conhecimento a ser

transmitido, verificando qual a compreensão que os alunos possuem no seu

cotidiano para iniciar o estudo dos conceitos científicos.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos

(2006, p.39) "O educador deve perceber o que o educando sabe e o que precisa

saber, conhecendo-o no conjunto: profissão, religião, desejos, anseios,

características e ideologias, por meio do dialogo e da observação permanentes."

Esses estudantes possuem uma grande bagagem cultural e de conhecimentos

adquiridos, assim, é possível tratar do mesmo conteúdo de formas e em tempos

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diferenciados, tendo em vista as histórias de vida dos educados e acreditando na

capacidade de aprendizagem do adulto no seu ritmo.

São pessoas marcadas pela exclusão social, as quais exigem um

encaminhamento metodológico diferenciado.

O grande desafio que os educadores matemáticos encontram é tornar a

matemática interessante, útil e atual com a utilização de métodos que privilegiem a

participação ativa do educando na construção de sua aprendizagem, como a

resolução de problemas que podem contribuir para uma melhor compreensão de

conceitos e conteúdos matemáticos.

Ao definir situações problemas, Macedo (2002, p. 114) afirma:

As situações-problema caracterizam-se por recortes de um domínio

complexo, cuja realização implica mobilizar recursos, tomar decisões e

ativar esquemas. São fragmentos relacionados com nosso trabalho, nossa

interação com as pessoas, nossa realização de tarefas, nosso

enfrentamento de conflitos.

Trabalhar funções, a partir da resolução de problemas com visualização dos

resultados e gráficos, nos faz refletir sobre a importância de nossos educando

estarem em constante contato com diferentes recursos tecnológicos no seu dia-a-

dia, pois isso fará com que o aluno traga em sua bagagem, subsídios diferenciados

para a resolução e construção de situações problemas e outros exercícios

matemáticos. Sabe-se que hoje, praticamente, todos os educando, de uma forma ou

de outra, têm acesso à informática e seus recursos tecnológicos.

IV. Resultados e Discussões

4.1 Exemplos das atividades desenvolvidas

Resolva os problemas em seu caderno.

1 - Adaptado do livro didático, matemática (Projeto Araribá)

A festa de aniversário de João aconteceu na Brinquedolândia.

Os preços eram os seguintes, por convidado:

10

- Crianças abaixo de 3 anos Não pagam

- Crianças de 3 a 9 anos R$ 20,00

- Crianças com mais de 9 anos R$ 25,00

No final da festa, Matilde, mãe de João, recebeu a seguinte conta:

Convidados presentes: 74

Total a pagar: R$ 1325,00

Matilde quis conferir com sua lista de convidados, portanto pediu uma conta mais

detalhada, e recebeu a informação de que havia 14 crianças com menos de 3 anos.

a) Considerando as informações da casa de festas, quantas pessoas, com 3 anos ou

mais, foram à festa de Daniel?

Resposta: 60 crianças

b) Como ficaria a Conta detalhada? Complete a tabela abaixo, por tentativas.

N0 de convidados Total a pagar

Convidados abaixo de 3 anos 14 R$ 0

Convidados de 3 a 9 anos 35 R$ 700

Convidados com mais de 9 anos 25 R$ 625

Total 74 R$ 1325

Este problema pode ser resolvido por um sistema de equações.

-20x -20y = -1200 x + y = 60 20x +25y = 1325 x + 25 = 60

5y = 125 x=35 x = 35 y = 25

Responda as questões do problema anterior:

a) De um total de 74 convidados, 14 tinham menos de 3 anos, no máximo.

Quantas pessoas com mais de 3 anos compareceram à festa?

Das 74 pessoas presentes na festa, 14 têm menos de 3 anos. Então 60

convidados pagaram.

Considerando que não houve convidados com menos de 9 anos, temos 53

pessoas com mais de 9 anos.

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b) É possível resolver o problema da festa de Matilde tentando alguns valores

até chegar ao valor exato? Como você fez? (resposta pessoal)

c) No mês que vem é o aniversário de Mariana, irmã de João e Matilde quer fazer

uma estimativa do orçamento.

Como Mariana quer mais dois brinquedos na sua festa que custam R$

50,00(os dois) de aluguel, escreva a função que representa as faixas etárias:

Y = 20x + 50 crianças de 3 a 9 anos

Y = 25x + 50 crianças acima de 9 anos

d) Construa os gráficos que representam as duas funções, supondo que foi

5,10 e 15 crianças em cada caso. Utilize o software Geogebra (software

gratuito de matemática dinâmica) que está disponível em

http://www.geogebra.org/download/install.htm.

A) B)

X y X Y

5 150 5 175

10 250 10 300

15 350 15 425

Gráfico1: (A) y=20x+50 (B) y=25x+50

Durante a atividade os alunos usaram as etapas de resolução de problemas

descritos por Polya (2006, p. 4): Compreender o problema, elaborar um plano,

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executar o plano, fazer o retrospecto e verificar a resolução. Para compreender o

problema foram utilizadas as seguintes questões: Quais os dados do problema?

Você já resolveu algum problema semelhante? É possível construir uma tabela?

Alguns alunos foram tentando com o número de convidados: Primeiro

colocaram 30 de 3 a 9 e 30 mais de 9. 30 x 20 = 600, 30 x 25 = 750, passou 25,00,

então eles foram tentando até chegar 25 e 30. Outros pegaram o preço pago como

referência, R$600,00 e R$700,00, e foram fazendo tentativas até chegarem a

R$700,00 e R$625,00, depois foi só dividir para ter o número de crianças. Outros

perguntaram se havia outra maneira de resolver e acabaram resolvendo por

tentativa e erro.

Os alunos construíram os gráficos das funções no laboratório de informática da

escola, usando o software Geogebra. Quando questionados sobre o uso do

computador um dos alunos falou:

"Acho muito bom, não saber usar o computador significa ser um analfabeto do

século XXI."

2) (Enem 2009 – Adaptado)

Na cidade de Adriano e Ana haverá shows em um teatro. Pensando em todos o

teatro propôs pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria melhor para

si:

Pacote 1: taxa de 40 reais por show.

Pacote 2: taxa de 75 reais mais 10 reais por show.

a) Escreva as funções que expressam de forma geral as situações.

Pacote 1: y = 40x

Pacote 2: y = 75 + 10x

b) João escolheu o pacote 1, sabendo-se que haverá 5 shows no total, veja

quanto ele pagará se for a 1, 2, 3, 4 e 5 shows.

X Y

1 40

2 80

3 120

4 160

5 200

13

c) Ana escolheu o pacote 2, quanto ela pagará se for a 1,2,3,4 e 5 shows?

d) O que você observou do pacote 1 em relação ao pacote 2?

É mais vantagem o pacote 2 se eles forem a 3 ou mais shows.

e) Construa os gráficos que representam as duas funções, utilizando o software

Geogebra.

Gráfico 2: pacote 1 →y = 40x pacote 2 →y = 75 + 10x

Os alunos verificaram que existem regularidades na resolução e com a

construção da tabela puderam ver com mais clareza. Em um primeiro estágio, a

turma teve permissão para utilizar os recursos disponíveis, com seus planos

pessoais de resolver o problema. Eles puderam discutir as soluções obtidas e

observar as diferenças que encontraram.

Os dois gráficos foram construídos no mesmo plano cartesiano e os alunos

puderam observar o ponto de intersecção das retas, isto é, para dois shows e meio

eles pagariam o mesmo valor nos dois pacotes (R$100,00). O uso da tecnologia

melhorou a visualização da resposta.

X Y

1 85

2 95

3 105

4 115

5 125

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Superadas as dificuldades iniciais, resolveram uma lista de problemas

envolvendo funções de primeiro e segundo graus. Alguns alunos testaram outros

exemplos de funções. E quando questionados falaram:

"Tudo hoje se faz usando um computador, se não usamos temos várias

dificuldades".

3) (UFPR 2008 adaptado)

O supermercado Compre Bem decidiu fazer uma promoção reduzindo o preço do

leite. O gerente desse estabelecimento estima que, para cada R$ 0,01 de desconto

no preço do litro, será possível vender 30 litros de leite a mais que em um dia sem

promoção. Sabendo que, em um dia sem promoção, esse supermercado vende

2600 litros de leite ao preço de R$ 1,80 por litro.

a) Qual é o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em

um dia sem promoção?

V = 2600 x 1,80

V = 4680,00 reais.

Qual será o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em

um dia, se cada litro for vendido por R$ 1,40?

V = 1,40. (2600 + 20 x 30)

V = 1,40 x 3200

V = 4480,00 reais.

Observar que quando é dado um desconto de R$ 0,20, será possível vender 20 x

30 = 600 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Neste caso, será

possível vender 2600 + 600 = 3200 litros a R$1,40, e o valor arrecadado será de

3200 x1,40 = R$ 4480,00.

b) Qual é o preço do litro de leite que fornece a esse supermercado o maior

valor arrecadado possível? De quanto é esse valor arrecadado?

O valor arrecadado V(x) é função do desconto x dado por:

f(x) = (1,80-x).(2600+x.100.30)

f(x) = 4680+5400x-2600x-3000x2

f(x) = -3000x2+2800x+4680

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Como V é uma função quadrática com coeficiente negativo no termo de

ordem 2, então o valor máximo de V(x) é atingido no vértice da parábola

correspondente.

xv = -b / 2.a xv = -2800 / -6000 = 0,46

c) Utilizando o software Geogebra represente essa situação graficamente:

Gráfico 3: y= -3000 x2

+2800x+4680

d) O que significa o ponto A no gráfico acima?

O ponto A é o vértice, ou seja, o ápice da arrecadação. A partir de 0,46 reais

de desconto, o lucro passa a diminuir.

Quando o desconto for de 0,46 reais, o estabelecimento vai arrecadar

R$5333,17.

A maior dificuldade encontrada pelos alunos nesta atividade foi determinar a

equação f(x)=(1,80-x).(2600+x.100.30). Foi necessário que os alunos, incluindo os

P(ideal) = 1,80 - 0,46

P(ideal) = 1,34 reais.

L = 1,34 x (2600 + 46.30)

L = 5333,20 reais.

16

que não obtiveram nenhuma resposta ou chegaram a uma conclusão errada,

refizessem o percurso de resolução, refletindo em como iniciaram o problema. É

importante ficar claro que, durante o processo, não é errado tentar um método de

resolução e ele não funcionar. Nesse caso, é preciso pensar por que deu errado e

achar um novo meio de resolvê-lo.

4) (UFJF – MG, adaptado) Um veneno foi ministrado a uma população de ratos para

testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em

semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por f(t) = - 5t2 + 10 t + 50.

a) Determine o intervalo de tempo em que a população de ratos ainda cresce.

xv = -b / 2. a xv = -10 / -10= 1 S = [0,1[

b) Na ação do veneno, existe algum momento em que a população de ratos é

igual à população inicial? Quando?

-5(0)2+10.0+50 = -5t2+10t+50 50 = -5t2+10t+50

-5t2+10t = 0 5t (-t+2) = 0 t = 0 -t + 2 = 0

t = 2 (duas semanas)

c) Entre quais semanas os roedores seriam exterminados? Construa o gráfico:

A população é igual a zero.

f(t) = 0 -5t2+10 t+50 = 0 Δ = 100+1000 = 1100

t = -10 + (-33,16 / -10) t’ = -10+(33,16 / -10) t’ = -2,31

t” = -10 – (33,16 / -10) t” = 4,31 entre 4 e 5 semanas.

d) Construa o gráfico que representa a função acima usando o software

Geogebra:

Gráfico 4: y = -5t

2+10t+50

17

e) Analise o gráfico anterior:

A população inicial é de 50 ratos. Após duas semanas, a população será

novamente de 50 ratos.

Entre 4 e 5 semanas os roedores serão eliminados.

O gráfico é analisado somente no primeiro quadrante, pois não se considera

tempo ou população negativos.

O problema apresentou maior dificuldade de compreensão e resolução, no

momento de relacionar as variáveis da questão proposta. Houve a necessidade da

intervenção do professor para o entendimento inicial, o qual foi fundamental. O

problema acima requereu dos alunos uma análise das informações apresentadas

tanto através de textos quanto gráficos.

Nesse primeiro momento, foi necessário traçar um plano, para que o enunciado

do problema fosse compreendido pelos alunos. Alguns reescreveram o enunciado

com suas próprias palavras. Porém foi preciso rever alguns conceitos matemáticos

anteriores e problemas, já realizados.

O gráfico, também, foi construído utilizando-se o software Geogebra, nas

primeiras atividades os alunos exploraram os recursos básicos do programa e

devido à rapidez com que os gráficos foram feitos tiveram mais tempo para

interpretar, criar estratégias e experimentações para sua resolução.

4.2 Resultados obtidos com avaliação diagnostica

Os seguintes testes foram realizados com 33 alunos, o trabalho envolveu duas

turmas, com idade entre 22 e 53 anos.

Primeira questão:

Letra A: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações

de adição e multiplicação. 60% acertaram a questão no pré-teste e 75%

acertaram no pós-teste.

Letra B: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações

de subtração. No pré-teste 58% dos alunos acertaram e no pós-teste 75%.

Letra C: Verificar se os alunos interpretam problemas e raciocinam

matematicamente. No pré-teste 32% acertaram e no pós-teste 60%

acertaram.

18

Segunda questão:

Letra A: Avaliar a compreensão do conceito de função através de problemas

físicos. No pré-teste 78% dos alunos responderam corretamente. No pós-

teste, 90% acertaram.

Letra B: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações de

adição. No pré-teste 46% acertaram e no pós-teste 80% acertaram.

Letra C: Verificar se os alunos interpretam problemas e efetuam operações de

adição. No pré-teste 36% acertaram e no pós-teste 75% acertaram.

Letra D: Checar se os alunos traduzem para a linguagem matemática

problemas que envolvem funções de primeiro grau. No pré-teste 43%

acertaram e no pós-teste 83% acertaram.

0

20

40

60

80

100

Letra A Letra B Letra C Letra D

% de acert os

Resultados da questão 2

Pré-teste Pós-teste

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Letra A Letra B Letra C

% de acert os

Resultados da questão 1

Pré-teste Pós-teste

19

Terceira questão:

Verificar se os alunos resolvem operações básicas com números inteiros. No

pré-teste, 71% acertaram a letra A e 95% a B. No pós-teste, 53% acertaram a letra A

e 87% a B.

Quarta questão:

Constatar se a turma sabe encontrar o valor desconhecido numa equação do

primeiro grau. No pré-teste, 57% acertaram a letra A e 53% a letra B. No pós-teste,

88% acertaram a letra A e 85% a B.

0

20

40

60

80

100

Letra A Letra B

% de acert os

Resultados da questão 4

Pré-teste Pós-teste

0

20

40

60

80

100

Letra A Letra B

% de acert os

Resultados da questão 3

Pro-teste Pós-teste

20

Quinta questão:

Verificar se os alunos sabem localizar pontos em um referencial cartesiano. No

pré-teste, 21% dos alunos realizaram a tarefa corretamente e no pós-teste 78%.

4.3 Professores que participaram do GTR

O Grupo de Trabalho em Rede - GTR, é uma das ações do programa de

Desenvolvimento Educacional - PDE, e tem proporcionado a socialização, a

discussão e a interação dos Professores PDE com a rede.

Neste tópico são transcritos alguns depoimentos dos professores de diversas

regiões do Paraná,.

"Pude trocar experiências com colegas com realidades diferentes, ter novas

idéias a partir disso."

"Os objetivos foram claramente alcançados, com o decorrer do curso fizemos

uma análise da resolução de problemas de matemática com o uso das novas

tecnologias, as discussões contribuíram para nosso trabalho docente, uma vez que

refletimos sobre nossas práticas e descobrimos novas formas de abordagem de

conteúdo. É perfeitamente possível a aplicação desse projeto em minha escola uma

vez que a mesma possui laboratório de informática e professores capacitados."

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Letra A

% de acert os

Resultados da questão 5

Pré-teste Pós-teste

21

"Sem dúvida alguma os objetivos almejados foram alcançados, é muito bom

para nós professores participar de um curso assim, o nosso trabalho é árduo, e

precisamos de força para encará-lo e quando ouvimos outros professores, novas

idéias surgem em nossa mente e de fato um começar de novo vem a tona em

nossas aulas.

"Não tem como dizer que o projeto não vai contribuir para minha escola, o que

nossos alunos precisam é justamente de aulas assim, sempre inovadoras, sempre

levadas para a realidade deles, e a realidade hoje sem dúvida é a informática."

V. Considerações finais

Diariamente os alunos questionam os professores onde usarão determinados

conteúdos e assuntos, especialmente, quando estes, passam a ser trabalhados de

forma abstrata. Nesse sentido, professores se preocupam com o ensino da

matemática, o qual deve contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico do

aluno, para que este possa resolver situações problemas que perpassam seu dia-a-

-dia, aprendendo essa matéria de uma forma dinâmica e contextualizada. Nossa

proposta é fazer uma integração dos assuntos abordados em sala de aula com a

sua aplicação na vida social.

O uso do computador no ensino da matemática se configura na atualidade

como uma necessidade de trazer para esta, a realidade do contexto social, no qual o

aluno está inserido. Um dos fatores de mudanças educacionais tem sido a

disponibilidade de recursos tecnológicos nas escolas, por essa razão o ensino de

funções pode ser trabalhado através de resoluções de problemas, facilitando o

aprendizado das mesmas para o aluno. O uso do computador permite relacionar as

descobertas empíricas com as representações matemáticas algébricas.

Enfim, estas problemáticas constatadas e levantadas no estabelecimento

escolar suscitaram a seguinte questão: O computador pode ser utilizado como

instrumento para lutar contra o fracasso escolar, motivando os alunos e facilitando a

resolução de problemas no aprendizado de funções.

22

Portanto, reafirma-se a necessidade das situações problemas fazerem parte da

rotina das aulas de Matemática, bem como há a necessidade de que os professores

conheçam o método de resolução de situações problemas e os recursos que podem

utilizar juntamente com seus alunos para construir e resolver diferentes conteúdos

matemáticos. Lembrando que hoje, a informática é uma grande aliada nestas

situações.

Confirmou-se nesta investigação a dificuldade que encontramos para trabalhar

em sala de aula devido ao tempo reduzido para que alunos façam análises em cima

de um problema proposto, existe uma grande empatia da população idosa em

trabalhar com o computador sendo que o principal objetivo deste trabalho foi à

utilização de recursos tecnológicos para facilitar a compreensão na resolução de

problemas.

VI. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de problemas de matemática. 1ª a

5ª séries. Para estudantes do curso Magistério e professores do 1º grau. 12ª ed. São

Paulo: Ática, 2003.

FREIRE, Paulo. Educação e Mudança, Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1983.

MACEDO, L. de Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento

de competências e aprendizagem escolar. In: PERRENOUD, P. et al. As

competências para ensinar no século XXI: a formação dos professores e o

desafio da avaliação. Porto Alegre: Artmed Editora, 2002.

NUNÊZ, Isauro Beltrán. RAMALHO, Betânia Leite (Orgs.). O uso de situações-

problema no ensino de ciências. In: Fundamentos do ensino-aprendizagem das

Ciências Naturais e da Matemática: O novo Ensino Médio. Porto Alegre: Sulina,

2004.

SMOLE ,Kátia Stocco e DINIZ, Maria Ignez, Ler, escrever e resolver problemas.

Habilidades para aprender matemática. Porto alegre: Artmed, 2001.

23

PARANÁ, Secretaria de estado Educação. Diretrizes Curriculares da Educação

de jovens e adultos no Estado do Paraná - DCE 2006

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Primeira reimpressão. Tradução e

adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de janeiro: Interciências, 1986.

24

ANEXO I

Escola de Educação de Jovens e Adultos (EJA)

Pré-Teste e Pós-Teste:

1) Em uma relojoaria, cada vendedor recebe R$ 60,00 por semana e mais comissão

de R$ 15,00 por relógio que vender. Em uma semana Bruno vendeu 6 relógios e

Ana vendeu 3. Calcule e responda:

a) Quanto Bruno recebeu nesta semana? E Ana?

b) Quanto Bruno recebeu a mais que Ana?

c) Se Bruno vendeu o dobro que Ana, por que ele não recebeu o dobro?

Explique com suas palavras o que aconteceu.

2) Uma panela com certa quantidade de água a 10 graus é posta sobre um tripé. Em

seguida é aquecida a água. De dois em dois minutos, alguém, mede a temperatura

da água e anota o resultado em uma tabela:

Tempo (minutos) Temperatura (graus)

0 10

2 14

4 18

6 22

8 26

a) É correto afirmar que a temperatura da água varia em função do tempo? Por quê?

b) Continuando da mesma maneira, qual será a temperatura da água aos 12 minutos de aquecimento?

c) Quanto à temperatura da água está aumentando por minuto? d) Marque a equação da função que relaciona a temperatura T ao tempo de

aquecimento. I) y=10+2x III) y=2+10x II) y= 1+10x IV) y= 10+1x

3) Calcule o valor de cada uma das expressões abaixo:

a) 2 x ( -3) = b) (-18) ÷ (-3) =

4) Encontre o valor desconhecido nas equações:

a) x + 5 = 12 b) x – 3 = 8

5) Desenhe o Referencial Cartesiano x e y e localize os pontos A(-1;2), B(4;0),

C(0;3), D(2;3) no referencial cartesiano.