DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · como forma de expressão do pensamento matemático. 4 ... Na...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA

Alto ParanáAgosto - 2010

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL - PDE

2

SUMÁRIO

1 IDENTIFICAÇÃO..................................................................................................... 2

2 TÍTULO..................................................................................................................... 2

3 APRESENTAÇÃO................................................................................................... 2

4 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 4

5 FICHAS DE TRABALHO......................................................................................... 6

5.1 FICHA 1: Linguagem, matemática e simbologia............................................... 6

5.2 FICHA 2: Convenções...................................................................................... 9

5.3 FICHA 3: Um pouco mais de linguagem algébrica......................................... 11

5.4 FICHA 4: Problemas de generalização........................................................... 14

5.5 FICHA 5: Produzindo significados para expressões algébricas..................... 19

5.6 FICHA 6: Equivalência.................................................................................... 23

5.7 FICHA 7: Fichas de números inteiros............................................................. 26

5.8 FICHA 8: Equação do 1º Grau com fichas...................................................... 30

5.9 FICHA 9: Equações com incógnitas nos dois membros................................. 35

5.10 FICHA 10: Pense em um número................................................................. 41

5.11 FICHA 11: Utilizando operação inversa........................................................ 43

5.12 FICHA 12: Resolvendo problemas................................................................ 46

5.13 FICHA 13: Usando parênteses, balanças e incógnitas nos dois membros.. 52

REFERÊNCIAS......................................................................................................... 55

3

1 IDENTIFICAÇÃO

ÁREA: Matemática

PROFESSORA PDE: Cláudia Regina Batistela Gimenes

NRE: Paranavaí

PROFESSORA ORIENTADORA: Tânia Marli Rocha Garcia

IES VINCULADA: UEM / FAFIPA - Paranavaí

ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: Escola Estadual Agostinho Stefanello – EF - Alto

Paraná

PÚBLICO: Alunos da 6ª série (7º ano)

2 TÍTULO

Produzindo Significados para a Equação do 1º. Grau a partir de Resolução de

Problemas

3 APRESENTAÇÃO

Há muito tempo o ensino de álgebra vem sendo desenvolvido de forma

técnica e mecanizado, com ênfase na representação simbólica em detrimento do

desenvolvimento do pensamento algébrico, de modo que os alunos apresentam

muitas dificuldades na aprendizagem dos conceitos algébricos, especialmente de

Equações do 1º Grau. Investigando a questão, observa-se que a maior parte dos

alunos não consegue produzir significado para os símbolos e para a linguagem

algébrica que se estuda na escola.

Isso nos leva a crer que a superação dessas dificuldades envolve, entre

outras coisas, a necessidade de aproximar a linguagem algébrica escolar de outras

linguagens simbólicas do convívio dos alunos, para que possam compreendê-la

como forma de expressão do pensamento matemático.

4

Para isso propomos esta Unidade Didática como referência para o trabalho

em sala de aula no ensino do conteúdo de Equações do 1º Grau, na 6ª série (7º ano)

do Ensino Fundamental. O material tem por princípio o desenvolvimento de tarefas

numa perspectiva de resolução de problemas, em que o aluno é desafiado a buscar

uma solução para o problema, discutirem com seus colegas, e com a ajuda do

professor, confrontar sua estratégia com os conceitos e métodos formais da

matemática.

A Unidade Didática está estruturada em forma de fichas, que contém tarefas

direcionadas para favorecer a participação ativa dos alunos, com a intenção de

estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico, por meio da construção de

significados. A intenção é que o aluno possa desenvolver gradativamente o

pensamento algébrico, de forma a permitir a apropriação da linguagem matemática,

a interpretação e comunicação de significados.

As atividades algébricas estão representadas por modelos que capturam e

descrevem fenômenos reais, generalizando-os, e explicitando simbolicamente as

relações, para que o aluno possa construir seus significados a partir das relações

que estabelece entre os conceitos e os recursos que utilizamos para construí-los,

culminando na incorporação de uma visão da álgebra como ferramenta de abstração

e generalização na resolução de problemas envolvendo Equação do 1º Grau.

Cada ficha contém também, uma sugestão de encaminhamento metodológico

para orientação na realização das tarefas.

5

4 INTRODUÇÃO

Ao longo do tempo, diversas concepções nortearam o ensino de álgebra,

mas no contexto escolar prevalece a ideia de que os conceitos algébricos devem ser

ensinados basicamente como instrumentação para capacitar o aluno a fazer

manipulações algébricas, principalmente para resolver problemas com equações. Na

prática, isso se traduz em um ensino de álgebra desenvolvido de forma técnica e

mecanizada, com ênfase na representação simbólica em detrimento do

desenvolvimento do pensamento algébrico, o que tem causado muitas dificuldades

no processo de aprendizagem.

A experiência em sala de aula nos mostra que os problemas com a

aprendizagem de Matemática se intensificam a partir da 6ª série, especialmente

quando os alunos se deparam com as equações e com a passagem da linguagem

aritmética para a linguagem algébrica. Os alunos afirmam que a álgebra é muito

abstrata e não percebem relação entre os conceitos que aprendem na escola e o

que se vive fora dela, e os professores encontram dificuldades em tornar essa

matemática familiar aos alunos, o que causa enorme frustração a todos.

Para Lins (1999), o aspecto central de toda aprendizagem está na produção

de significado, aqui entendido como o que um sujeito afirma sobre um objeto numa

determinada situação. Para Lins e Gimenez (1997 p. 137),

[...] a álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, e igualdades e desigualdades [e a] atividade algébrica consiste na produção de significados para a álgebra.

Partindo desse princípio, entendemos que os educadores precisam assumir

uma atitude de intervenção que possibilite aos alunos construir significados para as

atividades algébricas através de situações que são familiares, sejam elas do

contexto social, da própria Matemática ou de outras ciências, tornando o

aprendizado mais produtivo.

Para isso é importante que o professor priorize atividades de observação de

regularidade de ocorrência dos fenômenos e de generalizações incluindo a

compreensão dos conceitos algébricos como variáveis, incógnitas, expressão,

função, equação, construção e análise de representações de situações.

O uso de práticas pedagógicas como a Resolução de Problemas são

6

igualmente importantes para que o aluno possa compreender os argumentos

matemáticos e vê-los como um conhecimento passível de ser aprendido

(SCHOENFELD, 1997, apud PARANÁ, 2008).

A resolução de problemas é o início da atividade matemática em que o aluno

é estimulado a levantar hipóteses, elaborar estratégias de resolução, organizar o

raciocínio, utilizar conceitos aprendidos e também a elaborar novos conceitos.

Acreditando que o processo de aprendizagem em matemática se concretiza

na medida em que os alunos produzem e enunciam significados para os conceitos

matemáticos, propomos este material didático organizado em fichas com tarefas em

que os alunos poderão explorar situações diversas que os estimulem a pensar, se

expressar algebricamente e produzir significados para os conceitos abstratos

presentes na resolução de Equações do 1º. Grau.

7

5 FICHAS DE TRABALHO

5.1 - FICHA 1 : Linguagem, matemática e sim bologia

Sugestões para o encaminhamento metodológico

Ao iniciar os exercícios da Ficha 1 seria interessante que os alunos

estivessem dispostos em duplas ou trios, conforme a quantidade de alunos em sala.

Eles poderão assistir a um vídeo com pessoas falando vários idiomas. Neste mesmo

vídeo (slides ou mesmo cartazes), mostrar salas de aula realizando atividades

algébricas, para perceberem a universalidade da Matemática e que os símbolos são

entendidos independentemente da língua.

Para a visualização das figuras da tarefa 1, o professor poderá utilizar a TV e

o pendrive com as figuras gravadas, ir mostrando uma a uma e os alunos poderão

identificá-las coletivamente.

As tarefas 2, 3 e 4 identificam princípios que regem transformações, com o

objetivo de introduzir a representação simplificada de objetos do mundo real.

Com o objetivo de introduzir a incógnita de maneira lúdica, a tarefa 5

apresenta símbolos e números juntos.

Tarefa 1

Você já ouviu uma pessoa falar uma língua estrangeira? Provavelmente você

não entendeu nada, ou quase nada. Mas ao vermos algumas figuras, geralmente

sabemos o que elas representam, porque fazem parte de uma linguagem simbólica

que se tornou universal. É o caso dos símbolos matemáticos do Sistema de

Numeração Hindu-Arábico, que são reconhecidos em quase todos os países.

Observe os símbolos e tente descobrir o que eles representam:

8

Fonte: Arquivos da autora

Tarefa 2

Você já viu um aparelho de raios-X dos aeroportos? Uma mala passa por ele

e vemos com mais nitidez a parte metálica. As imagens de outros objetos que

estejam no interior da mala, são vistas esmaecidas.

Passando os seguintes objetos, como você acha que ficaria a visualização?

caneta relógio agenda

pente escova de dente livro

Tarefa 3

Em um programa de computador todos os objetos que passam por ele são

representados somente pela primeira letra. Então, como ficaria a representação dos

objetos da tarefa anterior?

9

Tarefa 4

A professora Silvana faz desenhos de pessoas nos problemas de desafios, com

riqueza de detalhes. A maioria dos alunos não consegue desenhá-los iguais ao da

professora, por isso faz uma representação simplificada dos personagens. Então,

quem não consegue desenhar, a professora deixa representar por símbolos ou

letras, por exemplo, um coelho (c). Desse modo, como estes alunos representariam:

Dois elefantes:

três jacarés:

quatro baleias:

um pássaro e dois filhotes:

um casal de pinguins:

dois leões e cinco girafas:

Tarefa 5

O sol e o naipe de paus estão ocupando o lugar de dois números diferentes nesta

operação em que figuras iguais têm o mesmo valor. Descubra o valor de cada

símbolo para que a adição fique correta.

☼ 8 1 + ♣ ☼ 3 5 3 5 1 8 0 ☼

10

5.2 - Ficha 2: Convenções


Na tarefa 1 os alunos devem fazer suas construções como quiserem,

provavelmente surgirá a dúvida sobre triângulo isósceles e equilátero, que poderá

ser esclarecida com a ajuda do professor.

No retângulo da tarefa 2, o lado maior é o dobro do lado menor.

Representando o lado com um palito de fósforo por F(ou qualquer outra letra,

geralmente usa-se x), o lado com dois palitos de fósforos poderia ser representado

por 2 vezes F, que é o dobro do lado menor. Para chegar a esta representação pode

ser necessário a intervenção do professor, que também deve falar sobre as

convenções no estudo da álgebra.

Na álgebra podemos usar todas as letras do alfabeto, maiúsculas e

minúsculas. Se fosse escolhida a letra x para representar um palito de fósforo, o

lado maior seria representado por 2 vezes x. Para não confundirmos o sinal da

multiplicação com a incógnita x em (2 vezes x) = 2xx, podemos representar a

indicação por 2.x ou simplesmente suprimir o sinal da multiplicação, 2x.

A supressão do sinal da multiplicação não se aplica a expressões aritméticas.

Para escrevermos, 2 vezes 7, escrevemos 2 x 7 ou 2.7, pois com a supressão do

sinal teremos o numeral vinte e sete (27).

Ao multiplicarmos 1 . 5 = 5; 1 . 8 = 8, 1 . 20 = 20, os resultados são os

próprios números. Em representações algébricas, 1 . x = 1x; 1 . a = 1 a, 1 . t = 1t.

Quando multiplicamos um número por uma letra, o resultado será a própria letra,

não sendo necessário escrevê-lo. Então, a letra sozinha em álgebra significa que

está sendo multiplicada pelo número um.

Ao multiplicarmos 5 . 4 = 4 . 5 e 5 . x = 5x, então quando ocorrer a . 4 ,

posso escrever 4a, pois a . 4 = 4 . a = 4a .

Voltando ao perímetro do retângulo de lado menor representado por F e lado

maior representado do 2F, temos: P = 2F + F + 2F + F . Só que essa expressão

pode ser simplificada em P= 6F.

A tarefa 3 tem como objetivo a familiarização com os símbolos e o contato

com sentenças abertas. Segundo Ribeiro (2005), esse aprendizado faz parte de um

processo que segue até ao final do Ensino Médio, quando as funções da álgebra

11

vão sendo incorporadas. Com o passar dos anos, o aluno deve ter a oportunidade

de entender que x, y ou qualquer letra é só representação do pensamento algébrico.

A maior dificuldade dos alunos é justamente interpretar esses símbolos. Diante de

uma expressão do tipo 3a + 5b, elas tendem a responder 8ab, já que essa é a lógica

da adição aprendida na aritmética. Uma forma de evitar isso é propor atividades de

ajudem os alunos a se familiarizar com as representações, como símbolos e letras.

Tarefa 1

Usando palitos de fósforo e palitos de sorvete, construa e desenhe:

a) um triângulo equilátero, com palitos de fósforo, representado a soma desses

palitos.

b) um triângulo isósceles, com palitos de fósforo e palitos de sorvete, representando

a soma dos palitos.

c) um triângulo equilátero, tendo como comprimento do lado um palito de sorvete e

dois de fósforo, representando a soma dos palitos.

(Atividade adaptada de SILVA, 2006)

O que acabamos de fazer foi encontrar o perímetro algébrico dos triângulos.

Agora vamos encontrar o perímetro algébrico de retângulos.

Tarefa 2

Construa um retângulo com seis palitos de fósforos. Neste retângulo o lado maior é

o dobro do lado menor. Representando o lado que tem um palito de fósforo por F (ou

qualquer outra letra, geralmente usa-se x), expresse o perímetro desse retângulo.

Tarefa 3

Usando palitos de fósforo e de sorvete, construa e expresse o perímetro de cada

retângulo de maneira mais simples possível:

a) oito palitos de fósforo

b) dois palitos de sorvete e dois de fósforo

c) dois palitos de sorvete e quatro de fósforo

d) quatro palitos de sorvete

12

5.3 - FICHA 3: Um pouco mais de linguagem algébrica

Na tentativa de diminuir as dificuldades para dos alunos no que se refere à

percepção, à analise e à abstração das regularidades implícitas nos padrões

geométricos e aritméticos, apresentaremos atividades para representá-las por meio

da linguagem algébrica simbólica, de forma generalizada a partir de indução.

Explorando diferentes linguagens matemáticas (habitual, aritmética, geométrica e

algébrica), favorecerá a ampliação das linguagens, substituindo gradativamente a

linguagem corrente pelo vocabulário simbólico e, consequentemente apropriando

conceitos abstratos.

Tarefa 1

Disponha os alunos em duplas ou trios, dependendo da quantidade de

alunos, e anuncie a realização de um novo jogo.

Entregue para cada dupla ou trio uma tira de papel com uma expressão

algébrica, como por exemplo: Indique o triplo do número, Indique o triplo do número

mais um, Indique o sucessor do número, Indique o antecessor..., e outras sentenças

desse tipo.

Entregue a tira secretamente a um dos alunos da dupla ou trio: a frase deverá

ser adivinhada pelo (s) outro(s) colega(s).

O aluno da dupla que ficou sem a tira fala um número qualquer e o outro

aluno que está com a frase executa com este número a operação que a sua frase

indica, dizendo ao colega somente o resultado que obteve. Isso deve ser repetido

até que o aluno que diz o número descubra a regra escrita na frase, usando

símbolos matemáticos.

Após a descoberta, as tiras devem ser trocadas com outras duplas ou trios,

de modo que todos trabalhem com todas as tiras. (Atividade baseada em PARANÁ,

1998)

Tarefa 2: Jogo da linguagem algébrica

A tarefa 2 deve ser trabalhada em dois grupos, promovendo uma competição,

13

usando cartelas com expressões algébricas escritas por extenso em um grupo, e no

outro grupo, cartelas com as mesmas expressões escrita na linguagem simbólica

matemática.

CARTELAS

Soma de um número com seis x + 6Dobro de um número mais três 2x + 3O dobro da soma de um número com três 2(x + 3)Metade de um número menos três x/2 - 3

A quarta parte da soma de um número com doisx + 2

4

Diferença entre um número e sua quarta partex – x

4O triplo da soma de um número com quatro 3(x + 4)O quádruplo da soma de um número com nove 4(x + 9)Diferença entre 100 e um número 100 - xDobro da soma de cinco com um número 2( 5 + x)Quatro vezes a soma de 7 com um número 4(7 + x)A metade da diferença entre o quíntuplo de um

número e dez

5x – 102

0 quádruplo de um número 4xUm número diminuído de sete 7 – xSoma de um número com seu dobro x +2xSoma de um número com seu triplo x + 3xO triplo de um número subtraído de quatro 4 – 3x

Metade da soma de um número com novex + 9

2A soma do antecessor de um número com oito (x – 1) + 8A soma do sucessor de um número com oito (x + 1) + 8O dobro do sucessor de um número 2(x + 1)O triplo do antecessor de um número 3(x – 1)

Como jogar:

- Separar a turma em duas equipes

- Colocar no centro da sala todas as cartelas com as expressões escrita na

linguagem simbólica matemática, viradas para baixo.

14

- Cada equipe escolhe um integrante para participar de cada rodada, de modo que

todos participem pelo menos uma vez.

- A rodada consiste em localizar, o mais rápido possível, a cartela correspondente à

cartela com a expressão escrita por extenso que o professor irá apresentar.

- Vence o grupo que encontrar mais vezes as cartelas corretas.

- Cartela apresentada pelo professor.

Tarefa 3

A tarefa 3 tem como objetivo unir a linguagem simbólica e a simplificação da

expressão algébrica, podendo ser realizada de forma lúdica e dramatizada em dois

grupos, a qual um dos grupos descobre a ficha da escrita em linguagem simbólica e

o segundo grupo relaciona com as fichas das expressões simplificadas.

Problema

Douglas, Paulo e Jéssica possuem, cada um, certa quantia em dinheiro. A

diferença entre as quantias de Douglas e Paulo é de R$ 7,00 e de Paulo e Jéssica

também é R$ 7,00. Douglas é quem possui a maior quantia e Jéssica, a menor.

Sabendo que x indica a quantia em dinheiro de Paulo, relacione cada frase a uma

expressão correspondente.

(A) Quantia de Douglas

(B) Quantia de Paulo

(C) Quantia de Jéssica

(D) Soma das três quantias

(E) Dobro da quantia de Douglas

(F) Dobro da quantia de Jéssica

( ) x – 7 ( ) x ( ) 2x – 14 ( ) 2x + 14 ( ) x + 7 ( ) 3x

(Adaptada de CAVALCANTI e outros, p. 140, 2006)

15

5.4 - Ficha 4: Problemas de Generalização


Estas tarefas têm como objetivo desenvolver o pensamento algébrico,

representando simbolicamente este raciocínio, levando à crescente generalização e

abstração. Também criar habilidade em sistematizar dados em tabelas, tendo em

vista a falta de domínio em cálculos que envolvam multiplicação.

Para a tarefa 1, é interessante apresentar o enunciado, deixar os alunos

construírem e somente depois apresentar o item a, e após montarem a tabela,

apresentar o item b. A tarefa 2 apresenta ideia similar.

As tarefas 3 e 4 devem ser realizadas em duplas. Se não houver a

disponibilidade de usar o laboratório de informática e alguém para fazer a

programação, poderá ser realizada em folhas impressas, descobrindo a regra para

se chegar ao número da 2ª coluna, usando a linguagem oral, escrita e simbólica.

Estas tarefas têm como objetivo obter a expressão em função do número da 1ª

coluna. É muito importante relacionar as frases a uma representação gráfica.

O objetivo da tarefa 5 é a escrita simbólica das sentenças, que pode ser feita

individualmente ou mesmo em duplas.

Outras situações podem complementar este trabalho, contemplando

geometria plana, com o objetivo colocar de forma desafiadora e exploradora uma

situação-problema de generalização. Uma excelente sugestão é Um problema:

resolução e exploração, de LILIAN NASSER. In: HELLMEISTER, Ana Catarina

(Org.). Explorando o Ensino – Matemática – Atividades. Vol.2. Brasília, 2004.

Ainda poderão ser acrescentadas tarefas relativas às formas espaciais, onde

possam manusear pirâmides e prismas, para perceberem regularidades entre o

número de lados da base, faces, vértices e arestas e chegar a formas generalizadas.

Tarefa 1

Construa e desenhe uma sequência de pentágonos de modo que o primeiro

tenha um palito de lado, o segundo dois palitos de lado, o terceiro três palitos de

16

lado e assim por diante.

a) Monte uma tabela que relacione “lado do pentágono” com o “número de palitos”

necessários para construir o pentágono.

b) Quantos palitos são necessários para construir um pentágono de 10 palitos de

lado? E de 19 palitos? E de uma quantidade muito grande de palitos (que não dá

para contar)?

(Adaptada de SILVA, 2006)

Tarefa 2

Observe a sequência e complete a tabela:

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

(1) (2) (3)

Figura N° de pontos 1 3 2 6 3 9 4 5 n

Observe a sequência e responda:

*

* *

* * *

* * * * * * * * *

(1) (2) (3)

a) Acrescente as duas figuras seguintes.

b) Descubra quantos pontos tem a 7ª figura.

17

c) E a 10ª figura, quantos pontos têm?

d) Construa a tabela, colocando figura na primeira coluna e número de pontos na

segunda coluna e descubra a expressão para n pontos.

Tarefa 3

Paulo entrou numa planilha do Excel, na qual digitava um número na primeira

coluna, e aparecia outro número na segunda coluna. Ele está tentando descobrir

que cálculo o computador faz, vamos ajudá-lo?

Nº digitado resultado15 286 107 1211 201 05 83 4

a) Expresse em linguagem natural a regra de correspondência entre os números

das colunas.

b) Escreva de forma simplificada a sentença que melhor traduz a correspondência

entre os números.

(Atividade adaptada BARROSO, 2006. p. 149)

Tarefa 4

Paulo achou muito interessante, então resolveu fazer umas brincadeiras com

seus amigos.

a)

N° da 1ª coluna 5 6 8 15 3Nº da 2ª coluna 3 4 6 13 1

Frase em palavras:

Expressão simbólica:

18

b)


Frase em palavras:


c)


Frase em palavras:


d)

N° da 1ª coluna 1 -1 2 8 10Nº da 2ª coluna 5 1 7 19 23

Frase em palavras:


OBS: Podem-se representar graficamente os dados contidos nas tabelas.

(Adaptada de PARANÁ, 1998)

Tarefa 5

a) Rômulo ganhou R$ 510,00 de salário. Quanto dinheiro ele terá depois de

- receber R$ 140,00 de horas extras de trabalho?

- ganhar mais a reais?

- comprar roupas por R$ 150,00?

- gastar b reais em roupas?

b) Em um estacionamento há 15 veículos. Quantos veículos haverá se

- tivermos o quádruplo da quantidade de veículos?

19

- tivermos m vezes a quantidade de veículos?

- dividirmos a quantidade de veículos por 4?

- dividirmos a quantidade de veículos por n?

c) Maurício vendeu 12 bicicletas em uma semana. Quantas bicicletas ele venderá

quando suas vendas:

- duplicarem?

- multiplicarem por w?

- reduzirem pela metade?

- dividirem por z?

(Adaptada de PARANÁ, 1998)

20

5.5 - FICHA 5: Produzindo de significados para expressões

algébricas


A tarefa dessa ficha tem como objetivo permitir que os alunos sejam capazes

de produzir significado para a álgebra, desenvolvendo a capacidade de pensar

algebricamente. Sugerimos que o professor conduza a atividade, sendo de grande

importância ter um material que represente a situação. Poderá ser duas caixas de

papelão iguais para representar os armários e as próprias caixas de xadrez que toda

escola tem. Poderá ser usado, por exemplo, dez caixas no total, nesse caso X

seriam seis caixas escondidas (ou encapadas) e Y, três caixas encapadas. Para

completar os armários mais quatro caixas para A1 e sete caixas para A2.

A partir das situações os alunos deverão ser estimulados, a fazer afirmações

sobre a situação e justificá-las.

Combinar o uso da letra c para caixas de jogos de xadrez.

Para o item a primeiramente mostre as caixas de papelão vazias, depois

completas, para perceberem que realmente são iguais e cabe pela lógica a mesma

quantidade de caixas de jogos de xadrez. Assim a crença-Afirmação ou

representação simbólica: A1 = A2 e Justificação: As caixas são todas iguais e o

armário comporta a mesma quantidade de caixas de jogos de xadrez.

No item b acrescente as caixas de jogos de xadrez até completá-las, ficará

evidente a quantidade de caixas que faltam para completar os armários. Assim a

crença-Afirmação ou representação simbólica: X + 4c = Y + 7c e Justificação: Se

acrescentarmos mais 4 caixas de jogos de xadrez em A1 ele ficará completo e se

acrescentarmos 7 caixas de jogos de xadrez a A2, também ficará completo.

Dessa forma conduza todos os itens, se houver necessidade de refazer

alguns dos itens, deixei-os manusear as caixas, até chegarem à conclusão correta.

c)Crença-Afirmação ou representação simbólica : X = Y + 3c

Justificação: se acrescentarmos 3c em A2 faltará 4c para completá-la, que é o

mesmo que falta em A1.

d) Crença-Afirmação: X + 2c = Y + 5c

Justificação: Acrescentando 2c a X faltará 2c para completar A1 e acrescentando 5c

21

a Y, também faltarão 2c para completar A2.

e) Crença-Afirmação: X – 2c = Y + 1c

Justificação: Se retirarmos 2c de X faltará 6c para completar A1 e se acrescentarmos

1c a Y, também faltarão 6c para completar A2.

f) Crença-Afirmação: Y = X – 3c

Justificação: se retirarmos 3c de X, em A1 faltará 7c para completá-lo como em A2.

g) Crença-Afirmação: X – Y = 3c

Como justificar a retirada de uma quantidade que não se conhece, de outra

quantidade que também é desconhecida?

Uma situação como essa deve ser trabalhada com muito cuidado,

promovendo um diálogo com os alunos, estabelecendo uma lógica aritmética e,

gerando a associação de que a diferença nem sempre esta ligada à subtração; não

iremos retirar uma quantidade diretamente da outra. Podemos retirar uma caixa de

cada armário e repetir a operação até que A2 fique vazio. O que sobrar no armário A1

(3c) é a diferença entre eles.

Até o momento todas as justificações foram relativas ao (núcleo) dos

armários. Depois que os alunos compreenderam esta atividade, manuseando as

caixas, deve ser estimulado a justificar afirmações diretas sem recorrer ao modelo.

a) X + 2c = Y + 5c → X + 2c – 2c = Y + 5c – 2c e ficamos com X = Y + 3c

b) X – 2c = Y + 1c → X – 2c – 1c = Y + 1c – 1c e ficamos com X – 3c = Y

c) X + 3c = Y + 6c → X + 3c – 3c = Y + 6c – 3c e ficamos com X = Y + 3c

d) X + 4c = Y + 7c → X + 4c – 4c = Y + 7c - 4c e ficamos com X = Y + 3c

Esta atividade permite a produção de expressões corretas para a situação,

sendo possível justificá-las. Também possibilita transformações diretas para uma

expressão para qual já produziu significado, caracterizando um processo de

desenvolvimento de um modo algébrico de pensar, além de explorar as diferenças.

Tarefa

(Baseada na atividade dos “tanques” de Lins e Gimenez, 1997).

Temos na escola duas partes de um armário onde são guardadas as caixas dos

jogos de xadrez. As partes desse armário exatamente iguais, ou seja, em cada parte

cabe exatamente a mesma quantidade caixas de jogos de xadrez. Temos nas duas

22

partes do armário uma quantidade indefinida de caixas de jogos de xadrez, X e Y,

respectivamente. Sabemos que para completar a primeira parte de armário (A1),

faltam 4 caixas e, para completar a segunda parte do armário (A2), faltam 7 caixas.

Vamos representar as caixas de jogos de xadrez pela letra c.

a) Como ficaria a representação simbólica para a quantidade de caixas de xadrez

que cabem nos armários?

Representação simbólica:

Justificação:

b) Quantas caixas de xadrez preciso acrescentar a cada armário para que fiquem

completos e continuem iguais?


Justificação:

c) A partir de X e Y, quantas caixas de xadrez devem ser acrescentadas a A2 para

que fique igual a A1?


Justificação:

d) A partir de X e Y, quantas caixas faltarão para completar os armários se

acrescentarmos duas caixas de xadrez em cada um?


Justificação:

A1

X

A2

Y

23

e) A partir de X e Y, o que preciso fazer para que os dois armários fiquem faltando

seis caixas de jogos de xadrez para ficar completo?


Justificação:

f) A partir de X e Y, o que preciso fazer para que os dois armários fiquem faltando

sete caixas de jogos de xadrez para ficarem completos?


Justificação:

g) Sabemos que A1 tem maior quantidade de caixas de jogos de xadrez que A2,

como ficaria sua representação se retirássemos a quantidade Y da quantidade X?


Justificação:

24

5.6 - Ficha 6: Equivalência


Mostrar que um problema pode ter várias respostas é um ótimo meio de

apresentar aritmética generalizada. Afinal nessa concepção de álgebra, o objetivo

não é achar uma resposta numérica, mas estabelecer procedimentos e relações e

expressá-los de forma simplificada.

Para o conceito de equação, primeiramente, abordaremos a noção de

equivalência utilizando materiais estruturados, como o Cuisenaire1 e o sistema

monetário.

Na tarefa 2 cada aluno acrescenta um novo andar, procurando uma forma

diferente da escolhida pelos anteriores: branca com preta, amarela com verde-claro,

roxa com roxa, verde-escura com vermelha. É importante que o professor confira se

está havendo compreensão da nova simbologia, se para o aluno v + a = m está

significando que a régua marrom é do mesmo tamanho das réguas vermelha e

amarela juntas.

Para a tarefa 3, peça aos alunos para repartir a carteira em duas partes com

um barbante ou fita adesiva, que representará o sinal da igualdade, e fichas verdes

e laranjas (pode ser de cartolina ou EVA) de valor unitário. A atividade consiste em

deixar os lados sempre com a mesma quantidade de fichas, independente da cor.

A representação simbólica do item a deve ser: 4 + 2 = 1 + 5, mas também

podem preferir 4V + 2L = 1V + 5L, nesse caso ao acrescentarem 3 fichas laranjas

terão 4V + 5L = 1V + 8L, terão no total 9 fichas de cada lado independentemente da

cor, mantendo a igualdade com representação diferentes. Ao dobrarmos a

quantidade de fichas temos a representação simbólica: 2.(2 + 3) = 2.(1 + 4) ou 2. (2V

+ 3L) = 2.(1V + 4L), obtendo 10 fichas de cada lado, independentemente da cor,

chegando ao Princípio aditivo da igualdade (adicionando ou subtraindo um

mesmo número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que

ainda é uma igualdade).

1 O material Cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem divisão em unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada tamanho corresponde a uma cor específica.

25

Tarefa 1

Vamos pensar que você tem uma nota de cem reais. Quais são as

possibilidades de trocá-la por notas de menor valor e ainda continuar com 100 reais?

Quantas maneiras você conseguiu encontrar?

Tarefa 2: Utilizando o material Cuisinaire:

Acertando que uma régua branca, uma vermelha, uma roxa, uma amarela,

uma preta, uma marrom, uma laranja, seja representada pela letra de suas iniciais,

a verde-clara seja representada pela letra c, a verde-escura pela letra e, e a azul

pela letra z, construa um muro tendo como base a régua marrom de forma que cada

andar seja do comprimento da base.

Obs: O encaminhamento da tarefa deve seguir a proposta de CASTRO (2003),

disponível no site: http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2003/eda/tetxt3.htm

Acesso em 27/07/2010.

Tarefa 3

Vamos repartir a carteira em duas partes com um barbante ou fita adesiva,

que representará o sinal da igualdade, e fichas verdes e laranjas de valor unitário.

a) Do lado esquerdo são colocadas quatro fichas verdes e duas fichas laranja, e do

lado direito uma ficha verde e cinco fichas laranja.


• O que acontece se acrescentarmos três fichas laranja de cada lado?

• E se retirarmos uma ficha verde de cada lado?

http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2003/eda/tetxt3.htm

26

b) Do lado esquerdo foram colocadas duas fichas verdes e três fichas laranja, e do

lado direito uma ficha verde e quatro fichas laranja.


• O que acontece agora se dobrarmos a quantidade de fichas de cada lado?


27

5.7 - FICHA 7: Fichas de núm eros inteiroS

Sugestões e encaminhamento metodológico

Segundo Bernard e Cohen, existem muitos métodos de resolver equações, ou

encontrar raízes das incógnitas, mas o importante é que a construção seja feita e tal

maneira que o desenvolvimento do método se faça a partir das capacidades e da

compreensão que o aluno já tenha da tarefa, identificado como requisitos

necessários para o aprendizado significativo do método.

O pensamento algébrico gira em torno de afirmações e justificações, assim

Lins e Gimenez coloca que é possível produzir significados para núcleos distintos:

por um diagrama, por um desenho, por uma balança, por um conjunto de

afirmações, por uma situação real ou ficcional. O que importa é que a relação aos

objetos do núcleo que o significado vai ser produzido seja para que situação for.

O que se evidencia é que há “rupturas” na abstração em abordagens como na

balança de dois pratos, quando os alunos não são capazes de produzir significado

para expressões do tipo 3x + 100 = 10, não há lógica para o equilíbrio de valores

negativos, a afirmação fica sem justificação. Assim como há um obstáculo para a

justificação na expressão 3x – 25 = 2x no método de desfazer, segundo Bernard e

Cohen. Diante do limite epistemológico, recorrem-se as transformações diretas, que

são tratadas como legítimas, já que todo conhecimento é produzido para o outro, e

quem produz acredita que o outro compartilhe daquela justificação, estabelecendo

legitimidade. E o problema da veracidade fica garantido pelo interlocutor que torna

esse conhecimento legítimo, portanto verdadeiro.

Pensando nessa dificuldade desenvolveremos atividades explorando o

método da equivalência para resolução de equações usando fichas coloridas.

Para entender o método da equivalência para resolução de equações é

necessário ajudar os alunos a perceberem que uma equação é antes de tudo, uma

igualdade, e que é preciso sempre conservar esta igualdade. Quando existe uma

igualdade podemos efetuar qualquer operação, desde que façamos aos dois lados

da igualdade. Assim sugerimos, antes do início da introdução de equação

propriamente dita, o trabalho com fichas com números inteiros.

As fichas de números inteiros poderão ser confeccionadas com papel cartão

28

ou EVA, nas cores azul e vermelha, quadradas de 3 cm (Baseado no material

proposto por Thompson, 1994, p.79). Com elas podemos introduzir a resolução de

equações do 1º grau.

Uma ficha azul representa uma unidade positiva (+1), e uma ficha vermelha

representa a unidade negativa (-1), sendo uma o oposto da outra.

Nesta há alguns exemplos, do trabalho com fichas de soma de números

inteiros, podendo ser ampliada com mais algumas operações, principalmente a partir

do item c onde é perceptível que a combinação atua como “zero”, ou seja, toda vez

que tivermos um par de fichas (Azul - Vermelha), elas se anulam, logo (+1) + (-1) =

0. É de fundamental importância que essa ideia fique muito clara para a

continuidade do trabalho.

a)3A + 4A

+ =

Logo (+3) + (+4) = +7

b)3V + 1V

+ =

Logo (-3) + (-1) = -4

c)1A + 1V

+ =

Logo (+1) + (-1) = 0

d)2A + 2V

+ =

Logo (+2) + (-2) = 0

29

OBS: Fazer a representação de outros pares nulos (A – V).

e)3A + 1V

+ =

Aqui temos um par (A – V), que se anula, restando somente duas fichas azuis.

(+3) + (-1) = +2

f) 1A + 3V

+ =

Neste caso também temos um par (A – V), que se anula, restando somente duas

fichas vermelhas. (+1) + (-3) = -2

Tarefa

Uma ficha azul representa uma unidade positiva (+1), e uma ficha vermelha

representa uma unidade negativa (-1), ou seja, o oposto de uma ficha azul.

Assim, teremos:

1A = = +1 , o oposto de uma ficha azul é uma ficha vermelha

1V = = - 1 , o oposto de uma ficha vermelha é uma ficha azul

Para representar +2, usaremos duas fichas azuis, e para representar -3 usaremos

três fichas vermelhas.

2A = = +2 3V = = - 3

1) Use as fichas para representar os números, realizando as operações, como no

exemplo:

Ex: 2A + 3A = + = Logo (+2) + (+3) = +5

30

a)3A + 4A

b)3V + 1V

c)1A + 1V

d)2A + 2V

e)3A + 1V

f) 1A + 3V

(Baseado no material proposto por Thompson, 1994, p.79).

31

5.8 - FICHA 8: Equações do 1º grau com fichas


A apresentação do envelope na tarefa 1, proporciona a ideia de descobrir um

valor, o da incógnita. Sempre que necessário lembrar que dentro de cada envelope

tem sempre a mesma quantidade de fichas do outro lado, e que um par Azul-

Vermelho, se anula, ou seja, é zero.

E = + 4 E = - 3 E = (+3) + (-1)

E = +2

Após algumas atividades como essa, podemos montar pequenas equações

do 1º grau, colocando agora no lugar do envelope uma tira retangular de papel

cartão preto (que será a incógnita) e peças azuis e vermelhas, tanto à direita como à

esquerda da fita. Sendo muito importante o registro da representação simbólica da

situação.

Explorar a ideia do que a tira representa na tarefa 2, o que há escondido

debaixo dela e jamais esquecer que não pode sobrar par nulo (A – V) em nenhum

dos lados, devemos deixar o mais simplificado possível.

a)

Representação simbólica: R = -5 + 1

Retirando o par (A – V), fica: R = - 4

b)

Representação simbólica: R -2 = -4 + 1

Retirando um par (A – V) do lado direito, ficamos:

R – 2 = - 3

32

Agora temos que acrescentar duas fichas azuis dos dois lados (para continuar

tudo igual), e assim poder anular as fichas vermelhas que estão do mesmo lado da

tira retangular, deixando-a sozinha. R – 2 + 2 = - 3 + 2, resultando em, R = - 1

c) Representação simbólica: R – 3 = 2

Aqui temos que acrescentar três fichas azuis de cada

lado para anular as três fichas vermelhas e deixar a

tira retangular sozinha.

R – 3 + 3 = 2 + 3

R = + 5

d) Representação simbólica: R + 3 = - 3

Neste caso temos que acrescentar três fichas

vermelhas de cada lado para anular as três fichas azuis e

deixar a tira retangular sozinha.

R + 3 - 3 = - 3 – 3

R = - 6

e) Representação simbólica: 5 – 2 = 3 - 1 + R

Anulando os pares (A – V), temos: 3 = 2 + R

Precisamos acrescentar duas fichas vermelhas em

cada lado para anular as fichas azuis e deixar a tira

retangular sozinha. 3 – 2 = +2 – 2 + R, obtendo,

1 = R ou R = 1

f) Considere que embaixo de cada faixa há sempre a mesma quantidade de fichas.

Representação simbólica: 2R + 3 = -6 + 1

Retirando um par (A – V) do lado direito, ficamos:

2R + 3 = - 5

33

Temos que acrescentar três fichas vermelhas de cada lado para anular as

três fichas azuis e deixar as tiras retangulares sozinhas. 2R +3 - 3 = - 5 – 3 ,

obtendo, 2R = - 8

Como as duas tiras retangulares têm a mesma quantidade de fichas ocultas,

então cada tira tem ocultas quatro fichas vermelhas. R = - 4

g) Representação simbólica: 3R = 9

É só dividir a quantidade de fichas pela quantidade

de tiras retangulares. Assim cada tira retangular

equivale a três fichas azuis. R = 3

h)

Representação simbólica: 4R = 2 - 10

Basta anular um par (A – V), obtendo: 4R = - 8

Agora é só dividir a quantidade de fichas pela quantidade de tiras

retangulares. Assim cada tira retangular equivale a duas fichas vermelhas. R = - 2

Tarefa 1

A linha que separa os dois grupos representa o sinal de igual, a partir dessa

informação descubra quantas fichas tem em cada uma dos envelopes.

a) Representação simbólica:

b)


34

c) Representação simbólica:

Tarefa 2

No lugar do envelope agora temos uma tira retangular, e a linha que separa os dois

grupos continua representando o sinal de igual.

a)


Nessa situação quanto vale a tira retangular? Ou

quantas Fichas estão escondidas debaixo dela?

Descreva como você chegou a esta conclusão.

b)


Nessa situação quanto vale a tira retangular?


c) Representação simbólica:



d) Representação simbólica:



e) Representação simbólica:



35

f) Considere que embaixo de cada tira retangular há sempre a mesma quantidade de

fichas.




g) Representação simbólica:



h) Representação simbólica:



36

5.9 - FICHA 9: Equações com incógnitas nos dois membros


O trabalho com fichas pode ter continuidade para equações do tipo 3x -7 = 2x,

através das equações equivalentes, se tratada observando as ocorrências

estabelecidas, como acrescentar e retirar a mesma quantidade de fichas dos dois

lados não modifica a igualdade; assim como, retirar ou acrescentar a mesma

quantidade tiras retangulares também não modifica a igualdade. Pode-se identificar

um novo sub-objetivo, o de “reunir as variáveis em um dos membros”. Para isso

usaremos no lugar das tiras pretas, tiras azuis e vermelhas. As tiras retangulares

azuis (representando valores positivos) e vermelhas (representando valores

negativos), sendo uma tira azul oposta à tira vermelha e a tira vermelha oposta à tira

azul.

= +R e = -R

Da mesma forma que um par de fichas (A – V) se anula, um par de tiras

retangulares (A – V) também se anula.

Chega a hora de conceituar equação e identificar os membros da equação,

então é importante que expressem o que entendem por equação, se for necessário

o professor deve ajudar com considerações das próprias atividades realizadas até

agora.

Equação é uma sentença matemática que representa uma igualdade que tem

pelo menos um número desconhecido representado por uma letra. À esquerda do

sinal de igualdade temos o primeiro membro e à direita o segundo membro.

PRIMEIRO MEMBRO = SEGUNDO MEMBRO

As tarefas devem ser realizadas manuseando o material, registrando a

representação simbólica, descrevendo os passos até chegarem ao resultado

(quantidades de fichas escondidas debaixo da tira retangular).

37

a) Representação simbólica: 2R = R + 1. Acrescentando uma tira retangular

vermelha em cada membro da equação, a igualdade fica mantida e temos:

2R - R = R – R +1, então R = 1.

b) Representação simbólica: 3R = R – 4. Acrescentando uma tira retangular

vermelha de cada membro da equação a igualdade fica mantida.

3R – R = R – R – 4, então 2R = - 4.

Agora é só dividir a quantidade de fichas pela quantidade de tiras. Assim cada

tira equivale a duas fichas vermelhas. R = - 2

c) Representação simbólica: 3R – 7 = 2R. Acrescentando duas tiras retangulares de

cada lado a igualdade fica mantida.

3R – 2R – 7 = 2R – 2R , então R – 7 = 0

Agora preciso acrescentar sete fichas azuis de cada lado para anular as sete

fichas vermelhas e deixar a tira retangular sozinha. R – 7 + 7 = 0 + 7, assim temos,

R = 7

d) Representação simbólica: 3R – 2 = R + 4. Acrescentamos um tira retangular

vermelha em cada membro da equação mantendo a igualdade.

3R – R – 2 = R – R + 4, então, 2R - 2 = 4

Agora acrescentamos duas fichas azuis de cada lado para anular as duas

fichas vermelhas, deixando as tiras retangulares sozinhas. 2R – 2 + 2 = 4 + 2, assim,

2R =6

Agora é só dividir a quantidade de fichas pela quantidade de tiras

retangulares. Assim cada tira equivale a três fichas azuis. R = +3

e) Representação simbólica: 3R – 6 = 2 – R. Acrescentamos uma tira retangular azul

de cada membro da equação para se manter deixar o lado direito sem tiras

retangulares.

3R + R – 6 = 2 – R + R, então, 4R – 6 = 2.

38

Agora temos que acrescentar seis fichas azuis em cada membro da equação

para anular as seis fichas vermelhas e deixar as tiras retangulares sozinhas.

4R – 6 + 6 = 2 + 6, resultando em, 4R = 8

E repartindo oito fichas azuis para quatro tiras, temos o equivalente a duas fichas

azuis. R = 2

f) Representação simbólica: - 3R – 6 = R + 2. Temos que acrescentar uma tira

retangular vermelha em cada membro da equação: - 3R – R – 6 = R - R+ 2, obtendo,

- 4R - 6 = 2.

Agora acrescentamos seis fichas azuis em cada membro da equação:

- 4R – 6 + 6 = 2 + 6, obtendo, - 4R = 8

Ao repartir oito fichas azuis para quatro tiras retangulares temos duas fichas

azuis para cada tira retangular vermelha. – R = 2

O oposto de uma tira retangular vermelha é uma tira retangular azul, e para

manter a igualdade, o oposto de duas fichas azuis são duas fichas vermelhas,

assim: R = - 2

g) Representação simbólica: - 3R + 6 = - R – 2. Temos que acrescentar uma tira

retangular azul em cada membro da equação: - 3R + R + 6 = - R + R – 2, obtendo,

-2R + 6 = - 2

Agora acrescentamos seis fichas vermelhas em cada membro da equação:

- 2R + 6 - 6 = - 2 – 6, então, - 2R = - 8

Ao repartir oito fichas vermelhas para duas tiras retangulares vermelhas,

temos quatro fichas vermelhas para cada tira retangular vermelha. – R = - 4

O oposto de uma tira retangular vermelha é uma tira retangular azul, e para

manter a igualdade, o oposto de quatro fichas vermelhas são quatro fichas azuis,

assim: R = 4

39

h) Representação simbólica: 2.(R – 1) = 4. Usando a propriedade distributiva:

2R – 2 = 4

Agora é só acrescentar duas fichas azuis em cada membro da equação:

2R – 2 + 2 = 4 + 2, obtendo, 2R = 6

Ao repartir seis fichas azuis para cada tira retangular azul, temos três fichas

azuis para cada tira retangular azul. R = 3

i) Representação simbólica: 3.(R + 1) = 2.(R – 1). Usando a propriedade distributiva:

3R + 3 = 2R – 2. Acrescentamos duas tiras retangulares vermelhas em cada

membro da equação: 3R – 2R + 3 = 2R – 2R – 2, obtendo, R + 3 = - 2

Acrescentamos três fichas vermelhas em cada membro da equação:

R + 3 - 3 = - 2 - 3, chegando ao resultado, R = - 5

Depois que o aluno já apresenta certa habilidade com o material, há a

necessidade de retirar aos poucos o material e ficar somente com as representações

simbólicas. Agora já é possível encontrar a raiz da equação. Lembrando que a Raiz

da Equação é o valor que torna a equação verdadeira.

Tarefa

No lugar das tiras pretas, agora utilizaremos tiras azuis e vermelhas. As tiras

retangulares azuis representando valores positivos e as vermelhas representando

valores negativos.

Assim:

= +R e = -R

O oposto de uma tira retangular azul é uma tira retangular vermelha e o

oposto de uma tira retangular vermelha é uma tira retangular azul.

Da mesma forma que um par de fichas (A – V) se anula, um par de tiras

retangulares (A – V) também se anula.

40

PRIMEIRO MEMBRO = SEGUNDO MEMBRO

1) O que é Equação?

2) Represente simbolicamente o primeiro e segundo membro das equações,

demonstrando matematicamente as igualdades, em seguida descreva como você

chegou ao resultado de quanto vale cada tira retangular.

a)


b)


c)


d)


e)


41

f)


g)


h)


i)


42

5.10 - FICHA 10: Pense em um núm ero...


Segundo Bigode (2006) na Europa da Idade Média e na Índia, a Matemática

tinha um caráter recreativo, com muitos jogos e desafios para “aguçar” a inteligência

dos alunos. Alguns foram inventados há mais de 1000 anos.

Os jogos de adivinhas é uma excelente estratégia para motivar os alunos e

tem como objetivo a construção e manipulação entre as operações, exigindo do

aluno uma reflexão sobre as operações inversas e ordem das operações.

As tarefas 1 e 2 devem ser realizadas em grupo, onde cada um pense em um

número diferente e fazendo tentativas para descobrirem porque sempre dá certo.

Estas tarefas estabelecem o elo entre o pensamento lógico e a representação

algébrica, culminando no entendimento de que ao montarem uma equação

conseguem descobrir o enigma. Nestas tarefas é importante destacar a aplicação da

propriedade distributiva, o cancelamento, a reversibilidade e as coincidências que

fazem as adivinhas darem certo.

Você consegue descobrir o enigma?

Tarefa 1

Pense em um número de 1 a 10.

Some uma unidade.

Multiplique o resultado por 5.

Subtraia o quádruplo do número pensado.

Diminua cinco unidades.

O resultado foi o número que você pensou?

(Atividade adaptada de PARANÁ, 1998)

43

Tarefa 2

Pense em um número. Acrescente três unidades e multiplique o resultado por dois.

Agora diminua o dobro do número pensado.

Atenção: o resultado é 6!

Pense em outro número e siga as mesmas instruções.

O resultado também é 6!

Como você pode explicar isso?


Tarefa 3

Expresse simbolicamente a representação do número pensado, e descubra o

número que numero é esse:

a) Pensei em um número, somei com o dobro dele e o resultado foi 18. Que número

é esse?

b) Pensei em um número, multipliquei-o por 3, e ao resultado adicionei 7. Obtive o

resultado 28. Em que número pensei?

c) Pensei em um número. Subtraí três unidades e multipliquei o resultado por quatro.

Subtraí uma unidade e o resultado foi 31. Qual é esse número?

Obs: Tarefas semelhantes podem ser encontradas em BIGODE (2006, 6ª série,

p. 175) e em IMENES e LELLIS (2002, - 7ª série, p. 198)

44

5.11 - FICHA 11: Utilizando a operação inversa


Segundo Bernard e Cohen (1994) o método de desfazer baseia-se nas

noções de inversos operacionais e na reversibilidade de um processo envolvendo

um ou mais passos que podem ser revertidos. A verificação é feita usando a

sequência escrita originalmente. Sua limitação está em atribuir significado para

expressões do tipo 3x = 2x + 5, mas este método oferece oportunidade de

consistência com aprendizados anteriores.

A tarefa 1 propõe que desfaçam duas operações, se necessário o professor

pode iniciar com equações que usem somente uma operação inversa. Na tarefa 2,

aparece o uso de parênteses, oferecendo a oportunidade da representação da

expressão escrita, no papel inverso, dada uma expressão, os alunos devem

desenvolver uma fala para aquela situação. E na tarefa 3, uma sugestão de equação

utilizando o denominador, na qual a opção da reversibilidade se torna mais

interessante e com maior entendimento do que utilizando o menor múltiplo comum.

A partir dessas sugestões podem-se criar novas equações para resolverem dessa

forma.

Tarefa 1

Pensei em um número, multipliquei-o por 7 e depois diminuí 17 e resultou em 200.

Em que número pensei?

x 7 - 17


Desfazendo:

Verificação:

200

45

Tarefa 2

Arthur propôs um desafio! Eu deveria descobrir o número que ele havia

pensado. Ele foi dando as instruções e eu fui montando uma expressão. Observe e

escreva as instruções que Arthur deu:

1ª instrução:_________________________________________________

Expressão: n

2ª instrução:_________________________________________________

Expressão: n + 5

3ª instrução: ________________________________________________

Expressão: (n + 5).2

4ª instrução:_________________________________________________

Expressão: (n + 5).2 – 6

5ª instrução:_________________________________________________

Expressão: (n + 5).2 – 6 = 12

Vamos desfazer as expressões para descobrir o número que Arthur pensou,

observando a última operação feita.

+ 5 x 2 - 6

FAZENDO DESFAZENDO

n (n + 5).2 – 6 = 12

n+5 ________________

(n + 5).2 ________________

(n + 5).2 - 6 ________________

(n + 5).2 – 6 = 12 ________________

Então que número Arthur pensou?

Verificação:


12

46

Tarefa 3: Com denominador

Um número foi multiplicado por dois, diminuído três unidades, e este resultado

foi multiplicado por 7. Depois foram retiradas outras cinco unidades e ainda dividiu-

se o resultado por dez. No final o resultado foi três. Descubra que número é este.

Diagrama:

x 2 - 3 x 7 - 5 : 10


Desfazendo:

Verificação:

3

47

5.12 - FICHA 12: Resolvendo Problem as


O uso de resolução de problemas tem sido analisado por muitos autores pela

sua utilização, seria ponto de partida ou de chegada? O objetivo central desse

material didático é apresentar situações que estimulem o aluno para desenvolver

seu pensamento algébrico, produzir significados e se expressar através de

linguagem algébrica. Assim durante todo o trabalho procuramos propor situações

que priorizassem organização, generalização, formalização a partir de regularidades,

relações, padrões, chegando à tradução de um modelo matemático. Assim nesta

ficha apresentamos diversas situações, para resolverem usando o raciocínio lógico,

empregando conhecimentos adquiridos de forma a relacionarem o conteúdo de sala

de aula com situações reais, mostrando que há outra forma de chegar a uma

resposta, além da aritmética.

Muitos alunos resistem ao uso de equações, prevalecendo operações

aritméticas. Em minha opinião devemos respeitar, há um tempo para absorverem

uma linguagem diferente, mas sempre incentivando a registrar ao lado das

operações aritméticas, a forma simbólica.

A tarefa 2 proporciona o uso da calculadora como recurso tecnológico para

motivar o aprendizado, usado como recurso de investigação e descobertas.

Aproveite a oportunidade para que façam outras sequências e apresente-as na

forma de equação.

A situação da tarefa 4 é muito comum, o professor deve discutir com a turma

esse e outros aspectos que possam surgir, e a necessidade do consumidor de levá-

lo em consideração antes de se deixarem seduzir por certas ofertas. Poderá também

fazer um levantamento de outros aspectos que devem ser considerados na compra

do produto, como: composição, qualidade, impacto na saúde e no meio ambiente e

analise a razão entre menor preço/menor qualidade. No item d um aspecto poderia

ser o prazo de validade, se sua família não consumisse as duas dúzias de ovos antes

do vencimento.

A tarefa 10 proporciona análise do desperdício de água que ocorre, não

somente com torneiras ou chuveiros pingando, mas com banhos demorados (são

48

gastos 15 litros de água por minuto no chuveiro), lavagens de calçadas e carros com

mangueira utilizando água potável, seria muito interessante um trabalho

interdisciplinar, e a avaliação dos resultados, para procurar encontrar medidas para

evitar o desperdício de água potável. Assim elaboramos a tarefa 10, que é uma

atividade extraclasse, onde os alunos terão contato direto com a situação em

questão. A atividade ser realizada em equipe.

Procurando incentivar o gosto pela leitura elaboramos a atividade 11. Há

mais informações na revista Super Interessante/dez/2009, que podemos utilizar,

evidenciando que Paulo Coelho é o escritor brasileiro mais lido em outros países. E

finalmente uma sugestão para a Educação para o Transito na tarefa 12, já que a Lei

nº 9.503 de 23 de setembro de 1997, que instituiu o Código de Trânsito Brasileiro,

prevê em seu artigo 76, que a educação para o trânsito será promovida na pré-

escola e nas escolas de Ensino Fundamental, Médio e Superior.

Esta ficha pode ser explorada da seguinte forma:

1º) Divida a sala em 10 grupos ;

2º) Distribua um problema para cada grupo, com exceção das tarefas 2 e 10;

3º) Propor aos alunos que leiam e interpretem os problemas, expressando-os

por uma equação;

4º) Trocar os problemas entre os grupos para que possam averiguar se as

sentenças estão corretas;

5º) Finalmente resolver as equações em sistema de rodízio.

Tarefa 1

Na 6ª série B há 35 alunos. Se nessa turma tem sete meninas a mais que

meninos, quantos são os meninos dessa turma?

Tarefa 2: Brincando com a calculadora

Yara é uma menina muito curiosa que gosta de brincar com a calculadora. Ela

acionou uma sequência de teclas e obteve o número 29 no visor. Seu pai, que

observava a menina brincando, memorizou as teclas, mas esqueceu de uma. Tente

descobrir qual foi a tecla que ele esqueceu.

49

3 x ? - 7 = 29

Crie outras sequências.

(Atividade adaptada de BIGODE, 2000)

Tarefa 3

Quanto vale cada um dos desenhos destas somas? Desenhos iguais têm o

mesmo valor nas diversas adições.

a)♣ + ♣ + ♣ + ♣ + ♣ = 15

b)♥ + ♥ + ♥ + ♣ + ♣ = 30

c) ♥ + ♥ + ♣ + ☼ + ☼ = 31

d)☼ + ☼ + ♣ + ♦ +♦ = 23

e)☺+ ♣ + ♦ + ♦ + ♦ = 28

Tarefa 4

Quando Márcia foi ao supermercado, na sessão de alimentos perecíveis viu

que havia uma oferta para a compra de duas dúzias de ovos. Márcia analisou o

preço da oferta para saber se era realmente vantajoso.

a) Que cálculo você faria para fazer esta verificação?

b) Calcule o preço, sem a promoção, de uma dúzia de ovos sabendo que na oferta

custava R$ 3,89 e que, ao levá-los, a pessoa estaria fazendo uma economia de R$

0,71.

c) Chamando de d o preço da dúzia de ovos, escreva uma equação que represente

a situação do item b.

d) Analisando um aspecto que não era o preço, Márcia viu que, para ela, não era

vantagem levar a oferta. Que aspecto pode ser esse?

(Atividade adaptada de FRANÇA e outros, p. 203, 1999)

Tarefa 5

Pedro que mora em Alto Paraná, e comprou um carro em Maringá. Ao sair da loja

50

em Maringá o velocímetro marcava 7 km. Ele trouxe seu carro para Alto Paraná,

mas teve que voltar à loja para entregar o restante dos documentos em mãos. Ao

retornar a sua casa, após a vinda, ida e vinda, o velocímetro marcava 226 km. Qual

é a distância entre a casa de Pedro em Alto Paraná e a loja em Maringá?

Tarefa 6

Silas é caminhoneiro e fez uma viagem de 1680 km em três dias. No segundo dia,

ele percorreu 92 km a mais que no primeiro dia e, no terceiro dia, percorreu 50 km a

menos que no primeiro dia. Qual foi a distância percorrida em cada um dos dias de

viagem?

Tarefa 7

Melissa e suas duas irmãs tinham uma poupança cada uma. Os saldos dessas

contas eram iguais. Resolveram juntar o dinheiro para comprar um

microcomputador, no valor de R$ 1.990,00. Para completar o valor, o pai emprestou

R$ 250,00. De quanto era a poupança de cada uma das irmãs?

Tarefa 8

João foi ao cinema com seus colegas. Comprou 3 entradas, 3 pacotes de pipoca

por R$ 3,50 cada, 3 refrigerantes por R$ 2,50 cada e ainda ficou com R$ 4,00. Se

João levou R$ 40,00, quanto custou cada entrada?

Tarefa 9

Esta é a tabela para o cálculo da conta de água nas residências de Alto Paraná,

que possui rede de esgoto. A tarifa de esgoto é de 80% do valor consumido.

Taxa mínima até 10 m3 = R$ 29,43

Excedente a 10 m3 = R$ 4,41

(OBS: valor calculado, já incluso a porcentagem do esgoto)

a) Se em uma residência foram consumidos 8 m3 de água no mês que passou, qual

será o valor da conta?

51

b) Quanto pagará pela conta de água, o dono de uma residência onde foram

consumidos 12 m3 de água.

c) Escreva uma expressão que indique os cálculos necessários para se chegar ao

total dessa conta, utilizando x para indicar o valor de m3 (metros cúbicos

excedentes).

d) Sabendo que a conta de água do Sr. Adolfo foi de R$ 64,71 descubra quantos m3

excedentes a 10 m3 foram consumidos em sua residência utilizando a expressão

obtida no item anterior.

e) Qual o consumo total de água da residência do Sr. Adolfo, em m3?

Tarefa 10

Pesquisa: Desperdício de água

1º) Inicialmente escolha uma torneira ou chuveiro que esteja gotejando (pode ser de

sua casa ou de qualquer outro lugar);

2º) Utilize um medidor que contenha a marca de ml, e com a ajuda de um relógio

digital, recolha a água gotejada durante um minuto.

Agora descubra:

a) Quantos ml esta torneira/chuveiro goteja em uma hora.

b) Que expressão representa o gotejamento em ml de uma torneira/chuveiro em x

horas? E em litros?

c) Sabendo que esta torneira/chuveiro já encheu um balde de 20 litros, quantas

horas ela(e) está gotejando.

d) Se esta torneira/chuveiro continuar a gotejar por um mês, quantos litros será

desperdiçado.

Tarefa 11

Você gosta de ler? Então saiba que segundo a revista Super Interessante

(dez/2009, p. 36)

95,5 milhões de brasileiros leram algum livro em 2008

43 milhões não terminaram a leitura

47,4 milhões são estudantes que leram livros didáticos ou obras indicadas pela

escola.

52

A média de compra de livros no Brasil é de 1,2 por ano enquanto que nos Estados

Unidos a média é de 6,7.

Os cinco livros mais publicados no mundo são: Bíblia, livros de Mao Tse-Tung,

Alcorão, Um conto de duas cidades e O Senhor dos Anéis, num total de 7,35 bilhões

de exemplares.

Sabendo que Um conto de duas cidades foi publicado 50 milhões de exemplares a

mais que o Senhor dos Anéis, o Alcorão foi publicado o quíntuplo de exemplares do

Um conto de duas cidades, e ainda a Bíblia foi publicado o sêxtuplo de exemplares

do Alcorão.

a) Use x para representar o livro O Senhor dos Anéis, monte uma equação que

corresponda a essa situação e descubra quantos exemplares do livro do Senhor dos

Anéis foi publicada.

b) Quantos exemplares da Bíblia foi publicado?

c) Quantos exemplares dos livros de Mao Tse-Tung foi publicado, sabendo que é a

mesma quantidade do Alcorão?

Tarefa 12

O Sr. Luiz cometeu infração gravíssima ao permitir que seu filho menor de idade,

portanto, sem habilitação dirigisse. Além de somar 7 pontos na carteira, pagar multa,

teve sua carteira apreendida. Terá que fazer curso de reciclagem para reaver sua

habilitação, mesmo porque já atingiu 21 pontos. Ele já havia cometido algumas

infrações leves (3 pontos), e também cometeu uma infração grave (5 pontos), por

dirigir sem cinto de segurança.

a) Represente esta situação por meio de uma equação.

b) Descubra quantas infrações de gravidade leve o Sr. Luiz cometeu.

53

5.13 - FICHA 13: Usando parênteses, balanças e incógnita nos dois

membros


Procuramos contemplar as mais diversas formas representativas de

equações, e não poderiam faltar as balanças muito utilizadas no contexto educativo,

presentes nos livros didáticos e nas Olimpíadas de Matemática, e mais algumas

situações significativas que consideramos importantes para a concretização do

conteúdo.

Estas tarefas podem ser realizadas em equipes de no máximo quatro alunos.

Tarefa1

Temos duas caixas:

(x) kg

(x + 1,5) kg

Se colocarmos numa balança três caixas pequenas e duas caixas grandes, a

balança marcará 24 kg.

Então quanto pesa a caixa menor? E a caixa maior?

(Atividade adaptada de GIOVANNI, 2000, p. 169)

Tarefa 2

A casa de D. Lia está construída num terreno retangular. Seu terreno está murado

dos quatro lados totalizando 54 m de comprimento no total. Sua casa está

construída de muro a muro, não sendo possível medir com a trena as laterais do

54

terreno, mas as medidas da frente e o fundo têm 15m de comprimento cada.

15m

ℓ

a) Escreva a expressão do perímetro desse terreno.

b) Encontre a medida do lado do terreno de D. Lia.

Tarefa 3

Uma camiseta custa x reais e uma calça custa R$ 50,00 a mais que a camiseta.

Sabendo que seis camisetas custam o mesmo que duas calças:

a) escreva uma equação que represente essa situação;

b) descubra o preço da camiseta e da calça.

Tarefa 4

Alguns amigos foram a um restaurante. Ao pagar a conta eles verificaram que, se

cada um desse R$ 20,00, haveria R$ 8,00 de troco e que, se cada um pagasse

R$18,00 reais, faltaria R$ 6,00.

a) Quantas pessoas foram ao restaurante?

b) Qual o valor total da conta?

Tarefa 5

Em termos de peso, sabe-se que duas bolas marrons equivalem a três bolas

brancas, que equivalem a cinco bolas pretas; duas bolas pretas equivalem a sete

bolas verdes e uma bola verde equivale a três bolas amarelas. Num dos pratos de

uma balança de comparação foram colocadas quatro bolas marrons, catorze bolas

verdes e trinta e três bolas amarelas. No outro prato foram colocadas três bolas

brancas e sete pretas. Quantas bolas verdes devem ser?

(RPM 67 p. 49)

55

Tarefa 6

A balança de dois pratos está em equilíbrio com bolas iguais e saquinhos de areia

também iguais. Em um dos pratos há cinco saquinhos de areia e quatro bolas

equilibrando com dois saquinhos de areia e dez bolas. O peso de um saquinho de

areia é igual ao peso de quantas bolas?

(Adaptada – OBMEP, 2006)

56

REFERÊNCIAS

BARROSO, Juliana Matsubara (Org.). Projeto Araribá – Matemática/ Obra Coletiva. 1ª. ed. São Paulo: Moderna, 2006.

BERNARD, John E. COHEN, Martin P. Uma integração dos métodos de resolução de equações numa sequência evolutiva de aprendizado. In: COXFORD, A.F. SHULTE A.P. (Orgs). As ideias da álgebra. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo. Atual, 1994.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo, FTD, 2000 – (Coleção Matemática hoje é feita assim)

CASTRO, Monica Rabello. Educação Algébrica e resolução de problemas. Salto para o futuro. Maio, 2003.

CAVALCANTE, Luiz G.[et al.]. Para saber matemática. 6ª série. 2 ed. São Paulo: Saraiva, 2006.

FRANÇA, Elizabeth; BORDEAUX, Ana Lúcia; RUBINSTEIN, Cléa; OGLIARI, Elizabeth, PORTELA, Gilda. Matemática na vida e na escola. 6ª série. Editora do Brasil, 1999.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI José Ruy Jr. Matemática pensar e descobrir. 6ª série. São Paulo:FTD, 2000.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. 6ª série. São Paulo: Scipione, 2002.

LINS, Rômulo campos. GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. 6.ed. Campinas. São Paulo: Papirus, 1997. (Coleção Perspectivas em Educação)

NASSER, Lilian. Um problema: resolução e exploração. In: HELLMEISTER, Ana Catarina (Org.). Explorando o Ensino – Matemática – Atividades. Vol.2. Brasília, 2004.

OBMEP. Banco de Questões: 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2006.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Paraná 2008.

PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação.Superintendência de Educação. Departamento do Ensino de 1º grau. Ensinar e Aprender: volume 2 – Matemática. Projeto Correção de Fluxo, 1998.

57

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Problemas. 3º quadrimestre, n º. 67, p. 49. São Paulo: SBM , 2008.

RIBEIRO, Raquel. Pré-álgebra: a garotada vai tirar de letra o x da questão. Revista Escola, ed. Abril, Junho/2005.

SILVA, Edméia Aparecida Rocha. Pensando e escrevendo algebricamente com alunos da 6ª série. In: FIORENTINI, Dario e MIORIN, Maria Ângela (Orgs). Por trás da porta, que a matemática acontece? Campinas, SP: Editora Graf.FE/UNICAMP – Cempem, 2001.

DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · como forma de expressão do pensamento matemático. 4 ... Na...

Documents

Transcript of DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · como forma de expressão do pensamento matemático. 4 ... Na...