O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Versão Online ISBN 978-85-8015-037-7Cadernos PDE

2007

VOLU

ME I

Parábolas – As curvas preciosas

MIRTES TAMY GOMES MACHADO1

Resumo

O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo sobre a parábola e suas aplicações utilizando formas diferentes daquelas habitualmente tratadas no âmbito do Ensino Fundamental e Médio. No desenvolvimento do trabalho procurou-se contemplar a sua forma algébrica através de deduções de fórmulas; bem como a sua forma geométrica, explorando a sua definição e analisando a secção cônica que resulta em parábola, fato não comum às atividades pedagógicas atuais, deixando de ser apenas uma representação gráfica da função quadrática. Foi realizado um estudo mais aprofundado nos aspectos teóricos das parábolas e suas aplicações em diferentes áreas, como em Física e Engenharia mostrando a importância deste conceito no avanço tecnológico. Este trabalho envolveu alunos e professores de algumas escolas públicas do Paraná, os quais realizaram durante as aulas de matemática, as seguintes atividades práticas: “Construção de parábolas pelo método da dobradura, Construção de parábolas utilizando o software gratuito GeoGebra, Construção de refletores de raios luminosos e Construção de cones e suas secções”. Como resultado, o material desenvolvido se tornou mais interessante, atrativo e agradável, facilitando a compreensão por parte dos discentes e auxiliando o trabalho dos docentes ao abordarem os conteúdos que envolvem parábola.

Palavras-chave: Cônicas. Aplicações de parábolas. Atividades. Função Quadrática. Geogebra.

Abstract

The goal of this work is to present a study about the parabola and their applications using different forms from those habitually treated in the extent of the Elementary and High School levels. In the development of the work, soughy contemplate its algebraic through deductions of formulas; as well their geometric shape, exploring their definition and analysing the conical section that it results in parabola, fact not common to the pedagogic activities, not being just a graphic representation of the quadratic function. It was made a study deeper in the theoretical aspects of the parabola and their applications in different areas, as in Physics and Engineering showing the importance of this concept in the technological progress. This work involved public school students and teachers of Paraná, which took place during the mathematics classes, the following practical activities: "Construction of parabola for the method of the fold paper, Construction of parabola using the free software GeoGebra, Construction of reflectors of luminous rays and Construction of cones and their sections." As result, the material developed turned more interesting, attraction and pleasant, facilitating the understanding on the part of the discentes and helping in the work of teachers to approach content involving parabola.Keywords: Conic. Applications of parabola. Activities. Quadratic function. Geogebra.

1 Professora de Matemática do Colégio Estadual Dr. Ubaldino do Amaral, Santo Antônio da Platina – PR. E-mail: tamy@seed.pr.gov.br

Introdução

O estudo da matemática vem sendo realizado, queira ou não, ainda de uma

forma muito abstrata em sala de aula, onde vários conteúdos são abordados e

desenvolvidos apenas teoricamente e com fórmulas, não tendo sentido para os

discentes e para parte dos docentes. Esse processo de ensino-aprendizagem vem

reforçar as dificuldades que muitos encontram em compreender os conteúdos

trabalhados nessa disciplina.

Com os conteúdos que abordam as Parábolas, não tem sido diferente, pois,

durante as aulas de matemática, se faz este estudo, geralmente de uma forma

superficial, apenas como uma representação gráfica da função quadrática e não se

analisa a sua origem, nem as suas importantes aplicações, que dariam significado

ao assunto em questão, pois, estamos deparando com parábolas o tempo todo.

Para que os alunos possam observar as parábolas no mundo em que vivem, é

necessário que o seu interesse seja despertado para esta finalidade, apresentando

atividades práticas e aplicações em seu cotidiano.

Ao relacionar o estudo de parábolas com as suas aplicações, foram

desenvolvidas várias atividades práticas, pela professora PDE (Programa de

Desenvolvimento Educacional) - 2007, Mirtes Tamy Gomes Machado, envolvendo a

primeira série A do Ensino Médio, do Colégio Estadual Dr. Ubaldino do Amaral –

EFM, no município de Santo Antônio da Platina - PR, sob a orientação do professor

Dr. Ulysses Sodré da Universidade Estadual de Londrina – UEL, o qual mostrou

grande empenho, apoio e compromisso durante as orientações, para que este

trabalho fosse concluído.

As atividades desenvolvidas também foram aplicadas pela professora Maria

do Carmo Nunes, participante do Grupo de Trabalho em Rede – GTR da professora

Mirtes, na quarta série do curso Formação de Docentes - Ensino Médio, do Colégio

Estadual Rio Branco em Santo Antônio da Platina – PR.

Este material foi apresentado e aplicado aos alunos durante o ano letivo de

2008, sendo marcado pelo grande envolvimento de professores e alunos

participantes deste trabalho.

Forma de Apresentação do Trabalho

2

Seção 1: Apresentação da parábola

A parábola será apresentada através da sua definição, tendo uma reta

(diretriz) e um ponto fixo fora dela (foco). Será utilizada também, a secção

cônica, seguida do teorema que prova que a secção do cone com o plano

paralelo a uma de suas geratrizes é uma parábola, fazendo uso da

“Construção espacial de Dandelin” (figuras 9 e 10) para facilitar o

entendimento deste teorema, diferenciando da forma apenas teórica, com

que este assunto normalmente vem sendo abordado em sala de aula.

Seção 2: Algumas aplicações das parábolas

2.1 Faróis de Carro: Todo farol de carro possui uma lâmpada que é colocada

no foco da superfície parabólica. Neste caso podemos ter acesso às

propriedades óticas da parábola, que fazem parte de nosso cotidiano;

2.2 Fornos Solares: Este exemplo não é comumente encontrado em nosso

cotidiano, mas é importante para mostrar como o conceito de parábola

pode ser utilizado em benefício da humanidade;

2.3 Antenas Parabólicas: São objetos bastante utilizados na comunicação

atual, através de transmissão via satélite, telefonia móvel e GPS (Global

Positioning System) – sistema de radionavegação baseado em satélites.

Desta forma, as pessoas passam a entender o funcionamento da antena

parabólica, que a maioria delas utiliza em casa, podendo compreender a

relação que há entre a forma geométrica da parábola e a “incidência de

raios paralelos sobre a superfície côncava”, estudada em Física;

2.4 Pontes Pênseis: Utilizadas na engenharia na construção de pontes

estáveis e econômicas, sendo que todas elas são de formato parabólico.

Seção 3: Algumas atividades práticas envolvendo parábolas, que podem ser

desenvolvidas com os alunos em sala de aula

3

3.1 Construção de Parábola pelo método da dobradura: Uma atividade

simples partindo da definição da parábola, utilizando material de baixo

custo.

3.2 Construção de Parábola, utilizando o software livre GeoGebra: Através

deste software, pode-se construir a parábola, baseada em sua definição.

Pode-se observar a formação da parábola passo a passo, pois o

Geogebra é um software de geometria dinâmica. Sugere-se que esta

atividade seja desenvolvida logo após a atividade 3.1, para que os alunos

possam relacionar uma com a outra. O GeoGebra está disponível nos

computadores dos laboratórios de informática das Escola Públicas do

Paraná e também pode ser baixado da internet através do site:

www.geogebra.org.

3.3 Construção de um refletor de raios luminosos: Com esta atividade é

possível compreender o funcionamento das antenas parabólicas, fornos

solares, holofotes e faróis de carro; utilizando papel laminado com o

formato de parábola e uma lanterna de feixe de luz.

3.4 Confecção de um Cone e suas secções: Com esta atividade é possível

observar as curvas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole, de

acordo com o ângulo formado pelo plano que secciona o cone e uma de

suas geratrizes, dando ênfase ao estudo da parábola.

Seção 4: Depoimentos de alguns participantes deste trabalho, desenvolvido

no ano letivo de 2008

Apresenta depoimentos de alunos da 1ª série A do Ensino Médio do

Colégio Estadual Dr. Ubaldino do Amaral e do 4º ano, turma A, do curso

Formação de Docentes - Ensino Médio e sua professora de matemática,

Maria do Carmo Nunes, do Colégio Estadual Rio Branco, ambos do

município de Santo Antônio da Platina.

Seção 5: Sugestões de leitura

4

Apresenta sugestões de leitura para explorar os conteúdos relacionados

às parábolas.

1. Apresentação da parábola

1.1 Definição de Parábola

A Parábola é uma curva obtida através da intersecção da superfície de um

cone com um plano paralelo a uma de suas geratrizes.

Para a análise de algumas secções cônicas há a necessidade de utilizar o

cone de duas folhas, porém, para o estudo em questão, que é a parábola, podemos

nos limitar ao cone de apenas uma folha, como mostra a figura 1.

Figura 1: Cone seccionado pelo plano α, paralelo a sua geratriz d

A parábola é uma curva simétrica, possuindo um eixo de simetria que passa

pelo seu vértice. Esse eixo divide a parábola em duas partes iguais, como mostra a

figura 2.

Figura 2: Parábola com seu eixo de simetria

5

1.2 Construção de uma Parábola

Seja um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz) de um plano, o ponto F não

pertence à reta d, o conjunto dos pontos desse plano eqüidistantes de d e F,

denomina-se Parábola. (PAIVA, 1999: p. 378).

Figura 3: PF=PP’ e PP’ é perpendicular a reta d

Na figura 3, foi construída uma parábola a partir de sua definição, e se

observa que independente da posição do foco F e da diretriz d, sempre será

possível obter uma parábola. Normalmente, se trabalha apenas com parábolas que

tem concavidade voltada para cima ou para baixo, quando são abordadas do tópico

função quadrática. Este é o momento de nos desprendermos destes conceitos

vagos que apresentamos aos nossos alunos.

As equações reduzidas das parábolas, figuras 4, 5, 6 e 7, foram baseadas no

livro: “Matemática” (PAIVA, 1999: p. 379-380). Suas demonstrações estão em

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

Seja d a reta fixa (diretriz) e F o ponto fixo (foco) fora da reta d. Fixar a

distância do ponto F à reta d igual a 2p. No caso do plano cartesiano XY, toma-se o

eixo das abscissas (reta horizontal) que é perpendicular ao eixo das ordenadas (reta

vertical), tendo como intersecção o ponto O=(0,0):

Se a diretriz da parábola for paralela ao eixo OY e sua concavidade voltada

para o sentido positivo do eixo OX (concavidade voltada para a direita), sua

equação será:

y2 = 4px, se o vértice estiver na origem (0,0), como mostra a figura 4;

(y – y0)2 = 4p(x – x0), se o seu vértice não estiver na origem (0,0).

6

Figura 4: Parábola com a concavidade voltada para a direita

Se a diretriz da parábola for paralela ao eixo OY e sua concavidade for

voltada para o sentido negativo do eixo OX (concavidade voltada para a

esquerda), então sua equação será:

y2 = – 4px, se o vértice estiver na origem (0,0);

(y – y0)2 = – 4p(x – x0), se o seu vértice não estiver na origem (0,0), como

mostra a figura 5.

Figura 5: Parábola com a concavidade voltada para a esquerda

Se a diretriz da parábola for paralela ao eixo OX e a sua concavidade voltada

para o sentido positivo do eixo OY (concavidade voltada para cima), então

sua equação será:

x2 = 4py, se o seu vértice estiver na origem (0,0);

(x – x0)2 = 4p(y – y0), se o vértice não estiver na origem (0,0), como mostra a

figura 6.

7

Figura 6: Parábola com a concavidade voltada para cima

Se a diretriz da parábola for paralela ao eixo OX e sua concavidade voltada

para o sentido negativo do eixo OY (concavidade voltada para baixo), então

sua equação será:

x2 = – 4py, se o seu vértice estiver na origem (0,0);

(x – x0)2 = – 4p(y – y0), se o seu vértice não estiver na origem (0,0), como

mostra a figura 7.

Figura 7: Parábola com a concavidade voltada para baixo

1.3 Teorema: A secção do cone com o plano paralelo a uma de suas geratrizes é uma parábola.

Demonstração: O esquema que segue foi realizado por Germinal Dandelin (1794

-1847) e extraído do livro “A rainha das ciências” (GARBI, 2006: p. 80 -81).

a) De acordo com a figura 8, considerar uma das folhas de uma superfície cônica

circular e sobre ela uma geratriz g.

b) Traçar um plano α com a condição de ser paralelo somente a g.

c) Sobre a intersecção de α com a superfície, tomar um ponto P e por ele traçar o

plano β perpendicular ao eixo da superfície.

8

d) Chamar de C2 a circunferência intersecção de β com a superfície e de r2 a

intersecção de α com β.

e) Imaginar agora um plano tangente à superfície e contendo a geratriz g. A

intersecção de tal plano com β é a reta t, tangente a C2 no ponto T e perpendicular à

reta OT e ao diâmetro TT’. O plano das retas g e t é paralelo a α. Logo, r2 e t são

paralelas.

f) Seja E a esfera inscrita na superfície e tangente a α.

g) Seja F o ponto de tangência de α com a esfera E. Os pontos de contato entre a

superfície e a esfera estão sobre a circunferência C1, situada sobre um plano γ

ortogonal ao eixo e, portanto, paralelo a β. Logo, a intersecção de α com γ (a reta r1)

é paralela a r2.

h) Por P traçar a perpendicular PQ a r1 e r2.

i) Por F, traçar a perpendicular GH a r1 e r2. Logo, PQ=HG. A aresta g e a reta do

segmento GH são paralelas, por serem, respectivamente, perpendiculares às

paralelas T e r2 e fazerem com TT’ o mesmo ângulo θ (característico daquela

superfície cônica). Os segmentos GH e JT são iguais, por serem paralelos e estarem

entre dois planos paralelos.

j) Unir O a P e seja R a intersecção de OP com C1. Então JT=PR (segmentos de

geratrizes entre planos paralelos ortogonais ao eixo). Por sua vez, PF=PR

(tangentes à esfera E pelo ponto P). Logo, PQ=GH=JT=PR=PF, ou seja:

PF (distância de P ao ponto fixo F) = PQ (distância de P à reta fixa r1)

Como o ponto P é arbitrário sobre a curva, ela é, por definição, uma Parábola.

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Figura 8: Representação geométrica da secção cônica, de um plano α paralelo à geratriz g

A fim de facilitar a compreensão desta demonstração por parte dos alunos, foi

utilizada durante a aula, a “Construção espacial de Dandelin” como mostram as

figuras 9 e 10, cujo molde se encontra disponível em

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

..............................

10

Figura 9:Parábola (preta), na construção de Dandelin

Figura 10:Parte superior da construção de Dandelin

Nesta construção os alunos puderam observar passo a passo o teorema

demonstrado anteriormente, pois, neste momento já tinham o conhecimento de que,

para se construir uma parábola é suficiente ter uma reta (diretriz) e um ponto fixo

fora dela (foco).

2. Algumas aplicações das Parábolas

Algumas aplicações das parábolas foram apresentadas aos alunos para que

se conscientizassem da utilização das mesmas, e pudessem valorizar este

conteúdo.

2.1 Faróis de carro

Ao ligar faróis de carro, os raios de luz, provenientes da lâmpada que se

encontra no foco da parábola, incidem num espelho parabólico e são refletidos

paralelamente ao eixo de simetria, como mostra a figura 11. (PAIVA, 1999: p. 81)

Figura 11: Feixe de luz de um farol de carro

Através da atividade “Construção de refletores de raios luminosos”, os alunos

puderam verificar como esta propriedade é aplicada no funcionamento dos faróis de

carro, assim como em holofotes, que são objetos comuns a eles.

2.2 Fornos solares

Em Odeillo no sul da França, onde a incidência de luz do Sol é intensa, foi

construído um grande espelho côncavo (figura 12), que é usado como “forno solar”.

Como a distância do Sol à Terra é de cerca de 150 milhões de quilômetros,

quando o feixe de luz solar nos atinge, seus raios já estão praticamente paralelos.

Portanto, ao se refletirem no espelho do forno solar, os raios desse feixe convergem

para seu foco, onde haverá uma grande concentração de energia, tanto luminosa

11

quanto térmica. Assim, no foco do espelho há uma elevação de temperatura e,

nesse ponto, é colocado o dispositivo que irá utilizar a energia concentrada. Se a

distância focal do espelho for 10 m, esse dispositivo deverá ser colocado a 10 m do

vértice do espelho, ficando assim, exatamente sobre o foco. (LUZ; ALVES, 2005:

p.283-284)

Figura 12: Forno solar - Odeillo, sul da França(imagem retirada de

http://www.mdig.com.br/?itemid=3922)

O espelho parabólico da figura 12, é formado por 9.500 espelhos planos

individuais, com a altura de um edifício de sete andares, focaliza os raios solares em

um forno dentro da torre do coletor, fazendo-o alcançar temperaturas de até

3.800ºC, o suficiente para abrir um furo de 30 cm de diâmetro numa chapa de aço

de 3/8 de polegada de espessura, em apenas 60 segundos. Informações extraídas

do site http://forum.g-sat.net/showthread.php?t=134375.

Nesta aplicação, os alunos puderam observar mais uma utilidade das

parábolas, com grande surpresa, pois, não imaginavam que se pudesse utilizar a

energia solar para esta finalidade, tendo uma economia financeira em mais um

grande avanço da tecnologia.

2.3 Antenas Parabólicas

As antenas parabólicas, apesar de não refletirem luz, são espelhos. Elas são

construídas para refletir ondas de radiofreqüências, que tem comprimento de onda

muito maior do que o da luz, com valores que variam de algumas centenas de

metros até o mínimo de cerca de 0,3 m. Para esses comprimentos de onda, quase

todas as superfícies são espelhos, mesmo que sejam cheias de buracos, como uma

tela de arame.

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Se as ondas eletromagnéticas emitidas por um satélite, atingirem a antena

parabólica, ocorrerá a reflexão desses raios a um ponto chamado foco da parábola,

onde está um aparelho receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um

sinal que a TV transformará em ondas, que serão os programas que passam e as

pessoas assistem diariamente. Informações disponíveis em:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm.

Figura 13: Esquema de incidência de raios sobre uma Antena Parabólica

Esta aplicação fez com que os alunos observassem mais o que está ao seu

redor, pois, uma antena parabólica hoje, é um objeto comum à maioria das

residências, utilizando o meio de transmissão via satélite, porém, poucas pessoas

sabem como são captadas as ondas e dificilmente relacionam com conteúdos das

disciplinas de Matemática ou de Física.

2.4 Pontes Pênseis

Os comentários que seguem, sobre as pontes pênseis, foram extraídos da

tese de mestrado apresentada à UFRJ: “Programa para análise de superestruturas

de pontes de concreto armado e protendido” (MATOS, 2001: p. 35).

As pontes pênseis ou suspensas (figura 14), juntas com as estaiadas, são

aquelas que possibilitam os maiores vãos. Nelas o tabuleiro contínuo é sustentado

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por vários cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua

vez, ligam-se às torres de sustentação.

Os cabos comprimem as torres de sustentação, que transferem os esforços

de compressão para as fundações.

Nas pontes pênseis os tirantes são espaçados regularmente, então a carga

da ponte é uniformemente distribuída nos cabos e estes formam uma parábola.

Figura 14: Esquema de pontes pênseis

A ponte Akashi Kaikyo (figura 15) é atualmente a maior ponte suspensa do

mundo, com 3922 m de comprimento e o recorde de 1991 m de vão central.

Construída em 1998, esta ponte liga as cidades de Kobe e Awaji Island no Japão,

com o objetivo de estimular o crescimento econômico e o intercâmbio cultural do

oeste japonês.

Figura 15: Ponte Akashi Kaikyo, Japão

(disponível em: http://www.depedraecal.blogspot.com/)

Além dessa ponte os alunos puderam observar a aplicação desta parte da

Engenharia aqui no Brasil também, através da imagem da ponte pênsil Hercílio Luz

14

(figura 16), de Santa Catarina, cujo projeto foi de autoria dos engenheiros norte-

americanos Robinson e Steinmann. Inicialmente chamada de Ponte da

Independência por ser o primeiro elo de ligação entre a Ilha e o Continente, a ponte

recebeu posteriormente o nome de seu idealizador, o governador Hercílio Luz.

Informações disponíveis em:

http://www.guiafloripa.com.br/galeriadefotos/publicacao/index3.php?idtipo=12&idelemento=45

Figura 16: Ponte pênsil Hercílio Luz, Florianópolis – SC

3. Atividades práticas envolvendo Parábolas

3.1 Construção de Parábola pelo método da dobradura

A atividade proposta, “Construção da parábola pelo método da dobradura”

(figura 17) foi encontrada no trabalho, “As Cônicas e suas Aplicações: A construção

da parábola pelo método da dobradura” (SATO, 2004: p. 32), na qual foram

realizadas algumas adaptações para que facilitasse a sua compreensão dos alunos

e também o trabalho dos docentes que pretendem utilizá-la em suas aulas.

Os alunos realizaram esta atividade com grande empolgação, pois na medida

em que desenvolviam o trabalho, verificavam a formação da parábola, momento

este, que foi explorado para se afirmar que é suficiente uma reta (diretriz) e um

ponto fixo fora dela (foco), para se construir uma parábola.

Encaminhamento metodológico

Utilizar uma folha de papel-manteiga e prosseguir da seguinte forma:

1. Traçar uma reta diretriz d.

2. Marcar um ponto F fora dessa reta, que será o foco da parábola;

3. Tomar um ponto A da reta d;

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4. Traçar uma reta perpendicular r, à reta diretriz passando pelo ponto A;

5. Dobrar a folha fazendo sobrepor o ponto A ao ponto F (foco);

6. Traçar uma reta t coincidindo com a dobra feita;

7. Marcar o ponto de intersecção de t com r;

8. Repetir o processo, tomando outros pontos sobre a reta d;

9. Ligar os pontos de intersecção das dobras com as perpendiculares que

passam pelos pontos considerados sobre a reta d;

Figura 17: Parábola – Método da dobradura

As figuras 18 e 19, mostram fotos de alunos da 1ª série A – EM, Colégio

Estadual Dr. Ubaldino do Amaral (CEUA) do município de Santo Antônio da Platina,

que participaram do desenvolvimento da atividade: “Construção da parábola através

do método da dobradura”.

.................................................

Figura 18: Parábola confeccionada

pelo método da dobradura

Figura 19: Alunos construindo parábolas,

utilizando dobradura

3.2 Construção de Parábola, utilizando o software gratuito GeoGebra

16

O Geogebra é um software de matemática dinâmica, onde podem ser

trabalhados o cálculo, a geometria e a álgebra. Este software oferece a oportunidade

de visualizar a relação da representação algébrica com a geométrica de um objeto

em estudo, e por ser gratuito, pode ser baixado em qualquer computador, sem custo

e sem qualquer problema.

A idéia central da primeira parte desta atividade, foi extraída do trabalho “As

Cônicas e suas Aplicações: A construção da parábola pelo método da dobradura”

(SATO, 2004: p. 32), porém, com algumas adaptações para utilizar o software

gratuito Geogebra.

Conectando um notebook, que tinha o software gratuito GeoGebra instalado,

à TV Pendrive2, os alunos puderam acompanhar a construção da parábola, tendo

uma reta (diretriz) e um ponto fixo fora dela (foco). Posteriormente, os alunos

realizaram, com a orientação da professora, esta atividade no laboratório de

informática da escola, onde este software já se encontrava disponível.

Verificou-se uma das utilidades deste software, fazendo uso também, da

tecnologia que o Governo do Estado do Paraná disponibilizou às escolas públicas.

Realizando a atividade proposta

Para iniciar a atividade proposta, deve-se proceder da seguinte forma:

1) Abrir a tela do GeoGebra (figura 20). Entrar no menu exibir e desmarcar a

opção eixo;

2) Construir uma reta horizontal, que será a diretriz da parábola, utilizando a

ferramenta 3 e clicar em reta definida por dois pontos;

2.1) Ocultar os pontos A e B que aparecerão sobre a reta. Clicar sobre o

ponto A, com o botão direito do mouse e desmarcar a opção exibir objeto.

Repetir o procedimento para o ponto B;

2.2) Clicar sobre a reta com o botão direito do mouse, em seguida, ir para a

opção Renomear, digitar a letra d e clicar em Aplicar;

3) Marcar um ponto D sobre a reta d, utilizando a ferramenta 2, selecionando

Novo ponto;

4) Marcar um ponto F fora da reta, que será o foco da parábola;

5) Construir um segmento de reta DF, utilizando a ferramenta 3, selecionar a

opção Segmento definido por dois pontos, em seguida, clicar sobre os pontos

D e F;

2 TV com entrada para o dispositivo pendrive, instalada nas salas de aula das escolas públicas do Paraná.

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6) Construir a mediatriz m do segmento DF, utilizando a ferramenta 4,

selecionando a opção mediatriz, e clicar sobre o segmento DF;

7) Construir a perpendicular s à reta d, passando pelo ponto D. Usar a

ferramenta 4, selecionar a opção reta perpendicular, clicar sobre a reta d e

sobre o ponto D.

8) Marcar o ponto P de intersecção de t com s, utilizando a ferramenta 2.

Selecionar a opção intersecção de dois objetos, em seguida clicar sobre as

retas s e t.

9) Selecionar a mediatriz m, clicando sobre ela com o botão direito do mouse, ir

para a opção Habilitar rastro.

10) Selecionar o ponto P, clicando sobre ele com o botão direito do mouse, ir

para a opção Habilitar rastro.

11) Selecionar a ferramenta 1 (animação), clicar sobre o ponto D e arrastá-lo

sobre a diretriz d.

“O lugar geométrico do ponto P (rastro), quando D se move sobre a reta d, é o

que chamamos de Parábola” (figura 21).

Figura 20: Tela inicial do software GeoGebra

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12) Para desfazer os rastros da mediatriz m, clicar no menu Editar e selecionar a

opção desfazer, e começar a dinâmica novamente.

Figura 21: Parábola construída no GeoGebra, através de sua definição

Observação: Para alterar a cor dos objetos, basta clicar sobre eles com o botão

direito do mouse e selecionar a opção propriedades, em seguida clicar em cor, e

selecionar a cor desejada.

Após a conclusão desta atividade, os alunos puderam relacioná-la com a

atividade 3.1 (Construção da parábola pelo método da dobradura), entendendo

assim, o que significava o rastro da linha cinza, quando se movia o ponto D sobre a

diretriz, que era equivalente às dobras feitas no papel-manteiga.

O professor poderá orientar os alunos a construírem a reta diretriz em

posições diferentes, que não sejam perpendiculares e nem paralelas aos eixos x e y

do plano cartesiano, para que observem as diferentes direções das concavidades

das parábolas que se formam, confirmando que é necessário se ter apenas uma reta

diretriz e um ponto fixo fora dela para construir uma parábola.

Em seguida, deve-se dar procedimento ao assunto, construindo parábolas

utilizando o software Geogebra, mostrando a relação que há entre os coeficientes a,

b e c da função f(x) = ax2+bx+c e sua representação no plano cartesiano, pois, neste

momento a função quadrática já deve ter sido trabalhada com os alunos. Esta

atividade se encontra disponível em http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

Fotos do desenvolvimento da atividade:

“Construção da parábola utilizando o software GeoGebra”

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.............

.

Figura 22:Parábola construída no Notebook conectado à

TV Pendrive

Figura 23:Parábola na TV Pendrive conectada ao Notebook

Nas figuras 24 e 25, os alunos da 1ª série A – EM estão construindo

parábolas, utilizando o software GeoGebra, no laboratório de informática do Colégio

Estadual Dr. Ubaldino do Amaral em Santo Antônio da Platina.

...............

.

Figura 24: Alunos construindo parábolas no GeoGebra, no

laboratório de informática

Figura 25:Parábola construída por aluna, no software GeoGebra

3.3Construção de um refletor de raios luminosos

Esta atividade consiste em construir um refletor de raios luminosos, com o

formato de uma parábola, onde os raios de luz incidirão paralelamente ao eixo de

simetria da mesma, comprovando uma das propriedades das parábolas que são

utilizadas nas antenas parabólicas.

Materiais necessários:

um suporte de papelão grosso 30x30 (cm);

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uma folha de papel laminado;

uma cartolina;

um palito de madeira roliço;

cola;

fita adesiva transparente;

uma folha de papel sulfite;

uma régua de 30 cm;

um lápis;

um pedaço de folha de alumínio;

uma lanterna com feixe de luz ou um ambiente com iluminação solar;

Encaminhamento Metodológico

1. Construir o molde de uma parábola na folha de papel sulfite, utilizando a

construção da parábola pelo método da dobradura (Ver: Atividade 3.1, deste

material);

2. Recortar o molde da parábola e utilizá-lo para desenhar a mesma na

cartolina, que deverá estar colada no suporte de papelão (não se esqueça de

marcar o foco da parábola);

3. Recortar a folha laminada e dobrar ao meio para que fique uma superfície

mais firme, deixando 1,5 cm de borda picotada para dobrar e fixá-la

contornando a parábola, usando fita adesiva transparente;

4. Encapar o palito com o pedaço de folha de alumínio e colá-lo no foco da

parábola;

5. Utilizar a lanterna ou a luz solar, de forma que os raios de luz incidam sobre a

superfície parabólica da folha laminada, paralelamente ao eixo de simetria da

parábola. No caso do refletor (figura 26), foi utilizada uma lanterna com laser.

21

Observação: Podem ser traçadas linhas paralelas ao eixo de simetria da parábola

para colocar a lanterna sobre essas linhas, assim, se terá certeza de que os raios de

luz estarão paralelos ao eixo considerado.

Se alguma parábola não estiver com o molde correto, os alunos poderão

notar que os raios de luz não irão convergir ao foco, como se esperava, provando

que esta é uma propriedade particular das parábolas.

O professor poderá sugerir para alguns grupos que colem o palito fora do foco

da parábola, para observarem o que acontecerá com os raios que incidirão sobre a

superfície parabólica.

Os alunos poderão apresentar seus trabalhos aos demais colegas de sala,

sendo assim avaliados também neste aspecto. Este momento de conclusão do

trabalho deve ser aproveitado, para explorar os vários objetos que têm esta

aplicabilidade, e que são úteis no cotidiano, ou seja, as antenas parabólicas, os

faróis de carro, os holofotes e outros.

Esta atividade despertou o interesse dos alunos, tendo grande participação da

turma, pois, tiveram a oportunidade de observar uma das propriedades das

parábolas, principalmente ao fazer o teste utilizando caneta laser e a própria luz

solar.

Refletores confeccionados pelos alunos da 1ª série A – EM do Colégio

Estadual Dr. Ubaldino do Amaral

Figura 26: Raio de luz incidindo sobre a superfície parabólica, convergindo ao foco da parábola

............................

Figura 27: Figura 28:

22

Alunos da 1ª série A (CEUA)e seus respectivos trabalhos

Refletores confeccionados por alunosda 1ª A, CEUA

3.4 Confecção de um Cone e suas secções

Ao confeccionar um cone de uma folha e suas secções, é possível observar

as figuras geométricas que se formam de acordo com a inclinação do plano que

secciona o cone em relação a uma de suas geratrizes.

Com o objetivo de analisar a figura que se forma quando o plano que

secciona o cone é paralelo à geratriz considerada, ou seja, a Parábola, é que se

propõe esta atividade.

Materiais necessários

2 cartolinas de cores diferentes (preta e vermelha);

Ímã de geladeira;

Cola;

Tesoura.

Quando esta atividade for proposta aos alunos, eles já deverão ter estudado

em séries anteriores as figuras que se formam quando um plano intercepta a

superfície cônica, que se classificam como circunferência, elipse, parábola ou

hipérbole. Acredita-se que com uma rápida revisão os alunos já deverão se lembrar

das figuras, o que tornará mais fácil o trabalho. O molde de cada parte deste cone e

o procedimento metodológico desta atividade se encontram disponível em

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

É importante que o professor realize esta atividade, antes de aplicá-la aos

alunos, para que faça uma previsão das dificuldades que poderão encontrar, pois, é

uma atividade que necessita de certas habilidades com recortes e colagens.

Levando um modelo aos alunos, eles poderão observar como deverá ficar cada

parte do cone e o trabalho se tornará mais fácil de ser realizado (Ver figuras 29 e

30).

Após concluir a atividade Confecção do cone e suas secções, foi utilizada a

“Construção de Dandelin” (Figuras 9 e 10, p. 11 deste Material), para facilitar a

23

compreensão dos alunos ao analisar como originou a parábola durante a secção

cônica.

Fotos do cone e suas secções

......................................

Figura 29: Cone e suas secções

Figura 30: Separação de uma das partes do Cone

Fotos de Cones (figura 31) construídos pelas alunas da 4ª série A do Curso

Formação de Docentes do Colégio Estadual Rio Branco, durante o desenvolvimento

da atividade, “Confecção de Cone e suas secções”.

Figura 31: Cones confeccionados pelas alunas da 4ª série A (CERB)

Mais informações sobre estas atividades se encontram disponíveis em

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm.

4. Depoimentos de alguns participantes deste trabalho, desenvolvido no ano

letivo de 2008

4.1 Em relação às Aplicações das Parábolas no cotidiano, apresentadas neste

trabalho.

24

“Eu achei muito importante, pois, quando olho para uma antena parabólica e

um farol de carro eu sei que em uma coisa que parece simples, há muita

matemática.” (Dener, 1ª série A - EM, CEUA)

“Achei muito importante, passei a dar valor e entender as coisas, porque eu

mesmo não dava valor na matemática, achava a matéria chata, e me

perguntava: Por que vou precisar disso na minha vida? Mas agora vejo que é

diferente, que as coisas não são como a gente pensa”. (Lorena, 1ª série A - EM,

CEUA)

“Achei muito importante, foi diferente. Agora vejo que a vida é feita de

matemática. Vou precisar mais do que imaginava. Achei muito legal.” (Ana

Flávia, 1ª série A - EM, CEUA)

“Foi muito importante, porque agora é possível valorizar mais os conteúdos

que são trabalhados dentro da sala de aula, pois, eles são importantes e

realmente necessários na vida do ser humano. Por isso, não devem ser

memorizados mas sim, compreendidos para nunca serem esquecidos.”

(Márcia, 4ª série A - Formação de Docentes, CERB)

“Na teoria esse conteúdo parece ser muito complicado. Eu achava que não

tinha nenhuma utilidade, mas quando aprendi na prática, pude perceber que

o uso das parábolas é de grande importância para a construção de diversos

objetos que fazem parte da nossa vida e assim pude constatar a importância

do uso das parábolas.” (Fernanda, 4ª série A - Formação de Docentes, CERB)

4.2 Em relação às Atividades Práticas desenvolvidas neste trabalho

“Através das atividades práticas, entendemos e aprendemos mais do que na

teoria.” (Arianne, 1ª série A - EM, CEUA)

“Quando colocamos em prática o que aprendemos, fica melhor para entender,

e vamos lembrar dessas atividades sempre. Eu acho que se não tivéssemos

desenvolvido essas atividades, talvez não conseguiríamos entender o

conteúdo.” (Arielle, 1ª série A - EM, CEUA)

25

“Quando estudamos a teoria tudo parece muito difícil mas, ter a oportunidade

de participar desse trabalho, foi muito bom, pois pudemos compreender o

quanto o uso da parábola é importante e necessário para o nosso dia-a-dia,

pois, o conteúdo foi abordado de forma mais clara e objetiva.” (Fernanda, 4ª

série A - Formação de Docentes, CERB)

“As atividades desenvolvidas, além de tornarem as aulas mais agradáveis,

explanaram o conteúdo de forma concreta e prática, fato que facilitou a

compreensão sobre parábolas, e nos deu embasamento para futuras

intervenções pedagógicas no que diz respeito ao uso de materiais do

cotidiano para o desenvolvimento dos conteúdos teóricos.” (Rafaela de Andrade,

4ª série A - Formação de Docentes, CERB)

“Quando fazemos algo aprendemos muito mais do que quando só ouvimos e

olhamos. Aprendemos fazer (montar), onde buscar conhecimento e

informação para fazer.” (Rafaela Camila, 4ª série A - Formação de Docentes, CERB)

4.3 Em relação ao uso da tecnologia na explanação deste trabalho

“Muito bom, pois, nós não ficamos apenas nos textos, mas vimos imagens

que nos ajudaram a compreender mais rápido.” (Tiago, 1ª série A - EM, CEUA)

“Legal, pois, em vez de ficarmos escrevendo, copiando do quadro,

conseguimos entender o conteúdo de uma forma legal, rápida e prática.”

(Dener, 1ª série A - EM, CEUA)

“O uso da tecnologia foi uma excelente parceira para aumentar os

conhecimentos das alunas e também saindo da rotina de uma aula de

matemática” (Adelita, 4ª série A - Formação de Docentes, Col. Rio Branco)

“Foi muito importante, pois, se a tecnologia está tão avançada, porque não

usá-la para aprendermos mais, entendermos com mais facilidade e para

sabemos onde podemos sanar nossas dúvidas quando elas surgirem ou

quando precisarmos de um material de apoio, como por exemplo, o

GeoGebra.” (Rafaela Camila, 4ª série A - Formação de Docentes, CERB)

26

“Veio enriquecer todo o ensino. O que a professora Carminha passou primeiro

através das apostilas, a professora Tamy trouxe usando a informática. Esse

recurso nos dias atuais só acrescenta no aprendizado do aluno.” (Rafaela

Camila, 4ª série A - Formação de Docentes, CERB)

“Considero que a intervenção feita no Colégio Rio Branco foi um grande

sucesso. As alunas do 4º Ano do curso Formação de Docentes participaram

ativamente tanto na construção da parábola em papel dobradura, quanto na

construção do refletor, além da montagem do cone com suas secções,

salientando entre essas, a parábola e suas aplicações. Há algumas alunas

que pretendem prestar vestibular na área de Matemática, então para elas foi

ainda melhor conseguir visualizar as parábolas não só como meras teorias,

mas, como algo palpável que se possa aplicar na sociedade moderna sob a

forma de antenas parabólicas, das belas pontes suspensas, dos grandes

fornos solares, entre outras aplicações.” (Profª. Maria do Carmo, CERB)

5. SUGESTÕES DE LEITURA

5.1 Livro

GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso

mundo da matemática, p. 78-81. 1 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2006.

O Capítulo X do livro “A Rainha das Ciências”, traz um resumo de parte da

vida de Apolônio, conhecido na época, como O Grande Geômetra. Foi o primeiro a

empregar os termos elipse, hipérbole e parábola e a gerá-las a partir de secções

planas de um cone com duas folhas. Mas, o caminho que seguiu, embora fosse de

grande precisão, era muito trabalhoso. Esta obra traz uma forma mais simples de

provar que as três curvas podem ser obtidas seccionando-se um cone de duas

folhas por um plano de inclinação variável em relação a seu eixo, encontrada por

Germinal Dandelin.

5.2 REVISTA CIENTÍFICA

EDUARDO, W. Por que as antenas são parabólicas. Revista do Professor de

Matemática, São Paulo, n. 33, p. 10-15. Quadrimestral. 1997.

27

Este artigo apresenta a definição de parábola e obtém a sua equação.

Investiga também algumas de suas propriedades, que vem justificar a necessidade

das antenas e os espelhos serem parabólicos. Comenta a relação que há entre uma

das propriedades da parábola e a convergência ao foco dos raios que incidem sobre

a superfície parabólica, relacionada à lei de Física: “O ângulo de incidência é igual

ao ângulo de reflexão”.

5.3 ENDEREÇOS ELETRÔNICOS:

5.3.1 BARBIERI, A. F.; SODRÉ, U. Ensino Fundamental: Função quadrática

(Parábola). Disponível em:

<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm>.

Acesso em: 28 nov. 2007.

Esta página apresenta várias aplicações das parábolas, que podem ser

trabalhadas em sala de aula. Mostra algumas funções da superfície parabólica na

Física de forma fácil de compreender, auxiliando na contextualização deste

conteúdo.

5.3.2 Título: Ponte Akashi-Kaikyo. Disponível em:

<http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/Estruturas/akashi.htm>

Acesso em: 15 fev. 2008.

Este site traz um documentário sobre a ponte pênsil Akashi-Kaikyo, no Japão.

Mostra sua localização e sua importância econômica e cultural para aquela região.

Salienta o desafio que foi para a Engenharia, não só pela sua grandiosidade, mas

pelas condições naturais do estreito, tendo que garantir a pesca e o tráfego marítimo

no local.

Este documentário relata a construção detalhadamente desta ponte e

apresenta suas fotos, onde se pode observar a sua estrutura e a formação da

parábola.

Conclusão

28

Durante o desenvolvimento deste trabalho, observou-se grande interesse dos

alunos participantes e também de docentes nas aulas de matemática, pois,

passaram a conhecer algumas aplicações das parábolas, que julgavam não ter

utilidade na prática, ou, que suas aplicações estavam muito longe de sua realidade.

Quando se iniciaram as atividades práticas, a empolgação dos participantes

não diminuiu, pois, eram atividades em que puderam observar como funcionam os

objetos que fazem parte de seu cotidiano. Ao utilizar o computador e a TV Pendrive,

durante a apresentação do material que seria desenvolvido e a realização de

algumas atividades no laboratório de informática da escola, os alunos participaram

ativamente, comprovando a importância da tecnologia atual no processo ensino-

aprendizagem.

No bimestre em que foi desenvolvido este trabalho, houve um melhor

aproveitamento de conteúdo comparando com os bimestres anteriores, já que os

discentes foram avaliados quanto à participação no decorrer das atividades e

durante a explanação das mesmas, aos demais colegas, onde puderam mostrar o

grau de assimilação do conteúdo abordado. Isso mostra que quando se apresenta

aplicações do conteúdo matemático trabalhado e se desenvolve atividades práticas

relacionadas a ele, a sua assimilação torna-se muito mais rápida e significativa aos

alunos.

Concluímos então que o professor não deve medir esforços e aceitar o

desafio de procurar aplicações dos conteúdos matemáticos no cotidiano, assim

como desenvolver atividades práticas que os envolvam, para que se possa

despertar o interesse dos alunos e aumentar sua participação durante as aulas de

matemática, sanando a maioria das dificuldades encontradas atualmente ao lecionar

esta disciplina.

Referências Bibliográficas

BARBIERI, A. F.; SODRÉ, U. Aplicações práticas das parábolas. Antenas parabólicas. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm>. Acesso em: 28 nov. 2007.

EDUARDO, W. Por que as antenas são parabólicas. Revista do Professor de

Matemática, São Paulo, n. 33, p.10-15. Quadrimestral. 1997.

GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 1. ed. São Paulo. Livraria da Física, 2006. p. 80-81.

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LUZ, A. M. R; ALVES, B. A. Física. De olho no mundo do trabalho. 1. ed. São Paulo. Scipione, 2005. p. 283-284.

MACHADO, M. T. G. Trabalhos da Professora Mirtes. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/pde.htm>. Acesso em: 04 nov. 2008.

MARQUES, J. De Pedra e Cal. Akashi Kaikyo - A rainha das pontes suspensas. Disponível em: <http://www.depedraecal.blogspot.com/> . Acesso em: 06 nov. 2007.

MATOS, T. S. Programa para análise de superestruturas de pontes de concreto armado e protendido. p. 35. Dissertação de Mestrado em Ciências Sociais – UFRJ, Rio de Janeiro, 2001. Disponível em: <http://www.coc.ufrj.br/teses/mestrado/estruturas/2001/teses/ MATTOS_TS_M_01_t_M_est.pdf >. Acesso em: 28 nov. 2007.

PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo. Moderna, 1999. p. 378-380.

SATO, J. As Cônicas e suas Aplicações: A construção da parábola pelo método da dobradura. p. 32. Disponível em:

<http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf>. Acesso em: 19 nov. 2007.

Documentos Consultados On-line

Forno solar Odeillo, França. Disponível em:<http://www.mdig.com.br/?itemid=3922>. Acesso em: 09 nov. 2008.

Galeria de Fotos do Guia Floripa. Disponível em: <http://www.guiafloripa.com.br/galeriadefotos/publicacao/index3.php?idtipo=12&idelemento=45>. Acesso em: 24 set. 2008.

GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms>.Acesso em: 08 set. 2008.

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