DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 · ... [email protected] Trabalho: Unidade Didática Tema:...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
MARIA JUREMA DE SOUZA
MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – A CONTRIBUIÇÃO DO
SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO / APRENDIZAGEM DE
FUNÇÕES
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ – UEM
FACULDADE ESTADUAL DE CIÊNCIAS E LETRAS DE CAMPO MOURÃO –
FECILCAM
ORIENTADOR: PROFª VALDETE DOS SANTOS COQUEIRO
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
CAMPO MOURÃO – PR
2010
MARIA JUREMA DE SOUZA
MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – A CONTRIBUIÇÃO DO
SOFTWARE EDUCATIVO GEOGEBRA NO ENSINO / APRENDIZAGEM DE
FUNÇÕES
UNIDADE DIDÁTICA APRESENTADA AO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO
EDUCACIONAL (PDE).
ORIENTADORA: PROFª ME. VALDETE DOS SANTOS COQUEIRO. UEM /
FECILCAM.
CAMPO MOURÃO
2010
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IDENTIFICAÇÃO
Professora PDE: Maria Jurema de Souza
e-mail; [email protected]
Professor Orientador Valdete dos Santos Coqueiro
e-mail: [email protected]
Trabalho: Unidade Didática
Tema: Mídias Tecnológicas no Ensino da Matemática – A contribuição do software educativo
Geogebra no ensino / aprendizagem de funções.
Disciplina: Matemática
Nível de Ensino: Ensino Médio
Conteúdo Estruturante: Funções
Conteúdo Específico: Função: Afim, Quadrática, Modular e Translação de Gráficos.
FECILCAM – Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão - Paraná.
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1 INTRODUÇÃO
Esta Unidade Didática tem como principal objetivo formular material didático de apoio aos
professores do Ensino Médio, apresentando instruções de utilização do software GeoGebra na
abordagem de conteúdos de funções. O uso deste software facilita a compreensão e
aprofundamento dos conceitos por parte dos alunos. Pretende-se mostrar que é possível
utilizá-lo como ferramenta que desperte no aluno, o interesse pela busca do conhecimento
matemático por meio da dinamicidade presente no GeoGebra.
Assim ao elaborar esta unidade didática que trata sobre o conteúdo de funções, pretende-se
apresentar uma proposta de trabalho para a sala de aula usando as novas tecnologias, em
especial o software GeoGebra, atendendo a uma nova política educacional proposta pela
Secretaria de Estado da Educação (SEED) ao programa de desenvolvimento educacional
(PDE) e um dos recursos oferecidos pela SEED é o laboratório de informática, pois as escolas
públicas de todo o estado estão equipadas com computadores, nos quais já está instalado o
software GeoGebra.
O uso da tecnologia na escola é fundamental tanto para alunos como para professores,
auxiliando no processo ensino aprendizagem, quando utilizado de maneira correta. A
educação deve dar prioridade no acompanhamento dessas tendências tecnológicas, pois, se
não houver criatividade e inovação não haverá evolução cultural e social. E com essa visão, é
que nos propomos elaborar essa unidade didática, que irá abordar as ferramentas do software
GeoGebra, como auxiliar de uma aprendizagem significativa.
Espera-se por meio dessa Unidade, desenvolver o ensino de funções com compreensão e
significado, pois as atividades apresentadas, referentes a função afim, função quadrática,
função modular, função exponencial, função inversa e translação de gráficos foram elaboradas
com a intenção de auxiliar o aluno a conceituar, identificar e aplicar os conceitos matemáticos
em outras áreas do ensino além da Matemática e em situações do cotidiano.
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2 FUNÇÕES
Função é uma regra de correspondência, que associa a cada elemento x de um certo conjunto, chamado de domínio da função um único elemento y em um outro conjunto chamado de contradomínio da função. (GERÔNIMO, 2010, p.176).
Esta Unidade Didática apresenta, reflete e utiliza o software livre: GeoGebra, a fim de
proporcionar o uso dessa ferramenta pedagógica no Ensino de Matemática, na busca de
aprendizagens significativas que possibilitem a re(construção) de conhecimentos e mudança
de atitudes.
Será oportunizado o uso desse software, como instrumento de ensino-aprendizagem
facilitadora do ensino, possibilitando o desenvolvimento de atividades investigativas no
conteúdo de funções, buscando trabalhar os conceitos matemáticos na função afim, função
quadrática, função modular, função exponencial, função inversa e translação de gráficos
esperando que favoreçam uma melhor compreensão dos conteúdos matemáticos, voltados
para o Ensino Médio.
Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma relação entre grandezas, como
por exemplo, o valor a ser pago na conta de luz de determinada casa depende do consumo
medido no período; o tempo de uma viagem de automóvel entre duas cidades, depende da
velocidade média desenvolvida, assim fica claro que “função” é uma maneira de associar à
cada valor da variável x um único valor da função f(x).
Usamos então a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre
duas ou mais grandezas, que pode ser demonstrada por meio de uma fórmula, de gráfico ou
entre diagramas representando os dois conjuntos numéricos.
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3 GEOGEBRA
O programa desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da Universidade de Salzburg,
com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática, e de maneira a facilitar sua utilização,
pode ser encontrado no endereço: www.geogebra.at.
Com este programa é possível trabalhar os conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo O
software permite relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos
níveis de ensino.
O GeoGebra é um software de acesso livre, (é permitido utilizar, copiar e distribuir o
aplicativo para fins não comerciais) e por isso mesmo poder vir a ser um importante aliado
dos professores como recurso metodológico na abordagem de diversos conteúdos trabalhados
na Educação Básica (Ensino Fundamental e Médio), especialmente Geometria e Funções.
A grande vantagem de sua utilização é que as construções feitas no GeoGebra são dinâmicas, isto é, podem ser manipuladas com o auxílio do mouse. Essa característica do software permite que, durante as aulas possa haver uma abordagem mais experimental e construtiva, através da exploração do mesmo (GERÔNIMO, 2010, página 01).
Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos conhecer sua interface,
conforme nos mostra a figura 01, que se refere a tela inicial do GeoGebra. Nela podemos
observar as duas janelas: a janela algébrica (em vermelho ou à esquerda) e a janela geométrica
(em azul ou à direita).
A janela algébrica pode ser fechada, clicando no × que aparece no canto direito superior.
Para visualizá-la novamente, clique em Exibir (no alto da tela) e selecione Janela de álgebra.
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Figura 1 – Tela inicial do GeoGebraFonte: nome do site www.geogebra.at.
Na tela inicial, podemos visualizar 11 janelas, como nos mostra a figura 02, sendo que estas
nos oferecem recursos para trabalharmos com o software em questão:
Figura 2 – Janelas do GeoGebra
Fonte: www.geogebra.at
Ao clicarmos em cada uma destas janelas, elas nos darão opções de trabalho, como pode ser
verificado a seguir:
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Algébrica Geométrica
Janela 1
Figura 3 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 4 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 5 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
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Janela 2
Janela 3
Janela 4
Figura 6 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 7 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 8 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 9 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
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Janela 6
Janela 7
Janela 5
Figura 10 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 11 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
Figura 12 – Janelas do GeoGebra
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Janela 8
Janela 9
Janela 10
Fonte: www.geogebra.at
Figura 13 – Janelas do GeoGebraFonte: www.geogebra.at
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JANELA 11
4 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
Este tópico da Unidade Didática estará assim dividido:
No primeiro momento, têm-se a intenção de apresentar o software GeoGebra aos professores,
para que possam familiarizar-se com as ferramentas por ele oferecidas, pois nem todos o
conhecem. Isto será realizado por meio de apresentação de slides.
No segundo momento, serão explorados os conteúdos de funções em consonância com o
software já instalado nos computadores do laboratório de informática. Nesse momento o
professor poderá conhecer o GeoGebra por meio de atividades propostas, seguindo algumas
instruções existentes nessa unidade didática.
O terceiro momento será reservado ao professor, para que após a análise do software em
questão, avalie a importância da tecnologia na aprendizagem. Aqui o professor também
deverá fazer relatório das atividades propostas, bem como seu aproveitamento do curso.
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5 ATIVIDADES DE FUNÇÕES NO GEOGEBRA
ATIVIDADE 1
FUNÇÃO AFIM
Objetivo:
- Estudar a função afim, cujo gráfico é uma reta não paralela vertical;
- Compreender o significado de coeficiente angular e linear;
- Analisar gráficos para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.
- Reconhecer uma função constante.
Definição
Uma função RRf →: chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal
que baxxf +=)( , para todo IRx ∈ .
Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento
a) No campo de Entrada digite a função 3*2)( += xxf , pressione a tecla Enter;
- Defina uma outra função g com o mesmo valor para a e variando o valor de b. O que
acontece com a reta quando alteramos o valor de a para -1?
- Fixe agora, esse parâmetro (a= -1) obtendo a função 3)( +−= xxh .
- O que acontece quando mudamos o valor de a para -3, nesta função?
- E quando mudamos o valor de b para 1? E para -2?
b) Na janela geométrica insira os seletores a e b ;
- No campo de Entrada digite a função bxaxf += *)( , pressione a tecla Enter;
- Aparecerá o gráfico.
- Mova o seletor a . O que se pode observar na reta, se a é positivo? E se a é negativo?
- Mova o seletor b . Qual o comportamento da reta?
- Qual coeficiente deverá ser alterado para que tenhamos uma função crescente, decrescente
ou constante?
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- Em que ponto o gráfico da função intercepta o eixo das ordenadas?
- Como pode ser classificada a reta, quando temos 0=a ?
- Em que ponto a reta intercepta o eixo x, quando temos 0=b ?
- Em quais intervalos a função é positiva? E negativa?
ATIVIDADE 2
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Objetivo:
- Reconhecer uma função quadrática, através de sua lei de formação;
- Estudar a função quadrática, cujo gráfico é uma parábola, e que sua característica depende
do valor de seus coeficientes.
-Identificar em que intervalos uma função quadrática apresenta crescimento ou decrescimento
através de seus coeficientes, bem como seus pontos de máximo e de mínimo;
- Compreender quando a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo;
- Analisar gráficos para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento, vértices da parábola e
as raízes da função quadrática, usando os comandos no software em questão.
- Explorar os recursos do software em questão para a aprendizagem da função quadrática
Definição
É aquela que transforma um número real x em um número real y onde cbxaxy ++= 2
para algum IRcba ∈,, com 0≠a
Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento
a) Dada a função f definida por 123)( 2 ++= xxxf
- Digite no campo de entrada a expressão 1*22^*3)( ++= xxxf , e pressione a tecla Enter.
- Na janela 2, clique em “ intersecção de dois objetos”;
- De um clique na função )(xf e no Eixo x, para encontrar a intersecção da função com o
eixo x. Que valores você encontrou?
- Essa função possui raízes reais?
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- A parábola originária da função tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? O que
determina essa característica?
- Obtenha a função )(xg multiplicando a função f por 2 e )(xh multiplicando por -3. O
que se pode observar no gráfico de cada uma das funções?
- Verifique em que intervalos a função )(xf , )(xg e )(xh é positiva? Qual é o vértice da
função )(xg e )(xh e o seu ponto de máximo e de mínimo?
- Determinar o Vértice da parábola usando o comando Extremo [ ]f , que se encontra na 3ª
Barra de rolagem, do Campo de Entrada.
b) Na janela geométrica insira três seletores: """","" ceba .
- No Campo de Entrada, digite a expressão ( ) cxbxaxf ++= *2^* , pressione a tecla
ENTER.
- No Campo de Entrada digite )*2/( abXv −= , a seguir pressione a tecla ENTER.
- No campo de entrada digite cab **42^ −=∆ , pressione ENTER.
- No campo de Entrada digite )*4/( aYv ∆−= , pressione ENTER (Observe que o símbolo de
delta está na segunda barra de rolagem do Campo de Entrada)
- No Campo de Entrada, digite ),( YvXvV = . O ponto V que aparecerá na parábola é
chamado de Vértice. Você pode também fazer uso do comando Extremo [f] existente na 3ª
barra de rolagem do Campo de Entrada
- No campo de Entrada digite: Xvx = . Uma reta vertical aparecerá. Esta reta é chamada de
eixo de simetria.
- Ative a opção Mover (Janela1) e clique com o botão direito sobre o ponto V. Selecione
Propriedades, depois Básico e mude o estilo do rótulo, alterando para Nome&Valor.
- Altere o valor de """","" ceba .
- O ponto V será ponto de mínimo se................................. ?)00( <> aoua
- O ponto V será ponto de máximo se................................ ?)00( <> aoua
- Mova os seletores alterando os valores dos seletores a, b e c da função, sempre observando a
variação do gráfico de )(xf .
- Procure mover os seletores um por vez e observar o comportamento do gráfico da função,
quando você altera o valor de a .
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ATIVIDADE 3
TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS
Objetivo:
- Visualizar o movimento de translação do gráfico de uma função em relação ao eixo das
abscissas e ao eixo das ordenadas, no plano cartesiano ortogonal.
- Mostrar o movimento de translação a partir da comparação do gráfico da função do 2º grau
cbxaxy ++= 2 , onde 0≠a , com a função 2xy = .
Definição
Movimento direto em que cada ponto e sua imagem determinam retas paralelas.
Translação é a transformação em que todos os pontos de um gráfico se deslocam numa
mesma direção, sentido e de uma mesma distância.
Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento
a) Esta atividade tem por finalidade familiarizar o usuário com translações dos gráficos de
funções. Para isso, tomamos como exemplo a função 2^)( xxf = .
- Na janela geométrica, insira dois seletores a e b.
- No campo de entrada digite a função baxxg +−= 2)^()( , pressione Enter em seguida.
- Mova os seletores a e b observando a variação do gráfico de )(xg .
- Encontre o vértice da função através do comando Extremo [ ]g , e aparecerá
automaticamente o ponto A, renomeie-o para ponto P, clicando com o botão direito do mouse,
opção Renomear.
- Quando você altera o valor de a , o valor de P(vértice de g ) permanece o mesmo? E o
gráfico da função sofreu modificações? Qual dos dois seletores é preciso alterar para que
tenhamos o gráfico transladado para cima?
- Simule translações para os outros tipos de funções. A translação foi vertical ou horizontal?
-Em uma nova janela, insira o seletor a e as funções 22)^1(*3)( ++= xxp ,
22)^1(*3)( +−= xxm e ( ) 2^* xaxg = , no campo de entrada.
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- Compare o gráfico da função p com a função 22)^1(*3)( +−= xxm . A translação do
gráfico foi de quantas unidades? E se compararmos com a função ( ) 2^* xaxg = , o que se
pode observar?
b) Com o auxilio do Geogebra construa os gráficos da função xxf =)( e responda as
seguintes questões:
- Se somarmos a função f por -3 como fica o gráfico da nova função?
- Construa no mesmo plano o gráfico da função f e o gráfico da nova função.
ATIVIDADE 4
FUNÇÕES MODULARES
Objetivo:
- Conceituar módulo e construir gráficos de função modular.
- Retratar de maneira clara e simples que uma função modular apresenta uma imagem
positiva.
- Associar a função modular com a composição de funções, em especial com a translação de
gráficos de uma função em relação aos eixos x e y.
- determinar alguns pontos notáveis oriundos de propriedades da parábola, como o vértice e
os intervalos de crescimento e decrescimento.
Definição
Dado um número real x , sempre existe x e seu valor é único. Temos então uma função de
IR em IR que será chamada de função modular. O domínio dessa função f são todos os
reais e a imagem [ ]+∞,0 ou simplesmente: IRfD =)( e += IRf )Im(
Denomina-se função modular a função f de IR em IR , tal que xxf =)( , ou seja:
=)(xf
<−≥
0,
0,
xp arax
xp arax
Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento
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a) - Insira dois seletores a e b
- Vamos fazer o uso do comando Função.
- No campo de Entrada digite: Função.
- Logo aparece na barra de comandos Função [ ] , e entre os colchetes digite a Função
( )[ ]baxabs ++ ) pressione a tecla Enter e aparecerá o gráfico.
- Após isso, movimente os seletores para ver a modificação ocorrida no gráfico.
- O que acontece com o gráfico, quando você altera o valor do seletor a ? Como o gráfico se
desloca?
- Qual seletor deve ser alterado para que eu tenha o gráfico deslocado para baixo? O valor
atribuído ao seletor deve ser positivo ou negativo?
b) Dado as funções:
)(xf = abs(x)
)(xg abs(x^2+x+2)
)(xh abs(x^2 - 4x)
- Construa na mesma janela as três funções;
- Observe os gráficos e encontre os pontos de intersecção entre as funções hegf ,,
existentes nos gráficos, fazendo uso da janela 2- Intersecção de dois objetos;
- Em que ponto ocorreu a intersecção do eixo x e )(xh ?
- Existem pontos de intersecção das funções )(xg e )(xf com o Eixo y?
- Quais são as coordenadas do Vértice de )(xf ?
ATIVIDADE 5
FUNÇÃO INVERSA
Objetivo
- Construir o gráfico da função inversa.
- Compreender que o gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função de origem,
em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares.
Definição
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Dada uma função bijetora BAf →: , chama-se função inversa de f a função ABf →− :1 ,
tal que ( ) ( ) 1,, −∈⇔∈ fabfba .
Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento
a) No campo de entrada digite a Função [ ]10,0,2^x , pressione a tecla Enter.
- No campo de entrada, digite a função identidade xy = , pressione a tecla Enter.
- Clique na janela 4 e escolha a opção “Reta perpendicular”.
- Clique na janela geométrica, criando o ponto )(A . Clique na reta xy =
- Na janela 2, escolha a opção “ intersecção de dois objetos”, a seguir clique na função )( f e
na reta perpendicular a reta xy = , obtendo o ponto B .
- Na janela 9 escolha a opção “Reflexão com relação a uma reta”, clique no ponto B e na
reta xy = criando o ponto 'B .
- Clique com o botão direito em cima do ponto 'B e escolha a opção “Habilitar rastro”.
- Clique na janela 1, e escolha a opção Mover.
- Em seguida clique em cima do ponto A e vá arrastando o mouse. Aparecerá o gráfico da
função inversa.
b)Analisar o gráfico de uma função e de sua inversa utilizando a dinâmica do software.
- Para cada função, obtenha sua função inversa. Em seguida, utilizando o software GeoGebra,
e num mesmo sistema de coordenadas, esboce o gráfico da função, de sua inversa e o da
função identidade.
b1) 3*2)( −= xxf
b2) 12/)( += xxg
b3) 33^)( += xxf
ATIVIDADE 6
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Objetivo
- Reconhecer e resolver função exponencial;
- Analisar, construir, ler e interpretar gráficos da função exponencial;
- Caracterizar uma função exponencial por meio de seu comportamento variacional;
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- Estabelecer relações entre o coeficiente a , e a forma e posição do gráfico.
Definição
Dado um número real a ( 0>a e )1≠a , chamamos de função exponencial de base a ,
a uma função f de IR em +*IR definida por { }xaxf ^)( = ou { }xay ^= .
Etapas da construção da atividade e Desenvolvimento
a) Construa o conceito de Função Exponencial no GeoGebra.
- Na janela geométrica, insira um seletor, denominado “a” com variação [ ]5,5− ;
- Digite no campo de entrada a função xaxf ^)( =
- Mova o parâmetro “a” e observe atentamente o que acontece com o gráfico construído.
- O que ocorre quando você varia o valor de “a”? Por quê?
- O que acontece com a sua função quando o parâmetro “a” é um?
-
- É possível que o gráfico de uma função exponencial passe por todos os quadrantes? Por
quê?
- Para quais valores de a a função exponencial é crescente? E decrescente?
b) Construa o gráfico da função xy ^2= . Com base nele, faça os gráficos das funções
1^2 += xy e 1^2 −= xy , num mesmo plano cartesiano. Que diferenças pode ser observadas
entre os três gráficos?
REFERÊNCIA
20
Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática/Atividades.Disponível em:
http.wikibooks.org/wiki/...GeoGebra. Acesso em 23/06/10
ARAUJO, Luis Cláudio Lopes de. Aprendendo matemática com o geogebra/ Luis Cláudio
Lopes de Araújo, Jorge Cássio Costa Nóbriga.- São Paulo: Editora Exato, 2010.
DANTE, L. Roberto. Matemática: contextos & aplicações. Volume Único. São Paulo: Ática,
2003.
GAUDÊNCIO, R. Um estudo sobre a construção do conceito de função. Natal: Universidade
Federal UFRN, 2000. (Tese de Doutorado).
GERONIMO, João Roberto. Geometria Euclidiana: um estudo com o software Geogebra?
João Roberto Geronimo, Rui Marcos de Oliveira Barros, Valdeni Soliani Franco. Maringá:
Eduem, 2010.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática fundamental: uma nova abordagem: ensino médio:
volume único/José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, Jose Ruy Giovanni Junior. – São
Paulo: FTD, 2002.
Instituto de Matemática - UFRGS http://edumatec.mat.ufrgs.br . Acesso em 22/06/10
SOUZA, Sérgio Albuquerque de. Disponível em: www.mat.ufpb.br/... geogebra . Acesso em
05/07/10
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