Universidade Estadual de Campinas

DANIEL CAMPOLINA PACCI

CAMILA TAKEUTI VAZ RODRIGUES

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Campinas

2013

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DANIEL CAMPOLINA PACCI

CAMILA TAKEUTI VAZ RODRIGUES

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Trabalho do curso de licenciatura de

matemática da matéria MA 148:

Fundamentos de Matemática.

Professor: Fernando Torres.

Campinas

2013

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RESUMO

Nosso estudo tem como objetivo ter uma visão geral sobre a sequência de

Fibonacci e suas aplicações desde o surgimento do problema de reprodução

de coelhos, até a sua ligação com a proporção áurea.

Procuramos centrar a pesquisa em algumas propriedades e curiosidades da

sequência, principalmente nas que foram necessárias para desenvolver sua

relação com a proporção áurea.

As aplicações da sequência de Fibonacci foram encontradas nas mais diversas

formas, nós tentamos centrar a pesquisa na relação da sequência a proporção

áurea.

Palavras-Chave: Sequência de Fibonacci, aplicações, relação, proporção

áurea.

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SUMÁRIO

1 BREVE HISTÓRICO ..................................................................................................................... 5

1.1 BIOGRAFIA DE LEONARDO FIBONACCI ................................................................................ 5

2 REPRODUÇÃO DOS COELHOS ................................................................................................ 7

2.1 REPRESENTAÇÕES ALTERNATIVAS ............................................................................... 9

3 APLICAÇÕES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI E SUAS PROPRIEDADES MATEMÁTICAS 11

3.1 APLICAÇÕES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI................................................................. 11

3.2 O NÚMERO OURO ................................................................................................................ 14

3.3 A CONEXÃO ENTRE O NÚMERO OURO E A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ................... 17

3.4 RELAÇÃO DO TRIÂNGULO DE PASCAL E OS NÚMEROS DE FIBONACCI .................. 20

4 BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 21

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INTRODUÇÃO

O trabalho tem como objetivo mostrar um pouco da história de Leandro

Fibonacci e como ele descobriu a sequência, a qual foi nomeada em sua

homenagem, mostrar sua relação com o número de ouro e algumas

curiosidades relacionadas ao mesmo.

A sequência de Fibonacci é bastante famosa e esconde em si a proporção

áurea, ou número de ouro, muito famoso também por ser uma constante

presente em vários seres da natureza, tal sequência foi descoberta num

problema clássico, o problema dos coelhos.

Procuramos focar na pesquisa das observações onde ocorre a sequência e a

proporção áurea.

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1. BREVE HISTÓRICO

1.1 BIOGRAFIA DE LEONARDO FIBONACCI

Fig. 1 - Leonardo de Pisa ou Fibonacci.

O seu nome completo é Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano e nasceu em

Pisa na Toscânia (Itália) por volta de 1175, e ficou conhecido como Leonardo

Fibonacci, devido ao fato de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que

queria dizer filho de Bonacci, e o nome de seu pai era Guilielmo Bonnacci.

Ocasionalmente, ele também assinava como Leonardo Bigollo (na Toscania,

Bigollo significava viajante).

No início do século XII, Pisa era um dos grandes centros comerciais italianos,

tais como Gênova e Veneza, e tinha vários entrepostos comerciais espalhados

pelos portos do Mediterrâneo.

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O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no

norte da costa da África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia), foi lá que

Leonardo iniciou os seus estudos de matemática com professores islâmicos.

Viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), onde o

sistema de numeração hindu era já largamente usado, encontrando-se com

estudiosos islâmicos em cada um dos locais que visitava e adquirindo, assim, o

conhecimento matemático do mundo árabe. Entrou em contato com os

procedimentos matemáticos orientais, com os métodos algébricos árabes e os

numerais indo-arábicos, conheceu a obra de al-Khwarismie assimilou

numerosas informações aritméticas e algébricas.

Em 1200 Leonardo regressa a Pisa e passam os 25 anos seguintes

escrevendo trabalhos onde incorpora os conhecimentos que tinha adquirido

com os árabes. O seu livro mais conhecido, um tratado de aritmética e álgebra

elementar, Líber Abaci (Livro de cálculo) foi escrito em 1202. Em 1220

escreveu Pratica Geometriae e em 1225, Líber Quadratorum e Flos.

Liber Abacci (o Livro do Ábaco ou do Cálculo) foi escrito por Fibonacci em

1202, e foi baseado na aritmética e "Álgebra" que Fibonacci aprendeu

durante as suas viagens pelo.

Mediterrâneo. Em 1228 o livro foi de novo publicado após uma revisão. Foi

muitas vezes imitado, ou mesmo copiado, servindo de modelo a

praticamente todas as aritméticas comercias da época medieval e

renascentista. Foi um dos primeiros a introduzir os numerais indo-árabes na

Europa. O livro tem uma forte influência árabe, contém não apenas as

regras para cálculo com os numerais indo-árabes, mas também diversos

problemas, que incluem questões, certamente muito úteis aos mercadores,

como o cálculo de juros, conversões monetárias, medidas, e outros tipos de

problemas que Fibonacci resolve recorrendo a diversos algoritmos e

métodos, entre eles o método da falsa posição e a resolução de equações

quadráticas.

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2. REPRODUÇÃO DOS COELHOS

No Livro Líber Abacci, é apresentado no capítulo 12, se encontra o seguinte

problema: “Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os

lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir

desse par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo

par, que é fértil a partir do segundo mês.”.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido

No início do 3o. mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.

No início do 4o. mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.

No início do 5o. mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.

No início do 6o. mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.

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O processo continuara através dos diversos meses até completar um ano.

Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também se pode

perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de

Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,..}

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo

2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo

3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo, etc..

f(1) + f(2) = f(3) f(2) + f(3) = f(4) f(3) + f(4) = f(5) f(4) + f(5) = f(6)

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula

abaixo, sendo os dois primeiros termos F0= 0 e F1= 1.

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2.1 REPRESENTAÇÕES ALTERNATIVAS

Função geradora

Uma função geradora para uma sequência qualquer é a função

ou seja, uma série potências formais em que cada coeficiente é um elemento

da sequência. Os números de Fibonacci possuem a seguinte função geradora

Quando se expande esta função em potências de , os coeficientes são

justamente os termos da sequência de Fibonacci:

Fórmula explícita

Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos

números de Fibonacci, que é F(n + 1) /F(n), tende à Proporção áurea,

denominada φ. Esta é a raiz positiva da equação de segundo

grau x² − x − 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φn,

teremos φn+2 = φn+1 + φn, então a função φn é uma sequência de Fibonacci. É

possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 − φ, tem as

mesmas propriedades, então as duas funções φn e (1 − φ)n formam outra base

para o espaço.

Ajustando os coeficientes para obter os valores iniciais adequados F(0) = 0

e F(1) = 1, tem-se a fórmula de Binet:

Este resultado também pode ser derivado utilizando-se a técnica de funções

geradoras, ou a técnica de resolver relações de recorrência.

Quando n tende a infinito, o segundo termo tende a zero, e os números de

Fibonacci tendem à exponencial φn/√5. O segundo termo já começa pequeno o

suficiente para que os números de Fibonacci possam ser obtidos usando

somente o primeiro termo arredondado para o inteiro mais próximo.

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Forma matricial

Para argumentos muito grandes, quando se utiliza um computador bignum, é

mais fácil calcular os números de Fibonacci usando a seguinte equação

matricial:

em que a potência de n é calculada elevando-se a matriz ao quadrado

repetidas vezes.

Um exemplo de aplicação desta expressão matricial é na demonstração

do teorema de Lamé sobre o algoritmo de Euclides para o cálculo do MDC.

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3. APLICAÇÕES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI E SUAS

PROPRIEDADES MATEMÁTICAS

3.1 APLICAÇÕES DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

São vastas suas aplicações e situações em que se encontra a sequência.

Falaremos de algumas relacionadas à espira de Fibonacci.

Primeiramente precisamos mostra o que é e da onde vem a Espira de

Fibonacci.

Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o

lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora

outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um

retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior

dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos

lados dos próximos quadrados é 3,5,8,13... Que é a sequência de Fibonacci.

Se você soma um número ímpar de produtos de números de Fibonacci

sucessivos, então a soma é igual ao quadrado do último número de Fibonacci

que você usou nos produtos.

Um exemplo: 1, 1, 2,3

1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 = 1 + 2 + 6 = 9

Como o último número dessa sequencia é 3, temos que 32 = 9.

Qualquer número ímpar de retângulos com lados iguais a números de

Fibonacci se encaixa precisamente em um quadrado.

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Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13,

de acordo com o desenho a cima, trace quartos de círculos nos quadrado de

lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

Esta é a espira de Fibonacci. Fizemos uma lista de alguns seres vivos que

aparece esta espira.

1- Concha do Caramujo

Cada novo pedacinho tem a dimensão da soma dos dois antecessores.

2- Camaleão

Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da espiral

de Fibonacci.

3- Elefante

Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo

chegaria à espira de Fibonacci.

4- Girassol

Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de

espirais: 21nosentido horário e 34 no anti-horário.

5- Pinha

As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a

de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário.

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6- Folhas

7- Olhos

E também o mais conhecido o Nautilus Marinho.

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3.2 O NÚMERO OURO

A proporção áurea, número de ouro, número áureo ou proporção de ouro é

uma constante rela algébrica irracional denotada pela letra grega (Phi), em

homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que teria utilizado para conceber o

Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.

Também é chamada de seção áurea, razão áurea, razão de ouro, média e

extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção, proporção em

extrema razão, divisão de extrema razão, ou áurea excelência. Numero de ouro

é ainda frequentemente chamado razoa de Phidias. O valor completo do

número de ouro é:

Para chegar a esse resultado Phideas fez uma serie de cálculos bem simples

que vamos tentar demonstrar:

A razão áurea é definida algebricamente como:

A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte

esquerda, resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por resulta:

Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando

todas as parcelas por encontramos:

que é uma equação quadrática da forma

em que

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Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

que é o número

Como é um número extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo

representa diretamente uma constante de crescimento.

O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de

Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos

dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior.

Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez

maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série

de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

, , ·, ·, .

Série de frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas,

normalmente representadas com [a,b,c,d,e], o que resulta em:

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A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma

representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo,

sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

Série de raízes

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3.3 A CONEXÃO ENTRE O NÚMERO OURO E A SEQUÊNCIA DE

FIBONACCI

De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

e os termos desta sequência são denominados números de Fibonacci. Pode-se tomar a definição desta sequência para todo n natural, como:

u(1)=1, u(2)=1 u(n+1) = u(n-1) + u(n)

Esta sequência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: Tomando as razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos outra sequência numérica cujo termo geral é dado por:

f(n)= u(n+1)

u(n)

que é uma sequência limitada. Se considerarmos a sequência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra sequência:

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666..., 8/5=1.6, ...

É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci:

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega Phi

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Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro.

Phi =

= Lim u(n+1)

u(n)

=1.618033988749895

Existem muitas sequências com as mesmas propriedades que a sequência de Fibonacci.

Exemplos:

A sequência abaixo indicada com a letra L recebe o nome de sequência de Lucas.

1. L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...} 2. A = {5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...} 3. B = {-8, -4, -12, -16, -28, -44, ...}

Podemos construir uma sequência de Fibonacci z=z(n) muito geral, onde z(1)=a, z(2)=b e tomar para todo n natural:

z(n+1) = z(n-1) + z(n)

Obteremos então:

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, ...

Fica fácil observar que

z(n) = a u(n-2) + b u(n-1)

Onde u=u(n) é a sequência normal de Fibonacci.

As diferenças entre elas estão relacionadas com a questão da convergência das razões de seus termos gerais pelos respectivos antecedentes, mas o valor Phi é exatamente o mesmo em qualquer caso.

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Obs¹: -Segmento Áureo.

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.

Isto significa que é possível obter um ponto D e permite obter um segmento

áureo neste segmento AB. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B

tal que a razão entre o segmento AB e o segmento AD seja =(1,61803...).

Isto significa que o maior segmento AD é 1,61803... vezes a medida do

menor segmento DB. Obs²: -Proporção Áurea no Ser humano.

A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.

A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.

A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.

A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do

dedo.

O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.

A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a

ponta.

Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem

Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

Dimensão do útero em mulheres jovens (16 e 20 anos), segundo o

pesquisador Jasper Vergtus, da Universidade de Leuven.9

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3.4 RELAÇÃO DO TRIÂNGULO DE PASCAL E OS NÚMEROS DE

FIBONACCI

Se n!=fatorial(n), denotamos por Cm,n a combinação de m elementos com a taxa n (tomados n a n), como:

Cm,n = m!

n!(m-n)!

O triângulo de Pascal pode ser obtido numericamente, somando-se dois números consecutivos da mesma linha com o resultado posto em baixo do segundo somando ou através das combinações que aparecem na tabela abaixo:

1=C00

1=C10 1=C11

1=C20 2=C21 1=C22 13=u7

1=C30 3=C31 3=C32 1=C33 1=C40 4=C41 6=C42 4=C43 1=C44

1=C50 5=C51 10=C52 10=C53 10=C54 1=C55

1=C60 6=C61 15=C62 20=C63 15=C64 6=C65 1=C66

A altura da combinação Cm,n é a soma dos índices que aparecem na combinação, isto é:

altura(Cm,n) = m+n

Por exemplo, as alturas das combinações C6,0, C5,1, C4,2, C3,3 são todas iguais a 6 e observamos que o 7o. Termo da sequência de Fibonacci é dado por:

u(7) = C6,0 + C5,1 + C4,2 + C3,3

Esta propriedade relaciona o triângulo de Pascal com os números de Fibonacci, mostrando que a soma de todas as combinações Cm,n que aparecem no triângulo de Pascal, com uma mesma altura p de tal modo que p=m+n e m>n, coincide com o termo de ordem p+1 da sequência de Fibonacci, isto é:

u(p+1) = Cp,0 + Cp-1,1 + Cp-2,2 + Cp-3,3 + ... + Cp-n,n

sendo que p deve ser maior ou igual que 2n.

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4. BIBLIOGRAFIA

http://drikamath.wordpress.com/2012/03/04/algumas-curiosidades-sobre-os-

numeros-de-fibonacci/

ROGÉRIO AUGUSTO FERREIRA

http://drikamath.files.wordpress.com/2012/03/tc-sequc3aanciadefibonacci.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci

http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea

http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-e-a-sequencia-de-fibonacci

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm