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Leñitas Geométricas

para el Fogón Matemático de los Festivales

De OMA para Profesores y Maestros

en actividad

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“Entender las matemáticas es demostrar formalmente lo que se ve intuitivamente, y ver intuitivamente lo que se demuestra formalmente”. George Polya

La Visualización como Método de Resolución de ProblemasPotencia de un punto respecto de una circunferencia

Dados una circunferencia C y un punto P, para cualquier recta r que pase por P y corte a la circunferencia en dos puntos A y B, y designando por PA⋅PB al producto orientado de las medidas de ambos vectores (si tienen el mismo sentido tomamos el producto como positivo, si tienen distinto sentido tomamos el producto como negativo), este producto es constante, sea cual sea la recta r.

B

OP

A

C

A’B’

Más aún, si la recta es tangente a la circunferencia y, por tanto, A = B, el resultado anterior también es verdadero.

Como consecuencia, podemos definir: potencia de un punto P respecto a una circunferencia C es el producto de segmentos orientados PA y PB , siendo A y B los puntos de intersección de una recta cualquiera que pase por P y la circunferencia C, llamando producto orientado al producto de sus medidas con signo positivo si ambos tienen el mismo sentido y con signo negativo si ambos tienen distinto sentido.

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Obtener y aprovechar las evidencias del pensamiento logrado por los alumnos. En la actualidad, estamos en un mundo rápidamente cambiante y los educadores tenemos en nuestras manos el trascendental problema de estudiar la educación más conveniente en métodos y contenidos, para que los futuros ciudadanos que hoy concurren a las aulas puedan desempe-ñarse con la máxima eficiencia en un mundo distinto –con el que se van a encontrar dentro de unos años–, para provecho propio y de toda la sociedad. A nuestro parecer, el Marco Nacional para la Mejora del Aprendizaje en Matemática apunta en esta dirección y nos desafía.

Una enseñanza efectiva debería utilizar los resultados alcanzados por sus alumnos, por una parte, para darles seguridad en sus posibilidades y evaluar el progreso en la comprensión y, por otra, para ajustar continuamente la enseñanza, de tal modo que fortalezca, profundice y optimice el aprendizaje. Para lograrlo es esencial ver que las ideas básicas del análisis elemen-tal, por ejemplo, orden, distancia, operaciones entre números, etc. nacieron de situaciones concretas y por lo tanto tienen una carga visual para aprovechar. Todo docente debería reconocer la utilidad de examinar estas ideas desde tan “humilde” origen y cómo lo consiguieron los que trabajaron en ello. Es importante sobre todo cuando tenemos que alcanzar destrezas en cuestiones abstractas o resultados importantes. Por ejemplo: teorema de Menelao-Ceva a propósito de la resolución de triángulos. En los libros del BUP de Miguel de Guzmán y otros, se lo puede ver en las secciones “Revista”, al final de cada capítulo.

EN LA PRÁCTICA DOCENTE

Nº 9 - 20 de junio de 2019

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s 9 Algunas conclusiones inmediatas de la definición anterior:

• La potencia de un punto exterior a la circunferencia siempre tiene un valor positivo, mayor cuanto más lejos se encuentre el punto de la circunferencia.

• La potencia de un punto que se encuentre sobre la circunferencia siempre es 0.• La potencia de un punto interior a la circunferencia es siempre negativa.• El centro de la circunferencia tiene como potencia: –r2, siendo r el radio.• El punto de menor potencia respecto a la circunferencia es el centro de la misma.

Problema A. Hallar el lugar geométrico de los puntos de igual potencia respecto de dos circunferencias.

R R

A

B

C

Eje radical

d1

r1r2

O2O1

d2

Es una recta ortogonal a la recta que une los centros de las dos circunferencias O1, O2; siendo A uno de los puntos buscados y r1 · r2 los radios respectivos. AB y AC , un par de tangentes iguales trazadas desde A con los respectivos radios en los puntos de contacto, forman ángulos rectos, luego se verifica:

AB2= AO1

2− r1

2 y AC

2= AO2

2− r2

2;

Como AB= ACAO1

2− r1

2 = AO22− r2

2

AO12− AO2

2= r1

2 − r22 = constante

Por consiguiente, A se encuentra en la perpendicular a O1O2 , lugar de los puntos cuya diferencia de cuadrados a las distancias a los centros O1, O2 es igual a r1

2 – r22.

Cuando las circunferencias se cortan, el eje radical pasa por los puntos de intersección. Si son tangentes, será la tangente común.

Eje radical Eje radical Eje radical

Finalmente, si son exteriores bastará cortarlos por un tercero, en donde las cuerdas comunes darán un punto desde el cual se traza la perpendicular a la línea de los centros, que será el eje buscado.

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O Oʹ

Esto nos dice que las tres líneas de igual potencia pasan por un punto llamado centro radical.

Hacer las construcciones siguientes

Problema B. Construir un triángulo conociendo a, A y b + c.

C

A

D

E

B

c1

En la figura de análisis se introduce b + c prologando AC en una longitud AD= c y uniendo D con B. El trián-

gulo CBD se puede construir, puesto que conocemos el ángulo D= A2

; el lado a, el CD y el vértice A vendrán

dados por la perpendicular EA! "!

trazada a BD! "!!

por su punto medio según c.

Se observa al mismo tiempo que, si BC es una cuerda y se prolonga la cuerda BA hasta un D tal que BD= DC , el lugar geométrico de D está en el arco capaz cuyo centro se determinó anteriormente para una cuerda BC .

Problema C. Construir un cuadrilátero inscriptible conociendo R, AC , BD y AB+ AD .

Supongamos el problema resuelto, y sea el cuadrilátero ABCD pedido. El triángulo ABD puede construirse como lo hemos hecho anteriormente, por conocer AB+ AD , BD y el ángulo A por estar inscripto en la circunferencia, como muestra la figura.

El vértice C también está sobre la circunferencia descripta desde A con un radio igual a la diagonal AC , y por otra parte la circunferencia circunscripta tiene un radio R, que se corta en dos puntos C y Cʹ. Habrá dos soluciones si AC < 2R , y ninguna si AC > 2R .

E

A D

C

BCʹ

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s 9 Problema D. Construir un cuadrilátero inscriptible conociendo AB , BC , AC y CD + DA .

El triángulo ABC, del que se conocen los tres lados, puede construirse inmediatamente. Luego se traza la cir-cunferencia circunscripta a este triángulo; y para hallar el cuarto vértice D conocemos AC , la suma CD+DA y el ángulo D, suplemento de B. Tal como lo vimos en un problema anterior, podemos construir el triángulo AEC cuyo lado AE corta a la circunferencia en D, que es el vértice buscado.

Problema E. Construir un triángulo del cual conocemos a, A y rA, siendo rA el radio del exinscripto en el ángulo A.

Sobre BC = a construimos el arco capaz del ángulo A, BDC, y obtenemos un lugar geométrico del vértice des-conocido. Por otra parte sabemos que la bisectriz va pasa también por A; luego, determinando ese segundo lugar, tendremos resuelto el problema.

DA

CR

M

P S

B

Aʹ

Pʹ

Pa

El punto medio M del arco BC pertenece a la bisectriz de A. Además, el lugar geométrico de los centros de los círculos exinscriptos a un ángulo A de un triángulo es un arco de circunferencia que tiene por centro al punto medio del arco BC. Como conocemos ra, para tener otro punto P de la bisectriz se traza la perpendi-cular RS = ra al lado BC , y por S se traza una paralela a la misma que pasa por el punto de intersección con la circunferencia de centro M, en dos puntos que unidos con M nos dan las bisectrices de los dos triángulos, lo que nos resuelve el problema.

La inversión. Una metamorfosis más divertida

La metamorfosis de la homotecia es la más antigua de la geometría. Fue conocida y utilizada por Tales de Mileto para múltiples usos, pacíficos y guerreros, tales como medir la altura de un árbol sin subirse a él, ave-riguar la distancia de un barco a la costa para lanzarle un catapultazo, etc. Pasaron muchos siglos, más de veinticuatro, antes de que hiciera su aparición otra metamorfosis mucho más original, la inversión, inventa-da por Jacob Steiner, un personaje curioso de las matemáticas.

Fijemos un punto del plano O y un número mayor que cero, por ejemplo 5. Cada punto P del plano, distin-to de O, se va a transformar ahora en otro Pʹ situado sobre la recta OP

! "!! y tal que las distancias OP y O ʹP

cumplan la relación OP ⋅O ʹP = R2 . Al punto O se le suele llamar centro o polo de la inversión y al número R2 potencia de la inversión.

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P’P

O

Por ejemplo, si R = 5 y OP = 6, entonces O ʹP =256= 4,1 .

¿Cómo se transforman mediante la inversión las figuras familiares del plano?

Los puntos de una recta que pasa por O se transforman, claramente, en puntos de la misma recta, como en la homotecia. Pero, al contrario que en ésta, cuanto más alejado esté P de O, más cercano estará Pʹ de O ya

que R2 = 25, O ʹP =25OP

. Si P está a una distancia 1.000 de O, entonces O ʹP = 0,025. Si P se acerca a O, por

ejemplo OP = 15

, entonces O ʹP = 125 , es decir, Pʹ se va alejando de O.

La inversión tiene una propiedad curiosa, que es la que motiva su nombre. Si transformamos P, obtenemos Pʹ, un punto del plano distinto de O. Pero Pʹ, como cualquier otro punto del plano distinto de O, tiene tam-bién su transformado Pʺ, situado sobre la recta O ʹP

! "!! (que es la misma que OP

! "!!) y a distancia

O ʹ́P =25O ʹP

=2525OP

=OP

Así, Pʺ coincide con P. Si se repite dos veces la metamorfosis, obtenemos el punto de partida. Pasa lo mismo que con los números: el inverso del inverso es el número inicial.

Sobre cada semirrecta que pasa por el centro de inversión hay un punto O ʹP =255= 5 , y así Pʹ coincide con P.

Se dice que P es invariante por la inversión, es decir, no varía al aplicarle la transformación.

Evidentemente, los puntos de la circunferencia de centro O y radio 5 son todos invariantes. Ya sabemos, pues, en qué se transforman una recta que pasa por el centro de inversión y la circunferencia de centro O y radio R. Esa recta se transforma en sí misma y la circunferencia también. Pero hay una diferencia: cada punto de la circunferencia es invariante, mientras que sobre la recta sólo hay dos puntos invariantes, los dos situados a distancia R a uno y otro lado de O.

Hasta ahora todo parece muy aburrido con la inversión. Esta impresión se refuerza cuando nos preguntamos qué figura será la transformada de una circunferencia de centro O y radio 10, por ejemplo.

P’ PO10

2,5

Si P está sobre esta circunferencia, entonces OP = 10 , O ʹP = 2,5 , y, así, la figura inversa de una circunferencia de radio 10 es otra circunferencia concéntrica de radio 2,5.

En general, la figura inversa de una circunferencia de centro el centro de inversión y radio r es otra circunferen-

cia del mismo centro y radio r*= R2

r. De tal forma que cuanto más grande sea la circunferencia original, más

pequeña será la circunferencia transformada, y al revés.

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s 9 Preguntémonos ahora cuál será la figura inversa de una recta l que no pasa por O, situada a distancia d = 8 de

O. El punto S de l en la figura irá a parar a Sʹ, situado a distancia O ʹS =R2

d.

Otro punto P de l irá a parar a Pʹ, y así tendremos OP ⋅O ʹP = R =OS ⋅O ʹS . Por tanto, OPO ʹS

=OSO ʹP

, y así los

triángulos OSP y OPʹSʹ son semejantes (ángulo en O común y lados adyacentes a O proporcionales), pero... ¡ojo con los lados homólogos!

PʹP

Sd

SʹO

En la semejanza, OP corresponde a O ʹS y OS a O ʹP ; el ángulo en Pʹ es igual al ángulo en S y, por tanto, es recto. ¡El triángulo OPʹSʹ es rectángulo en Pʹ!

Como esto vale para cualquier punto P sobre la recta, resulta: la figura inversa de la recta l que no pasa por el centro de inversión es la circunferencia de diámetro OSʹ. (Propiamente, hay que excluir de esa circunferencia el punto O que no corresponde a ningún punto de la recta, o, si quieres, corresponde al punto del infinito de la recta.) Como la inversa de la inversa es la figura inicial, resulta también que la figura inversa de la circunfe-rencia de diámetro OSʹ es la recta l.

Inversión respecto de una circunferenciaNuestra metamorfosis se va animando

Dada una circunferencia (Cr) de centro O y radio r, vamos a definir inverso de un punto A respecto de (Cr) a otro punto Aʹ que se encuentre en la semirrecta formada por O y A y que verifique:

OA⋅O ʹA = r2

B

A

AxAʹ

OCr

∠OBA = 90º, r =OB .Por el Teorema del cateto: OAOB

=OBO ʹA

⇒ r2 =OA⋅O ʹA

Algunas observaciones inmediatas de la definición anterior

Es una transformación simétrica: si A es inverso de Aʹ, Aʹ será inverso de A.

Si A es un punto de Cr, Aʹ = A. Ya que OA = r, OAʹ puede ser también r. (Caso trivial.)

Si A = O no tiene inverso, ya que OA = O. Es el único punto del plano que no tiene inverso. (Caso trivial.)

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s 9 Si A es interior a Cr, como OA < r, OAʹ puede ser mayor que r y, por tanto, Aʹ es exterior.

Si A es exterior a Cr, como OA > r, OAʹ debe ser menor que r y, por tanto, Aʹ es interior.

La inversión es una transformación que no mantiene las distancias.

También definimos como recta polar de un punto A respecto de una circunferencia a la perpendicular a la semirrecta OA por el inverso de A respecto de la circunferencia.

La construcción del inverso de un punto A respecto de una circunferencia puede verse como una aplicación práctica del Teorema del cateto. La inversión es una transformación con muchas aplicaciones prácticas en la resolución de problemas de tangencias entre rectas y circunferencias.

MÉTODOS PARA REALIZAR CONSTRUCCIONESLas transformaciones geométricas y la inversión

Observaciones generales. En este párrafo vamos a discutir algunos principios generales que pueden aplicarse a los problemas de construcción. Muchos de estos problemas pueden dominarse con más claridad desde el punto de vista general de las «transformaciones geométricas»; en lugar de estudiar una construcción parti-cular, vamos a considerar simultáneamente los problemas ligados por ciertos procesos de transformación. El poder de síntesis aclaratoria del concepto de clase de transformaciones geométricas no está en modo algu-no restringido a los problemas de construcción, sino que afecta a casi toda la geometría. Ahora trabajaremos con la inversión respecto de una circunferencia del plano, que es una generalización de la simetría ordinaria respecto de una recta.

Por transformación o representación del plano en sí mismo entendemos una ley que asigna a cada punto P del plano otro punto Pʹ, llamado imagen de P en la transformación; el punto P se llama antecedente de Pʹ. Un ejemplo sencillo de tal transformación es la simetría del plano respecto de una recta L, como en un espejo; un punto A, situado a un lado de L, tiene como imagen el punto Aʹ del otro lado de L, y tal que L es la mediatriz del segmento A ʹA . Una transformación puede dejar fijos ciertos puntos del plano; en el caso de la simetría, esto ocurre para los puntos de L.

L

A Aʹ

Otros ejemplos de transformaciones son: las rotaciones del plano alrededor de un punto fijo O; las trasla-ciones paralelas, que trasladan cada punto una distancia d en una dirección dada (tales transformaciones no dejan puntos fijos); y, más en general, los movimientos rígidos del plano, que pueden imaginarse como compuestos de rotaciones y traslaciones paralelas.

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A0

B0

B

A

A0B0

A0B0

A0A

AB

La clase particular de transformaciones que ahora nos interesa es la de las inversiones respecto de circunferen-cias. Algunas veces son llamadas reflexiones circulares, debido a que representan con cierta aproximación la relación entre el objeto y la imagen en una reflexión sobre un espejo circular. Como lo vimos recientemente, en un plano dado, sea C una circunferencia de centro O (llamado centro de la inversión) y radio r. Definimos como ima-gen del punto P al punto Pʹ de la recta OP

! "!!, situado del mismo lado de O que P, y tal que cumple la condición

Pʹ

P

O

C

OP ⋅O ʹP = r2 [1]

Los puntos P y Pʹ se denominan puntos inversos respecto de C. De esta definición concluimos que si Pʹ es el punto inverso de P, a su vez P es el inverso de Pʹ. Una inversión intercambia el interior y el exterior del círculo C, ya que para OP < r tenemos O ʹP > r , y para OP > r , O ʹP < r . Los únicos puntos del plano que quedan fijos en la inversión son los puntos de la circunferencia C.

La regla [1] no define una imagen para el centro O. Es evidente que si un punto P móvil lo aproximamos a O, la imagen Pʹ se aleja cada vez más en el plano. Por esta razón decimos a veces que O corresponde al punto del infinito en la inversión. La utilidad de esta forma de hablar reside en el hecho de permitirnos asegurar que una in-versión establece una correspondencia entre los puntos del plano y sus imágenes, que es biunívoca sin excepción.

Propiedades de la inversión. La propiedad más importante de la inversión es la que transforma rectas y cir-cunferencias en rectas y circunferencias. Con más precisión, vamos a ver que en una inversión:

a) Una recta que pasa por O se transforma en una recta que pasa por O. La proposición es obvia, ya que por definición de inversión todo punto de la recta tiene como imagen otro punto de la misma; es decir que, aunque los puntos de la recta se intercambian, la recta como totalidad se transforma en sí misma.

b) Una recta que no pasa por O se transforma en una circunferencia que pasa por O. Para probarla tracemos una perpendicular desde O a la recta L. Sea A el punto donde esta perpendicular corta a L y Aʹ el inverso de A.

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O

Pʹ

Aʹ

K

A

L

P

Tomemos un punto cualquiera P de L, y sea Pʹ su inverso. Como O ʹA ⋅OA=O ʹP OP = r2 , resulta queO ʹAO ʹP

=OPOA

.

Por tanto, los triángulos OPʹAʹ y OAP son semejantes y, por consiguiente, el ángulo OPʹAʹ es recto. Por geo-metría elemental sabemos que Pʹestá en la circunferencia K de diámetro O ʹA , de donde la inversa de L es esta circunferencia. c.q.d.

c) Una circunferencia que pasa por O se transforma en una recta que no pasa por O. Esta proposición se demuestra por el hecho de que si K es la inversa de L, la inversa de K es L.

d) Una circunferencia que no pasa por O se transforma en una circunferencia que no pasa por O. Sea K una circunferencia que no pasa por O, de centro M y radio k.

OBʹ

BʹAʹ

AʹA

A

M

B

B

Q

Para obtener su imagen, tracemos una recta por O que corte a K en A y B. Veamos cómo varían las imágenes Aʹ y Bʹ cuando la recta que pasa por O corta a K en todas las formas posibles.

Designemos las distancias OA , OB , O ʹA , O ʹB , OM por a, b, aʹ, bʹ, m y sea t la longitud de la tangente a K desde O. Tenemos aaʹ = bbʹ = r2, por definición de inversión, y ab = t2 por una propiedad geométrica elemen-tal del círculo. Si dividimos las primeras relaciones por la segunda, resulta

ʹab=

ʹba=r2

t2= c2 .

Donde c2 es una constante que depende sólo de r y t, y es la misma para todas las posiciones de A y B. Por Aʹ trazamos una paralela a BM

! "!! que corta a OM

! "!! en Q. Sea OQ= q , y ʹAQ= p ; entonces

qm=

ʹab=pk

,

o sea

q = m ʹab

=mc2 , p= k ʹab= kc2

Esto significa que para todas las posiciones de A y B, Q será siempre el mismo punto de OM! "!!

, y la distancia

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ʹAQ tendrá siempre el mismo valor. Además ʹB Q= p , ya que ʹab=

ʹba

. Así, las imágenes de todos los puntos

A, B, de K, son puntos cuyas distancias a Q son iguales a p; es decir, la imagen de K es una circunferencia. c.q.d.

Construcción geométrica de puntos inversos. El siguiente teorema nos será útil para las construcciones geométricas. El punto Pʹ es el inverso de un punto dado P respecto de una circunferencia C; puede ser cons-truido geométricamente mediante el solo uso del compás. Consideremos primero el caso en que el punto dado P sea exterior a C.

R

S

O PPʹ

Con OP como radio y centro en P describimos un arco que corte a C en los puntos R y S. Con estos dos puntos como centros describimos arcos de radio r que se cortan en O y en el punto Pʹ de la recta OP

! "!!. En los triángulos

isósceles ORP y ORPʹ se verifica

ORP! = POR! =O ʹP R! ,

luego estos triángulos son semejantes, y se tiene:OPOR

=ORO ʹP

; esto es, OP ⋅O ʹP = r2 .

El punto Pʹ así construido es, por tanto, el inverso de P.

Si el punto dado P es interior a C, subsiste la misma construcción, siempre que la circunferencia de radio OP y centro P corte a C en dos puntos. Si no la corta, podemos reducir la construcción del punto inverso Pʹ al caso anterior mediante el siguiente artificio.

Observemos primero que con el solo uso del compás podemos encontrar un punto C de la recta que une dos puntos dados A, O y tal que AO=OC . Para esto, tracemos una circunferencia de centro O y radio r =OA , y llevemos sobre esta circunferencia, a partir de A, los puntos P, Q, C, tales que AP = PQ=QC = r .

P

A CO

Q

Creemos que con este material las Secretarías Regionales de la Olimpiada podrán organizar Festivales de Problemas e invitar a los alumnos del profe-sorado y exolímpicos al desafío de encontrar más Leñitas Geométricas para el espectáculo.

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s 9 Entonces C es el punto deseado, como se ve por el hecho de que los triángulos AOP, OPQ, OQC son equi-

láteros; es decir, OA y OC forman un ángulo de 180°, y OC =OQ= AO . Repitiendo este procedimiento, podemos prolongar con facilidad AO un número deseado de veces. Incidentalmente, como la longitud del segmento AQ es r 3 , como se puede verificar sencillamente, hemos construido al mismo tiempo 3 , a partir de la unidad, sin utilizar la regla.

Podemos ahora encontrar el inverso de un punto P interior a la circunferencia C. Primero hallaremos un punto R de la recta OP

! "!! cuya distancia a O sea un múltiplo entero de OP y que quede exterior a C; es decir,

OR = n⋅OP .

Podemos hacer esto llevando sucesivamente la distancia OP con el compás hasta salir fuera de C.

O P Rʹ R Pʹ

Hallamos ahora el punto Rʹ inverso del R, mediante la construcción antes dada. Entonces,

r2 =O ʹR ⋅OR =O ʹR ⋅(n⋅OP)= (n⋅O ʹR ) ⋅OP .

Por lo tanto Pʹ, tal que O ʹP = n⋅O ʹR , es el punto inverso buscado.

Algunos resultados que conviene recordar

Teorema. En cualquier triángulo, el ortocentro (E), el centroide (F) y el circuncentro (H) son colineales; con EF = 2(FH) y EH = 3(FH) .

Demostración: dejamos d = FH y consideramos los resultados anteriores:

(EF)2 = (b2 −a2)2 +16K 2

9c2−2a2 +2b2 + c2

3+a2b2c2

4K 2 =

= 4 (b2 a2)2 +16K 2

36c22a2 +2b2 + c2

12+a2b2c2

16K 2 = 4(FH)2 .

Por lo tanto, EF = 2(FH)= 2d . Esto significa que el centro de gravedad está dos veces más lejos del ortocentro, ya que esto es desde el circuncentro H.

Adicionalmente,

(EH)2 = (b2 −a2)2 +16K 2

4c2−6a2 +6b2 +3c2

3+a2b2c2

16K 2 =

= 9 (b2 a2)2 +16K 2

36c22a2 +2b2 + c2

12+a2b2c2

16K 2 = 9(FH)2 .

Y entonces EH = 3(FH)= 3d .

Estos cálculos muestran que los tres puntos son diferentes, a menos que d = O, un fenómeno que se produce sólo para un triángulo equilátero. Más significativamente, garantizan que E, F, H caen sobre la misma línea,

EH = 3d = 2d+d = EF + FH ,

como se muestra en la figura. Si los puntos no fueran colineales, esto contradiría (lo suficientemente apropia-do) la desigualdad triangular.

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Q.E.D.

2d

d H

F

Aquí, entonces, está el origen de la línea de Euler, una propiedad de los triángulos que David Wells llamó con acierto el “ilustre teorema” de Euler. Es por este resultado, como otros, que Euler tiene su lugar en el Salón de los Geómetras famosos.

Hemos incluido este argumento junto con la prueba de Euler de la fórmula de Herón por dos razones. En primer lugar, porque demuestran que el gran analista, algebrista y teórico de los números del siglo XVIII era capaz de hacer una geometría significativa. Su versatilidad matemática no conocía límites.

Pero estas dos pruebas tienen un propósito adicional: representar los lados opuestos de una controversia que se remonta a la época de Descartes. La cuestión objetiva de debate fue el papel que, en la geometría, debe desempeñar el álgebra.

Problemas para visualizar con la estrategia de homotecia1. Dadas dos curvas G y Gʹ y un punto P, trazar por P una recta que corte a G en A y a Gʹ en Aʹ, de modo que PAP ʹA

=mn

.

2. Por P, punto interior a una circunferencia K, trazar una cuerda MN tal que PMPN

= 3 .

3. Por P, punto de intersección de dos circunferencias K y Kʹ, trazar una recta que determine M en K y N en

Kʹ, de modo que PMPN

= 5 .

4. En un cuadrilátero dado inscribir un paralelogramo cuyo centro sea un punto dado.

5. Construir un triángulo conociendo a, b, mc.

6. Construir un triángulo conociendo a, A, mb.

7. Dadas dos circunferencias concéntricas, trazar una recta tal que la cuerda determinada en la mayor sea cinco veces la cuerda determinada en la menor.

8. Construir un triángulo conociendo a, ab

, mc.

9. Construir un triángulo conociendo un ángulo y dos medianas.

10. Construir un triángulo conociendo b, c, wA (segmento de bisectriz del ángulo A del triángulo).

11. Hallar el lugar geométrico del punto simétrico de un punto fijo A respecto de una recta que gira alrededor de otro punto fijo.

Modelización: La Matemática Cotidiana DIRIGE: Dr. Néstor Aguilera

ORGANIZA: OMA. Departamento de Investigación y Docencia.

Del 6 al 9 de julio de 2019

Hotel EDEN de la Falda.

Costo de la residencia:$ 6.000.- por persona con estadía y pensión completa. $ 4.800.- por persona sin alojamiento.Pagos en 2 cuotas: 1ra. cuota al inscribirse.2da. cuota al iniciar la Residencia.

Inscripción e informes: OMA. Tel 011 4826-6900. C.A.B.A.

R E S I D E N C I A M A T E M Á T I C A