Decaimento radioativo

Introdução

Elementos radioativos se desintegram espontaneamente e proporcionalmente, por um processo chamado de decaimento radioativo. Este decaimento em função do tempo acontece em forma exponencial, e cada elemento tem uma meia vida característica, desta forma, este trabalho irá introduzir num primeiro momento os conceitos de, modelo de decaimento exponencial, interpretação das constantes de decaimento, meia vida, e por fim o próprio decaimento radioativo.

Modelos de decaimento exponencial

Dizemos que uma quantidade y=y(t) tem um modelo exponencial se ela descreve a uma taxa que é proporcional ao tamanho da quantidade presente, em outras palavras o modelo exponencial varia de acordo com seu expoente, assim dizendo que varia exponencialmente, e desta forma satisfazendo esta equação:

dydt

=−ky (k>0)

Sendo k a constante de decaimento. Esta equação é linear e de primeira ordem e pode ser rescrita desta forma:

dydt

+ky=0

Que é o modelo padrão de uma equação diferencial ordinária, desta forma temos que: P(t)=k e q(t)=0.

Supunha que uma quantidade y=y(t) tenha um modelo de decaimento exponencial e que conheçamos o tamanho dela em algum instante, digamos que y=y0 quando t=0. Desse modo, a formula qual para y(t) pode ser obtida resolvendo-se o problema de valor inicial.

dydt

+ky=0 , y= y0∴ dydt

+p (t ) y=q (t )

Resolvemos o fator integrante:

e∫p ( t )→e∫

k=ekt

Multiplicando em ambos os lados o fator integrante temo:

ektdydt

+ektky=0ekt→ddt

(ekt y )+k ekt y=0ekt→

∫ ddt

(ekt y )=∫0ekt→e

kty=0k e

kt+c→ekt y=c→1

ektekty=

1

ektc→ y=ce−kt

Interpretação da constante de decaimento

Podemos encontra a constante k a parti deste teorema:

k= ln 2T

Onde T é o tempo de ½ vida, desta forma a taxa de decaimento permanece constante no tempo, e é como uma fração do todo, por esta razão k é chamado de taxa de decaimento relativo, e geralmente sendo representado como uma porcentagem.

Tempo de meia vida

Num modelo de decaimento exponencial a quantidade y tem um tempo necessário para decair pela metade é o que chamamos de tempo de meia vida. O tempo de meia vida depende somente da constante de decaimento e não da quantidade presente inicialmente.

Decaimento radioativo

De acordo com tudo que já foi estudado, o processo chamado de decaimento radioativo acontece em um modelo de decaimento exponencial em função do tempo. Os elementos radioativos se desintegram espontaneamente, este processo foi estudado no inicio do século pro Rutheford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influencia externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico. Estas transformações ocorrem de maneira proporcionalmente a quantidade presente, que é o modelo exponencial já visto anteriormente.

y=ce−kt→y ( t )= y 0e−kt

Onde y é a quantidade em função do tempo e y0 é a quantidade inicial, -k a constante de decaimento e t o tempo que se quer saber .

Exemplo:

1. A meia-vida de um dado isótopo radioativo é de 6,5 horas. Se existirem inicialmente 48 x 1019 átomos deste isótopo, quantos átomos deste isótopo restarão após 26 horas?

SOLUÇÃO:

T= 6,5 horas y0 = 48∗1019átomos N = ? t = 26 horas

k= ln 2T→k= ln 2

6,5→k=0,1067h

y (t )= y 0ekt→y (26 )=48∗1019 e−0,1067∗26→48∗1019e2,7742→48∗1019∗0,0624→ y (26 )=2,99∗1019

Ou seja:

yy0

= 3∗1019

48∗1019=116

=0,0625=6,25 % que corresponde a 6,25% dos átomos

iniciais.