Decorebas Matemática

Temos:

∑k=0

n1

(x−xk )2=(P

' ( x )P (x ) )

2

−P ' ' (x)P (x)

Serve para calcular, por exemplo:

Ex: Sabendo que o polinômio P(x) = x³+3x²-x+1 tem como raízes a,b e c. Seja:

S= 1

a2−6a+9+ 1

b2−6b+9+ 1

c2−6c+9

Uma fração irredutível da forma p/q com p e q números inteiros e positivos. Então o valor de p+q é igual a: R = 212.

Propriedades dos Logaritmos

Equação da bissetriz (geometria analítica) de um triângulo.

Sb=c .C+a . A

a+c Sc=b .B+a . A

a+b Sa=

c .C+b . Bc+b

Coordenadas do incentro:

I=a . A+b .B+c .Ca+b+c

Propriedades de Funções

Tipologia de funções:

Função injetora: quando elementos distintos do domínio têm imagens diferentes.

f : A→B é injetora↔(∀ x1, x2∈ A ; x1≠ x2→f (x1)≠ f (x2 ))

Em muitos casos, é mais eficiente a utilização da contra-recíproca (ou contra-positiva) da definição, ou seja:

f : A→B é injetora↔(∀ x1, x2∈ A ;f (x1 )=f (x2)→x1=x2)Função sobrejetiva: Quando o conjunto imagem da função coincide com o contradomínio. Noutras palavras, que, embora pareçam mais complicadas, são mais úteis, uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio for imagem de algum (pelo menos um) elemento do domínio. Em símbolos:

f : A→B é sobrejetora↔f ( A )=ℑ f=B↔∀ y∈B ,∃ x∈ A : y=f ( x )

Lembrando que, por definição, f(A) deve estar contido em B, qualquer que seja a função f, para mostrar que f é sobrejetiva, na prática deve-se provar apenas que B está contido em f(A), ou seja, que ∀ y∈B ,∃ x∈ A : y=f (x )

Função bijetiva: Quando a função for injetora e sobrejetora, simultaneamente. Isso significa que, a todo elemento do contradomínio, corresponde um único elemento (do qual o primeiro é imagem) no domínio.

Composição de injeções: Sejam f : A→B e g:B' →C funções taisque f (A ) está contidoemB ' . Se f e g são injetivas, então gof também é injetiva.

Composição de sobrejeções: Sejam as funções f : A→B e g:B→Cfunções sobrejetivas .

Então ,acomposta gof é ,também , sobrejetiva .

Para que este teorema seja válido, o CD de f deve coincidir com o domínio de g. No caso mais geral (o da definição dada), o resultado pode não ser verdadeiro.

Composição de bijeções: Sendo: f : A→B e g:BCduas funçõesbijetivas ,a sua

composta ,gof tambémé bijetiva .

Sejam duas funções f: X→Y e g :Y→Z , se gof é bijetora, então g é sobrejetora e f é injetora.

Propriedades de funções inversas

I. Uma função admite inversa à direita se, e somente se, é sobrejetora.

II. Uma função admite inversa à esquerda se, e somente se, é injetora.

III. Uma função é invertível se, e somente se, é bijetora.

Propriedades de paridade de funções.

I. Suponha que f1 e f2 sejam funções pares e que g1 e g2 sejam funções impares, todas reais de variável real. Sendo possível definir as operações funcionais a seguir em domínios convenientes (comuns e simétricos), então:

A) f 1+ f 2 , f 1 . f 2 , g1 . g2 ,f 1

f 2

eg1

g2

são pares .

B) g1+g2 , f 1 . g1 ef 1

g1

são ímpares .

II. Com as mesmas notações da propriedade anterior, supondo que as seguintes composições estejam bem definidas, pode-se garantir que:

A) f 1o f 2 e g1o g2 são pares, isto é a composta de duas funções com a mesma paridade é par.

B) f 1o g1e g2o f 2 sãoímpares . Ou seja, a composta de duas funções de paridades distintas é par.

Conjuntos- n(B\A) = n(AUB)-n(A)