Defeitos Globais em Teoria de Campos

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Universidade Federal da Para´ ıba Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Coordena¸ c˜ao dos Cursos de P´os-Gradua¸ c˜aoemF´ ısica Tese de Doutorado Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplica¸c˜oes Roberto Menezes da Silva Jo˜ ao Pessoa - 2007 -

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Tese de Doutorado Sobre Defeitos Topologicos

Transcript of Defeitos Globais em Teoria de Campos

  • Universidade Federal da Paraba

    Centro de Ciencias Exatas e da Natureza

    Coordenacao dos Cursos de Pos-Graduacao em Fsica

    Tese de Doutorado

    Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplicacoes

    Roberto Menezes da Silva

    Joao Pessoa

    - 2007 -

  • Universidade Federal da Paraba

    Centro de Ciencias Exatas e da Natureza

    Coordenacao dos Cursos de Pos-Graduacao em Fsica

    Tese de Doutorado

    Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplicacoes

    Roberto Menezes da Silva

    Tese realizada sob a orientacao do Prof.

    Dr. Dionisio Bazeia, apresentada ao

    Departamento de Fsica em comple-

    mentacao aos requisitos para obtencao

    do ttulo de doutor em Fsica

    Joao Pessoa

    - 2007 -

  • A meus pais Rosa e Mariano

    A minha esposa Eli

    A meu filho Caio

  • Resumo

    Neste trabalho investigamos modelos de campos escalares e

    aplicacoes. Iniciamos com uma revisao de solucoes topologicas

    e nao topologicas e algumas de suas caractersticas mais impor-

    tantes. A partir da, introduzimos e investigamos novos modelos

    de campos escalares, entre eles, generalizacoes do modelo seno-

    Gordon e de outros, que admitem defeitos no plano, no espaco,

    solucoes estaticas tipo dois-kinks e defeitos que violam a sime-

    tria de Lorentz. Utilizamos o formalismo de primeira ordem para

    a investigacao de modelos na cosmologia moderna. Tambem es-

    tudamos redes de paredes de domnio que podem aparecer em

    transicoes de fase no universo primordial, no contexto de energia

    escura.

  • Abstract

    In this work, we investigate scalar fields models and aplications.

    We begin with a revision of topological and non topological so-

    lutions and some of their most important caracteristics. We in-

    troduce and investigate new models of scalar fields, for example,

    generalizations of the sine-Gordon model and of others models,

    which admit defects in the plane and space, two-kink static so-

    lutions and defects that violate Lorentz symmetry. We use the

    first order formalism for the investigation of models of interest in

    modern cosmology. We also study domain walls networks which

    can appear in fase transitions in the primordial universe, within

    the dark energy context.

  • Agradecimentos

    Nessas poucas linhas quero agradecer ao meu orientador, Prof. Dionisio

    Bazeia, pelo cuidado apresentado durante o curso de todo esse trabalho de

    tese. E mais de que isso, pelo apoio e o incentivo dados nos momentos

    de mais precisao. Aos Professores Laercio Losano e Clovis Wotzasek pelos

    conselhos que sempre me foram uteis. Aos Professores Jose Roberto Soares do

    Nascimento e Rubens Freire Ribeiro com quem trabalhei durante o mestrado

    e parte do doutorado. Aos professores Claudio Benedito Furtado, Fernando

    Morais, Carlos Pires e Paulo Sergio por estarem sempre dispostos em atenter

    minhas duvidas por mais basicas que fossem. A Seu Mariano, a quem

    tenho todo o respeito, por todas as conversas interminaveis nos intervalos

    do trabalho. Agradeco tambem aos professores Pedro Pina Avelino e Carlos

    Martins da Universidade do Porto com quem colaborei no perodo de um ano,

    no estagio de dourado sanduche la realizado.

    Nao posso deixar de agradecer aos meus colegas de curso que me fizeram

    crescer pessoal e profissionalmente: Tiago Homero, Lincoln Ribeiro, Antonio

    Inacio (Drac), Adalto Gomes, Ewerton (Sal), Josinaldo Menezes, Victor

    Afonso, Carlos Alberto, Eduardo Passos, Joana Oliveira, Jamilton Rodrigues,

    Jean Spinelly, Alex Silva (Pastor), Mauro Santos, Josevi, Caio, Knut, e a

    todos os outros.

    Agradeco toda minha famlia, principalmente a meus pais e a minha esposa

    que torceram muito para que esse projeto de vida fosse realizado. Tambem

    sou grato a Maria da Penha, minha segunda mae, o que devo a ela nao posso

    pagar. E a todos meus amigos, agradeco.

    Finalmente agradeco a CAPES pela concessao das bolsas de estudo que me

    proporcionaram a realizacao deste trabalho.

  • I was observing the motion of a boat which was rapidly

    drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the

    boat suddenly stopped - not so the mass of water in the

    channel which it had put in motion; it accumulated round

    the prow of the vessel in a state of violent agitation,

    then suddenly leaving it behind, rolled forward with great

    velocity, assuming the form of a large solitary elevation,

    a rounded, smooth and well-defined heap of water, which

    continued its course along the channel apparently without

    change of form or diminution of speed. I followed it on

    horseback, and overtook it still rolling on at a rate of

    some eight or nine miles an hour, preserving its original

    figure some thirty feet long and a foot to a foot and a

    half in height. Its height gradually diminished, and after

    a chase of one or two miles I lost it in the windings of

    the channel. Such, in the month of August 1834, was my

    first chance interview with that singular and beautiful

    phenomenon which I have called the Wave of Translation

    John Scott Russell - 1844

  • Lista de Publicacoes

    Esse trabalho de tese e baseado nos seguintes artigos:

    New global defect structures, D. Bazeia, J. Menezes and R. Menezes, Phys. Rev.Lett. 91, 241601 (2003).

    Regular and periodic tachyon kinks, D. Bazeia, R. Menezes and J. G. Ramos,Mod. Phys. Lett. A 20, 467 (2005).

    Defect structures in sine-Gordon-like models, D. Bazeia, L. Losano andR. Menezes, Physica D 208, 236 (2005).

    Defect structures in Lorentz and CPT violating scenarios, D. Bazeia andR. Menezes, Phys. Rev. D 73, 065015 (2006).

    Global Defects in Field Theory with Applications to Condensed Matter, D. Bazeia,J. Menezes and R. Menezes, Mod. Phys. Lett. B 19, 801 (2005).

    First-order formalism and dark energy, D. Bazeia, C. B. Gomes, L. Losano andR. Menezes, Phys. Lett. B 633, 415 (2006).

    Frustrated expectations: Defect networks and dark energy, P. Pina Avelino,C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, Phys. Rev. D

    73, 123519 (2006).

    Defect junctions and domain wall dynamics, P. P. Avelino, C. J. A. Martins,J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, Phys. Rev. D 73, 123520 (2006).

    Scaling of cosmological domain wall networks with junctions, P. P. Avelino,C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, arXiv:astro-

    ph/0612444.

    Scaling of cosmological domain wall networks with junctions, P. P. Avelino,C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, arXiv:astro-

    ph/0612444.

    Generalized Global Defect Solutions, D. Bazeia, L. Losano, R. Menezes and J. C.R. Oliveira, arXiv:astro-th/0702052.

  • Conteudo

    1 Introducao 11

    2 Defeitos em Teorias de Campos Escalares 17

    2.1 Defeitos em Modelos com um Campo Escalar Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.1.1 Kinks e Lumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.1.2 Solucao de Onda Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.1.4 Metodo da Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2 Defeitos em Modelos com N Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2.1 Metodo de Bolgomolnyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.2.2 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.3 Defeitos em Dimensao Espacial Arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3 Novas Classes de Potenciais 44

    3.1 Modelo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.2 Modelo de Lump Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.3 Modelo Seno-Gordon Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.3.1 Seno-Gordon Duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.3.2 Generalizacao para Dois Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.3.3 Comentarios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4 Defeitos em Acoes Modificadas 61

    4.1 Defeitos Globais para Modelos Explicitamente Dependentes da Posicao . . . . . . . . . 61

    4.1.1 Corrente Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.1.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8

  • 4.1.4 Comentarios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.2 Defeitos em Cenarios com Violacao de Lorentz e CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.1 Quebra da Simetria por um Parametro Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.2.2 Quebra da Simetria por um Parametro Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3 Defeitos Taquionicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.3.1 Kinks Taquionicos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.3.2 Solucoes Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4.4 Dinamica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.4.1 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5 Campos Escalares e Energia Escura I - Quintessencia e Dinamica Taquionica 96

    5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.1.1 O Modelo Cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.1.2 Quintessencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.1.3 Dinamica Taquionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.1.4 Dinamica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.2 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    5.2.1 Quintessencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.2.2 Dinamica Taquionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    5.2.3 Modelos com N Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    5.3 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nao Nula . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.3.1 Exemplos para Curvatura Nao Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    6 Campos Escalares e Energia Escura II - Redes de Paredes de Domnio 111

    6.1 Defeitos em Campos Escalares em 2 e 3 Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    6.2 Analise Numerica de Redes de Paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6.3 Modelos com Dois Campos Escalares Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    6.4 Modelos com Tres Campos Escalares Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    6.4.1 O Modelo BBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    6.4.2 O Modelo de Kubotani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6.4.3 Relacionando os modelos BBL e Kubotani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6.5 Propriedades de uma Rede de Paredes de Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6.6 O Modelo Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    9

  • 7 Comentarios, Conclusoes e Perspectivas 138

    A Generalidades 144

    A.1 Expressoes Diferenciais e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    A.2 Formulas da Gravitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    A.3 O Tensor Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    A.4 Potencial Quantico de Poschl-Teller Modificado sem Reflexao . . . . . . . . . . . . . . 146

    A.5 Encontrando Solucoes Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    A.6 Aproximacoes Analticas do Modelo Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    10

  • Captulo 1

    Introducao

    One half of the world cannot understand the pleasures of the other

    Jane Austen

    Em uma grande mesa redonda esta disposto um prato de sopa para cada pessoa sentada e ha uma

    colher em cada lado, uma a direita e outra a esquerda. Portanto o numero de colheres e o mesmo que

    o de pratos. Para que qualquer convidado para o jantar possa tomar a sopa, e preciso que se escolha

    uma das duas colheres. Como nao ha uma regra pre-estabelecida, a primeira pessoa da mesa que

    pegar a colher tem duas opcoes igualmente provaveis, a colher da esquerda ou a da direita. Uma vez

    escolhida uma das colheres, e quebrada toda a simetria do sistema, pois para que todos os convidados

    possam ter uma colher ao seu lado, todos tem que pegar a colher do mesmo lado que o primeiro

    pegou. Portanto, ha duas possibilidades em que todos terao colheres para sopa. E ambas tem igual

    probabilidade de acontecer. Mas, uma vez escolhendo uma, a simetria esta quebrada.

    Em nosso cotidiano muitas vezes esbarramos em situacoes como esta onde somos obrigados a que-

    brar alguma especie de simetria. Por vezes temos que decidir entre duas opcoes que para nos sao igual-

    mente satisfatorias. Na natureza, e muito comum encontrarmos sistemas com essas caractersticas.

    Por exemplo, uma cadeia polimerica de poliacetileno, que se comporta de maneira unidimensional,

    tem dois estados fundamentais degenerados. Essa degenerescencia esta relacionada com a instabili-

    dade de Peirels[1, 2]. Existem dois padroes distintos para eletrons se ligarem a atomos de carbono

    11

  • para formar a cadeia de poliacetileno com mnima energia - veja as ilustracoes A e B da figura 1.1(b).

    As configuracoes trans sao termodinamicamente estaveis. Cada crculo preto representa um elemento

    (CH)x. As ligacoes duplas e simples sao ilustradas, por linhas duplas e simples, respectivamente. A

    estrutura do tipo A pode ser levada a B por trocas dos tipos de ligacoes, contudo essa troca despende

    um gasto energetico, o que torna A e B estaveis.

    Voltando a ilustracao da mesa redonda, supomos que um convidado pegue a colher do seu lado

    direito e o do lado oposto da mesa pegue a do lado esquerdo. Se as pessoas dos seus lados seguirem

    esses convidados, em algum momento, alguem nao tera nenhuma colher para pegar e outrem ficara

    com duas colheres ao seu dispor - veja a ilustracao da figura 1.1(a). Para resolver este problema o

    convidado que tem duas colheres da uma delas para o que nao tem nenhuma, jogando ou indo ate

    ele, outra maneira e o que tem duas da uma das colheres a seu vizinho, este por sua vez passa para o

    proximo e assim sucessivamente, ate chegar ao convidado sem colher. Agora, todos da mesa ficarao

    com as colheres do lado esquerdo ou do lado direito, que e a uma das duas situacoes ideais. Conflitos

    como estes tambem sao comum na natureza. Redes de poliacetileno podem apresentar falhas em suas

    estrutura que denominamos de defeitos do mesmo tipo do exemplo da mesa redonda. Veja a ilustracao

    C da figura 1.1(b). Ha duas ligacoes simples para um (CH)x. A energia da configuracao C e maior

    do que as de A e B, apesar disso por razoes topologicas, ela nao decai em uma das duas. Este defeito

    pode se mover para um dos lados da cadeia, percorrendo todo o polmero ou se aniquilando com um

    defeito de caracterstica oposta (com duas ligacoes duplas), assim como no exemplo da mesa, que a

    situacao com duas colheres percorre a mesa ate encontrar a situacao sem colher.

    Nos exemplos vistos acima, a transicao de um estado de energia mnima para outro se faz de

    maneira discreta. Contudo e mais comum em sistemas fsicos que a passagem se realize de maneira

    suave, pois tem graus de liberdades contnuos. Veja por exemplo na figura 1.1(c), se assumirmos

    que a regiao de cor uniforme ilustra um estado de mnima energia, a transicao entre as cores pode

    se realizar discretamente, ou por um degrade contnuo, como vemos na passagem do preto para o

    cinza (on-line:amarelo) - veja na figura 1.1(c) a ilustracao de paredes com diversas espessuras. Isso

    acontece em sistemas ferromagneticos onde domnios magneticos sao formados para minimizar a soma

    das energias magnetostaticas, de troca, de anisotropia e de Zeeman. Em cada domnio os vetores de

    magnetizacao estao alinhados em um mesma direcao do espaco. Estes domnios tem tamanho finito e

    entre eles formam-se areas de transicoes denominadas paredes de domnio magneticas. A energia de

    troca e mais baixa quando a mudanca de um domnio para outro se da com muitos spins. O termo

    parede de domnio foi introduzido em 1907 por P. Weiss[3]. Uma parede que separa dois domnios

    onde os vetores formam 180, o angulo muda de maneira contnua de um domnio para o outro - veja

    12

  • (a) Ilustracao de uma possvel

    escolha de colheres no exem-

    plo da mesa redonda. Ha dois

    defeitos: com duas colheres

    e sem colher.

    (b) Ilustracao de disposicoes de cadeias de po-

    liacetileno. Note que A e B sao os perfis de

    mnima energia degenerados e C e o perfil de

    um defeito de duas ligacoes simples em um

    (CH)x.

    (c) Transicao contnua de esta-

    dos de energia mnima simboliza-

    dos pelas cores amarelo e preta.

    A transicao de cima e discreta,

    enquanto nas outras se da de

    maneira contnua com espessuras

    diferentes.

    Figura 1.1: Tres ilustracoes sobre defeitos.

    a figura 1.2. Ha dois principais tipos de estruturas de spin dentro de paredes de domnio: paredes

    de Bloch e paredes de Neel. Nas do primeiro tipo, o vetor de magnetizacao gira fora do plano dos

    domnios. Enquanto no segundo tipo, a rotacao do spin e no proprio plano.

    Na verdade, a simetria discreta de um sistema nao e uma condicao necessaria para a existencia

    de paredes de domnio. E preciso apenas que haja dois estados de mesma energia e que estes sejam

    desconectados. Novamente observamos o exemplo da mesa. O convidado pode ter dois tipos diferentes

    de colheres a sua escolha. Nao e preciso que elas sejam iguais, o que importa e que uma dessas colheres

    nao se sobressaia nessa escolha e nao que sejam iguais. Caso contrario todos escolheriam as colheres

    do mesmo lado e nao haveria defeito. Recentemente, alguns modelos sem simetria discreta (mas com

    vacuos desconectados) foram estudados[4] e solucoes do tipo paredes foram encontradas.

    O estudo de solucoes de energia localizada foi iniciado em 1845, quando J. Scott Russel[5] apre-

    sentou a conjectura de que uma propagacao isolada de um pulso de agua em canais estreitos fosse

    causada pelas propriedades do meio. Cinquenta anos depois[6], Korteweg e de Vries mostraram que a

    estabilidade do pulso devia-se a combinacao de efeitos nao lineares e dispersivos. A equacao de KdV

    e dada por u/t + 3u/x3 + u u/x = 0, onde u e a altura de agua levantada. As solucoes tem

    velocidades constantes que dependem da amplitude. Algumas das aplicacoes desta equacao sao os

    estudo de ondas na atmosfera, ondas on-acusticas em um plasma e ondas de pressao em misturas de

    lquido e gases[7]. Ha outras modificacoes dessa equacao como a mKdV, a de Schrodinger nao linear,

    13

  • Figura 1.2: Perfil de um material ferromagnetico contendo uma parede de domnio cujos spins giram

    180 No lado esquerdo, e mostrado uma estrutura de parede hipotetica e o spin e trocado discretamente

    em apenas uma distancia atomica. Na direita, temos uma parede de espessuraN.a, onde a e a distancia

    interatomica e N e o numero de atomos da parede (Em materiais reais, N esta no intervalo 40 a 104).

    a de Burgers, entre outras. Em 1965, Zabusky e Kruskal[8] introduziram a palavra soliton para carac-

    terizar concentracoes de energia em movimento que nao se dispersavam e que preservavam sua forma

    apos a colisao com outra de mesma propriedade. E por causa dessas caractersticas, solitons apresen-

    tam uma boa estrutura matematica para a descricao de uma partcula classica. As configuracoes que

    investigaremos nessa tese, em geral, nao preservam a forma depois de colisoes, portanto estritamente

    nao poderemos chama-las de solitons, apesar de, as vezes, por extensao, elas sejam tambem assim

    chamadas.

    Existem defeitos associados a quebras de simetrias contnuas. Eles sao formados na transicao

    de domnios mais sofisticados. Estes defeitos sao, por exemplo, cordas e monopolos que quebram

    simetrias U(1) e SU(2), respectivamente. Por, em tres dimensoes, cordas sao objetos unidimensionais

    e carregados. Foram primeiramente investigados por Nielsen e Olesen[9], que introduziram um modelo

    de campo escalar complexo acoplado ao campo de Maxwell sendo uma extensao relativstica do modelo

    de Ginzburg-Landau[10, 11]. Monopolos sao configuracoes puntiformes introduzidas por t Hooft[12]

    e Polyakov[13]. Tem carga magnetica, e as vezes tambem eletrica, e sao obtidos em modelos onde um

    isovetor a de tres componentes e acoplado ao campo nao abeliano de Yang-Mills.

    Em 1976, Kibble[14] indicou que estruturas de domnio poderiam ser formadas em uma quebra

    espontanea de simetria no universo primordial. Essas quebras de simetrias acarretariam transicoes

    de fases que formariam os defeitos. Os domnios surgiriam quando a temperatura do universo se

    14

  • reduzisse abaixo de uma temperatura crtica Tc, da mesma maneira que os domnios magneticos sao

    formados em temperaturas um pouco abaixo da de Curie[15]. Kibble mostrou que a formacao de

    paredes de domnio, cordas ou monopolos depende dos grupos de homotopia da variedade M do

    conjunto de vacuos degenerados. Paredes podem ser formadas se 0 e nao trivial, isto e, se os vacuos

    nao forem conectados, como ja vimos. A formacao de cordas e monopolos requer 1(M) e 2(M) nao

    triviais, respectivamente - ver o captulo 4 de [16] como revisao. Desde os anos setenta, implicacoes

    cosmologicas de uma possvel existencia desses defeitos tem sido amplamente estudados[17]. Em

    especial, redes de paredes de domnio foram consideradas perigosas cosmologicamente, pois por suas

    caractersticas tenderiam a dominar a energia do universo[18] e ate 1998, nao havia nenhuma razao

    fsica para isso. Por essa razao foram poucos estudadas em comparacao com os outros defeitos[19].

    Geralmente, modelos que suportam solucoes localizadas em teoria de campos relativstica tem

    campos escalares que interagem de maneira nao linear. Esta especie de campo e muito utilizada por

    sua simplicidade e serve para descrever diversas possibilidades presentes na natureza. Por exemplo,

    paredes de domnio magneticas podem ser modeladas no limite do contnuo do modelo de Ising,

    por um simples modelo de teoria de um campo escalar real que representa a elongacao angular dos

    spins. Campos escalares surgem naturalmente em fsica de partculas e campos. O campo escalar de

    Higgs, por exemplo, e muito importante do modelo padrao, pois ao adquirir valor esperado nao nulo,

    possibilita a geracao de massa para as partculas elementares.

    Recentemente, modelos com campos escalares estao sendo investigados como candidatos a energia

    escura[20], componente do universo necessaria para sua expansao acelerada[22, 23]. Ha uma grande

    variedade de modelos com um ou mais campos escalares, cada um com suas caractersticas especficas.

    Citamos a quintessencia, o fantom, o quintom, a hessencia, a k-essencia, o condensado taquionico,

    o dilaton e o condensado de fantasmas, entre outros - veja a referencia [20]. Em todos esses casos

    o campo escalar se comporta como um fluido isotropico e homogeneo, logo apenas tem dinamica

    temporal. Outra possibilidade de aplicacoes de campos escalares para a energia escura e atraves de

    redes de paredes de domnio. Se essas redes fossem formadas em uma epoca mais recente e chegassem

    a congelar em coordenadas comoveis, sua energia poderia dominar o universo e faze-lo acelerar, como

    e observado.

    Em dimensoes extras, o nosso universo tridimensional pode ser interpretado como uma parede de

    domnio imersa em um bulk de dimensao superior[24], essa parede pode ter estrutura interna se for

    obtida de um modelo de gravidade acoplado a campos escalares reais[25, 26, 27]. Portanto, tambem

    neste cenario, campos escalares tambem foram amplamente estudados nos ultimos anos.

    15

  • Nesta tese, investigamos diversos aspectos de sistemas de campos escalares reais em teoria de

    campos, enfatizando os defeitos do tipo parede de domnio. Introduzimos novos modelos e fazemos

    aplicacao em cosmologia. No captulo 2, fazemos uma introducao aos defeitos topologicos e nao

    topologicos unidimensionais, observando suas caractersticas principais como energia, pressao e carga

    topologica. Investigamos a estabilidade linear, destacando as solucoes BPS. Finalmente, estudamos

    as condicoes necessarias para a existencia de defeitos com energia finita em mais dimensoes.

    No captulo 3, investigamos novas classes de potenciais: o modelo p que suporta solucoes do

    tipo dois-kinks; um modelo 4 com solucoes nao topologicas generalizadas; e extensoes do modelo

    seno-Gordon. No captulo 4, estudamos modelos com acoes modificadas por razoes fsicas diversas.

    Introduzimos modelos com dependencia explcita da posicao e outro com quebra explcita da simetria

    de Lorentz e CPT. Tambem fazemos modificacoes na dinamica taquionica com o objetivo de encontrar

    solucoes topologicas regulares.

    Nos captulos 5 e 6, abordamos a funcao de modelos de campos escalares para a compreensao da

    aceleracao do universo. No captulo 5, estudamos o formalismo de primeira ordem para os campos da

    quintessencia e da dinamica taquionica, em geometrias plana, esferica e hiperbolica. No captulo 6,

    investigamos a possibilidade de paredes de domnio possam contribuir para a energia escura. Discuti-

    mos o conceito de frustracao e introduziremos um modelo que mais propcio a formar redes de paredes

    de domnio que frustrem.

    No captulo 7, fazemos comentarios, conclusoes, perspectivas e consideracoes finais sobre o presente

    trabalho de tese. No apendice, selecionamos algumas expressoes importantes, utilizada durante o

    trabalho. Tambem falamos brevemente do potencial quantico de Poschl-Teller modificado. Tambem,

    apresentamos os passos para a resolucao numerica para equacoes que suportam kinks e lumps. Por

    fim, estimamos de maneira analticas as caractersticas de paredes de domnio no modelo ideal com

    N = 3. Com excecao da secao 4.3, em toda a tese utilizaremos a assinatura g = (1,1, . . . ,1).

    16

  • Captulo 2

    Defeitos em Teorias de Campos

    Escalares

    Muitos sistemas fsicos tridimensionais se comportam de maneira planar e unidimensional. Os

    mais simples defeitos podem ser modelados por teorias em uma dimensao espacial. Neste captulo

    investigamos defeitos topologicos e nao topologicos em modelos de campos escalares reais em 1 + 1

    dimensoes. Na secao 2.1, estudamos modelos com apenas um campo escalar real, observando os

    tipos de solucoes localizadas estaticas e de onda viajante. Tambem vemos o metodo da deformacao,

    um procedimento muito util na busca de novos potenciais. Na secao 2.2, ampliamos o estudo para

    modelos com mais campos escalares que admitem conjuntos de vacuos mais sofisticados, vemos o

    metodo de Bolgomolnyi para solucoes topologicas BPS e conclumos investigando a estabilidade linear

    das solucoes topologicas e nao topologicas. Na secao 2.3, apresentamos as condicoes necessarias para

    estabilidade de solucoes de energia finita em uma dimensao arbitraria, atraves dos argumentos de

    Derrick e Hobart.

    2.1 Defeitos em Modelos com um Campo Escalar Real

    O modelo mais simples em D dimensoes espaciais que admite solucoes localizadas e o de um unico

    campo escalar real (~x, t) no espaco de Minkowski. A acao e dada por

    S =

    dt

    dDx

    (1

    2

    V ())

    , (2.1)

    17

  • onde V () e uma funcao arbitraria que determina a maneira com que o campo auto interage1. O

    campo tem dimensao de massa elevada a (D 1)/2.A variacao desta acao com respeito ao campo origina a equacao de movimento

    2

    t22+ V

    = 0, (2.2)

    que e uma equacao diferencial parcial de segunda ordem. Como estamos interessados em encontrar

    solucoes localizadas, o potencial e escolhido de maneira que esta equacao tambem seja nao linear.

    O tensor energia-momento associado a solucao da equacao de movimento (2.2) e

    = (1

    2

    V ())

    . (2.3)

    Devido a preservacao da simetria de Lorentz esse tensor e simetrico = . Em qualquer ponto

    do espaco-tempo, podemos ter a densidade de energia de uma certa confinguracao (~x, t)

    (~x, t) = 00 =1

    2

    (

    t

    )2

    +1

    2()2 + V (), (2.4)

    onde cada termo representa contribuicoes cinetica, gradiente e potencial do modelo

    C(~x, t) =1

    2

    (

    t

    )2

    , G(~x, t) =1

    2()2 , P (~x, t) = V (), (2.5)

    com = C + G + P . O tensor de densidade de estresse e ij = (/xi) (/xj). Se i = j, temos

    a pressao

    pi(~x, t) = ii =

    1

    2

    (

    t

    )2

    +

    (

    xi

    )2

    12()2 V (). (2.6)

    Os ndices i nao se somam. Efetuando esse somatorio, definimos a pressao media

    p(~x, t) 1D

    i

    pi =1

    2

    (

    t

    )2

    +

    (1

    D 1

    2

    )

    ()2 V (), (2.7)

    onde D e o numero de dimensoes espaciais.

    A densidade de fluxo de energia 0i, atraves da superfcie xi, tem o mesmo valor da densidade de

    momento i0,

    0i = i0 = t

    xi. (2.8)

    Usando a equacao de movimento (2.2), o tensor energia-momento e conservado

    = 0. (2.9)

    1Utilizamos o sistema natural de unidades, com ~ = c = 1.

    18

  • A expressao acima e um conjunto de D+ 1 equacoes de continuidade do tipo /t+ ~ ~j = 0, onde e a densidade de carga e ~j e a densidade de corrente. Em tres dimensoes, essa equacao mostra que

    em um volume V delimitado por uma superfcie fechada S, a variacao temporal da carga Q =d3x

    e dada pordQ

    dt=

    Vd3x ~ ~j dQ

    dt=

    Sd2x~n ~j, (2.10)

    onde ~n e o vetor normal a superfcie em cada ponto de S. Quando fazemos a integracao em todo

    o espaco, essa carga e conservada. A equacao (2.9) mostra a conservacao da energia ( = 0) e do

    momento ( = i). Da conservacao do momento, podemos definir

    dF i = ijnj , (2.11)

    que relaciona a densidade de forca com o tensor densidade de estresse.

    A solucao mais trivial da equacao de movimento (2.2) e a do campo constante. Esses valores

    devem ser escolhidos de modo que a derivada do potencial seja nula

    V

    = 0 i = ci. (2.12)

    Ha tres classes dessas solucoes, as que maximizam, as que minimizam o potencial e os pontos de

    inflexao. Elas tem significado fsico diferentes, como veremos na secao 2.2.2.

    Uma classe especial de solucoes da equacao (2.2), e a daquelas que sao independentes do tempo,

    que chamaremos de estaticas. A equacao se reduz a

    2 = V

    (2.13)

    Para solucoes dependentes apenas de uma das coordenadas = (x), a equacao (2.13) se escreve

    na formad2

    dx2=

    dV

    d, (2.14)

    que e uma equacao ordinaria nao linear de segunda ordem. Para esse caso, a densidade de energia e

    a pressao sao os unicos termos nao nulos do tensor energia momento

    (x) =1

    2

    (d

    dx

    )2

    + V (), (2.15a)

    p =1

    2

    (d

    dx

    )2

    V (). (2.15b)

    O estudo das solucoes estaticas unidimensionais pode ser comparado fazendo analogia a mecanica

    classica de um ponto material de massa unitaria em uma trajetoria reta. Se fizermos as identificacoes

    19

  • x t, x e invertermos o potencial V () U(x), a equacao de movimento (2.14) se escreve

    d2x

    dt2= dU

    dx, (2.16)

    enquanto a densidade de energia e a pressao (2.15) tornam-se a lagrangeana e energia do movimento

    da partcula, respectivamente,

    L(t) =1

    2

    (dx

    dt

    )2

    U(x), (2.17a)

    E =1

    2

    (dx

    dt

    )2

    + U(x). (2.17b)

    Para o problema mecanico dado pela densidade de lagrangeana (2.17a) a energia da partcula na

    trajetoria unidimensional e conservada durante a evolucao temporal, o que nos sugere que a pressao

    seja constante. Isso pode ser visto pela equacao da conservacao do tensor energia-momento (2.9),

    para = 1, encontramos que a pressao p e constante para solucoes estaticas unidimensionais, pois

    xxx = 0. Esse vnculo permite reescrever a equacao de segunda ordem em uma de primeira, tendo

    a pressao constante como parametro de integracao

    1

    2

    (d

    dx

    )2

    = V () + p. (2.18)

    Derivando essa equacao chega-se a equacao de movimento (2.14). Como o termo do lado esquerdo

    nao e negativo, os valores possveis da pressao dependem da forma explcita do potencial V (), isto e,

    o campo apenas tomara valores onde a densidade de energia potencial tenha valores que obedecam a

    relacao V () p. Por exemplo, para o simples potencial constante V () = V0, a pressao e restritaa p V0, e as solucoes sao

    (x) =

    V0 + p (x x0). (2.19)

    A constante x0 e o ponto onde a solucao se anula. A densidade de energia nesse caso e constante,

    = 2V0 + p.

    Consideramos agora um potencial generico com o perfil mostrado na figura 2.1. Se desenharmos

    uma linha horizontal correspondente a p, onde p e um dado valor da densidade de pressao quepode ser escolhido, imediatamente encontramos possveis regioes de movimento do campo . Nesse

    exemplo, a solucao vive no intervalo AB, ou no lado direito de C.

    O conjunto de pontos que satisfazem V () = p indica os limites do movimento. Podemos chama-los de pontos de retorno por analogia a mecanica classica. Nesses pontos a velocidade d/dx se anula.

    O que forca esse retorno e a aceleracao contraria d2/dx2 devido a variacao do potencial dV/d. O

    20

  • -pBA C

    V( )f

    f1 f2 f3

    Figura 2.1: Grafico de um potencial generico para o campo . Os valores de campo abaixo da linha

    horizontal p sao os valores proibidos para o campo

    caso mais interessante e a situacao onde o ponto de retorno tambem e um ponto crtico de mnimo

    ou de inflexao. Aqui, quanto mais proximo deste ponto, nao so a velocidade vai se reduzindo, como

    tambem o valor da aceleracao contraria dV/d, isso impede que a velocidade se anule para algum valor

    finito do campo e ocorra o retorno, o que leva a um caso assintotico onde o campo tende a assumir o

    valor do ponto crtico no limite x ou x . No proximo captulo, vemos um modelo em quetemos um ponto crtico com aceleracao nula, a solucao nao tem valores assintoticos para esse ponto.

    Isto e explicado devido ao valor divergente da segunda derivada do potencial neste ponto.

    2.1.1 Kinks e Lumps

    Em modelos com apenas um campo escalar, ha duas classes de solucoes assintoticas: as topologicas

    e as nao topologicas. As solucoes nao topologicas tem limites assintoticos iguais tanto para x ,quanto para x , (x ) = (x +) = 0. Elas em geral tem a forma de um sino, porisso sao comumente chamadas de lumps (que significa protuberancia). Solucoes como estas existem

    em potenciais como o da figura 2.2 nos trechos 1 2 e 3 4. No trecho 1 2(3 4), o lumptem valores assintoticos em 2(3) e mnimo (maximo) no ponto de retorno 1(4).

    Por outro lado, as solucoes topologicas tem limites assintoticos diferentes, (x ) = a e(x ) = b, com a 6= b. Elas em geral sao chamadas de kinks. No mesmo potencial que suportalumps da figura 2.2, ha duas configuracoes do tipo kink (kink k e antikink k), no trecho 2 3.Para x , a solucao tende ao valor assintotico 2(3) e para x , 3(2). Chamamos ossetores que suportam kinks de setores topologicos. Como a teoria (2.1) e invariante por paridade, em

    21

  • um mesmo setor topologico existem duas solucoes tipo kink com os valores assintoticos invertidos que

    chamaremos de kink (k) e seu antikink (k), k(x) = k. Nao tem sentido falar de antilump, pois oantilump e o proprio lump. No captulo 4, estudamos teorias que tem simetria de paridade violada,

    quebrando o cenario defeito-antidefeito.

    -p

    V( )f

    f1 f2 f3 f4

    Figura 2.2: Perfil de um potencial que suporta solucoes tipo kink (no trecho 2 3) e lumps (nostrechos 1 2 e 3 4) para uma dada pressao p. Contudo essas configuracoes tem pressao naonula, logo tem energia que diverge, o que fisicamente nao e aceitavel.

    Para kinks e lumps, a densidade de energia gradiente, G = 1/2(d/dx)2, e localizada proximo a

    um ponto do espaco. Usando (2.18), vemos que a densidade potencial assume valor igual a p nospontos do espaco onde a energia gradiente se anula. Entao a densidade de energia total = G + P

    nao e localizada, por causa do plato de valor p. A solucao tem energia finita E =dx apenas para

    pressao nula, p = 0. Conclumos que qualquer solucao tipo kink ou lump estatica unidimensional com

    pressao nao nula nao e fisicamente aceitavel. Veja por exemplo na figura 2.3, os dois potenciais tem as

    mesmas caractersticas e suportam solucoes do tipo kink. Identicos, pois tem as mesmas equacoes de

    movimento. No primeiro caso, a solucao tipo kink tem pressao negativa, logo a energia e divergente.

    No segundo caso, a solucao tipo kink tem pressao nula, logo a energia e finita, tornando a solucao

    fisicamente aceitavel. Logo para evitar esse problema escolhemos potenciais em que as solucoes tenha

    valores assintoticos para os zeros desses potenciais, V ((x )) = 0, como na figura 2.3(b).O caso de pressao nula e especial pois nele se da a equiparticao das densidades de energias gradiente

    e potencial, G = P = /2. Em termos da energia escrevemos

    EG = EP =E

    2, (2.20)

    onde EG e EP sao as porcoes gradiente e potencial da energia. Como mostramos na secao 2.2.2, a

    condicao de pressao nula e um pre-requisito para a estabilidade de solucoes de energia finita.

    22

  • f

    -a a

    V( )f

    (a) Potencial que suporta solucao

    tipo kink com pressao negativa e en-

    ergia divergente.

    (b) Potencial que suporta solucao

    tipo kink com pressao nula e ener-

    gia finita.

    Figura 2.3: Exemplo de potenciais que suportam solucoes tipo kink de perfis identicos, mas com

    valores de pressao diferentes.

    Devido a monoticidade das solucoes do tipo kink, para a pressao nula, a equacao (2.18) pode ser

    dividida em duasd

    dx=

    2V () oud

    dx=

    2V (), (2.21)

    uma para o kink e outra para o antikink. Essas equacoes sao resolvidas levando a

    x x0 =

    d

    2V ()= F (), (2.22)

    onde x0 e uma constante de integracao que identifica o centro do kink. Finalmente a funcao F deve

    ser inversvel, de modo que podemos escrever

    (x) = F1(x x0). (2.23)

    A solucao para o sinal positivo (negativo) e monoticamente crescente (decrescente). Para termos

    solucoes analticas explcitas, e preciso que (2V ())1/2 tenha integral analtica e que esta seja in-

    versvel.

    Ja para configuracoes do tipo lump, ao assumimos a condicao de pressao nula, a equacao (2.18)

    torna-se (d/dx)2 = V (). Ao contrario das configuracoes do tipo kink, nao podemos escrever na

    forma (2.21), pois lumps nao sao monotonicos. No entanto, podemos escrever

    d

    dx=

    2V () ed

    dx=

    2V (). (2.24)

    Usamos a primeira equacao de (2.21) para encontrar o lump na regiao onde a velocidade d/dx e

    positiva e a outra equacao quando d/dx e negativo. Apesar de o potencial ter valores negativos, na

    23

  • regiao permitida de valores de para o lump (regiao onde o lump vive), ele e sempre positivo ou

    nulo. Essas equacoes podem ser resolvidas, levando a

    x x0 =

    d

    2V ()= F (),

    d

    dx> 0 ;

    d

    2V ()= F (), d

    dx< 0

    (2.25)

    Sendo F () uma funcao inversvel para cada trecho de x, podemos encontrar o lump como

    (x) =

    F1(x x0),d

    dx> 0 ;

    F1(x0 x),d

    dx< 0.

    (2.26)

    Para lumps, F1 e sempre par em x x0. Com isso, a expressao reduz-se a

    (x) = F1(x x0). (2.27)

    Esses passos podem ser melhor entendidos para exemplos especficos, como veremos na subsecao 2.1.3.

    Definimos agora um objeto que denominamos de corrente topologica

    j = , (2.28)

    onde e o tensor de Levi-Civita em 1+1 dimensoes definido no Apendice A. Da maneira como e

    construda, a corrente topologica e automaticamente conservada, j = 0. Essa conservacao nao se

    origina de nenhuma quantidade conservada da acao (2.1). Se integrarmos a densidade de carga em

    todo espaco, temos

    dQTdt

    =

    dx

    jxx

    = jx(x ) jx(x ) = 0. (2.29)

    Logo a carga e conservada e e dada por

    QT =

    dx j0 =

    dx

    x= (x ) (x ). (2.30)

    Para solucoes estaticas, temos jx = j1 = 0 e j0 = d/dx. A carga topologica caracteriza o tipo da

    solucao: ela e nula para lump, mas nao e para kinks. Kink e antikink tem cargas opostas QTk = QTak .Uma forma mais geral de definir a corrente topologica e j =

    g() = (dg/d)j, onde g() e

    uma funcao bijetora do campo. A carga topologica generalizada e Q = g((x )) g((x )),que e muito util em modelos onde a carga topologica usual (2.28) e divergente.

    24

  • Uma outra quantidade conservada e a energia que para solucoes estaticas escrevemos E =dxj20 =

    (d/dx)

    2dx. Contudo nao podemos dar uma carater topologico a essa quantidade, pois ela nao

    distingue a topologia das solucoes. Kink e antikink tem a mesma energia. E ate mesmo solucoes tipo

    lump (que nao sao topologicas) tem essa quantidade conservada nao nula.

    2.1.2 Solucao de Onda Viajante

    Uma classe de solucoes localizadas com dependencia temporal e a das solucoes de onda viajante.

    Para a equacao de movimento em 1 + 1 dimensoes

    2

    t2

    2

    x2+

    V

    = 0, (2.31)

    vamos supor solucoes de onda viajante do tipo

    (x, t) = e(u), (2.32)

    com u = (x vt), onde = (1 v2)1/2 e o fator de contracao de Lorentz e v e um valor constanteda velocidade. As derivadas parciais se transformam como

    t=

    d

    du

    u

    t=

    d

    duv , (2.33a)

    z=

    d

    du

    u

    z=

    d

    du . (2.33b)

    A equacao (2.31) torna-sed2

    du2=

    V

    . (2.34)

    Logo, se existir um campo e(x) que resolva a equacao (2.14), existira uma solucao de onda viajante

    para a equacao acima escrita por

    (x, t) = e((x vt)). (2.35)

    A solucao de onda viajante tem a forma da solucao estatica, se desloca com velocidade constante v

    abaixo da velocidade da luz (v2 < 1) e tem espessura = 0/, onde 0 e a espessura da solucao

    estatica.

    Para esse tipo de solucao, integramos a equacao de movimento para encontrar o seguinte teorema

    virial1

    2

    (d

    du

    )2

    = V. (2.36)

    25

  • Com isso podemos relacionar a energia da solucao da onda viajante com a da solucao estatica

    E = E0. (2.37)

    Vemos entao que a solucao de onda viajante se comporta como uma partcula relativstica classica.

    2.1.3 Exemplos

    Potencial 4

    O potencial 4 e muito utilizado em teoria de campos. Ele e dado por

    V () =

    2(2 a2)2, (2.38)

    onde e a sao parametros positivos com dimensoes [L]D3 e [L]1D2 , respectivamente. Esse potencial

    tem simetria discreta Z2, pela reflexao . Seu perfil e mostrado na figura 2.4(a).A equacao de movimento para solucoes estaticas e

    d2

    dx2= 2(2 a2). (2.39)

    Os pontos crticos sao as solucoes homogeneas a = a e a = a que sao pontos de mnimos e o0 = 0, que e o ponto de maximo. De (2.18), obtemos

    1

    2

    (d

    dx

    )2

    =

    2(2 a2)2 + p. (2.40)

    Para ver com mais detalhe o comportamento do campo em relacao a pressao, desenhamos na figura

    2.4(b), o perfil de d/dx em relacao a para dados valores de p. Para valores positivos da pressao,

    a solucao diverge, para p negativos, as solucoes sao periodicas e, como esperado, apenas para p =

    0, temos a solucao localizada do tipo kink. Escolhemos uma das equacoes de (2.21) e escrevemos

    d/dx = (2 a2). Seguindo (2.22), obtemos

    x x0 =

    d(2 a2)

    = 1aarctanh

    (

    a

    )

    . (2.41)

    Essa funcao F () e inversvel, seguimos para o passo seguinte obtendo a forma analtica das solucoes

    kink e antikink

    (x) = a tanh(

    a(x x0)

    )

    , (2.42)

    26

  • onde x0 e o centro do kink que e onde esta localizada sua energia. Isso pode ser visto pela densidade

    de energia

    (x) = a4sech4(

    a(x x0)

    )

    , (2.43)

    o maximo de e em x0 com valor a4. Definimos a espessura do kink por

    = (a)1. (2.44)

    A energia da solucao e

    E =

    (x) dx =

    4a3

    3. (2.45)

    A espessura e a energia ficam fixadas unicamente com a escolha de e a, que podem ser encontradas

    por

    =4

    3

    1

    E3e a =

    3E

    4. (2.46)

    Entao o kink do modelo 4 e caracterizado pela energia e espessura, ou pelos parametros e a.

    (a) Perfil do potencial. O ponto de

    maximo 0 = 0 tem valor V (0) =

    a4

    .

    (b) Perfil do espaco de configuracao

    para dados valores de pressao. A

    linha mais grossa corresponde a

    solucao assintotica.

    (c) Perfis do kink (linha solida) e da

    densidade de energia (linha trace-

    jada) para x0 = 0.

    Figura 2.4: Perfis do potencial, espaco de configuracao, solucao tipo kink e densidade de energia para

    o modelo 4 (2.38).

    Potencial 3

    Um modelo que suporta solucao do tipo lump e o 3. O potencial e dado por

    V () = 22(

    1 a

    )

    , (2.47)

    27

  • onde e a sao parametros positivos. O perfil do potencial e mostrado na figura 2.5(a). A equacao de

    movimento para solucoes estaticas e

    d2

    dx2= 2

    (

    2 3a

    )

    , (2.48)

    que tem duas solucoes homogeneas 0 = 0 e max = 2a/3 que sao os pontos de mnimo e maximo

    loca, respectivamente. De (2.18), obtemos

    1

    2

    (d

    dx

    )2

    = 22(

    1 a

    )

    + p. (2.49)

    Como no caso 4, vemos o comportamento de d/dx em termo de para dados valores da pressao, ob-

    servando a figura 2.5(b). Resolvemos a solucao de tipo lump usando a equacao d/dx = 2

    (1 /a)e d/dx = 2

    (1 /a). Seguindo, escrevemos (2.25)

    x x0 =

    d

    2

    (1 /a)=

    1arcsech

    (

    a

    )

    ,d

    dx> 0 ;

    d

    2

    (1 /a)= 1

    arcsech

    (

    a

    )

    ,d

    dx< 0.

    (2.50)

    Como essa funcao e inversvel, escrevemos

    (x) =

    a sech2( (x x0)),

    d

    dx> 0 ;

    a sech2( (x0 x)),

    d

    dx< 0.

    (2.51)

    A funcao sech e par, podemos escrever o lump simplesmente por

    (x) = a sech2( (x x0)). (2.52)

    A densidade de energia e dada por

    (x) = 4a2sech4(

    (x x0))

    tanh2(

    (x x0))

    . (2.53)

    A energia esta localizada em dois picos simetricos ao ponto x0, que localizam nos pontos xmax =

    x0 (1/a) arctanh

    (3/3), com valor maximo 16a2/27. A distancia entre esses dois picos e

    d = (2/a) arctanh

    (3/3)

    , (2.54)

    28

  • Integrando a densidade em todo o espaco, obtemos

    E =

    (x) dx =

    16a2

    15(2.55)

    A distancia entre os picos e a energia total ficam fixadas unicamente com a escolha de e a, que

    podem ser encontradas por

    =4

    d2arctanh2

    (3/3)

    e a =1

    4

    (

    15Ed

    2 arctanh(

    3/3)

    ) 12

    . (2.56)

    entao o lump do modelo 3 e caracterizado pela energia e a distancia entre os picos de energia ou

    pelos parametros e a.

    (a) Perfil do potencial. O ponto

    de maximo max = 2a/3 tem

    valor V (0) = 8a2/27.

    (b) Perfil do espaco de configuracao

    para dados valores de pressao. A

    linha mais grossa corresponde a

    solucao assintotica.

    (c) Perfis do lump (linha solida) e

    da densidade de energia (linha trace-

    jada) para x0 = 0

    Figura 2.5: Perfis do potencial, espaco de configuracao, solucao tipo lump e densidade de energia para

    o modelo 3 (2.47).

    2.1.4 Metodo da Deformacao

    Recentemente, devido a sistemas fsicos com caractersticas especficas, e feito um esforco em elab-

    orar novos modelos de campos escalares que modelem esses sistemas. Contudo, devido a dificuldade de

    encontrar potenciais que tenham kinks ou lumps com uma forma analtica conhecida, somos obrigados

    a fazer analise numerica das solucoes de tais modelos2. O procedimento conhecido como o metodo da

    deformacao[29], serve como uma alternativa na busca de potenciais com solucoes analticas.

    2No apendice A, sao mostrados os passos para se obter solucoes numericas utilizando o Maple V

    29

  • Seja f() uma funcao generica do campo denominada funcao deformadora. Introduzimos um

    novo potencial dependente dessa funcao

    V () =V (f())(df()

    d

    )2 . (2.57)

    Denominamos V () de potencial deformado. Dependendo da forma explcita de f(), esse potencial

    deformado tambem admite solucoes localizadas de energia finita. A solucao deformada e encontrada

    simplesmente utilizando a funcao inversa f1,

    (x) = f1((x)). (2.58)

    Podemos escrever deste modo, pois satisfaz a equacao de primeira ordem

    1

    2

    (

    d

    dx

    )2

    =V (f())(df)

    d

    )2 (2.59)

    A funcao deformadora deve ser bijetora nos domnios das solucoes. A densidade de energia da solucao

    deformada pode ser expressa em termos da solucao original

    (x) =

    (

    d

    dx

    )2

    =

    (df1

    d

    )2(d

    dx

    )2

    =

    (d

    dx

    )2

    (df

    d

    )2 . (2.60)

    Como ilustracao deste metodo, consideramos o potencial 3 (2.47) como o potencial deformado do

    modelo 4 (2.38), a funcao deformadora (para todos os parametros das teorias iguais a unidade)

    e f() = 1 , de modo que as solucoes se relacionam por = 1 2. Obtemos o potencial

    deformado

    V () =

    1

    2

    (1 f()2

    )2

    (df()

    d

    )2 =

    1

    2

    (

    1 (

    1 )2)2

    (1

    2

    11

    )2 = 22(1 ). (2.61)

    Utilizando esse metodo, encontramos solucoes para extensoes do modelo seno-Gordon, o que sera visto

    na secao (3.3). Um estudo mais detalhado do metodo de deformacao pode ser visto na tese de Carlos

    Alberto de Almeida[30] e em artigo recente[31].

    2.2 Defeitos em Modelos com N Campos Escalares

    30

  • Na secao anterior estudamos modelos com um unico campos escalar e encontramos solucoes

    topologicas e nao topologicas. Muitas vezes e preciso incluir mais campos para se ter solucoes mais

    complexas que modelem de maneira mais realstica alguns sistemas fsicos. Generalizamos a acao (2.1)

    dada por

    S =

    dt

    dx

    [

    1

    2

    (at

    )2

    12

    (ax

    )2

    V (1, . . . , N )]

    (2.62)

    onde V e uma funcao nao linear dos campos 3. As equacoes de movimento para configuracoes estaticas

    a = a(x), com a = 1, 2, . . . , N, sao dadas por

    d2adx2

    =V

    a(2.63)

    que sao N equacoes diferenciais ordinarias nao lineares de segunda ordem acopladas. Novamente

    poderemos fazer analogia a mecanica classica. A coordenada x e identificado com o tempo x t e osN campos a sao identificados como as coordenadas do espaco N -dimensional, a xa.

    Alguns conceitos vistos na secao anterior sao preservados, e outros devem ser estendidos. As

    solucoes estaticas de N componentes e de energia finita ainda podem ser divididas em topologicas e

    nao topologicas. Na figura 2.6 ilustramos o espaco de configuracoes bidimensional para um sistema de

    dois campos, e . Os pontos A, B e C sao os mnimos do potencial V (, ). As orbitas representam

    as solucoes (). As orbitas AB, AC e CB representam solucoes topologicas, enquanto a orbita

    fechada BB representa uma solucao nao topologica. A orbita que circunda o ponto D representa

    uma solucao oscilatoria com energia divergente. Ha uma infinidade de orbitas do tipo AB (na figura

    estao ilustradas tres). Em geral, essas orbitas representam solucoes com energias distintas. E nesse

    caso ha a instabilidade de solucoes com energia superior que decairao em outras de menor energia.

    Isso pode influenciar na estabilidade das solucoes. As topologicas nao sao necessariamente estaveis.

    Investigamos isso com mais detalhes na secao 2.2.2.

    Tambem temos que estender a definicao de corrente topologica para a de um isovetor no espaco

    dos campo dado por

    ja = a, (2.64)

    que leva a isocarga conservada dQa/dt = 0, com intensidade Q2 = Q21 + . . . + Q

    2N . A solucao sera

    topologica quando Q nao for nulo. Alem disso, defeito e antidefeito tem cargas opostas Qak = Qaak.3Assumimos o somatorio de Einstein para ndices repetidos. No caso de quadrados com apenas um ndice, consider-

    amos o somatorio, p2a = papa.

    31

  • Figura 2.6: Ilustracao de uma possvel distribuicao de vacuos no espaco de configuracoes e .

    2.2.1 Metodo de Bolgomolnyi

    Ummetodo muito interessante, implementado por Bolgomolnyi[32] e generalizado em [33], consiste

    em reduzir as equacoes de movimento de segunda ordem em equacoes de primeira ordem atraves da

    minimizacao da energia de um dado setor topologico do modelo. Como vimos na secao 2.1, para

    um sistema com apenas um campo escalar, a equacao de movimento (2.14) se reduz a de primeira

    ordem (2.18), atraves da conservacao do tensor energia-momento. Contudo para sistemas com mais

    campos escalares com uma acao dada por (2.62) isso nao e tao simples. Para entender o que acontece,

    multiplicamos cada equacao (2.63) por da/dx, somando-as e resolvendo a integracao obtemos

    1

    2

    (dadx

    )2

    = V (1, . . . , N ) + p, (2.65)

    que e a generalizacao direta de (2.65). Entretanto, ao contrario do caso de um campo, esta equacao

    nao traz consigo toda a informacao da dinamica do sistema, por isso nao e uma substituta de (2.63).

    Sendo assim, vamos trata-la como um vnculo que chamaremos de vnculo da pressao. O vnculo da

    pressao nula e muito importante pois como ja vimos apenas solucoes de pressao nula tem energia

    finita em todo o espaco. O metodo de Bolgomolnyi leva a equacoes de primeira ordem, para alguns

    potenciais especficos, que substituem (2.63) em alguns setores da teoria.

    A energia relacionada a acao (2.62) e para solucoes estaticas e dada por

    E =

    dx

    [

    1

    2

    (ax

    )2

    + V (1, , . . . , N )

    ]

    . (2.66)

    32

  • Para uma dada funcao W (a), fazemos a seguinte organizacao dos termos

    E =1

    2

    dx

    (ax

    Wa

    )2

    +

    dx

    [

    V 12

    (W

    a

    )2]

    dxdW

    dx. (2.67)

    Se escolhermos que o potencial tenha a forma especfica

    V (1, . . . , N ) =1

    2

    (W

    a

    )2

    (2.68)

    e calcularmos a integracao total, obtemos

    E =1

    2

    dx

    (ax

    Wa

    )2

    + EB, (2.69)

    onde

    EB = |W | = |W (a(x ))W (a(x ))| (2.70)

    e a chamada energia de Bolgomolnyi. EB depende apenas da diferenca de W nos valores assintoticos

    dos campos, portanto independe da forma explcita de a(x). Isso nos leva a conclusao que EB e o

    menor valor que a energia pode ter para um dado setor topologico. E esse mnimo de energia apenas

    ocorre quando as solucoes da equacao de movimento (2.63) resolvem tambem as seguintes equacoes

    de primeira ordemax

    = Wa

    (2.71)

    de modo que a energia dessas solucoes e EB = |W |. Uma grande vantagem desse metodo e se temosa funcao W (1, . . . , N ) e conhecemos o setor topologico, e possvel ter a energia da solucao sem

    encontrar explicitamente a solucao.

    Os setores topologicos onde W 6= 0 sao chamados de setores BPS e suas solucoes de solucoesBPS; caso contrario, com W = 0, sao chamados de setores nao BPS com solucoes nao BPS. Para

    modelos com um campo, todas os setores e solucoes topologicas sao tambem BPS. As configuracoes

    BPS sao mnimos de energia do setor BPS e portanto e esperado que sejam estaveis. Por outro lado,

    nao ha garantia que as configuracoes dos setores nao BPS sejam estaveis. A estabilidade desse tipo

    de solucao sera investigada na proxima secao.

    Modelo de campos escalares com o potencial (2.68) pode ser visto como o setor bosonico de uma

    teoria supersimetrica [34]. Em supersimetria a funcao W e chamada de superpotencial4.

    4Um estudo detalhado de sistemas de campos escalares pode ser visto na tese de Dionisio Bazeia[35].

    33

  • O modelo BNRT

    Um modelo com dois campos escalares bem conhecido foi introduzido em [36, 37] e investigado

    com mais detalhes em [38, 39, 40]. A funcao superpotencial W e dada por

    W (, ) = 133 r2, (2.72)

    o parametro real e positivo r controla a maneira com que os campos interagem. O potencial e

    encontrado pela expressao

    V (, ) =1

    2

    (W

    )2

    +1

    2

    (W

    )2

    . (2.73)

    Substituindo (2.72), temos

    V (, ) =1

    2

    (1 2 r2

    )2+

    1

    2(2r)2 . (2.74)

    Este potencial tem simetria Z2 Z2, pois e invariante sobre as reflexoes de cada um dos campos. Opar de equacoes de movimento para solucoes estaticas e

    d2

    dx2= 2

    [r(r + 2r)2 1 + 2

    ], (2.75a)

    d2

    dx2= 2r

    [(1 + 2r)2 1 + r2

    ]. (2.75b)

    Da maneira que foi construdo, o potencial tem mnimos absolutos que sao os pontos crticos da funcao

    superpotencial. Neste modelo especfico, o potencial tem quatro mnimos dados por

    vh = (1, 0) , vv =(

    0,

    1/r)

    . (2.76)

    Para r positivo, eles estao dispostos simetricamente nos eixos e , como mostrado na figura 2.7.

    Existem seis setores topologicos distintos, destes cinco sao BPS e as configuracoes sao solucoes das

    equacoes de primeira ordem

    d

    dx= (1 2 r2), (2.77a)

    d

    dx= 2r. (2.77b)

    E bom reforcar que a grande vantagem de termos uma teoria com um potencial escrito na especfica

    forma (2.74) e que podemos obter a energia das solucoes BPS sem mesmo conhecer a solucao explcita.

    A energia dos setores entre os mnimos diagonais e 2/3, enquanto entre os mnimos horizontais e 4/3.

    As equacoes (2.77) podem ser integradas pelo fator integrante f() = 11

    r , resultando na orbita

    2 =r

    2r 12 + C

    1

    r + 1, (2.78)

    34

  • onde C e uma parametro de integracao que determina a orbita que conecta os mnimos de um dado

    setor BPS. A orbita desacopla a equacao (2.77b), logo podemos encontrar todas as solucoes BPS.

    Infelizmente, para um dado r, nem sempre e possvel encontrar solucoes analticas para um valor de

    C arbitrario. Em [39], Izquierdo e colaboradores encontraram solucoes gerais para alguns valores de

    r. Aqui, vamos explicitar duas orbitas especficas conectando os mnimos horizontais: a linha reta

    horizontal (C ) e a elipse (C = 0).

    Figura 2.7: Perfil dos quatro mnimos do potencial do modelo BNRT, representados por crculos. As

    setas indicam como os mnimos estao conectados para x variando de ate . As linhas tracejadasse referem as orbitas elpticas que conectam os mnimos vh = (1, 0) para C = 0, na equacao (2.78).

    As solucoes da orbita linha reta (tipo um campo) sao

    (x) = tanh(x) e (x) = 0, (2.79a)

    enquanto as quatro solucoes para a orbita elptica (tipo dois campos) sao

    (x) = tanh(2rx), e (x) =

    1 2 rr

    sech(2rx), (2.79b)

    com 0 < r < 1/2. Essas solucoes podem ser aplicadas em sistemas que descrevem interfaces quirais

    [41, 42], para modelar polarizacoes lineares e elpticas. As solucoes tipo dois campos podem ser usadas

    para descrever estruturas internas. No centro do kink (x = 0), o campo e maximo.

    Modelos com dois ou mais campos sao tambem usados para descrever estruturas em cadeias de

    35

  • polmeros unidimensionais. Trabalhos neste contexto tem utilizado o modelo BNRT para descrever

    defeitos topologicos em cristais ferroeletricos[43, 44] e no polietileno[45, 46].

    2.2.2 Estabilidade Linear

    Toda configuracao fsica tem a tendencia natural de ir para um estado de mnima energia. A

    estabilidade das solucoes estaticas esta diretamente ligada a possibilidade desta decair para um estado

    de menor energia, ou para o proprio vacuo. A estabilidade de uma solucao deve ser investigada nao

    apenas por aspecto energetico, como tambem por aspecto topologico. Solucoes topologicas tendem

    a manter a topologia mesmo apos perturbacoes. Contudo, nem toda solucao topologica e estavel

    pois algumas solucoes multicomponentes podem decair em duas solucoes de energia inferior ainda

    preservando as condicoes assintoticas.

    Para verificar isso explicitamente, introduzimos um sistema de N campos escalares reais em D

    dimensoes espaciais, cuja acao e dada por

    S =

    dt

    dDx

    [1

    2a

    a V (1, . . . , N )]

    . (2.80)

    As N equacoes de movimento sao dadas por

    a +

    V

    a= 0. (2.81)

    Para estudar a estabilidade linear das solucoes sob pequenas perturbacoes, assumimos a = a + a,

    onde a e alguma solucao nao perturbada da equacao (2.81) e a a perturbacao da solucao a. A acao

    perturbada ate segunda ordem, apos uma integracao por partes, e

    S = S0 +

    dt

    dDx[ (

    a +

    V

    a

    )

    nulo

    a +1

    2a

    a 2V

    abab

    ]

    , (2.82)

    onde S0 e uma constante que carrega os termos da solucao a e em nada interfere na evolucao de a,

    que e regido pela equacao

    a + Uab(t, ~x)b = 0 (2.83)

    com

    Uab(t, ~x) =2V

    ab

    a=a

    , (2.84)

    onde Uab(t, ~x) e a chamada matrix hessiana, simetrica por construcao. Temos um sistema de equacoes

    diferenciais parciais lineares hiperbolicas com coeficientes dependentes da posicao e do tempo.

    36

  • Quando consideramos configuracoes estaticas a = a(x), a funcao U e independente do tempo,

    Uab(~x, t) Uab(~x). Neste caso, atraves de separacao de variaveis, podemos escrever a perturbacaocomo o somatorio de modos de Fourrier

    a(t, ~x) =

    a (~x) cos(t), (2.85)

    o somatorio e feito em todos os possveis valores de , que sao determinados pela forma explcita de

    U(~x). A equacao (2.83) para cada modo e reescrita como

    2a + Uab(~x)b = 2a . (2.86)

    Este conjunto de equacoes tem a mesma forma da equacao de Schrodinger para uma funcao de onda

    de N componentes. Identificamos o operador hamiltoniano

    Hab = 2ab + Uab(~x). (2.87)

    Temos entao um problema de autovalores, Habb =

    2a , equivalente a um problema em D dimensoes

    de mecanica quantica de uma funcao de onda de N componentes submetida a um potencial quantico

    matricial Uab.

    Estas equacoes tem N D modos zeros (modos que nao contribuem para a energia da solucao a).Destes, D sao os modos referentes as translacoes, pois a teoria (2.80), e invariante sob essa simetria.

    Podemos escrever, para pequenos valores de x0,

    a(~x+ ~x0) = a(~x) +

    (a(~x+ ~x0)

    x0i|x0=0

    )

    x0i, (2.88)

    onde a indica uma dosN perturbacoes dos campos, e i uma dasD dimensoes espaciais. As coordenadas

    xi sao as D coordenadas retangulares. Escrevemos o modo

    ai(x) =a(~x+ ~x0)

    x0i

    x0=0

    =a(~x)

    xi. (2.89)

    Da acao (2.82), encontramos a energia para uma perturbacao estatica

    E =1

    2

    dDx[

    (a )2 + Uab a b]

    =1

    2

    dDx a(2a + Uab b

    ). (2.90)

    Na passagem para o terceiro termo foi feita uma integracao por partes. Substituindo um dos modos

    zeros (2.89), temos

    E =1

    2

    dDx

    (axl

    )[

    2(axl

    )

    + Uab

    (bxl

    )]

    =1

    2

    dDx

    (axl

    )[

    xl

    (

    2a V ()

    a

    nulo

    )]

    = 0, (2.91)

    37

  • Da primeira para a segunda linha, levamos em conta que em coordenadas cartesianas e valida a

    relacao de comutacao, [2, /xi] = 0. Como a contribuicao da perturbacao da energia e nula, (2.89)sao os D modos zeros da teoria (2.80). Uma teoria de D campos escalares nao precisa ter a forma

    padrao (2.80) para que tenha esses D modos zeros. Qualquer teoria com uma lagrangeana generica

    L = L(a, a) tem modos zeros dados por (2.89). Contudo, e muito importante salientar que nemsempre esse modo zero e normalizavel. Por exemplo, para uma densidade de lagrangeana do tipo

    L = V ()(1 )a, com a 6= 1/2, introduzida em [47], a solucao e uma e linha reta, logoo modo zero e constante e por isso nao normalizavel. Para essa teoria o primeiro modo e um modo

    positivo.

    Os outros (N 1)D modos sao encontrados da derivacao das outras (N 1)D constantes deintegracao das solucoes das equacoes (2.81).

    Em uma dimensao a equacao tipo Schrodinger e reescrita como

    d2adx2

    + Uab(x)b =

    2a . (2.92)

    Como vimos anteriormente, diferente do caso de um campo escalar, a estabilidade de solucoes

    topologicas nao esta assegurada. Isso pode ser explicado porque em um mesmo setor topologico, as

    solucoes adquirem diversos valores de energia. Logo, as de maior energia decairao nas de menor.

    Por exemplo, na figura 2.6, se a orbita AB superior tiver energia inferior as outras duas, elas terao

    a tendencia em decair para ela. Outra maneira de uma configuracao topologica ser instavel e o

    decaimento para um outro valor assintotico intermediario. Por exemplo, na figura 2.6, as orbitas AB

    podem decair para duas orbitas AC e CB se a soma dessas duas energias for menor que a energia

    original.

    Em setores BPS, todas as solucoes tem a mesma energia, e isto e um indcio de serem estaveis.

    Vamos estudar a estabilidade de solucoes topologicas BPS que sao encontrar para potenciais do tipo

    (2.68), derivados de uma funcao superpotencial W . A matrix hessiana Uab pode ser escrita da seguinte

    forma

    Uab(x) =

    (2W

    ac

    )(2W

    cb

    )

    +

    (3W

    abc

    )(W

    c

    )

    . (2.93)

    Para solucoes BPS que obedecam o conjunto de equacoes (2.71), podemos reescrever (2.92) como

    (d

    dxab +

    2W

    ab

    )(

    ddx

    bc +2W

    bc

    )

    c = 2a . (2.94)

    Definimos os operadores diferenciais de primeira ordem,

    Sab = d

    dxab +

    2W

    ab. (2.95)

    38

  • Lembrando que (d/dx) = d/dx escrevemos o seu hermitiano conjugado

    Sab =d

    dxab +

    2W

    ab. (2.96)

    Desta maneira, podemos reescrever (2.94) de uma forma compacta

    Habb = S

    abSbc

    c =

    2a . (2.97)

    Multiplicando (2.97) a direita por

    a , obtemos

    d SdbSbc

    c =

    2

    a a , (2.98a)

    (Sbd

    d )Sbc

    c =

    2

    a a . (2.98b)

    Se definimos |na >= a , a funcao de onda normalizada para um dado n. E assumindo que os estadossao ortogonais,< na|mb >= 0, para n 6= m, escrevemos a equacao acima como

    2n = < na|SbaSbc|nc >, (2.99a)

    2n =

    dx |a(x)|2, (2.99b)

    onde a = Sac|nc > . Conclumos entao que 2 0, logo nao existe modo negativo. O que significa queas solucoes BPS sao estaveis sob pequenas perturbacoes dos campos, pois os modos menos energeticos

    sao os modo zeros 0a com 0 = 0.

    Exemplos

    Vamos analisar os modelos com apenas um campo escalar 4 (2.38) e 3 (2.47), que suportam

    configuracoes de kinks e lumps, respectivamente. Em modelos de um campo, a matriz hessiana Uab(x)

    e simplesmente uma funcao escalar e a equacao de autovalores correspondente e uma equacao de

    Schrodinger para uma funcao de onda escalar

    d2

    dx+ U(x) = 2 (2.100)

    O potencial 4 tem derivada segunda dada por

    d2V

    d2= 2

    (32 a2

    ). (2.101)

    Para os pontos de maximo = 0, U = 2a2, logo esse ponto e instavel por apresentar modostaquionicos, 2 < 0. Os pontos de mnimo sao estaveis visto que U = 4a2.

    39

  • Substituindo a solucao (2.42), encontramos o potencial quantico

    U(x) = 2a2(

    2 3 sech2(ax)

    )

    , (2.102)

    O potencial 3 tem derivada segunda dada por

    d2V

    d2= 4

    (

    1 3a

    )

    . (2.103)

    Substituindo (2.52), encontramos o potencial quantico

    U(x) = 4(

    1 3 sech2(x)

    )

    (2.104)

    Ambos os potenciais estao includos na classe do potencial de Poschl-Teller modificado sem estados

    contnuos de reflexao, dado pela expressao U(x) = A B sech2(x), como podemos ver no apendiceA. O potencial (2.102) com os parametros = a = 1, tem os parametros de Poschl-Teller dados por

    A = 4 e B = 6. O espectro de energia dos estados ligados e portanto

    n = n(4 n) (2.105)

    com n = 0, 1. Os valores deles sao 0 = 0 e 1 = 3. O modo zero e o modo de menor energia, portanto

    o modelo 4 e estavel sob pequenas perturbacoes do campos.

    Com a = = 1 para o potencial 3, os parametros do potencial de Poschl-Teller e A = 4 e B = 12.

    O espectro de energia e dada por

    n = (n 1)(5 n) (2.106)

    com n = 0, 1, 2. Os valores deles sao 0 = 1, 1 = 0 e 2 = 3 O modo zero nao e o modo de menorenergia, portanto o modelo 3 nao e estavel sob pequenas perturbacoes.

    Isso ja essa esperado, pois sabemos que para modelos com apenas um campo escalar real, a

    estabilidade esta segurada por aspectos topologicos. Tambem vemos que o modo zero e a derivada da

    solucao 0 = d/dx. Para o kink, a derivada nao cruza o eixo x, mostrando ser o modo mais baixo.

    Para o lump, a derivada cruza o eixo x, denunciando sua instabilidade.

    2.3 Defeitos em Dimensao Espacial Arbitraria

    Uma possvel existencia de solucoes estaticas estaveis e de energia finita de teorias de campos

    escalares em 3 dimensoes dadas por acoes do tipo (2.82) foi categoricamente descartada por Hobart

    [51] e Derrick [52], no comeco dos anos sessenta. Atraves de argumentos bastante simples, ele provaram

    que toda solucao dessa especie tem a tendencia a colapsar.

    40

  • Teorema de Derrick

    A energia associada a acao (2.82) e

    E =

    dDx

    [1

    2(a)2 + V (1, . . . , N )

    ]

    . (2.107)

    exigimos que o potencial seja nao nulo no domnio da solucao, V (1(x), . . . , N (x)) 0. Definimosuma funcao E, escrita como

    E =

    dDx

    [1

    2

    (

    a)2

    + V (1 , . . . , N )

    ]

    (2.108)

    onde a(~x) = a(~x) e a solucao contrada ( > 1) ou dilatada ( < 1). Entao E e a energia da

    solucao reescalada. E obvio que E|=1 = E. Esse tratamento e valido para proximo a unidade.

    Para escrevermos E em termos de , fazemos a seguinte modificacao ~y = ~x.

    E =

    dDy

    D

    [1

    22 (a)2 + V (1, . . . , N )

    ]

    (2.109)

    = 2DEG + DEP (2.110)

    onde EG e EP sao as porcoes gradiente e potencial da energia. E deve ser minimizada para = 1,

    logo escrevemosE

    =1

    = (2D)EG DEP = 0 (2.111)

    como EG e EP nao sao negativos, a identidade acima so pode ser obedecida em uma dimensao

    (D = 1) ou em duas, neste ultimo caso apenas se EP for nula. Em uma dimensao, a expressao reduz a

    equiparticao da energia EG = EP , que como ja vimos na secao (2.1) e uma condicao de pressao nula.

    Para constatar que E e mnimo, precisamos encontrar a segunda derivada de E

    2E2

    =1

    = (2D)(1D)EG +D(1 +D)EP = 2(2D)EG. (2.112)

    Em D = 1, a expressao acima reduz-se a E |=1 = E confirmando que para esse caso E, a solucao eestavel sob contracoes e dilatacoes. A equacao (2.110) em D = 1 se escreve como E = (E/2)(+1/),

    esta funcao e vista na figura 2.8(a). Tambem mostramos nas figuras 2.8(b) e 2.8(c) o comportamento

    qualitativo de E = EG + Ep/2 (D = 2) e E = EG/+ Ep/

    3 (D = 3).

    Para verificar com mais detalhes esses resultados, repetimos esse metodo para uma densidade

    de lagrangeana generica do tipo L = L(a, a). Do tensor energia-momento, a energia e paraconfiguracoes estaticas, e

    E =

    dDxL(a,a). (2.113)

    41

  • 1

    E

    l

    (a) D = 1. Note que = 1 e um

    mnimo de energia.

    1

    E

    l

    EG

    (b) D = 2. A solucao colapsa.

    1

    E

    l

    (c) D = 3. A solucao colapsa.

    Figura 2.8: Perfil da energia de uma configuracao fsica em termos do parametro de deformacao . O

    procedimento de Derrick e valido apenas para proximo a unidade.

    Definimos novamente E e repetimos a modificacao x x, para obter

    E =

    dDxDL(a, a). (2.114)

    Exigimos novamente que a primeira derivada desta funcao em = 1 seja nula para garantir a estabil-

    idade por dilatacao

    E

    =1

    =

    dDx

    (L

    (a)a DL

    )

    =

    dDx

    i

    ii = Dp = 0, (2.115)

    onde p e a pressao media da configuracao. Vemos entao que para qualquer teoria dada por L =L(a, a), a solucao sera estavel por reescala das coordenadas apenas se a pressao media for nula.

    O argumento de Hobart

    O trabalho de Hobart [51] e muito parecido com o de Derrick, foi feito exclusivamente no espaco

    tridimensional para solucoes de um campo escalar com simetria esferica. Vamos manter a dependencia

    radial, mas vamos generalizar para um numero de campos e dimensoes arbitrarias. Substitumos a

    seguinte perturbacao

    a =ar

    (2.116)

    na energia relacionada (2.90), de maneira que

    E =1

    2

    dDx

    (ar

    )[

    2(ar

    )

    + Uab

    (br

    )]

    =1

    2

    dDx

    (ar

    )[

    r

    (

    2a V ()

    a

    nulo

    )]

    12

    dDx

    (ar

    )[

    2, r

    ]

    a (2.117)

    42

  • Ao contrario de coordenadas cartesianas, o comutador acima nao e nulo, em D dimensoes para con-

    figuracoes dependentes de r. Usamos o laplaceano em (A.4), de modo que

    [

    2, r

    ]

    =

    [1

    rD1d

    dr

    (

    rD1d

    dr

    )

    ,d

    dr

    ]

    =D 1r2

    d

    dr. (2.118)

    Logo encontramos

    E = 12

    dDx

    (ar

    )2

    , (2.119a)

    E = (D 1

    2

    )

    D

    dr rD3(ar

    )2

    , (2.119b)

    onde D e o fator da integracao angular dado em (A.6). A contribuicao para a energia da perturbacao

    (2.116) e negativa, para D 2, portanto a solucao e instavel sob essa perturbacao.E importante notar que ambos argumentos sao do tipo no-go, que so provam a instabilidade das

    solucoes de energia finita em D 2.

    43

  • Captulo 3

    Novas Classes de Potenciais

    Neste captulo investigamos novas classes de potenciais de campos escalares reais que foram in-

    troduzidos durante o programa de doutorado. Na secao 3.1, introduzimos o modelo dependente de

    um parametro mpar denominado modelo p, a sua equacao de movimento possui solucoes estaticas do

    tipo dois-kinks que sao caracterizados por terem densidade de energia localizada em dois pontos do

    espaco. Na sequencia, introduzimos um modelo 4 que admite solucoes nao topologicas do tipo lump

    que formam um plato bastante largo controlado por um parametro positivo. Por fim, investigamos

    diversas generalizacoes do modelo de seno-Gordon para um e dois campos escalares reais.

    3.1 Modelo p

    Seja o seguinte modelo, introduzido em [53],

    V () =

    2

    (

    0

    )2[(

    0

    ) 1p

    (

    0

    ) 1p

    ]2

    , (3.1)

    onde e 0 tem dimensao de massa elevado a D e a (D 1)/2, respectivamente. Para facilitar ainterpretacao dos resultados, fazemos redefinicoes de modo que temos todas as variaveis do modelo

    adimensionais. Fazendo V V, 0 e x 0x, obtemos o potencial

    V () =1

    22(

    1

    p 1

    p

    )2, (3.2)

    onde p e um parametro inteiro mpar. O caso especial p = 1 nos da o modelo 4 (2.38) com = a = 1.

    44

  • Este potencial e obtido do superpotencial

    W () =

    1

    p+2

    2 + 1p

    1p+2

    2 1p. (3.3)

    O potencial p pode ser obtido por uma deformacao do potencial 4 (2.38), para = a = 1, atraves

    da funcao deformadora f() = tanh(p arctanh(1

    p )),

    V () =12

    (1 f()2

    )2

    (df()

    d

    )2 =12

    (1 tanh(p arctanh(1/p))2

    )2

    ((1 tanh(p arctanh(1/p))2

    )1/p1

    1 2/p

    )2 =1

    22(

    1

    p 1

    p

    )2. (3.4)

    Para p = 1, o maximo do potencial e o ponto = 0. Para p 6= 1, os dois maximos simetricos saomax = ((p 1)/(p + 1))p/2. Os mnimos do potencial sao (1, 1) para p = 1 e (1, 0, 1)para p 6= 1. O mnimo = 0 tem segunda derivada do potencial divergente

    d2V

    d2

    =0

    . (3.5)

    Por causa disso, esse ponto nao e um bom estado fundamental perturbativo. Consequentemente, pode

    nao haver solucao tipo kink que tenha valor assintotico para esse mnimo. Portanto, o setor topologico

    pode conectar dois mnimos nao consecutivos, = 1 e = +1. Podemos ver isso explicitamenteobservando as solucoes deste modelo

    (x) = tanh(x

    p

    )p

    . (3.6)

    E o primeiro potencial na literatura com esta caracterstica. Escolhemos x = 0 como o ponto onde a

    solucao cruza o mnimo = 0, para p 6= 1. Nesse caso, temos solucoes tipo dois-kinks, como vemosna figura 3.1(b). Vemos que as solucoes para p = 3, 5, . . . conectam os mnimos 1 e +1, passandopor = 0 com derivada nula. Essa e uma solucao do tipo dois-kinks autentica, pois ela e composta

    por dois kinks com derivadas nulas nos seus extremos. Esses dois kinks estao separados por uma

    distancia proporcional a p, o parametro que especifica o potencial. Ao contrario da solucao tipo kink

    onde o centro esta localizado em um ponto do espaco, para uma solucao tipo dois-kinks, o centro

    esta localizado em dois pontos do espaco (centro dos dois kinks). Tambem vemos isso observando a

    densidade de energia que e dada por

    = sech

    (x

    p

    )4

    tanh

    (x

    p

    )2p2. (3.7)

    45

  • A energia esta localizada em dois pontos do espaco. O perfil da densidade de energia e mostrado na

    figura 3.1(c). Note que a funcao se anula no centro do defeito e tem dois pontos de maximos simetricos

    x = p arcsech

    2

    p+ 1, (3.8)

    mostrando que a solucao dois-kinks possui estrutura interna. E interessante notar que comportamento

    desse tipo foi encontrado recentemente em sistemas magneticos [54] quando vinculamos a geometria

    de certo material (Fe20Ni80 de tamanho tpico de 2nm) de uma maneira especfica.

    Esse perfil de energia e muito parecido com o de um lump, a diferenca e que aquela solucao nao e

    topologica e instavel. As solucoes (3.7) sao topologicas com a estabilidade assegurada. As configuracoes

    tipo dois-kinks foram estudadas por Christ e Lee na referencia [55] no contexto de modelos de sacolas

    unidimensionais em teoria de hadrons. Os dois kinks modelam um par de quarks. O modelo escolhido

    pelos autores nao representa rigorosamente dois kinks. A densidade de energia nao se anula entre um

    kink e outro. No modelo p, o valor de (0) e nulo, para p 6= 1.

    1

    f

    V( )f

    -1

    (a) Perfil do potencial. O setor

    topologico conecta os mnimos nao

    consecutivos 1 e 1.

    (b) Perfil da solucao tipo dois-kinks.

    O valor da inclinacao em = 0 e

    nula.

    r( )x

    (c) Perfil da densidade de energia.

    A energia esta localizada em dois

    pontos do espaco, simetricos

    Figura 3.1: Potencial, solucao tipo dois-kinks e densidade de energia para o modelo p. As curvas

    solida e tracejada correspondem a p = 3 e p = 5, respectivamente.

    O valor da energia para um p arbitrario e

    Ep =4p

    4p2 1 . (3.9)

    Para p 6= 1, a segunda derivada do potencial e 4/p2 nos mnimos 1. Os maximos tem segundaderivada 2/p2 ((p 1)/(p+ 1))p/2. E para o mnimo central = 0 e divergente, como ja vimos. Paraverificar com detalhes as excitacoes da solucao dois-kinks, encontramos o potencial quantico (2.84)

    U(x) =

    (

    1 +1

    p

    )(

    1 +2

    p

    )

    tanh2(x

    p

    )

    +

    (

    1 1p

    )(

    1 2p

    )

    tanh2(x

    p

    )

    2. (3.10)

    46

  • O modo zero e

    0 = cp sech2(x

    p

    )

    tanhp1(x

    p

    )

    , (3.11)

    onde cp e a constante de normalizacao dada por cp =

    (4p2 1)/(4p). Para p 6= 1, o potencialquantico e divergnte para = 0. Por causa disso, o espectro contnuo tem reflexao total. Isso e o

    contrario do comportamento do modelo 4, onde o potencial quantico nao tem reflexao.

    Esse modelo foi recentemente aplicado por D. Bazeia, C. Furtado e A. R. Gomes [56] no contexto de

    branas. Ele foi utilizado para encontrar branas espessas com estrutura externa. Sua grande virtude

    e que simplifica muito o modelo considerado por A. Campos [57] que acoplou um campo escalar

    complexo com a gravidade em temperatura finita.

    3.2 Modelo de Lump Generalizado

    Uma solucao do tipo kink, como ja foi visto, pode conectar dois pontos de mnimo. Se um desses

    pontos, ao inves de ter valor nulo assumir valor negativo - veja a figura 3.2(a) - nao havera solucao

    tipo kink, pois o ponto de retorno da solucao nao mais sera esse mnimo. O que se obtem agora e

    uma solucao do tipo lump. Quanto menor for esse desnvel mais largo sera lump, formando assim um

    plato em certa regiao do espaco. Para isso introduziremos um modelo com essas caractersticas dado

    pelo seguinte potencial

    V () = 22 ( 0 tanh(a)) ( 0 coth(a)) , (3.12)

    onde 0 e um parametro positivo com a mesma dimensao do campo e a e um parametro real adimen-

    sional. Escolhemos 0 = 1. Fixamos a a valores positivos, pois a transformacao a a apenas refleteo potencial no eixo . O perfil do potencial e mostrado na figura 3.2(a)

    Esse potencial pode ser encontrado pela deformacao da teoria 3 (3.20) com a funcao deformadora

    f() =sech2(a)

    tanh(a)(1 tanh(a)) . (3.13)

    No limite a ,lima

    tanh(a) = lima

    coth(a) = 1. (3.14)

    Logo, o modelo se reduz ao 4 que suporta apenas solucoes localizadas do tipo kink. Depois da

    redefinicao = (+ 1)/2, vemos claramente

    V () =1

    8

    (2 1

    )2. (3.15)

    47

  • A equacao de movimento para as solucao estatica e dado por

    d2

    dx2= 4

    [22 3 coth(2a)+ 1

    ]. (3.16)

    Esta equacao tem 3 solucoes constantes

    0 = 0, (3.17a)

    max =3 coth(2a)

    9 coth2(2a) 84

    , (3.17b)

    min =3 coth(2a) +

    9 coth2(2a) 84

    . (3.17c)

    O primeiro ponto e um mnimo fixo, com valor de potencial nulo e concavidade positiva 2. Os dois

    outros dependem do parametro a e no limite a , max e min tendem a 1/2 e a 1, respectivamente.O valor do potencial do ponto de maximo max e positivo para qualquer valor de a. O valor do potencial

    para o ponto de mnimo min e sempre negativo e vai assintoticamente para o zero. Isso significa que

    o potencial obrigatoriamente corta o zero entre o ponto de maximo e de mnimo. Logo, sempre exitira

    uma solucao nao topologica, tipo lump, que sai do mnimo em e volta para ele, ao ter passado pelo

    segundo zero do potencial back = tanh(a).

    A solucao lump centrada em x = 0 e

    (x) =1

    2[tanh(x+ a) tanh(x a)] , (3.18)

    que e basicamente a subtracao de dois kinks centrados em a e +a ou a soma centrado em a e umantikink centrado em +a. O maximo do lump e back em x = 0, com (0) = tanh(a). Quanto maior

    for o valor do parametro a, mais esse maximo se aproxima da unidade. Reescrevemos a solucao com

    a seguinte expressao

    =b sech(x)2

    1 b2 tanh(x)2 , (3.19)

    onde b = tanh(a). Para a muito pequeno, a solucao se reduz a = a sech(x)2, que e a solucao do

    modelo 3 (2.47), com = 1,

    V () = 22(

    1 a

    )

    . (3.20)

    Continuando, vemos do perfil dos graficos que quanto maior for o valor de a maior sera a largura

    do plato da solucao. A densidade de energia estara localizada em dois pontos a e +a e dependendodo valor de a temos dois morros desconectados. A expressao da densidade e

    =1

    4

    [tanh2(x+ a) tanh2(x a)

    ]2(3.21)

    48

  • 1

    f

    V( )f

    (a) Perfil do potencial para tres val-

    ores de a. De baixo para cima

    a = 0.75, a = 1, a = 5. Note que

    para o valor a = 5, o valor do se-

    gundo ponto de mnimo e negativo.

    So sera nulo no limite a .

    1

    -10 10

    (b) Perfil das solucoes tipo lump

    para o parametro a assumindo os

    valores 0.75, 1 e 5, respectivamente

    para as curvas cheia, tracejada, e

    ponto-tracejada.

    1

    -15 15

    (c) Perfil das solucoes tipo lump

    para o parametro a assumindo os

    valores a = 4, a = 6, a = 8, a = 10 e

    a = 12, do lump mais estreito para

    o mais largo.

    Figura 3.2: Potencial e solucao para o modelo (3.12).

    e a energia

    E = 2

    (

    dy

    1

    4sech(y)4

    )

    2(

    dy

    1

    4sech(y a)2sech(y + a)2

    )

    . (3.22)

    A primeira integral independe de a e e igual a soma das energias do par kink-antikink calculadas

    isoladamente. O segundo termo e dependente de a e e sempre menor que a primeira integral, tendo

    este valor com a = 0, e se tornando pequeno para a grande. Calculando as integrais, temos

    E =2

    3 4cossech2(2a)

    [2a 1

    2+ ae2acossech(2a)

    ]

    . (3.23)

    Para a = 0, a energia se anula. Para a muito grande, a energia adquire o valor assintotico 2/3 que e

    a energia de cada kink.

    Agora investigamos a estabilidade linear da solucao. Para isso, encontramos a segunda derivada

    do potencial2V

    2= 4(62 6 coth(2a)+ 1). (3.24)

    Substituindo o valor da solucao, obtemos o potencial (2.84) da equacao de Schordinger,

    U(x) =4b2sech(x)2

    [9 sech(x)2 5 + 4 sech(x)2 b2

    ] 12sech(x)2 + 4

    (1 b2 tanh(x)2)2. (3.25)

    O modo translacional e dada por

    0 =1

    2

    [tanh2(x+ a) tanh2(x a)

    ]. (3.26)

    49

  • Essa solucao e a subtracao de dois modos zeros do modelos 4. O modo zero no modelo 4 e o modo

    de energia mais baixa. Contudo esse modo zero (3.26) cruza o zero no ponto x = 0 e portanto temos