MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

Odair MenuzziMestre em Modelagem Matemáticaodair.menuzzi@ibest.com.brOrientador Prof. Dr. Jun Sérgio Ono FonsecaCo-orientador: Prof. Dr. Eduardo André Perondi

Metodologia para Localização de Atuadores/Sensores Piezelétricos para Controle de Vibrações Via Otimização

Topológica

Exame de Qualificação

1

ORGANIZAÇÃO DA APRESENTAÇÃO

Justificativa; Objetivos; Revisão; Piezeletricidade; Otimização topológica; Controle para redução de vibrações; Projeto para localização de material piezo; Resultados preliminares; Sugestões para a conclusão do trabalho; Cronograma para conclusão do trabalho; Referências bibliográficas. 2

JUSTIFICATIVA

Necessidade por estruturas inteligentes (adaptáveis),

são importantes em diversas aplicações;

Métodos eficientes para o projeto de estruturas

inteligentes (localização e tamanho);

Otimização topológica;

Projeto de controle ativo para redução de vibrações;

Utilização de material piezelétrico na atuação e

sensoriamento de sistemas de controle.3

OBJETIVOS

Desenvolver uma metodologia de otimização

topológica para localização de atuadores e sensores

em uma estrutura;

Distribuição simultânea ou em sequência de

atuadores e sensores piezelétricos;

Utilização e estudo comparativo de dois

controladores (LQR e LQG) para redução de

vibrações;

Consideração de estruturas tridimensionais. 4

REVISÃO

Otimização topológica de atuadores e sensores

em uma estrutura para o controle de vibrações

(LQR e LQG).

Zhu et al. 2002, Otimização topológica simultânea, estrutura,

atuadores e parâmetros de controle em placas.

Bendsoe e Sigmund, 2003;

Kim et al., 2005, O.S. via sucessivas otimizações LMI.

Xu et al., 2007, Otimização simultânea com AG em treliças e Xu

et al., 2012, otimização integrada em placas.

Silveira, [2012] de forma simultânea.

5

PIEZELETRICIDADE

Transdutores piezelétricos são utilizados como atuadores e sensores para controlar vibrações;

Figura 2 – Reação de uma cerâmica piezelétrica a vários estímulos.

Revisão histórica: Pierre e Jacques Curie, 1880; Lippman 1881; Primeira e segunda guerras mundiais;

Cerâmicas piezelétricas:

Figura 1 – Representação da conversão de energia no efeito piezelétrico.

6

EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DA PIEZELETRICIDADE

Efeito d31

Efeito cisalhante

7

Força cortante

PRINCÍPIO VARIACIONAL

8

Princípio variacional e método dos elementos finitos:

Através do Lagrangiano, PTV e princípio de Hamilton

desenvolve-se as eqs. dinâmicas de um meio piezelétrico.

Energia potencial

Energia cinética

Trabalho virtual

ELEMENTO FINITO

9

Elemento sólido isoparamétrico de 8 nós.

onde e são definidas entre -1 e 1.

o Escrevendo-se a equação de equilíbrio global da seguinte forma

o Se apenas graus de liberdade internos forem condensados, então a estrutura resultante pode ser tratada como um único elemento, que pode ser conectado a outros elementos, mantendo-se a condição de compatibilidade.

... PIEZELETRICIDADE

, ,

10

….PIEZELETRICIDADE - CONDENSAÇÃO ESTÁTICA

Graus de liberdade elétricos podem ser divididos

em graus de liberdade no eletrodo potencial,

graus de liberdade no eletrodo aterrado e graus

de liberdade elétricos internos

Os potenciais referentes ao eletrodo aterrado são

definidos como zero;

Na superfície de um eletrodo específico todos os

nós têm o mesmo potencial.

11

MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

Conceitos teóricos: Domínio fixo estendido e modelo material:

Método das densidades (SIMP):

onde é o expoente de penalização.

Caracteriza a mistura em microescala de

materiais.

𝜒 (𝑥 )={ 1 𝑠𝑒𝑥𝜖Ω𝐷

0𝑠𝑒 𝑥𝜖Ω¿𝐷

𝑌 (𝑥 )=𝑌𝑂+𝜒 (𝑥 )(𝑌 1−𝑌 𝑂)

12

... OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

Problemas numéricos : Refinamento de malha;

Filtro de sensibilidades – modifica a sensibilidade, a taxa de variação da função objetivo ou restrições em relação a uma variável de projeto.

Análise do refinamento de malha

13

Instabilidade de tabuleiro;

Topologia com instabilidade de

tabuleiro

Modelos estruturais para controle: Modelos nodais:

Modelos modais: truncados

,

CONTROLE ESTRUTURAL ATIVO

14

Obtido da solução modal

CONTROLE EM ESPAÇO DE ESTADOS

Considera-se um vetor de estados x:

Assim, pode-se reescrever o modelo modal:

,

, ou

,

onde

𝒙={𝒙𝟏

𝒙𝟐}={𝒏�̇�}

,,

𝑨=[ 𝟎 𝑰−𝛀2 −2𝒁𝛀 ] ,𝑩=[ 𝟎𝑩𝑚]𝑒𝑪=[𝑪𝑚𝑑 𝑪𝑚𝑣 ]15

Equação de equilíbrio:

Equações de estado em malha fechada:

ou seja,

, , ,

... CONTROLE

,,

,

Como os eletrodos são aterrados, na 2ª eq., .

,

16

Minimização de um índice quadrático associado a Q e R.

Realimentação e equação de estados em malha fechada:

Entrada de controle e ganhos de controle:

onde é a solução da equação de Riccati

Equação em malha fechada:

CONTROLE LQR

𝒖𝜙𝑐=−𝑮𝒙 , ,

17

O controlador LQG é uma combinação do controlador LQR e do

filtro de Kalman, que minimiza um critério quadrático.

Considera-se que a planta e as medidas de saída estejam sujeitas

a ruídos de distribuição Gaussiana.

Equação do observador Filtro de Kalman.

onde o ganho do observador é que minimiza a variância do erro

de estimação:

onde é a solução da equação de Riccati

Equação em malha fechada:

CONTROLE LQG

𝑲=𝑷𝑪𝑇𝑹𝑣−1

18

CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE

Controlabilidade: capacidade de atuadores controlar todos

os estados da estrutura;

Observabilidade: capacidade de sensores de estimar todos

os estados do sistema a partir das informações obtidas.

Não são medidas quantitativas:

Gramianos de controlabilidade e observabilidade:

representam o grau de controlabilidade e observabilidade

do sistema.𝑨𝑾 𝑐+𝑾 𝑐𝑨

𝑇+𝑩𝑩𝑇=0𝑨𝑇𝑾 𝑜+𝑾 𝑜𝑨+𝑪𝑇𝑪=𝟎19

Projetos de controle consideram que todas as variáveis de

estado estejam disponíveis para retroação.

Problemas reais, existem restrições, custoso medir todos os

estados.

A estimação é uma alternativa para não utilizar a derivação.

Podem ser divididos em duas classes: ordem plena e ordem

reduzida.

• De ordem plena todos os estados são estimados quando as

medições não são confiáveis.

• O observador de ordem reduzida é aquele que possui

medições confiáveis enquanto que os demais estados são

estimados.

OBSERVADOR DE ESTADOS

20

Assume-se que os estados são conhecidos.

Se o sistema é observável, os estados podem ser

reconstruídos.

Considerando o sistema tem-se:

,

Admitindo que o estado deva ser aproximado pelo estado do

modelo dinâmico, o observador de ordem plena pode ser:

.

A equação do erro, é dada por:

.

OBSERVADOR DE ESTADOS DE ORDEM PLENA

21

Termo de correção

Matriz de ponderação

Se for estável o erro convergirá para zero.

OBSERVADOR DE ESTADOS DE ORDEM REDUZIDA

O observador é utilizado quando um dos estados é mensurável e

confiável.

Seja o estado do sistema, particionando . O sistema pode ser:

,

.

Para evitar a derivação faz-se a seguinte substituição, , Portanto,

Onde a dinâmica do erro é obtida por:

22

Projeto em sequência X Projeto simultâneo

Projeto em sequência = Controle p/ atuador – Controle p/

sensor.

Projeto simultâneo = Controle p/ atuador + Controle p/ sensor.

Minimização de uma função multiobjetivo.

PROJETO PARA LOCALIZAÇÃO DE ATUADORES E SENSORES

23

PROJETO DE OTIMIZAÇÃO

Um projeto simultâneo de otimização de controle para localização

de A/S pode ser considerado como um problema multiobjetivo.

O que torna a otimização p/ localização de sensor um subprocesso

onde

Sempre que as variáveis do primeiro laço são modificadas o

subprocesso é chamado;

As duas otimizações podem encontrar soluções diferentes;

24

MODELO MATERIAL

Modelo material que distribui material piezelétrico de forma

ótima. Dois materiais sólidos (elástico isotrópico e

piezelétrico);

,

Modelos semelhantes: Carbonari et al. [2007]; Bendsoe e

Sigmund [2003] e Silveira, [2012] de forma simultânea.

• Material piezo atuador:

e • Material piezo sensor:

e • Material elástico iso :

25

FUNÇÕES OBJETIVO

Traço do Gramiano de Controlabilidade: Maximização de .

Traço do Gramiano de Observabilidade – Maximização .

𝑓 𝑎 (𝜌𝑎 ,𝜌 𝑠 )= 𝑓 𝑎=𝑡𝑟 (𝑾 𝑐)

𝑓 𝑠 ( 𝜌𝑎 ,𝜌 𝑠 )= 𝑓 𝑠=𝑡𝑟 (𝑾𝒪)26

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA – SLP

A MP é um método iterativo mais utilizado em otimização que

tem por objetivo extremizar uma função, sujeita a restrições.

Para resolver os problemas de otimização foi utilizada a

programação linear sequencial (SLP);

SLP:

Linearização da função objetivo e restrições pela expansão

em séries de Taylor truncados nos termos lineares;

Cálculo dos limites móveis;

Solução iterativa de problemas lineares;

27

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Algoritmos de otimização de primeira ordem, como a SLP, requerem

as sensibilidades da função objetivo e restrições em relação às

variáveis de projeto. A análise de sensibilidade informa como a função

objetivo e as restrições mudam com uma variação nas variáveis de

projeto.

Para os problemas é possível calcular as sensibilidades

analiticamente.

Sensibilidade em relação às variáveis de projeto:

Modelo material;

Gramiano de controlabilidade;

Gramiano de observabilidade;

Autovalores e autovetores;

28

DERIVADA DO GRAMIANO DE CONTROLABILIDADE

As sensibilidades dos parâmetros em espaço de estados e

Condensação:29

O gramiano de controlabilidade é obtido resolvendo a eq. de Lyapunov.

DERIVADA DO GRAMIANO DE OBSERVABILIDADE

As sensibilidades dos parâmetros em espaço de estados e

Condensação:

30

O gramiano de Observabilidade é obtido resolvendo a eq. de Lyapunov.

METODOLOGIA PROPOSTA

1. Entrada dos dados da otimização e elementos finitos;

2. Montagem da tabela de vizinhos para o filtro de sensibilidade;

3. Início do laço da programação linear sequencial.

4. Resolução do problema modal para o número de modos desejados;

5. Cálculo das sensibilidades do problema de controle e filtragem a esses

dados;

6. Resolução do problema de maximização do traço do Gramiano de

controlabilidade para localização dos atuadores;

7. Resolução do problema modal para o número de modos desejados;

8. Cálculo das sensibilidades do problema de controle e filtragem a esses

dados;

9. Resolução do problema de maximização do traço do Gramiano de

observabilidade para localização dos sensores;

10.Verificação da convergência;

11.Saída e plotagem dos resultados.

31

RESULTADOS PRELIMINARES

Figura: Viga em balanço discretizada em 1800 elementos finitos (600mmx150mmx20mm).

32

O problema de otimização é dado da seguinte forma:

Problema de otimização

33

.... INFORMAÇÕES PARA OS RESULTADOS

Material elástico isotrópico (Alumínio), material piezelétrico (PZT5A);

Amortecimento modal: 1.71%, 0.72%, 0.42%, 0.41% .

Restrição de volume para material piezelétrico: 5%

Pseudodensidades uniformes para todos os elementos e iguais a

Além de fixação na base da viga, considera-se que os graus de liberdade na direção z dos nós localizados no plano central xy são restringidos;

Modelos modais truncados com modos de vibração flexionais no plano xy;

Critério de parada de 40 iterações ou quando a mudança nas variáveis é menor que 4%.

Valor inicial do calibrador de limites móveis igual a 0.15.

rmin = 5 mm de controle;

34

FIGURA 6 – CONFIGURAÇÕES PARA ELETRODOS POTENCIAIS. (A) 1 ELETRODO, (B) 2 ELETRODOS, (C) 6 ELETRODOS.

35

PROBLEMAS NUMÉRICOS

Problemas acoplados:

As magnitudes dos graus de liberdade de deslocamento e de

diferença de potencial são muito distintas.

Implicando em uma grande diferença de magnitude dos termos

da matriz de rigidez,

Consequentemente um número de condicionamento elevado;

Solução proposta por Qi et al., 1997 (escalonamento da unidade

básica de força);

1N=1.10𝑝N36

Propriedades dos Materiais

37

Localização ótima dos sensores

Topologias ótimas para o 2º modo de vibração. (a) Um eletrodo; (b) Dois eletrodos.

Topologias ótimas para distribuição de material piezelétrico para o 1º modo de vibração. (a) Um eletrodo; (b) Dois eletrodos.

38

CONVERGÊNCIA DA FUNÇÃO OBJETIVO

Figura 6.6 – Convergência da função objetivo de controle para o 1º

modo de vibração. (a) um eletrodo; (b) dois eletrodos.

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Número de iterações

Função O

bje

tivo

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de iterações

Função O

bje

tivo

39

CONVERGÊNCIA DA FUNÇÃO OBJETIVO

0 2 4 6 8 10 120

500

1000

1500

2000

2500

Fun

ção

Obj

etiv

o

Número de iterações0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

200

400

600

800

1000

1200

Fun

ção

Obj

etiv

o

Número de iterações

Figura 6.7 – Convergência da função objetivo de controle para o 2º

modo de vibração. (a) um eletrodo; (b) dois eletrodos.40

SUGESTÕES P/ A CONTINUIDADE DO TRABALHO

Estudo do efeito cisalhante para controlar vibrações estruturais;

Otimização de atuadores piezelétricos, utilizando o efeito

cisalhante, para controlar vibrações ocasionadas por forças

externas em estruturas tridimensionais;

Otimização topológica dos atuadores e sensores

simultaneamente ou em sequência;

Análise e comparação dos controladores LQR e LQG para

redução de vibrações excessivas em estruturas;

Aperfeiçoamento das técnicas controle, utilizando estimadores

de estado, para reduzir vibrações indesejadas em estruturas;

Redação de artigos.41

CRONOGRAMA PARA A DEFESA

42

REFERÊNCIAS

Allik, H. and Hughes, T. Finite element method for piezoelectric vibration, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 2, pp. 151–157, 1995.

Bendsøe, M. Optimal shape design as a material distribution problem, Structural Optimization, vol. 1, pp. 193–202, 1989.

Bendsøe, M. and Kikuchi, N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 71(2), pp. 197–224, 1988.

Bendsøe, M. and Sigmund, O. Topology Optimization - Theory, Methods and Applications. Springer, Berlin, 2003.

Carbonari, R., Silva, E., and Nishiwaki, S. Optimum placement of piezoelectric material in piezoactuator design, Smart Materials and Structures, vol. 16, pp. 207–220, 2007.

Gawronski, W. Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures. Springer, New York, 2004.

IEEE. ANSI/IEEE Std 176-1987, Standard on piezoelectricity. Inc. The Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York, 1988.

43

... Becker, J.; Fein, O.; Maess, M. e Gaul, L. Finite element-

based analysis of shunted piezoelectric structures for vibration damping, Computers and Structures, vol. 84, p. 2340–2350, 2006.

Burl, J., Linear Optimal Control. Addison-Wesley, California, 1999.

Cardoso, E. Otimização topológica de transdutores piezelétricos considerando não-linearidade geométrica. Tese de doutorado, PROMEC-UFRGS, 2005.

Piefort, V., Preumont, A. Finite Element Modelling of Piezoelectric Active Structures. 2001.

Preumont, A. Vibration Control of Active Structures, An Introduction. Kluwer, 2002.

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45

Obrigado pela atenção!

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