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Definição dos limites da cava

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Definição dos limites da cava

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O uso de computadores permite a atualização de dados rapidamente e o uso de vários parâmetros para análises

Técnicas: cone flutuante e Lerchs-Grossmann

Ambas necessitam avaliação econômica inicial dos blocos

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Dados minerais, metalúrgicos e econômicos são combinados para estabelecer um valor para cada bloco

Exemplo: Minério com Cu, Mo, Au e Ag 50 x 50 x 40 ft e fator tonelagem 13,5

ft3/st Todos os custos de mineração e

processamento incluem custos operacionais, de manutenção e depreciação

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Usando os dados das tabelas anteriores pode-se calcular o net value para o bloco.

O material pode ser considerado como indo para alimentação da planta ou estéril.

O NVst(stripping) = ton do bloco x custo de descobertura ($/st)

O NVmf(mill feed) = R (receita) - C´

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O NVmf é comparado com o NVst para cada bloco, e o valor mais positivo é considerado.

O NV torna-se, então, a única peça de um bloco a ser utilizado diretamente nos simuladores.

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No processo manual: uma curva NV x teor era desenvolvida e depois uma SR x teor e a partir disso examinava-se a possibilidade de expansão do pit.

Quando utiliza-se computadores fica mais conveniente o emprego do NV dos blocos diretamente.

Para um caso onde os taludes tem 45o a base 100’, a figura a ser “flutuada”:

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O exemplo a seguir será examinado usando-se a técnica manual baseada nos teores e SR e, também, quando NV são assinalados para cada bloco

3 limites potenciais serão considerados, o pit final é marcado pelo caso 3

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Usando o gráfico NV x teor - SR, o modelo da figura anterior pode ser convertido num modelo econômico de blocos

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Examinando-se os NV dos blocos envolvidos em uma seqüência em particular, os limites finais do pit podem ser determinados.

A lavra vai parar quando o NV for negativo.

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NV = 0 define o limite final do pit nessa seção

Como pode ser visto o método manual e o dos blocos conduzem a resultados similares

O mais fácil de programar é o do NV, quando considera-se um arranjo tridimensional de blocos

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Blocos eqüidimensionais, taludes 45 Barnes, 1982 Figura: modelo de bloco e o cone utilizado

para definição da cava

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Passo 1 - O cone é flutuado da esquerda para direita ao longo da linha superior. Se tiver um bloco positivo ele é removido.

Passo 2 - Passa-se para a segunda linha. Flutuando-se da esquerda para direita até encontrar-se o primeiro valor positivo. Se a soma de todos os blocos que caem dentro do cone é positiva ou zero, esses blocos são removidos

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Se a soma é negativa os blocos são deixados e o cone flutua para o próximo bloco positivo nessa fila.

Passo 3 - o processo continua até que não se possa mais remover blocos

Passo 4 - a lucratividade é calculada somando-se os valores dos blocos removidos

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Passo 5 - SR geral pode ser determinada a partir dos blocos positivos e negativos

Na figura do exemplo observa-se que existem 4 valores positivos, portanto 4 cones correspondentes para serem avaliados

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O valor total da cava anterior será: -1-1-1-1-1 + 1-2-2+4+7 = + 3

A SR geral = 7/3 Essa solução simples é considerada a cava

ótima. Cava ótima? Lucro máximo?Máximo NPV?

Máxima extração?

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Não combinação de blocos rentáveis Ocorre quando blocos positivos são

investigados individualmente. A extração de um bloco simples pode não ser econômica enquanto uma combinação de blocos pode permitir essa remoção

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Estendendo o limite além do limite ótimo da cava

Ocorre quando algoritmos de cones flutuantes podem e seguidamente incluem blocos não lucrativos no projeto da cava. A inclusão desses blocos reduzirá o NV da cava.

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Combinação dos dois problemas anteriores A figura a seguir mostra que temos 3 blocos

com valores positivos e portanto 3 possibilidades a serem analisadas pelo cone

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O método por ser uma “computadorização” de um método manual, pode-se entender o que se está fazendo

O algoritmo computacional é simples A técnica de movimentação dos cones

pode ser usada com taludes da cava generalizados

Resultados acurados para planejamento

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1965 “Optimum design of open pit mines”: dois métodos numéricos - algoritmo simples de programação dinâmica (2D) e algoritmo grafos (3D).

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NVst = -$4000/bloco NVmf = $12000/bloco Angulo do talude = 35,5 Altura bancada = 40 ft Fator tonelagem = 12,5 ft3/st

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Os blocos nos limites podem conter tanto minério quanto estéril.

Necessidade de ponderação. A posição dos blocos serão anotadas

segundo um sistema i(linhas),j(colunas).

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i = linhas e j = colunas calcular os lucros cumulativos para cada

coluna de blocos começando no topo e movendo-se para baixo. Cada coluna vertical é independente das outras.

i Mij = mkj

k=1

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Mij é o lucro realizado na extração de um simples bloco (i,j) na sua base

mkj é o NV do bloco(k,j) Aplicando a equação para j=6 e i=3: M36 = m16 + m26 + m36 = 12 + 12 + 8 =

32

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Processar uma soma cumulativa movendo-se lateralmente da esquerda para direita. Começando com o extremo bloco à esquerda, examina-se os valores dos 3 blocos: um diretamente acima e a esquerda; um a esquerda e um diretamente abaixo e a esquerda

bloco selecionado: B11

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Começando no valor 32 o pit resultante é indicado na figura a seguir

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Superimpondo o mesmo pit ao modelo de blocos

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Para o pit iniciado em 32 o valor cumulativo dos blocos será 32.

E para o pit iniciado em 60? Nesse ponto qual seria o pit ótimo?

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Superimpondo o mesmo pit ao modelo de blocos

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É aquele que tem o valor cumulativo máximo. Para determinar:

Move-se da direita para esquerda ao longo da linha 1 até encontrar o maior valor

As setas são seguidas até completar a outline do pit ótimo na seção.

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NV = 108 x $1000 = $ 108,000 Total t = 36 blocos x 10000/bloco = 360000 T de minério = 20 x 10000 = 200000 T estéril = 16 x 10000 = 160000 SR = 16/20 = 0,8 Lucratividade média/t = 108/360 = $0.30/t

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Para obter uma verdadeira cava ótima há a necessidade de se tratar o problema em 3D.

Para um conjunto ortogonal de blocos existe duas geometrias básicas para aproximação de cavas (pit):

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Padrão 1-5, onde 5 blocos são removidos para ganhar acesso a um bloco no nível inferior.

Padrão 1-9, onde 9 blocos são removidos para ganhar acesso a um bloco no nível inferior.

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Os nós representam os blocos. As setas apontam para aqueles blocos que

precisam ser removidos antes que o bloco abaixo possa ser minerado.

Cada bloco tem um peso atribuído a ele. Em geral, o peso é igual ao valor do parâmetro a ser maximizado (NV). Pode ser + ou -

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Cada bloco é representado por um número (xi) que indica a localização do bloco no modelo.

No caso, x1,x2,x3,x4,x5 e x6 Poderíamos ter para coordenadas de x1:

(2000,3500,6800). Se tivessemos 100000 blocos, então, xi iria de x1

a x100000. O arquivo da locação do nó X = (xi) Para aplicação da teoria “grafos” cada bloco

representado por um círculo será designado de nó.

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Linhas retas (bordas) são adicionadas conectando os nós inferiores com os vizinhos mais próximos acima.

Para o modelo 3D apresentado anteriormente temos 9 ou 5 bordas para cada bloco inferior

Para o modelo 2D anterior temos 3 bordas para cada bloco inferior

Cada borda dessas pode ser descrita por:eij = (xi,xj)

O conjunto contendo todas as bordas E = (eij)

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Grafo: G = (X,E) é definido como um conjunto de nós xi conectados por par de elementos denominados bordas eij = (xi,xj)

A seguir, é necessário indicar qual dos blocos sobrejacentes precisam ser removidos prioritariamente antes da remoção de um bloco inferior.

Fluxo. Do bloco mais inferior para o bloco mais superior. Setas são adicionadas.

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Ao adicionar a seta, criamos um arco: akl = (xk,xl), significa que o fluxo é do nó xk

para o nó xl A = (akl), é o conjunto de todos os arcos O grafo consistido de nós e arcos é

chamado de grafo direcionado

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Sub-grafo: um sub-grafo direcionado G(Y) é um sub-conjunto de um grafo direcionado G(X,A). É constituído de um conjunto Y de nós e todos os arcos Ay que os conecta.

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Temos: 1- a localização física dos blocos no espaço 2- a conexão entre os blocos 3- o fato de que os blocos superiores

precisam ser removidos antes de lavrar os blocos inferiores.

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Cada bloco precisa ter um valor. Cada bloco xi tem um peso associado (mi).

NV; teor, lucro

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Sob o ponto de vista de mineração: o sub-grafo x1, x2, x3 e x5 poderia ser uma cava viável.

X2, x3, x4 e x6 X1,x2,x3,x4,x5 e x6 X2,X3 e X6 é viável? O termo fechamento é utilizado para indicar

um sub-grafo viável.

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Fechamento: é um sub-grafo que compõem uma cava viável.

Terá um valor total associado. O desafio é encontrar entre as várias

possibilidades aquele que contempla o máximo valor.

Corresponde ao fechamento máximo.

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Fechamento máximo: é aquele fechamento que contem a máxima soma dos pesos dos blocos, My = ∑mi é máximo .

Circuito: é um caminho no qual o nó inicial é o mesmo nó terminal.

Cadeia: é uma seqüência de bordas na qual cada borda tem um nó comum com a borda seguinte.

Ciclo: é uma cadeia na qual o nó final e o inicial coincidem.

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Caminho: é uma seqüência de arcos tais que o nó terminal de cada arco é o nó inicial do arco que o sucede.

Árvore “tree”: é um grafo conectado e direcionado não contendo ciclos. Uma tree contém um ou mais nós do que o arco. Uma rooted tree é uma tree com um nó especial, a root.

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Root: é um nó selecionado de uma tree.

Branch: se uma tree é cortada em duas partes pela eliminação de um arco akl, a parte que não contém a root é chamado de branch. Ele mesmo é uma tree. A root de um branch é o nó de um branch adjacente ao arco akl.

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Twig: é um branch de um branch. O algoritmo de Lerchs-Grossman é baseado

num procedimento normalizado no qual um número de regras são seguidas.

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I – Construir uma tree arbitrária tendo uma conexão com a root.

Construir uma tree com cada um dos nós conectados diretamente a root.

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1- Adicionar uma root ao grafo direcionado e construir uma tree, considerando as possíveis conexões

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2- Cada um dos arcos será designado com respeito ao seu posicionamento em relação a root: plus ( se estiver se afastando) e minus (se estiver indo para a root).

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3- Adicionar as palavras strong ou weak aos arcos:

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Arco I: direção plus e peso negativo ► weak. Arco II: o mesmo. Arco: V Arco IV: direção minus, peso cumulativo

positivo (10 – 4=6)► weak. Arco III: direção plus, peso cumulativo

positivo (10-4-4=2) ► strong.

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4- Verificar os strong arcs: Ação 1- Strong-minus arc: o arco (xq,xr) é

subtituído por um dummy arc (xo, xq). O nó xq é conectado a root.

Ação 2- Strong-plus arc: o arco (xk,sl) é substituído por um dummy arc (xo,xl). O nó é conectado a root.

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No exemplo, temos um strong-plus arc, arco III, fazer a ação 2.

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Essa configuração é uma tree: T1. 5- Fazer a mesma designação aos arcos:

plus, minus, strong, weak

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6- Qualquer strong branch da nova tree não diretamente conectada a root é identificada e os procedimentos discutidos no passo 4 são seguidos.

Se não houver strong branches não conectados a root, a tree é dita normalizada e o processo termina.

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7- O fechamento máximo consiste nos nós conectados por strong arcs a root.

Nesse caso o fechamento é: -4-4+10-4-4+10 = 4

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1- Começa por adicionar um nó de root e conectando os arcos entre a root e cada outro nó.

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2- O conjunto de arcos direcionados é dividido em dois grupos. Aqueles conectados a root por strong-plus arcs são incluídos no grupo Yo . Os outros estarão no grupo X-Yo.

Nesse caso, nós x5 e x6 estão no grupo Yo. A soma é 20.

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3- Observar as possíveis conexões entre os dois grupos.

Para x5? Para x6? Selecionar uma: x5,x1. O arco direcionado

xo,x5 é removido e o arco direcionado x5,x1 é desenhado.

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4- Prosseguir com o processo de normalização. Cada arco será designado de plus ou minus e strong ou weak.

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5- Retornar ao passo 3 para procurar conexões adicionais entre Y e X-Y. Temos 5 arcos viáveis:

X5,x2; x5,x3; x6,x2; x6,x3 e x6,x4 O arco x5,x2 será adicionado a tree e o arco

xo,x2 removido.

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6- A nova tree é agora normalizada. Os nós incluídos em Y são: x1,x2,x5 e x6.

O fechamento é 12.

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7- retoma-se o passo 5, temos agora 3 possíveis conexões restantes: x5,x3; x6,x3 e x6,x4.

Escolhe-se adicionar o arco x6,x3 e remover o arco xo,x3.

A tree normalizada é mostrada a seguir. Os nós incluídos em Y são x1,x2,x3,x5 e x6 e o fechamento será 8.

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8- Retornando ao passo 5, ainda tem uma possível conexão a ser verificada:x6,x4. Arco xo,x4 é removido e o arco x6,x4 é adicionado.

Normalização da tree. Todos os nós estão agora relacionados diretamente com a root por cadeias tendo um bordo strong. Não tem mais conexões a serem tentadas.

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9- O máximo fechamento será = 4 Na verdade faltou, tentar a conexão x5,x3: Passo 7- Arco x5,x3 é adicionado e o arco

xo,x3 removido. Normalizar. Agora o arco xo,x1 se tornou weak-plus. O único membro do grupo Y ficou x6. O fechamento é 10.

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Passo 8- considera-se a possível conexão entre X-Y e Y:

X6,x4 e x6,x3 Pegando x6,x4 obtém-se a tree normalizada

a seguir representada. Os membro do grupo Y são x6 e x4 e o fechamento é 6.

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Passo 9- Existe uma conexão possível entre os dois grupos, aquela representada pelo arco x6,x3. Na tree anterior arc xo,x1 foi removido e o arco x6,x3 adicionado. Todos os nós estão conectados a root por uma cadeia contendo uma borda strong. Não há outras possibilidades. O fechamento é a soma dos nós que é 4.

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A tree pode ser cortada durante a normalização.

Partindo de uma tree inicial

Escolhas iniciais: x5,x1; x5,x2 X6,x3;x6,x4

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Há uma conexão ainda a ser feita:x6,x2 Na figura anterior, arco(xo,x3) é retirado e o

arco(x6,x2) é adicionado. A tree está normalizada. O arco (x5,x2) é strong-plus e não

conectado diretamente a root. Precisa ser cortado para normalizar a tree.

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Como discutido anteriormente, o arco (xk,xl) é substituído pelo dummy arc (xo,xl). Nesse caso, xk=x5 e xl=x2.

O novo arco (xo,x2). Todas as conexões foram tentadas e o

fechamento final é 20-10-2-2=6.

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