2

DEFINIÇÃO DE MATRIZ

IGUALDADE DE MATRIZ

3

DEFINIÇÃO DE MATRIZ

IGUALDADE DE MATRIZ

A =

4

5

Introdução1

Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais. Por exemplo, o consumo de sucos, em uma lanchonete, pode ser indicado em forma de matriz:

Laranja Manga Goiaba

Mesa 1 2 0 1

Mesa 2 1 3 0

Mesa 3 1 2 1

6

Introdução1

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela, é denominado matriz, e cada número pertencente a ela é chamado de elemento da matriz.

Laranja Manga Goiaba

Mesa 1 2 0 1

Mesa 2 1 3 0

Mesa 3 1 2 1

  





  





121

031

102

7

Definição2

Define-se matriz m  n como uma tabela com m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Uma matriz pode ser escrita entre [colchetes], (parênteses) ou ||barras duplas.

Matriz do tipo 3  2

Matriz do tipo 3  3

Matriz do tipo 2  1

8

Representação Genérica3

Da mesma maneira, indicamos os elementos de uma matriz pela mesma letra que a denomina, mas em minúscula. A linha e a coluna em que se encontra tal elemento é indicada também no lado inferior direito do elemento.

Exemplo aij  indica um elemento da matriz A que está

na linha i e na coluna j.

9

Representação Genérica3

Para indicar uma matriz qualquer, de modo genérico, usamos a seguinte notação: A = [aij]m  n onde i representa a linha e j a coluna em que se encontra o elemento.

A =

10

Exemplos 014

Dada a matriz:

Determine o valor da expressão: a12 + a31 – a13 + a22.

Resolução:

11

Dada a matriz.

Determine o valor da expressão a21 + a33 + a23 + a11.

Resolução:

2 Exemplos 02

12

13

Representação Genérica3

Para indicar uma matriz qualquer, de modo genérico, usamos a seguinte notação: A = [aij]m  n onde i representa a linha e j a coluna em que se encontra o elemento.

A =

14

4241

3231

2221

1211

cc

cc

cc

cc

C 

15

16

 ADIÇÃO DE MATRIZES MATRIZ OPOSTA  SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

17

Adição de Matrizes1

Sejam as matrizes A = [aij]m x n e B = [bij]m x n , tem-se que: C = A + B  cij = aij + bij Somamos os elementos correspondentes das matrizes, por isso, é necessário que as matrizes sejam de mesma ordem.

18

Adição de Matrizes1

Sejam as matrizes A = [aij]m x n e B = [bij]m x n , tem-se que: C = A + B  cij = aij + bij Somamos os elementos correspondentes das matrizes, por isso, é necessário que as matrizes sejam de mesma ordem.

Considere as matrizes A = −1 2 3 −3 0 5

e B = 5 1 0 3 2 4

. Encontre a matriz

dada por C = A + B.

Exemplo

19

Adição de Matrizes1

Sejam as matrizes A = [aij]m x n e B = [bij]m x n , tem-se que: C = A + B  cij = aij + bij Somamos os elementos correspondentes das matrizes, por isso, é necessário que as matrizes sejam de mesma ordem.

Considere as matrizes A = −1 2 3 −3 0 5

e B = 5 1 0 3 2 4

. Encontre a matriz

dada por C = A + B.

Exemplo

C = −1 2 3 −3 0 5

+ 5 1 0 3 2 4

= −1 + 5 2 + 1 3 + 0 −3 + 3 0 + 2 5 + 4

= 4 3 3 0 2 9

20

Dadas as matrizes:

Encontre a matriz C = A + B.

EXEMPLO 1

RESOLUÇÃO

21

Matriz Oposta

Dada uma matriz A = (aij)m x n. A sua matriz oposta será

representada por – A. Isso significa que para encontrar o oposto de

uma matriz basta tornar todos os elementos da matriz A em seus

opostos.

Dada a Matriz A = −3 2 5 −1

. Determine a sua oposta.

Exemplo

2

22

Matriz Oposta

Dada uma matriz A = (aij)m x n. A sua matriz oposta será

representada por – A. Isso significa que para encontrar o oposto de

uma matriz basta tornar todos os elementos da matriz A em seus

opostos.

Dada a Matriz A = −3 2 5 −1

. Determine a sua oposta.

Exemplo

– A = 3 −2

−5 1

2

23

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

A diferença entre duas matrizes A e B (de mesma ordem)

é obtida por meio da soma da matriz A com a oposta de B. Ou

seja: C = A – B = A + (- B).

Considere as matrizes A = 5 1

−2 3 e B =

−3 2 −1 4

. Encontre a matriz dada por

C = A – B.

EXEMPLO

3

24

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

A diferença entre duas matrizes A e B (de mesma ordem)

é obtida por meio da soma da matriz A com a oposta de B. Ou

seja: C = A – B = A + (- B).

Considere as matrizes A = 5 1

−2 3 e B =

−3 2 −1 4

. Encontre a matriz dada por

C = A - B.

EXEMPLO

C = A - B

C = A + (- B) C =

5 1 −2 3

+ 3 −2 1 −4

3

25

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

A diferença entre duas matrizes A e B (de mesma ordem)

é obtida por meio da soma da matriz A com a oposta de B. Ou

seja: C = A – B = A + (- B).

Considere as matrizes A = 5 1

−2 3 e B =

−3 2 −1 4

. Encontre a matriz dada por

C = A – B.

EXEMPLO

C = 5 1

−2 3 +

3 −2 1 −4

C = 5 + 3 1 + (−2)

−2 + 1 3 + (−4) C= 8 −1

−1 −1

3

26

EXEMPLO 3

Dadas as matrizes:

A = −1 5

, B = 3

−2 e C =

1 −1

Determine a matriz D = A + B – C.

Resolução

Tem-se:

27

Dada as matrizes:

Calcule a) D+E. b) A+B-D. c) B-C+A. d) C-E.

28

1. Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i² – 7j.

2. Dadas as matrizes: A = 0 −2 1 −7

, B = −2 −1 −3 −6

e

C = 1 0 −3 4

. Determine a matriz D = (A – B) + (B – C).

3. Determine a matriz X de tal modo que:

−1 4 5 0 2 7 1 −1 −2

+ 3 5 2 −1 5 3 4 2 2

= X + 2 7 2 8 −1 −3 −1 9 5

29