Demonstrações de Geometria

Captulo 14

Perpendicularismo e paralelismo no

espao

14.1 Introduo

Neste Captulo continuamos nossa apresentao da Geometria Euclidiana sob a perspectiva de

um sistema axiomtico. Veremos agora as propriedades bsicas de retas e planos no espao. O

principal foco o estudo das relaes de perpendicularismo e paralelismo entre esses elementos

(retas com retas, retas com planos e planos com planos). Precisamos conhecer essas relaes

para denir com preciso slidos geomtricos, como cilindros, paraleleppedos, etc, e investigar

suas propriedades.

14.2 Bases da Geometria Euclidiana no espao

Vimos no Captulo 9, particularmente nas sees 9.4 e 9.8 (pginas 93 e 106, respectivamente),

os axiomas e resultados iniciais da Geometria Euclidiana no espao. Para termos presentes

essas propriedades fazemos a seguir uma pequena lista.

1) O espao contm pelo menos quatro pontos no coplanares. (este o Axioma E1)

2) (a) Dados trs pontos quaisquer, existe um plano que os contm. (b) Dados trs pontos no

colineares quaisquer, existe um nico plano que os contm. (c) Todo plano contm pelo menos

trs pontos no colineares. (este o Axioma E3)

3) Se uma reta interseta um plano que no a contm, a interseo contm um nico ponto.

(este o Teorema 9.3)

4) Dados uma reta e um ponto fora da reta, existe um nico plano que os contm. (este o

Teorema 9.4)

5) Se dois planos diferentes se intersetam, a interseo uma reta. (este o Axioma E5)

6) Dado um plano, os pontos do espao que no pertencem ao plano formam dois conjuntos no

vazios tais que: (i) cada um dos conjuntos convexo; e (ii) se A pertence a um dos conjuntose B ao outro, ento AB interseta o plano. (este o Axioma E10)

Lembremos que duas retas so ditas paralelas se so coplanares e se no se intersetam, e

que duas retas no coplanares so chamadas reversas. Temos a propriedade:

7) Dados uma reta e um ponto fora dela, existe, no espao, uma nica reta paralela reta dada

183

184 Geometria Elementar: gnese e desenvolvimento

e que contm o ponto dado.

Essa propriedade foi observada no Problema 10.3.4. De fato, sejam r uma reta e P umponto fora dela. Seja o plano que os contm. Pelo Axioma E16 (pgina 144) existe em uma nica reta s paralela a r e que contm P . Suponhamos que existe uma outra reta t queseja paralela a r e que tambm contenha P , com t no contida em . Como t e r so paralelas,existe um plano que os contm. Ento e so planos que contm r e P , logo so o mesmoplano. Assim t est contida em , o que uma contradio. Portanto no possvel existir noespao uma segunda paralela a r por P .

14.3 Perpendicularismo entre retas e planos

Comeamos com resultados bsicos sobre perpendicularismo entre retas e planos.

Denies 14.1. Uma reta e um plano se dizem perpendiculares quando se intersetam e cada

reta contida no plano que passa pelo ponto de interseo perpendicular reta dada. Se A o ponto de interseo dizemos que o plano perpendicular reta em A, ou vice-versa. Umsegmento ou uma semirreta perpendicular a um plano se intersetam o plano e se a reta que

os contm perpendicular ao plano. Se o segmento AB perpendicular a um plano com B noplano, ento o ponto B chama-se p do segmento perpendicular que liga A ao plano.

Quando precisamos vericar que uma reta perpendicular a um plano no necessrio

provar que ela perpendicular a todas as retas do plano que contm o ponto de interseo.

Sabemos por experincia que basta fazer isso para duas retas. Vamos ver isso na forma de um

teorema. Para que a demonstrao que mais clara vejamos primeiro o seguinte

Lema 14.2. Sejam S e U pontos equidistantes dos pontos P e Q. Ento todo ponto do segmentoSU equidistante de P e Q.

Demonstrao. A demonstrao est ilustrada na Figura 14.1, em que procuramos deixar claro

que a situao ocorre no espao. Temos PSU = QSU pelo caso LLL. Logo [PSU = [QSU .Seja T um ponto arbitrrio do interior de SU . Por LAL temos PST = QST . PortantoPT = QT .

P

Q

T

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Figura 14.1. Ilustrao do Lema 14.2

Perpendicularismo e paralelismo no espao 185

Teorema 14.3. Se uma reta perpendicular a duas retas que se intersetam em seu ponto de

interseo, ento ela perpendicular ao plano que as contm.

Demonstrao. A demonstrao est ilustrada na Figura 14.2. Sejam um plano contendoduas retas s e u que se intersetam em A. Seja r uma reta perpendicular a s e u em A.Queremos provar que toda reta t de que contm A tambm perpendicular a r. Sejam P eQ pontos de r equidistantes de A. Sejam S um ponto de s e U de u, diferentes de A, e situadosem semiplanos opostos de em relao reta t. Portanto SU interseta t num ponto T . TemosT 6= A pois SU no est contido em s. Como S e U so equidistantes de P e Q ento, emvirtude do Lema anterior, T tambm .No plano que contm r e t, os pontos A e T so equidistantes dos extremos do segmento

PQ, logo t a mediatriz desse segmento no referido plano. Assim t perpendicular a r.

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r

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T

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S

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Figura 14.2. Ilustrao do Teorema 14.3

Nossa experincia com objetos geomtricos nos diz que por um ponto de uma reta passa um

plano perpendicular a ela, e esse plano nico. Veremos isso na forma de teorema. As duas

proposies seguintes constituem uma preparao para que possamos demostr-lo.

Proposio 14.4. Por um ponto de uma reta passa um plano perpendicular reta.

Demonstrao. A demonstrao est ilustrada na Figura 14.3. Sejam r uma reta e P um pontonela contido. Sejam e planos que contm r (por que existem?). Seja s a reta de que perpendicular a r por P , e seja t a reta de que prpendicular a r por P . Seja o planodeterminado por s e t. Ento r perpendicular a duas retas de pelo ponto P , portanto r perpendicular a esse plano.

Proposio 14.5. Se uma reta e um plano so perpendiculares em um ponto A, ento o planocontm toda reta que passa por A e perpendicular reta dada.

Demonstrao. A demonstrao est ilustrada na Figura 14.4. Sejam um plano e r umareta perpendicular a ele pelo ponto P . Seja t uma reta (do espao) perpendicular a r por P .Queremos provar que t est contido em .


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r

P

s t

Figura 14.3. Ilustrao da Proposio 14.4

Como r e t so retas concorrentes, existe um plano determinado por elas. Como e se intersetam (em P ), ento eles se intersetam em uma reta s. Assim, no plano , as retas s et so perpendiculares a r, logo so iguais (Teorema 9.20, pgina 113). Segue que t pertence a.

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r

P

st


Teorema 14.6. Por um ponto de uma reta passa um nico plano perpendicular reta.

Demonstrao. A existncia do plano garantida pela Proposio 14.4 acima. Vejamos a

unicidade. Sejam e planos perpendiculares a uma reta r por um ponto P . Seja t a reta deinterseo desses planos. Seja s outra reta de que passa por P , logo ela perpendicular a r.Pela Proposio 14.5 acima, o plano tambm contm s. Portanto, e se intersetam emduas retas diferentes, logo so iguais.

No Problema 9.13.11, pgina 126, vimos que, dado um segmento em um plano, sua mediatriz

o conjunto dos pontos do plano que so equidistantes dos extremos do segmento. Os resultados

vistos acima sobre planos e retas perpendiculares nos permitem demonstrar uma verso espacial

dessa propriedade:

Teorema 14.7. O plano perpendicular a um segmento pelo seu ponto mdio o conjunto dos

pontos (do espao) que so equidistantes dos extremos do segmento.

Demonstrao. A demonstrao est ilustrada na Figura 14.5. Seja um plano perpendicularao segmento PQ pelo seu ponto mdio R. Seja C o conjunto dos pontos do espao que soequidistantes de P e Q. Pretendemos mostrar que = C.


Seja X 2 . O segmento XR est nesse plano, logo perpendicular a PQ pelo seu pontomdio. Ento X est em uma mediatriz de PQ, e assim equidistante de seus extremos. Emconsequncia X 2 C, e C.Seja agora X 2 C. Como X equidistante de P e Q, XR est na mediatriz do segmento

PQ (no plano que contm PQ e X). Logo XR perpendicular a PQ. Como o plano contmqualquer reta perpendicular a PQ pelo ponto R, vem que XR est nesse plano. Logo X 2 eC .Provamos que = C.

P

Q

R

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..................................................X

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O resultado seguinte descreve uma propriedade frequentemente utilizada em construes.

Se levantamos verticalmente dois pilares e esticamos sobre eles uma tela de arame, esperamos

que essa tela forme uma gura planar. Abstratamente temos o

Teorema 14.8. Duas retas quaisquer perpendiculares a um mesmo plano so coplanares.

Demonstrao. Na Figura 14.6 vemos ilustrados um plano e duas retas r e s a ele perpen-diculares. Sejam P e Q respectivamente os ps de r e s em . Se P = Q ento r e s soconcorrentes e j sabemos que existe um plano que as contm. Suponhamos P 6= Q. Seja ABum segmento em e que interseta PQ em M , sendo M o ponto mdio de ambos, e AB perpendicular a PQ. Seja o plano perpendicular a AB por M . Nosso objetivo provar quer e s esto em .Vamos primeiro provar que r est em . Seja C um ponto de r diferente de P . Como

PA = PB temos CPA = CPB pelo caso LAL. Segue que CA = CB, e assim C equidistantedos extremos do segmento AB. Ento, pelo Teorema 14.7, C est no plano perpendicular aAB pelo seu ponto mdio. Mas esse plano . Assim tem dois pontos de r, a saber, P e C.Portanto r est em .Da mesma forma se prova que s est em , e terminamos.

Prosseguimos nossos estudos sobre planos e retas perpendiculares. Queremos provar agora

que por um ponto de um plano passa uma nica reta perpendicular ao plano. Essa armao

um tipo de dual do Teorema 14.6. Comeamos com a existncia da reta.

Proposio 14.9. Por um ponto de um plano dado existe uma reta perpendicular ao plano.

Demonstrao. Seja P um ponto em um plano . Escolhemos, nesse plano, uma reta r quecontenha P . Conra ilustrao na Figura 14.7.Consideremos o plano perpendicular a r pelo ponto P . Esse plano existe em virtude doTeorema 14.6 ( nico, mas no vamos usar isso agora). diferente de , pois r est em mas tem um nico ponto em . Mas e se intersetam em P , logo sua interseo uma reta


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Q

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s. Seja t a reta de perpendicular a s por P . A reta t tambm perpendicular a r, pois r perpendicular a e t est nesse plano. Assim t perpendicular a duas retas diferentes de (re s) no ponto P . Portanto t perpendicular a pelo ponto P .

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Pr

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st


Desejamos agora provar que a reta perpendicular nica. Examinando a demonstrao

acima vericamos que o plano o nico plano perpendicular a r por P , e t a nica retaperpendicular a s por P . Assim, se consideramos o processo usado nessa demonstrao, a retat assim obtida nica. Mas temos que considerar que poderamos obter a reta perpendicularpor outro processo, e eventualmente ela seria diferente de t.Assim, para provar que a perpendicular nica, parece que a melhor ttica usar contra-

dio. Supomos que temos duas, e tentamos obter uma contradio com a teoria. Isso o que

fazemos em

Teorema 14.10. Por um ponto de um plano dado existe uma nica reta perpendicular ao

plano.

Demonstrao. Conforme comentamos, falta provar a unicidade. Seja P um ponto em umplano . Sejam t e u retas perpendiculares ao plano pelo ponto. Conra ilustrao na Figura14.8.

Como t e u so retas concorrentes, existe um plano que as contm. Esse plano diferentede , pois t est nele mas no est em . Por outro lado e se intersetam em P , logo suainterseo uma reta s. Concentremo-nos agora no plano . Nele temos as retas t e u que soperpendiculares a s no mesmo ponto P . Ento t = u.


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u


Retomamos agora o Teorema 14.6, que arma que Por um ponto de uma reta passa um

nico plano perpendicular reta. Mas agora consideramos o caso em que o ponto no est na

reta.

Teorema 14.11. Dados um ponto e uma reta (que contm o ponto ou no), existe um nico

plano que contm o ponto e perpendicular reta.

Demonstrao. Conforme comentamos, o caso em que o ponto est na reta j foi visto no

Teorema 14.6. Suponhamos que o ponto no est na reta.

Sejam r uma reta e P um ponto fora dela. Existe um nico plano determinado por eles.Veja ilustrao na Figura 14.9. Nesse plano existe uma reta s perpendicular a r e contendoo ponto P . Seja Q o p dessa perpendicular em r. Pelo Teorema 14.6 existe um plano perpendicular a r por Q. Pela Proposio 14.5 esse plano contm todas as retas perpendicularesa r, logo s est em . Assim P pertence a , e o plano procurado.

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Q

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s


Vejamos agora a unicidade. Sejam e 0 planos perpendiculares a r e contendo P , e sejam,respectivamente, s e s0 suas interseces com . No podemos ter s 6= s0, pois se isso ocorresseteramos no plano duas retas perpendiculares a r e concorrentes, o que no possvel. Logos = s0. Ento e 0 so planos perpendiculares a r por um ponto de r, e o Teorema 14.6implica = 0.

Retomamos agora o Teorema 14.10, que arma que Por um ponto de um plano dado existe

uma nica reta perpendicular ao plano. Mas agora consideramos o caso em que o ponto no

est no plano.


Teorema 14.12. Dados um ponto e um plano (que contm o ponto ou no), existe uma nica

reta que contm o ponto e perpendicular ao plano.

Demonstrao. Conforme comentamos, o caso em que o ponto est no plano j foi visto no

Teorema 14.10. Suponhamos que o ponto no est no plano. Vejamos primeiro a existncia da

reta perpendicular.

Sejam um plano e P um ponto fora dele. Podemos acompanhar a demonstrao na Figura14.10. Por um ponto qualquer Q de tomamos a reta r perpendicular a esse plano. Se r contmP , terminamos. Se no contm, seja o plano determinado por r e P .

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T

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t0


Observemos que diferente de pois contm r e no. Ainda Q pertence a ambos, demodo que a interseo desses planos uma reta s que contm Q. Como r perpendicular a ,r e s so perpendiculares. Seja t a reta de paralela a r por P . Ento t perpendicular a s emum ponto T . Armamos que t a reta procurada. Para ver isso, seja t0 a reta perpendicular a por T . Ento r e t0 so ambas perpendiculares a , e o Teorema 14.8 garante que elas socoplanares. Seja esse plano. Ento contm r e T , assim como . Portanto = . Vemosa partir disso que t e t0 so perpendiculares a s por T no plano . Dessa forma t = t0, e t perpendicular a .Vejamos agora a unicidade. Sejam um plano e P um ponto fora dele. Suponhamos queexistam duas perpendiculares t e u a por P . Sejam T e U os ps dessas perpendiculares em

. Ento, no plano que contm t e u, temos uma reta !TU , um ponto P fora dela e duas retas

t e u a ela perpendiculares por P . Sabemos que isso no possvel. Assim vale a unicidade, eterminamos.

Deixamos para o estudante a demonstrao da

Proposio 14.13. O menor segmento ligando um plano a um ponto que no lhe pertence o

segmento perpendicular.

Aproveitamos o ensejo para denir distncia entre ponto e plano.

Denio 14.14. A distncia de um plano a um ponto que no lhe pertence o comprimento

do segmento perpendicular do ponto ao plano. Dado um plano e um ponto A =2 , o p daperpendicular de A a o ponto P 2 tal que AP perpendicular a .


Estivemos estudando propriedades de perpendicularismo entre retas e planos. Precisamos

tambm denir o que signica um plano ser perpendicular a outro. Vamos fazer isso mais

abaixo, depois que estudarmos o conceito de diedro.

14.4 Paralelismo de retas e planos

Apresentamos agora resultados bsicos sobre paralelismo entre retas e planos e entre planos e

planos. J vimos na Denio 10.1 os conceitos de retas paralelas e retas reversas . Vamos

repetir aqui.

Denies 14.15. Duas retas so ditas paralelas se so coplanares e se no se intersetam.

Duas retas no coplanares so ditas reversas. Dois planos, ou um plano e uma reta, se dizem

paralelos se no se intersetam.

Lembremos que, em virtude do Axioma E16 e do resultado do Problema 10.3.4, dado uma

reta e um ponto fora dela, existe (no espao) uma nica reta paralela reta dada e contendo

o ponto dado.

Agora a primeira propriedade que vamos estudar

Proposio 14.16. Se um plano interseta dois planos paralelos, ento as intersees so duas

retas paralelas.

Demonstrao. A armao est ilustrada na Figura 14.11. Sejam e planos paralelos. Seja

um plano que interseta na reta r e na reta s. Essas retas so paralelas pois: (i) socoplanares (esto no plano ); (ii) no se intersetam (pois e no se intersetam).

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O prximo resultado o anlogo para o espao da armao do Problema 10.3.33, pgina

149.

Teorema 14.17. Se uma reta perpendicular a um de dois planos paralelos, ento ela

perpendicular ao outro.

Demonstrao. Sejam e planos paralelos e t uma reta perpendicular a . Queremos provarque t interseta e, ainda mais, lhe perpendicular. Veja ilustrao na Figura 14.12.Certamente que no est contido em t. Portanto existe em um ponto A que no pertencea t. Isso implica que t e A determinam um plano . Esse plano interseta , pois contm t eesta reta interseta . Seja r a interseo de e . Por outro lado, tambm interseta , pois


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At


o ponto A comum. Seja s a interseo de e . Pelo que foi observado na Proposio acima,r e s so paralelas.Em resumo, no plano temos duas retas paralelas r e s e uma reta t que perpendiculara r. Pelo Problema 10.3.33, j citado acima, t interseta s em um ponto Q e perpendicular aela. Portanto t perpendicular a uma reta de pelo ponto Q.Tomando agora um ponto B de , diferente de Q e fora de s, repetimos a construo acimae encontramos outra reta de perpendicular a t pelo ponto Q. Portanto t perpendicular a.

Outro resultado sobre paralelismo

Teorema 14.18. Se dois planos so perpendiculares a uma reta ento eles so paralelos.

Demonstrao. Sejam e dois planos perpendiculares a uma mesma reta nos pontos P eQ respectivamente. Se os dois planos se encontrassem em um ponto R, ento PQR seria umtringulo com dois ngulos internos retos, o que impossvel. Logo os planos no se encontram,

e assim so paralelos.

Corolrio 14.19. Dois planos, cada um paralelo a um terceiro plano, so paralelos.

Demonstrao. Sejam e dois planos, cada um deles paralelo a um terceiro plano . Sejar uma reta perpendicular a . Como e so paralelos, ento r tambm perpendiculara . Como e so paralelos, ento r perpendicular a . Portanto, e tm uma retaperpendicular comum, e assim so paralelos.

O seguinte resultado j foi praticamente visto no Teorema 14.8, mas vamos repet-lo aqui

para enfatizar o aspecto de que as retas perpendiculares so paralelas.

Proposio 14.20. Duas retas perpendiculares a um mesmo plano so paralelas.

Demonstrao. Sejam r e s duas retas perpendiculares a um plano pelos pontos P e Q,respectivamente. O Teorema 14.8, mencionado acima, nos diz que elas so coplanares. Seja o

plano que as contm. Nesse plano temos duas retas (r e s) perpendiculares a outra reta ( !PQ).Logo r e s so paralelas.

Uma consequncia dessa armao

Corolrio 14.21. Um plano perpendicular a uma de duas retas paralelas perpendicular

outra.


Demonstrao. Sejam r e s retas paralelas e um plano perpendicular a r. Queremos mostrarque s encontra e lhe perpendicular. Faremos isso indiretamente. Conra ilustrao naFigura 14.13.

Seja A um ponto qualquer de s. O Teorema 14.12 garante que existe uma (nica) reta t quecontm A e perpendicular ao plano. Pela Proposio 14.20 r e t so paralelas. Pelo Axiomadas Paralelas, t = s. Logo s encontra e lhe perpendicular.

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..................................................................................................................................................................................

r

s

................................................................................................................................................................................t

A

Figura 14.13. Ilustrao do Corolrio 14.21

Vimos no Problema 10.3.30, pgina 149, que em um plano, se duas retas so paralelas a uma

terceira, ento elas so paralelas entre si. Usando as propriedades de planos perpendiculares

a retas podemos agora eliminar a exigncia de que as trs retas devem estar no mesmo plano.

Corolrio 14.22. Duas retas, cada uma paralela a uma terceira reta, so paralelas.

Demonstrao. Sejam r e s duas retas, cada uma paralela a uma terceira reta t. Seja umplano perpendicular a t. Como r e t so paralelos, ento perpendicular a r. Como s e t soparalelos, ento perpendicular a s. Como r e s so perpendiculares ao mesmo plano, entoso paralelas.

Nossa experincia da vida comum nos diz que planos paralelos so equidistantes. Isso pode

ser demonstrado no nosso sistema axiomtico.

Teorema 14.23. Se dois planos so paralelos constante a distncia de qualquer ponto de um

deles ao outro.

Demonstrao. Sejam e planos paralelos. Sejam A e B pontos arbitrrios de . Sejam C eD seus respectivos ps sobre . Queremos provar que AC = BD. Conra ilustrao na Figura14.14.

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A

C

B

D


Como os segmentos AC e BD so perpendiculares a , eles pertencem a um plano e soparalelos (Teorema 14.8). Esse plano, por sua vez, interseta os planos e em retas paralelas(Proposio 14.16). Considere agora o quadriltero plano ABDC. Pelo que foi observado eletem os dois pares de lados opostos paralelos, logo um paralelogramo. Pelo Teorema 10.13

seus lados opostos so congruentes. Em particular, AC = BD.


Para denir distncia entre planos paralelos precisamos ainda do

Teorema 14.24. Prove que, dados dois planos paralelos, o menor segmento com extremidades

nos dois planos ocorre quando esse segmento perpendicular aos planos.

Demonstrao. Sejam e planos paralelos. Sejam A 2 e B 2 pontos tais que AB ? .Para obter esse segmento escolha umponto arbitrrio a 2 e tome a reta perpendicular a porA. Pelo Teorema 14.17 essa reta intercepta em um ponto B, logo AB ? . Temos tambmAB ? . Sejam agora C 2 e D 2 pontos quaisquer. Queremos provar que AB CD.Conra ilustrao na Figura 14.15.

Seja E 2 tal que CE ? . Pelo Teorema 14.23 temos AB = CE. Se E = D, terminamos.Se E 6= D ento CDE um tringulo retngulo com hipotenusa CD, logo CE < CD. AssimAB < CD. Com isso terminamos.

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A

B

C

E

......................................................................

D

Figura 14.15. Distncia entre planosparalelos.

Finalmente temos a

Denio 14.25. A distncia entre dois planos paralelos a medida de qualquer segmento

perpendicular que os liga.

14.5 Diedros

Um conceito bsico em geometria espacial o de diedro. Eles so um tipo de generalizao da

ideia de ngulo plano. Com esse conceito podemos denir quando dois planos so perpendicu-

lares. Essa denio o ltimo tema de nossos estudos sobre paralelismo e perpendicularismo

de retas e planos na Geometria Euclidiana.

Denies 14.26. Se dois semiplanos tm a mesma origem e no esto contidos no mesmo

plano, a reunio dos dois semiplanos e sua origem chamada diedro. A origem dos dois semi-

planos chamada aresta do diedro. A reunio da aresta e de qualquer um dos dois semiplanos

chamada face do diedro. Se P e Q so pontos da aresta do diedro e A um ponto de uma

face e B de outra, ambos fora da aresta, ento o diedro indicado por \APQB. A interseode um diedro com um plano perpendicular sua aresta chama-se seo normal do diedro. A

Figura 14.16 ilustra essas denies.

Pode-se provar que duas sees normais quaisquer de um diedro so congruentes.

Proposio 14.27. Todos as sees normais de um diedro tm a mesma medida.


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A

P

Q

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........

........

......

B

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A

P

Q

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........................................

........................................

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........

........

......

B

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..........

..........

......................................

......................................

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R

C

D

Figura 14.16. esquerda, um diedro. direita, uma seo normal de um diedro.

Demonstrao. Consideremos um diedro

\APQB e duas sees normais\CRD e[ESF . Quere-mos provar que esses ngulos tm a mesma medida. Os pontos C, D, E e F podem ser tomadosde forma que C e E esto no mesmo semiplano que A, D e F esto no mesmo semiplano queB, RC = SE e RD = SF . Conra ilustrao na Figura 14.17, esquerda. direita da mesmagura vemos como esses pontos formam guras no espao: trs quadrilteros e dois tringulos.

Vamos provar que os dois tringulos so congruentes.

Notemos primeiro que SFDR um paralelogramo, pois SF = RD (por construo) e SFe RD so perpendiculares mesma reta em um plano, logo so paralelos. De modo anlogo sev que SECR um paralelogramo. Aqui usamos o Teorema 10.14, da pgina 145.Uma consequncia que EC e DF so paralelos e congruentes, pois so ambos paralelose congruentes a SR. Logo ECDF um paralelogramo, do que vem CD = EF . Assim so

congruentes os tringulos ESF e CRD pelo caso LLL. Portanto\CRD e[ESF tm a mesmamedida.

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A

P

Q

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........

........

......

B

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R

C

D

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........

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S

E

F

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........

........

........

........

.....

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R

C

D

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........................................

........................................

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S

E

F

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Conforme comentamos, a ideia de diedro nos permite denir planos perpendiculares.

Denies 14.28. A medida de um diedro a medida de qualquer uma de suas sees normais.

Um diedro se diz reto se sua medida for 90. Dois planos se dizem perpendiculares se contm

um diedro reto.

Sobre planos perpendiculares veremos dois resultados. O primeiro nos diz que para que um

plano seja perpendicular a outro basta que ele contenha uma reta perpendicular ao segundo

plano. Em outros termos,


Teorema 14.29. Se uma reta perpendicular a um plano, ento todo plano contendo a reta

perpendicular ao plano dado.

Demonstrao. Acompanhamos a demonstrao com a Figura 14.18. Sejam um plano e ruma reta perpendicular a ele no ponto P . Seja um plano qualquer contendo r. Queremosprovar que esse plano perpendicular a . Para isso temos que ver que eles formam um diedroreto.

Seja s a interseo de e , e consideremos a reta t de perpendicular a s por P . Comos perpendicular a r, vemos que ela perpendicular a duas retas concorrentes do plano denido por r e t. Logo perpendicular a s e as retas r e t denem uma seo normal dosdiedros formados por e . Essa seo normal um ngulo reto, de modo que e soperpendiculares.

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P

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r

t

...............................................................................................................................................................................................

s

Figura 14.18. Ilustrao dos Teoremas 14.29 e 14.30

Temos tambm o

Teorema 14.30. Se dois planos so perpendiculares ento qualquer reta de um deles perpen-

dicular interseo dos planos perpendicular ao outro plano.

Demonstrao. A demonstrao pode tambm ser acompanhada com a Figura 14.18. Sejam e planos perpendiculares e seja s a reta interseo. Seja r uma reta de perpendicular a sem um ponto P . Queremos provar que r perpendicular a .Para isso consideremos em a reta t perpendicular a s em P . Ento s perpendicular a

r e t, de modo que essas duas retas formam uma seo normal dos diedros denidos por e. Como esses planos so perpendiculares, ento a referida seo normal reto. Assim r et so perpendiculares. Vemos que r perpendicular a duas retas concorrentes de , logo r perpendicular a esse plano.

14.6 Projees

Vimos na Denio 9.33, pgina 122, o conceito de projeo de um ponto sobre uma reta. Mais

importante o correspondente conceito de projeo sobre um plano. Anal das contas, sempre

que desenhamos um objeto tridimensinal do espao em uma folha de papel, estamos na verdade

desenhando uma projeo desse objeto em um plano.

Denies 14.31. A projeo de um ponto sobre um plano o p do segmento perpendicular

do ponto ao plano. A projeo de um conjunto de pontos sobre um plano o conjunto das

projees de todos os pontos do conjunto sobre o plano.


O estudo das projees bastante extenso e engloba inmeras tcnicas. No momento

veremos apenas o seguinte resultado:

Teorema 14.32. Se uma reta e um plano no so perpendiculares ento a projeo da reta

sobre o plano uma reta. Se a reta suporte de um segmento e um plano no so perpendiculares

ento a projeo do segmento sobre o plano um segmento.

Demonstrao. Sejam um plano e r uma reta no perpendicular a ele. Se a reta est noplano, ela sua prpria projeo, e terminamos. Suponhamos que r no est contida em .Sejam A e B dois pontos de r, e A0 e B0 os respectivos ps das perpendiculares desses pontosao plano. Primeiro observamos que AA0 e BB0 esto em retas diferentes, pois, se estivessem namesma reta, essa reta seria r, e r seria perpendicular a , o que no o caso. Ainda, A0 e B0

no so coincidentes, pois, se o fossem, haveria duas perpendiculares a pelo mesmo ponto, oque no possvel. Portanto est bem denida a reta s que contm A0 e B0, e essa uma retade . Vamos mostrar que s a projeo de r sobre .Como AA0 e BB0 so perpendiculares a , eles esto no mesmo plano, que chamaremos de

. Esse plano contm r, assim diferente de , mas tem com ele pontos em comum, a saber,A0 e B0, logo sua interseo a reta s. Pelo Teorema 14.29, e so perpendiculares, pois contm uma reta perpendicular a .Seja C um ponto qualquer de r, e seja C 0 sua projeo sobre . Queremos provar que C 0

est em s. Para isso, seja CD perpendicular a s em , com D em s. Ento CD est em e perpendicular interseo desse plano com . Pelo Teorema 14.30 CD perpendicular a .Assim CD e CC 0 so perpendiculares ao mesmo plano pelo mesmo ponto C, logo so iguais.Ento D = C 0 e C 0 est em s.Seja agora T um ponto qualquer de s. Queremos mostrar que ele projeo de algum pontode r. Seja t a perpendicular a s por T no plano . Logo t perpendicular interseo de e, que so planos perpendiculares. Pelo Teorema 14.30 t perpendicular a . Como r no perpendicular a s, segue que t e r no so paralelas. Seja C sua interseo. Assim T o p daperpendicular de C a , ou seja, a projeo de C. Provamos assim que s a projeo de r.Seja agora AB um segmento cuja reta suporte r no perpendicular a . Se o segmentoestiver contido em , ele a projeo dele mesmo, e terminamos. Do contrrio, usando asnotaes acima, a projeo de AB est na reta s. Seja C tal que A C B. J vimos quea projeo C 0 de C sobre est em s. Queremos provar que A0 C 0 B0. Como t = !AA0 ev =

!BB0 so paralelas, B e B0 esto do mesmo lado de t no plano . Chamaremos este lado de

L. Em virtude do resultado do Problema 9.9.2, temos C 2 L. Como u = !CC 0 e t so paralelas,C 0 2 L. Portanto C 0 2 !A0B0. Do mesmo modo se prova que C 0 2 !B0A0. Segue que A0C 0B0.Seja agora T um ponto tal que A T B. J vimos que existe um ponto C 2 r tal que

T a projeo de C sobre . Com o mesmo argumento do pargrafo anterior provamos queA C B. Logo a projeo de AB sobre o segmento A0B0.

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s

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..................................

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..................................

..................................

..................................

..................................

..................................

..................................

..................................

..................................

......................

r

AC

B

A0 C 0 B0



14.7 Problemas

Problema 14.7.1. Explique por que vale a Proposio 14.13: O menor segmento ligando um

plano a um ponto que no lhe pertence o segmento perpendicular.

Problema 14.7.2. Sejam r e s retas reversas, P e Q dois pontos de r e S e T dois pontos de

s. Explique por que as retas !PS e

!QT so reversas.

Problema 14.7.3. O espao menos um ponto um conjunto convexo?

Problema 14.7.4. Demonstre que se uma reta interseta um de dois planos paralelos e no

est nele contido, ento ela interseta o outro plano.

Problema 14.7.5. Prove que, dado um plano, existem innitos planos paralelos a ele.

Problema 14.7.6. Dado um plano e um ponto, uma reta a interseo de todos os planos

perpendiculares ao plano dado passando pelo ponto dado.

Problema 14.7.7. Demonstre o seguinte: dado um plano e pontos P e Q situados emsemiplanos diferentes em relao ao plano , existem innitos planos que contm P e Q eque intersetam em alguma reta. Faa uma gura ilustrando a armao.

Problema 14.7.8. Em cada uma das armaes abaixo, assinale V se for sempre verdadeira,

F se for sempre falsa e A se for s vezes verdadeira, s vezes falsa. Justique suas respostas e

faa guras.

a) Duas retas paralelas ao mesmo plano so perpendiculares entre si.

b) Se um plano interseta dois planos paralelos, as retas de interseo so reversas.

c) Se dois planos so paralelos mesma reta, ento eles so paralelos entre si.

d) A interseo de um plano com as faces de um diedro um ngulo contido no diedro.

e) Se duas retas so perpendiculares ao mesmo plano, elas so paralelas.

f) Se duas retas so paralelas ao mesmo plano, elas so paralelas.

g) Se uma reta perpendicular a um plano, todo plano contendo a reta perpendicular ao

plano dado.

h) A projeo de um ngulo sobre um plano pode ser um ponto.

i) Duas retas so paralelas se forem perpendiculares a uma mesma reta.

j) Quando cada um de dois planos que se intersetam perpendicular a um terceiro plano, a

reta de interseo perpendicular ao terceiro plano.

Problema 14.7.9. Prove que, dada uma reta, existem innitos planos que a contm. Faa um

desenho mostrando uma reta e trs planos que a contm.

Problema 14.7.10. Usando que o espao contm pelo menos quatro pontos no coplanares,

mostre que existem retas reversas. Desenhe duas retas reversas.

Problema 14.7.11. D condies mnimas sobre os pontos A, B, P e Q para que esteja bemdenido o diedro [APQB].

Problema 14.7.12. Dena interior de um diedro qualquer e explique por que ele um conjunto

convexo.


Problema 14.7.13. Um plano e uma reta r no contida nele so paralelos se e somente ser paralela a alguma reta de .

Problema 14.7.14. Mostre que se uma reta interseta um plano, existe no plano uma reta

perpendicular a ela pelo ponto de interseo. Em que situao essa reta nica?

Problema 14.7.15. Na Figura 14.20 (a), A, B, C e D so no coplanares, AD = DC, BC =

BA e\DBA um ngulo reto. Ento pelo menos um dos segmentos da gura perpendiculara um dos planos. Que segmento e que plano? Demonstre sua resposta.

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A

B

C

D

(a)

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A

B

C

D

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E(b)

Figura 14.20. Figura para os Problemas 14.7.15 e 14.7.16.

Problema 14.7.16. Na Figura 14.20 (b), A, C e E esto no plano e no so colineares.Ainda, AB perpendicular a AE e CD a CE, e AB paralela a CD. Prove que AB e CDso perpendiculares a .

Problema 14.7.17. Na Figura 14.21, A e B esto em semiespaos opostos em relao aoplano e so equidistantes dele. As perpendiculares a por A e B intersetam em T e S,respectivamente. Prove que: (i) AB interseta ST ; (ii) se R o ponto de interseo de AB comST ento R o ponto mdio de ST .

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A

B

S RT

Figura 14.21. Figura para o Problema 14.7.17.

Problema 14.7.18. Sejam A, B, C e D quatro pontos do espao no coplanares e tais que trsa trs no so colineares. A reunio dos segmentos AB, BC, CD e DA chamada quadrilteroreverso. Prove que um paralelogramo o quadriltero que se obtm ligando-se consecutivamente

os pontos mdios desses segmentos. Faa uma gura ilustrativa.


Problema 14.7.19. Se dois planos (diferentes) se intersetam em uma reta r, ento qualquerreta paralela aos dois planos paralela a r.

Problema 14.7.20. Suponha que trs planos tm exatamente um ponto em comum. Existe

uma reta que seja simultaneamente paralela aos trs planos?

Problema 14.7.21. Prove que, dado um plano e um ponto fora dele, existe um nico plano

contendo o ponto e paralelo ao plano dado.

Problema 14.7.22. Sejam e planos que se intersetam na reta r. Sejam A um ponto de

, B um ponto de e P um ponto de r tais que[APB uma seo normal de um dos diedrosformados por e . Determine em que situao exatamente se tem AP perpendicular a .Nesse caso vale ? ? Por que? Conra ilustrao na Figura 14.22.

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r ..................................................

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......

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P

A

B

Figura 14.22. Figura ilustrativa do Problema 14.7.22.

Problema 14.7.23. Sejam um plano e r uma reta. Prove que existe um plano contendo re perpendicular a . Em que condies este plano nico?

Problema 14.7.24. Descreva o conjunto dos pontos do espao que so equidistantes de trs

pontos no colineares dados.

Problema 14.7.25. Considere a Figura 14.23, em que se tem as seguintes propriedades: AB ?BC, AB ? BE, BC ? CE, C D E. Demonstre que AC ? CE.

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...A

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B

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C

D

E

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Problema 14.7.26. Prove que, dado um plano e um ponto (no plano ou no), existem in-

nitos planos contendo o ponto e perpendiculares ao plano dado. Faa um desenho ilustrativo

mostrando pelo menos dois desses planos.

Problema 14.7.27. Sejam um plano e P um ponto fora dele. Sejam r e s retas que contmP e que so paralelas a . Prove que o plano determinado por essas retas paralelo a .

Problema 14.7.28. Na Figura 14.24, e so planos paralelos. Os pontos A e B esto em ,e os pontos C e D so suas respectivas projees em . Prove que as diagonais do quadrilteroABDC se cortam ao meio.

C

A

B

D

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Figura 14.24. Figura para o Problema 14.7.28.

Problema 14.7.29. Na Figura 14.25, AC, BC e CD so segmentos perpendiculares dois adois. Ainda, AD = BD e E, F e G so pontos mdios de AD, BD e CD, respectivamente.

Demonstre que so congruentes os ngulos

[FEG e[BAC, e ache sua medida.

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A

B

DG

E

F

C



Problema 14.7.30. Sejam e dois planos paralelos. Sejam [BAC 2 e\EDF 2 n-gulos tais que ABjjDE e ACjjDF . Prove que esses ngulos tm a mesma medida ou sosuplementares. Identique quando ocorre cada um desses casos. Conra ilustrao na Figura

14.26.

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AB

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......................................................................

...........................................................C

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DE

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......................................................................

...........................................................F

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Problema 14.7.31. Sejam e dois planos paralelos. Seja A1A2 : : : An um polgono em . Es-colha um ponto qualq

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