DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA: uso do raciocínio lógico

Roseli Aparecida Barlati1

Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho2

Resumo

A Resolução de Problemas é uma das tendências em Educação Matemática que propicia ao aluno a oportunidade de pensar. A demonstração formal em matemática garante se um determinado resultado é válido, proporcionando desta maneira a veracidade em matemática e também permitindo a construção de novos conceitos. Aliadas, resolução de problemas e demonstração, constituem uma alternativa para apresentar ao aluno a aplicabilidade dos conteúdos matemáticos nos diversos campos do conhecimento. Este trabalho objetivou investigar o uso da metodologia de resolução de problemas focando algumas demonstrações formais em matemática, identificando que tipo de demonstrações alunos da segunda série do Ensino Médio de uma escola pública do interior do Paraná são capazes de desenvolver e aplicar. Percebeu-se algumas dificuldades dos alunos durante o processo, como a escrita formal, pois os mesmos não tinham o hábito de demonstrar resultados em matemática.

Palavras-chave: Resolução de Problemas. Demonstração. Lógica Matemática.

Introdução

Nosso aluno questiona o professor sobre a aplicabilidade dos conteúdos, pois,

estes são abordados pela maioria dos livros didáticos de forma independente, sem

conexão com os assuntos previamente estudados e sem importância na vida real.

Desta forma, o aluno torna-se desinteressado por aprender algo que não tem relação

1 Professara da Educação Básica da Rede Estadual do Paraná. E-mail: robarlati@yahoo.com.br

2 Professora Doutora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL). E-mail:

peresbi@yahoo.com.br

2

com seu dia a dia. Pode então ao professor, mostrar o porquê de aprender determinado

conteúdo, para que o aluno tenha vontade de adquirir novos conhecimentos.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):

A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos. (BRASIL, 1997, p.19)

Mais além, encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino

Médio (2000):

A Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. (BRASIL, 2000, p.40)

Diante disso, a forma como os conteúdos matemáticos são trabalhados, podendo

ter importância ou não para o aluno, uma vez relacionados, ou não, com a prática

cotidiana, influem na apreensão dos mesmos, algumas vezes tornando-os muito mais

agradáveis e compreensíveis. Além disso, espera-se que o professor de matemática

trabalhe os conteúdos com o formalismo e a abstração que são necessárias para a

construção do conhecimento acadêmico, o que na disciplina de matemática, entende-se

como a utilização das demonstrações formais para obtenção dos resultados estudados.

Durante o processo de fundamentação teórica verifica-se que para Morais Filho

(2007):

[...] a maioria de nossos alunos se chocam ao se depararem com o formalismo e a abstração que requerem as primeiras disciplinas de Matemática das universidades. O choque decorre, principalmente, de

3

carência na formação de alunos e professores, e de um Ensino Médio que, na maioria das vezes, não fornece um preparo adequado aos alunos, por não lhes treinar para usar o raciocínio lógico-dedutivo que posteriormente lhes será cobrado. Juntam-se a esse danoso fato alguns livros-texto que trazem erros conceituais, a exemplo de não distinguir definições de demonstrações, além de provar fatos matemáticos com exemplos, fazer mal uso de notações, entre outros disparates. (grifo do autor) (MORAIS FILHO, 2007, p.5)

Mediante essas colocações, acredita-se que as demonstrações formais em

matemática são fundamentais para desenvolver a capacidade de pesquisar e aprender,

uma vez que, trabalhando de forma mais contextualizada, o aluno consegue relacionar

os conteúdos matemáticos às situações reais vividas por ele.

Dessa forma, o presente trabalho se propõe a investigar alguns tipos de

demonstrações, as quais esperava-se que os alunos da segunda série do Ensino Médio

de uma escola pública do interior do Paraná, fossem capazes de desenvolver,

utilizando-nos da metodologia da resolução de problemas.

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A Resolução de Problemas é uma das tendências metodológica em Educação

Matemática. Segundo Onucchic (2004), no desenvolvimento da teoria desta

metodologia, constatamos que essa tendência passou por vários momentos, dentre os

quais destaca-se:

1. anterior a 1960 preocupava-se com a solução do problema e não

com o processo de resolução

2. nas décadas de 60 a 80 é que começou a preocupação com o

processo envolvido na resolução, considerando importantes as

diferentes estratégias utilizadas para resolução dos problemas.

Iniciando-se com George Polya, por volta de 1945, a “era da resolução de

problemas” foi fundamentada a partir de uma recomendação feita no documento “Uma

Agenda para a Ação”, do NCTM – National Council ol Teachers os Mathematics - em

4

1980, dizendo que Resolução de Problemas deveria ser o foco da matemática escolar

nos anos 80.(ONUCHIC, 1999, p.203-204)

De acordo com Onuchic (1999, p.203)

Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os estudantes como participantes ativos, os problemas como instrumentos precisos e bem definidos e a atividade de resolução de problemas como uma coordenação complexa simultânea de vários níveis de atividade.

Mas afinal, o que é ‘problema (em matemática)’?

De acordo com Ferreira (2009), na rubrica matemática problema é: “Questão

matemática proposta para que se lhe dê a solução”.

Houaiss (2009) define problema na rubrica matemática como: “tarefa de calcular

uma ou várias quantidades desconhecidas (incógnitas) relacionadas a outras

conhecidas (dados)”.

A concepção de alguns pesquisadores sobre o que é um problema também é

variada:

[...] é tudo aquilo que não sabemos fazer mas que estamos interessados em fazer. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2009, p.221)

[...] é definido como qualquer tarefa ou atividade para a qual os estudantes não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a percepção de que haja um método específico para chegar à solução correta. (VAN WALLE apud ONUCHIC; ALLEVATO, 2009, p.221)

É qualquer situação que exija o pensar do individuo para solucioná-la. (DANTE, 1998, p.9)

As concepções acima são similares, porém distintas, pois uma sugere a

necessidade de se ter interesse em fazer alguma coisa; outra indica ser uma atividade

para estudantes desprovidos de métodos explícitos e a última cita a exigência do

pensar do indivíduo.

Acredita-se que, um problema de matemática a ser resolvido nas aulas de

matemática, é qualquer situação do cotidiano ou atividade que exija do aluno interesse

ou necessidade em solucioná-lo.

5

Um desafio do ensino da Matemática por meio da Resolução de Problemas é

permitir que o aluno utilize seus conhecimentos, levante hipóteses e crie estratégias

para solucionar a atividade proposta.

Segundo Dante (1998), os objetivos da resolução de problemas são:

Fazer o aluno pensar produtivamente.

Desenvolver o raciocínio do aluno.

Ensinar o aluno a enfrentar situações novas.

Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações matemáticas.

Tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras.

Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas.

Dar uma boa base matemática às pessoas.

Com base nesses objetivos, supõe-se que a resolução de problemas pode

contribuir de maneira significativa para a educação básica.

Para desenvolver as atividades propostas nessa pesquisa serão utilizados os

passos sugeridos por Onuchic (1999) para se resolver problemas: 1) formar grupos e

entregar a atividade; 2) o papel do professor; 3) resultados na lousa; 4) plenária; 5)

análise dos resultados; 6) consenso e 7) formalização das atividades.

Seguindo esses passos, acredita-se que seja possível propiciar ao aluno as

condições necessárias para a realização das tarefas solicitadas, bem como a

compreensão dos conteúdos matemáticos e a utilização da demonstração formal para a

apropriação desses conteúdos

AS DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS

O consenso sobre o significado da expressão “demonstração formal em

matemática” também não é delimitado. Por exemplo, de acordo com o senso comum,

Demonstração: 1 ato ou efeito de demonstrar. 2 qualquer recurso capaz de atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa; prova. 3 raciocínio que torna evidente o caráter verídico de uma proposição, ideia ou teoria. (HOUAISS, 2009)

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Demonstração: 1 ato de demonstrar. 2 tudo que serve para provar qualquer coisa; prova. 3 manifestação, sinal, testemunho. 4 lição pratica e experimental. 5 exibição, apresentação. 6 lóg. Dedução que prova a verdade de sua conclusão por se apoiar em premissas admitidas como verdadeiras. (FERREIRA, 2009)

É notório que nos dois dicionários pesquisados, aparece o termo prova como

sinônimo de demonstração. Dessa maneira torna-se conveniente fazer a comprovação

buscando o significado do termo prova, o qual realmente assemelha-se ao anterior.

Prova: aquilo que demonstra que uma afirmação ou um fato são verdadeiros; evidência, comprovação. Ato que dá uma demonstração cabal (de afeto, fidelidade etc.); manifestação, sinal; experiência científica; demonstração, experimento. (HOUAISS, 2009)

Prova: Aquilo que atesta a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa; demonstração evidente. Processo pelo qual se verifica a exatidão de um cálculo. O que leva à admissão de uma proposição ou da realidade de um fato. (FERREIRA, 2009)

No dicionário de filosofia, o termo prova apresenta um sentido mais amplo:

Prova: procedimento apto a estabelecer um saber, isto é, um conhecimento válido. Constitui prova: todo procedimento desse gênero, qualquer que seja sua natureza: mostrar uma coisa ou um fato, exibir um documento, dar testemunho, efetuar uma indução são provas tanto quanto as demonstrações da matemática e da lógica. Portanto, esse termo é mais extenso que demonstração: as demonstrações são provas, mas nem todas as provas são demonstrações. (ABBAGNANO,1982, p.678)

Constata-se que os termos demonstração e prova aparecem como sinônimos,

porém, na matemática, ocorrem divergências entre os pesquisadores com relação a

esses termos. Não existe a pretensão de elencar a concepção de todos os matemáticos

ou estudiosos sobre o tema, mas sim contemplar algumas das concepções que

encontramos no decorrer da pesquisa, para confrontar com o significado oferecido no

senso comum.

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Para Moraes Filho (2007), uma demonstração é o processo utilizado para provar

resultados matemáticos, satisfazendo as condições das hipóteses garantindo o que

afirma a tese.

Silva (2002) afirma que uma demonstração matemática tem várias finalidades:

Em primeiro lugar, compete-lhe estabelecer a veracidade relativa de um enunciado (a tese da demonstração). A veracidade da tese depende, claro, da veracidade dos enunciados pressupostos na demonstração, esta é suficiente para aquela. Em segundo lugar, uma demonstração deve convencer-nos da veracidade da tese que demonstra, desde que aceitemos os pressupostos dos quais essa demonstração depende. (SILVA, 2002, p.56)

Carvalho (2004) cita a distinção que Balacheff faz entre explicação, prova e

demonstração.

Explicação é o termo adotado para um discurso, através da fala, visando produzir de forma clara a característica de veracidade, adquirida pelo locutor, de uma proposição ou de um resultado. [...] Prova é o termo utilizado para uma explicação aceita em uma dada comunidade em um dado momento. [...] podem ser aceitas como provas explicações que adotam uma forma particular: um conjunto organizado de enunciados válidos seguindo regras determinadas. Um enunciado, por sua vez, ou é reconhecido como verdadeiro ou é deduzido de uma verdade precedente por um conjunto de regras de dedução bem definido e pré-fixado. A este tipo particular de prova, chama Demonstração. (BALACHEFF apud CARVALHO, 2004, p.43) Grifo da autora.

Dessa forma, fica evidente que demonstração em matemática é o ato de mostrar a

veracidade de um conceito, verificando as etapas estabelecidas para que o

conhecimento historicamente elaborado pudesse ser aceito como verdade e utilizado

formalmente dentro da ciência.

Segundo Tarski (1969), “pode-se “considerar a busca pela verdade matemática

como a essência da atividade do matemático”. (TARSKI apud DOMINGUES, 2002, p.

46). Nessa busca pela verdade, o trabalho fica focado na demonstração, para que

possa afirmar a veracidade do que se pretende mostrar.

Já para Garnica (2002, p.76), “a prova rigorosa é elemento essencial para

compreendermos o funcionamento do discurso matemático e o modo como são

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engendradas concepções que permeiam a sala de aula de Matemática sendo, por isso,

tema importante à Educação Matemática”.

O trabalho com demonstração aparece ao longo dos séculos. Eves (2004)

aponta que nos últimos séculos do segundo milênio a.C. ocorreram muitas mudanças,

civilizações desapareceram, invenção do alfabeto, introdução de moedas, muitas

descobertas geográficas o e homem começou a indagar ‘como e por quê’. Assim

também na matemática, essas indagações científicas ocorriam, nascendo uma

atmosfera de racionalismo. O autor ainda cita que atribui-se a Tales de Mileto o início

da geometria demonstrativa.

Diante da necessidade de se estabelecer a veracidade ou falsidade das

proposições, se torna essencial utilizar critérios que possam assegurar a confiabilidade

dessas conclusões, esses critérios são assegurados com a utilização de um método

axiomático.

Segundo Moraes Filho (2007, p.62), “um modelo axiomático é um conjunto finito

de axiomas, de noções primitivas e de regras de inferência, usadas para deduzir certas

afirmações (que são os teoremas) e definir objetos.”3

Este autor ainda comenta que no final do século XIX e começo do século XX,

houve uma grande preocupação em tornar a matemática mais rigorosa, e nesse

período a Lógica Matemática começou a ser desenvolvida em sua grande parte, com

essa finalidade o modelo axiomático ressurgiu com força total.

De acordo com Domingues (2002)

Até perto do final do século XIX, a demonstração em matemática tinha um caráter grandemente material. A demonstração de uma proposição era uma atividade intelectual que visava a nos convencer e a convencer os outros, racional, mas também psicologicamente, da veracidade dessa proposição. A partir de algum momento, porém, tornou-se necessário submeter a noção de demonstração a uma análise mais profunda, com vistas a reduzir o recurso ao uso da evidência intuitiva. (DOMINGUES, 2002, p.51)

O conceito de demonstração, então começa a ser reformulado e foi com Frege

que aparece a idéia de demonstração formal outrora sintetizada por Tarski da seguinte

3 Não nos aprofundaremos aqui no que diz respeito à modelo axiomático, uma vez que nosso objetivo é focar no

termo demonstração.

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maneira: (i) a primeira proposição é um axioma; (ii) cada uma das outras ou é um

axioma ou é dedutível diretamente das que precedem na sequência; (iii) a última

proposição é aquilo que se pretendia demonstrar. (DOMINGUES, 2002, p.52)

Carvalho (2004) afirma que a demonstração ou prova rigorosa é apontada, há

muito tempo, como tema central na Matemática, por vários autores, e diz ainda que

O tema aparece relacionado com questões tais como comunicação de idéia matemática, linguagem e formalismo, critérios de aceitação de argumentos pela comunidade matemática, convencer e explicar, funções na prática pedagógica, situações e processos de validar, critérios para refutar argumentos, atitudes dos estudantes diante das demonstrações, entre outros. (CARVALHO, 2004, p.42).

Ainda para Carvalho (2004, p.61), “o ato de ensinar por meio de demonstração

deve incluir a possibilidade de se fazer da própria demonstração a resposta de como o

resultado foi possível de ser provado e não apenas demonstrar o resultado”.

De acordo com Hanna, “... a prova está viva e saudável na prática matemática e

continua a merecer um lugar de destaque no currículo de matemática”. (HANNA apud

CARVALHO, 2004, p.i).

Hanna (2004) ainda distingue a demonstração formal da demonstração aceitável,

e ambas da demonstração no contexto da matemática escolar.

Demonstração formal: a demonstração como conceito teórico da lógica formal (ou meta-lógica), que pode ser encarado como ideal do qual a prática matemática apenas se aproxima. Demonstração aceitável: a demonstração como conceito normativo que define o que é aceitável para os matemáticos profissionais. O ensino da demonstração: a demonstração como uma atividade matemática escolar que serve para esclarecer ideias que valem a pena tornar conhecidas dos alunos. (HANNA apud MOCROSKY et al, 2009, p.1186)

De acordo com a autora, observamos que demonstração tem significados e

objetivos diferentes para o matemático e para o educador matemático, o matemático

precisa provar que suas ideias são verdadeiras, já para o educador matemático a

utilização de demonstrações é necessária para esclarecer e mostrar ao aluno a

veracidade do que está sendo aprendido.

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Nesse mesmo contexto, da matemática escolar, é relevante lembrar De Villiers

(2002) quando comenta que é costume no ensino da matemática fazer uma abordagem

na qual as demonstrações aparecem como um recurso para eliminar as dúvidas.

Para este autor a demonstração tem também, outras funções em matemática:

i) Verificação: convencimento próprio e dos outros a respeito da veracidade de uma afirmação; ii) Explicação: compreensão do por que uma afirmação é verdadeira; iii) Descoberta: de novas teorias, conjecturas ou resultados a partir da tentativa de se demonstrar uma conjectura; iv) Comunicação: negociação do significado de objetos matemáticos; v) Desafio intelectual: satisfação pessoal pelo êxito na demonstração de um teorema; vi) Sistematização: organização de resultados num sistema dedutivo de axiomas, conceitos e teoremas. (DE VILLIERS apud ALMOULOUD, p.5)

A utilização de demonstração como nota-se acima teve uma modificação no

século XIX, porém, sabemos das dificuldades que ainda encontramos para trabalhar

com demonstração em sala de aula. De acordo com Wheeler (1990),

[...] é óbvio que a demonstração será sempre difícil na sala de aula de matemática, porque não aparece aí por nenhuma razão aparente que não seja a de imitar a atividade dos matemáticos. Nunca ninguém parou para pensar se é apropriada para a sala de aula ou, em caso afirmativo, que tipo de demonstrações seriam adequadas. (...) ... é um programa terrivelmente sofisticado. Não admira que não seja muito bem ensinado, e que todos os alunos tenham dificuldade em apanhá-lo. Nunca ninguém analisou a dificuldade disto tudo, e a maior parte dos professores não estão conscientes de todas as exigências cognitivas da demonstração. (WHEELER apud MOCROSKY et al, 2009, p.1186-1187)

É correto o postulado do autor no que diz respeito às dificuldades encontradas

em trabalhar com demonstrações nas aulas de matemática, pois, raramente estas

aparecem nos livros didáticos, os docentes, em sua formação, raramente também

estabeleceram contato com as mesmas. Todavia, detém papel fundamental na

construção do conhecimento matemático, inclusive combatendo o autoritarismo, uma

vez que, possuidor do conhecimento oferecido pela demonstração, o aluno deixa de

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‘acreditar’ apenas na palavra do professor e passa a ‘acreditar’ na fundamentação

teórica que sustenta o corpus da matemática.

Para PIETROPAOLO (2005), o ensino de demonstração ainda necessita de

preparo do professor, como podemos observar

Não caberia a simples reprodução – pelo aluno ou professor – das provas presentes nos livros, mas sim o “fazer matemática” em sala de aula, envolvendo assim, experimentações conjecturas, argumentações. Mas, para tal, o professor precisaria ter uma formação que levasse em conta esse princípio. (PIETROPAOLO apud ORDEM, 2010, p.26)

Com o decorrer do tempo os livros didáticos deixaram de trazer atividades sobre

demonstrações e o professor perdeu o costume de exigir que seus alunos justifiquem

suas respostas, um hábito que faz parte do estudo de demonstrações.

Diante do que foi exposto, sabemos que as demonstrações requerem rigor e

grande conhecimento matemático para sua realização, constituindo-se um desafio para

educadores que, interessados pelo assunto, devem ser capazes de identificar o tipo de

demonstrações coerente a ser trabalhado em cada nível escolar, seja ele fundamental,

médio ou universitário, e em cada momento particular, dependendo do assunto tratado.

A PESQUISA

Diante desse quadro desenvolveu-se um projeto de pesquisa, objetivando:

investigar o uso da metodologia de resolução de problemas focando demonstrações;

identificar as estratégias utilizadas pelos alunos para demonstrar resultados como o

quadrado da soma de dois números, o Teorema de Pitágoras, razões trigonométricas e

relação entre seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo; e identificar eventuais

dificuldades que possam apresentar no processo de aprendizagem.

O projeto foi desenvolvido numa turma de segunda série do ensino médio, do

período matutino de um colégio estadual do interior do Paraná, abrangendo 48 alunos,

os quais em sua trajetória escolar não tiveram contato com a prática pedagógica de

utilizar demonstrações, tão pouco o hábito de justificar suas respostas.

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O método utilizado foi o da pesquisa qualitativa, preocupando-se com o processo

da pesquisa e não com o produto. Como prevê a pesquisa qualitativa os dados foram

coletados através da produção escrita dos alunos durante a execução das atividades e

na resolução da avaliação final.

Para atingir os objetivos propostos acima, foram elaboradas cinco atividades que

foram desenvolvidas uma vez por semana, no período de agosto a dezembro.

Para demonstrar os resultados matemáticos, exigidos nas atividades, usou-se a

metodologia de resolução de problemas, como encaminhamento metodológico.

Atividade 1 - Apresentação da proposta

Na primeira atividade os alunos escreveram sobre duas questões:

1. O que é matemática para você?

2. O que você acredita que seja importante na matemática?

No momento da mesa redonda os alunos ficaram muito tímidos e apenas dois

colocaram sua opinião sobre as questões.

Analisando as produções escritas dos alunos verificou-se que a maioria definiu

matemática como uma disciplina escolar.

Figura 1 – aluno A4

Fonte: Acervo pessoal

4 Aluno A: Para mim, matemática é uma disciplina escolar, muito legal, mas difícil de ser interpretada, eu gosto

muito de matemática, tem muitos cálculos e números.

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Figura 2 - aluno B5

Fonte: Acervo pessoal.

Outros mostraram ter outra concepção como mostram os exemplos abaixo.

Figura 3 – aluno C6

Fonte: Acervo pessoal.

Figura 4 – Aluno D7

Fonte: Acervo pessoal.

Não são apenas os alunos que têm concepções diferentes sobre o que é

matemática. Kline apud Garnica (2002, p.79) afirma que a “Matemática é uma atividade

cujo primado é da atividade criativa, e pede por imaginação, intuição geométrica,

experimentação, adivinhação judiciosa, tentativa e erro, uso de analogias das mais

variadas, enganos e trapalhadas”.

5 Aluno B: A matemática pra mim é a aula mais importante que temos, pois ela nos ajuda a conviver com a

sociedade no dia a dia. Usamos a matemática toda hora, a todo momento. 6 Aluno C: Matemática é um ciência extremamente importante para resolução de problemas do cotidiano, mesmo

sendo difícil. 7 Aluno D: Matemática é um jeito prático, rápido e inteligente de resolver certas situações do cotidiano.

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Para Fossa (2009, p.47) “a matemática não é meramente uma atividade

interessante com algumas aplicações práticas, mas faz parte daquela busca da verdade

que é o grande empreendimento do homem.”

Quanto à segunda pergunta os alunos responderam que matemática é

importante em tudo na nossa vida, algumas das repostas foram:

Figura 5 – aluno E8

Fonte: Acervo Pessoal

Figura 6 – aluno F9

Fonte: Acervo pessoal.

Com essa atividade observou-se a dificuldade que os alunos apresentam em

relacionar a matemática e sua utilidade e que poucos percebem que a matemática não

é inventada nem descoberta e sim elaborada.

Essa dificuldade é percebida também por Allevato; Onuchic (2009)

A Matemática sempre desempenhou um papel importante na sociedade. Esse papel é hoje mais significativo e, possivelmente, será ainda mais no futuro. As pessoas nem sempre pensam matematicamente e tampouco percebem que, se o fizessem, poderiam tomar melhores decisões. (Allevato; Onuchic, 2009, p.9-10)

8 Aluno E: A importância da matemática não é só resolver um problema e sim entendê-lo. A matemática é

importante também, pois aprendemos muitas formas simples de obter um resultado. 9 Aluno F: A importância da matemática se manifesta no desenvolvimento da sociedade e no avanço da tecnologia,

melhorando assim, a qualidade de vida das pessoas.

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Ainda nessa primeira atividade para apresentar o termo demonstração, os

alunos, seguindo passos sugeridos pela professora construíram geometricamente o

quadrado da soma usando dois números naturais e depois substituíram por a e b para

fazer a generalização. Apenas um aluno teve dificuldade em realizar a atividade, não

conseguiu seguir os passos sugeridos, não fazendo a associação do desenho com a

expressão a2 + 2ab + b2.

Observe o relato no final da atividade.

Professora: O que foi que fizemos?

Aluno A: Descobrimos de onde sai o 2 da expressão 2ab.

Aluno B: Verificamos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, que essa igualdade é

verdade.

Professora: Quando podemos dizer que uma ‘coisa’ é verdade?

Aluno B: Quando ela sempre vale.

Professora: E como podemos afirmar que ela sempre vale?

Aluno C: Quando a gente faz várias tentativas e observa que sempre dá certo.

Nesse momento, os alunos foram levados a pensar no significado de estabelecer

a verdade, e a importância das demonstrações nesse processo.

Atividade 2 – Conhecendo termos técnicos

Os alunos em grupos fizeram a leitura de um texto, que apresentava alguns

termos utilizados na matemática formal, sendo eles: demonstração, proposição,

teorema, prova, definições, postulados e axioma.

Em seguida conceituaram cada um dos termos de acordo com o que entenderam

no contexto da leitura fazendo um relatório escrito. Essas definições foram comparadas

pelos diferentes grupos destacando as idéias parecidas. Após a comparação a

professora apresentou a definição correta de cada termo, relacionando-as com as

definições elaboradas por eles.

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Os alunos apresentaram dificuldade em conceituar as palavras proposição,

postulado e axioma, a definição dada por eles foi muito distante do significado correto

que elas apresentam.

Atividade 3 – A lógica matemática

O objetivo dessa atividade foi oportunizar ao aluno o trabalho com argumento.

A professora iniciou a aula apresentando a seguinte situação: “Se fizer frio não

vou tomar sorvete. Está frio. O que você pode concluir?”

Rapidamente responderam que não fui tomar sorvete.

Em seguida a professora mudou a expressão para: “Se fizer frio não vou tomar

sorvete. Está muito quente. A que conclusão podemos chegar?”

Nesse momento responderam que fui tomar sorvete, mas, depois de fazer a

leitura da expressão novamente, alguns alunos ficaram pensativos e disseram que

poderia ter ido ou não tomar sorvete. Outros disseram que não podiam concluir nada,

pois na questão proposta não falava nada quanto à situação de estar quente. Um aluno

respondeu que não podia concluir nada, pois as “frases” não tinham nada em comum.

A professora então explicou que esse tipo de afirmação é chamado de

argumento, e que todo argumento é formado por premissas e uma conclusão, falou

também sobre proposição, que pode ser verdadeira ou falsa, argumento válido

(coerente) e argumento inválido (não coerente - sofisma); em seguida colocou mais um

exemplo: “Toda planta verde tem clorofila. O quadro de recados é verde. O quadro de

recados tem clorofila.”. Uma aluna disse que a conclusão desse argumento não é

“verdade”, pois a palavra comum nas frases é verde e não clorofila. Concluiu que as

premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa tratando-se de um argumento inválido,

um sofisma.

Verificou-se que a aluna percebeu a existência de um termo que ela chamou de

comum nas premissas, o que na lógica aristotélica é chamado de termo médio.

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De acordo com Machado;Cunha (2008) na lógica aristotélica argumentos

constituídos por duas premissas e uma conclusão, são chamados de silogismos, e

ainda as duas premissas não podem ser totalmente desvinculadas, devendo apresentar

um elemento em comum.

Nesse momento conceituou-se lógica de acordo com Fossa (2009), que

compreende que a incumbência da lógica é a determinação da validade, ou invalidade,

de argumentos, deixando que as várias ciências determinem a verdade, ou falsidade,

das proposições.

Atividade 4 – Iniciando as demonstrações

Os alunos divididos em grupos receberam a seguinte atividade:

Poste elétrico10 – Uma companhia de eletricidade instalou um poste num terreno

plano. Para fixar bem o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de 1,4 metros

do solo e a 2 metros de distância do poste, sendo que um dos cabos mede 2,5 metros,

conforme a figura.

Um professor de Matemática, após analisar estas medidas, afirmou que o poste não

está perpendicular ao solo. Você acha que o professor está certo? Justifique sua

resposta.

Um grupo rapidamente usou o Teorema de Pitágoras, porém efetuavam os

cálculos para cada um dos lados da figura e perceberam que os dados estavam

10

Problema retirado do Banco de Questões da OBMEP 2010 p.73.

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arredondados. Então lhes foi perguntado por que estavam fazendo os cálculos isolados

e uma das alunas respondeu: Ah, então posso usar os três valores e tirar a prova real.

Outro grupo também não apresentou dificuldades em utilizar o Teorema de

Pitágoras para resolver a atividade, calcularam a medida do outro cabo, concluindo que

os cabos tinham tamanhos diferentes, logo o poste estaria torto.

Figura 10 – Resolução da atividade Poste elétrico.

Fonte: Acervo pessoal

Um terceiro grupo reconheceu no Teorema de Pitágoras um meio de resolver a

atividade, mas tiveram muita dificuldade em levantar as hipóteses e não perceberam de

que forma o Teorema poderia justificar sua resposta.

Os demais grupos não observaram que a atividade proposta poderia ser

resolvida com a utilização do Teorema de Pitágoras, e não conseguiram chegar a uma

conclusão.

Terminada a atividade e concluída a socialização das respostas dos grupos no

quadro de giz, a professora propôs fazerem algumas demonstrações do Teorema de

Pitágoras, entre elas a utilizada por Bhaskara, Henry Perigal e por semelhança de

triângulos, como classifica Wagner (2009).

Para isso os alunos seguiram os passos sugeridos pela professora para realizar

cada uma das demonstrações.

Para a demonstração feita por Bhaskara, os passos foram:

1. Construir um triângulo retângulo de lados 5, 4 e 3 cm.

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2. Construir um quadrado a partir de cada lado do triângulo e

determinar a área de cada um dos quadrados.

3. Chame a área do quadrado formado pela hipotenusa de AH e a

área dos quadrados dos catetos de AC1 e AC2.

4. Verifique se AH = AC1 + AC2.

5. Escreva essa relação em função dos lados do triângulo

retângulo.

6. O que você pode concluir?

Figura 11 – Demonstração do Teorema de Pitágoras.11

Fonte: Acervo pessoal.

Nessa demonstração do Teorema de Pitágoras feita pelo matemático Bhaskara

os alunos não apresentaram grandes dificuldades, seguiram os passos sugeridos e

concluíram o Teorema, a princípio cada um fez a sua conclusão e depois chegaram ao

enunciado correto do teorema.

Para a demonstração feita por um livreiro de Londres em 1873, Henry Perigal, os

passos sugeridos foram:

1. Construir um triângulo retângulo de lados 13, 12 e 5 cm.

2. Construir um quadrado a partir de cada lado do triângulo. 11

Demonstração realizada pelos alunos do Teorema de Pitágoras atribuída ao matemático Bhaskara.

20

3. Encontre o centro do quadrado do maior cateto.

4. Trace uma paralela à hipotenusa passando pelo centro do

quadrado do maior cateto.

5. Trace uma perpendicular passando pelo centro do quadrado do

cateto maior. Dessa maneira o quadrado ficará dividido em

quatro partes congruentes. Colorir cada parte da divisão e o

quadrado do cateto menor de uma cor diferente. (A figura deverá

ficar como o desenho a seguir)

6. Recorte o quadrado do cateto maior nas quatro partes congruentes.

7. Recorte o quadrado do cateto menor.

8. Cubra o quadrado da hipotenusa com as partes recortadas do

quadrado do cateto maior e o quadrado do cateto menor.

9. Finalize a demonstração.

Nessa demonstração, feita por Henry Perigal tiveram muita dificuldade no que diz

respeito a traçar paralelas e perpendiculares, não conseguiam utilizar os instrumentos

para a construção exigida.

Para encontrar o centro do quadrado a maioria dos alunos contou os quadrados

da folha quadriculada, apenas alguns utilizaram o conceito de diagonais.

Na demonstração por meio de semelhança de triângulos os alunos deveriam

seguir os passos abaixo:

1. Construa um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa a e

catetos b e c.

21

2. Trace a altura AH relativa ao lado BC e veja que ela dividi esse

triângulo em dois outros: BHA e CHA.

3. O que podemos concluir sobre esses triângulos?

4. A que conclusão podemos chegar observando a semelhança dos

triângulos ABC ~ HBA?

Esperava-se que os alunos concluíssem que:

5. O que concluímos da semelhança dos triângulos ABC ~ HAC?

Os alunos deveriam concluir que:

6. Utilize as conclusões dos passos 4 e 5 e relacione-as com o

triângulo ABC finalizando a demonstração do Teorema de

Pitágoras.

Nessa demonstração utilizando semelhança de triângulos foi onde apresentaram

maior dificuldade, muitos alunos mostraram não ter domínio do conteúdo e não

acompanharam os passos sugeridos pela professora.

Essa dificuldade pode originar-se de vários fatores, para Almeida; Moussa (2011)

um desses fatores é que a aprendizagem geométrica tem sido relegada e colocada em

segundo plano em nossas escolas. Motivada pela formação falha e a falta de

apropriação desse conhecimento pela maioria de professores encaminhando à

exclusão.

Apenas poucos alunos conseguiram acompanhar com êxito a execução dos

passos. Após construírem um triângulo retângulo e traçar a diagonal pedida, facilmente

verificaram que os ângulos agudos dos triângulos retângulos eram congruentes e dessa

forma concluíram que os triângulos eram semelhantes como mostra parte do diálogo

abaixo.

Professora: Podemos observar que a altura divide o triangulo ABC em outros

dois triângulos, o que podemos concluir sobre esses triângulos?

Aluno A: Os triângulos são parecidos, pois as medidas dos ângulos são iguais.

22

Professora: Isso mesmo, porém devemos dizer semelhantes e não parecidos.

Aluno B: Os lados BC e BA, BA e BH, AC e AH estão na mesma posição.

Professora, não posso usar aquele ‘negócio’ de uma coisa está para outra?

Professora: Claro que sim. Esse ‘negócio’ é chamado de proporção. Vamos

montar as proporções.

Professora: E agora como podemos prosseguir pensando no Teorema de

Pitágoras?

Aluna C: Acho que podemos substituir as letras que representam cada lado

pelas letras minúsculas a, b e c.

A professora teve que intervir no instante que foi necessário fatorar o termo am +

an na conclusão da demonstração.

Como alguns alunos não compreendiam o que foi feito, um dos alunos usou

recorte para mostrar aos colegas as razões necessárias para a demonstração, fez as

substituições necessárias e concluiu o Teorema de Pitágoras.

Figura 12 – Recorte usado para demonstrar o Teorema de Pitágoras.12

Fonte: Acervo pessoal.

12

Recorte feito por um aluno para demonstrar para os demais colegas como demonstrar o Teorema de Pitágoras por meio da semelhança de triângulos.

23

Verificou-se que como afirma Morais Filho (2007, p.162), ”os desenhos ajudam a

sintetizar o raciocínio e, decisivamente, contribuem com idéias e argumentos usados

para entender, enunciar, explicar, demonstrar ou descobrir algum fato matemático”.

Depois de encerrada a atividade sobre o Teorema de Pitágoras, os alunos ainda

em grupo receberam outra atividade usando o triangulo retângulo, contemplando dessa

vez as razões trigonométricas. Esperava-se que na resolução da atividade os alunos

utilizassem a relação .

Problema13: Dados sen 40° = 0,64 e cos 40° = 0,76, AC e AB medindo respectivamente,

x e 10 cm, determinar o valor de x na figura.

Durante a resolução da atividade, alguns grupos utilizaram como estratégias as

razões trigonométricas no triângulo retângulo, iniciaram com a razão seno encontrando

o valor da hipotenusa e depois fizeram a razão cosseno para calcular o valor do cateto

adjacente (x) que a atividade sugeria. Nenhum grupo resolveu a atividade utilizando a

relação esperada.

Terminada a atividade chegou o momento da exposição das resoluções. Quando

o primeiro grupo foi ao quadro negro para apresentar sua resposta, os demais

perceberam que todos os grupos haviam utilizado a mesma estratégia para a

resolução.

13

Problema adaptado de PAIVA, M. Matemática – Paiva. São Paulo: Moderna, 2009. P. 34.

24

Figura 13 – Resolução do problema envolvendo razões trigonométricas.

Fonte: Acervo pessoal.

Depois disso, a professora então começou fazer algumas indagações.

Professora: Por que vocês não utilizaram a relação ?

Aluno A: Que relação é essa professora?

Aluno B: Nunca ouvi falar dessa relação.

Professora: Todos pensam da mesma maneira?

Aluno C: Professora, acho que nós nunca estudamos essa relação. É conteúdo

de que série?

Professora: Esse conteúdo é da segunda série do ensino médio, vocês não

estudaram o ciclo trigonométrico?

Aluno A: Ah professora, nós nunca vimos esse conteúdo mesmo. Acho que

ficou para o fim do ano.

A turma toda concordou dizendo que ainda não haviam estudado tal conteúdo.

Nesse momento, a professora iniciou a apresentação do conteúdo, sugerindo

passos que levariam os alunos a conhecer o ciclo trigonométrico e também demonstrar

a relação .

Professora: Pela razão trigonométrica, como definimos tangente de um ângulo?

25

Alunos: Tangente é a medida do cateto oposto dividido pela medida do cateto

adjacente.

Professora: Comparando o ciclo trigonométrico com a definição de tangente, o

que podemos concluir?

Aluno B: Professora, podemos ver que o cateto oposto ao ângulo é a medida

do seno do mesmo ângulo e que o cateto adjacente é a medida do cosseno desse

ângulo.

Professora: Perfeitamente, e dessa forma o que podemos concluir?

Aluno B: A relação que você disse professora, .

Figura 14 – Demonstração da relação .

Fonte: Acervo pessoal.

Finalizando a atividade, alguns alunos disseram que se eles conhecessem essa

relação seria mais fácil resolver a atividade sugerida, pois teriam que usar apenas a

razão tangente. Um dos grupos que não havia resolvido o problema pediu se poderia

resolvê-lo utilizando a relação em questão e assim o fizeram.

Figura 15 – Resolução do problema utilizando a relação .

26

Fonte: Acervo pessoal.

Nesse contexto verificamos o que assevera De Villiers (2002) quando comenta

que é costume no ensino da matemática fazer uma abordagem na qual as

demonstrações aparecem como um recurso para eliminar as dúvidas.

Atividade 5 – Atividades Complementares

As atividades complementares foram aplicadas no final da pesquisa, sendo que

no último dia vários alunos não compareceram; alguns porque estava chovendo e o

transporte escolar da zona rural não teve condições de buscá-los e outros por ser final

do quarto bimestre e estarem aprovados, dispensaram-se por conta própria.

CONCLUSÃO

O Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) proporcionou um tempo

maior de estudo e dedicação sobre a metodologia da Resolução de Problemas bem

como sobre as Demonstrações em Matemática, e estabeleceu uma relação entre a

pesquisa acadêmica e a sala de aula.

No início da fundamentação teórica o tema de estudo configurou-se um desafio

para a professora PDE, pois não houve contato com as demonstrações em matemática

durante sua formação acadêmica, tampouco as formações continuadas da SEED

27

contemplaram o tema. Como os livros didáticos raramente trazem em seu contexto as

demonstrações exigidas em cada nível da educação escolar, não existiu o hábito de

trabalhar com seus alunos as demonstrações em sala de aula.

No decorrer da implementação da proposta pedagógica na escola, constatou-se

a princípio, a timidez dos alunos diante da metodologia adotada, para eles a

metodologia de Resolução de Problemas era inovação, demonstração e argumentação

uma novidade, dessa forma sentiram-se inseguros em opinar na mesa redonda e

durante a socialização das atividades poucos se dispuseram a ir para o quadro de giz.

Durante as atividades alguns alunos mostraram-se desinteressados e

descompromissados, pois não seria atribuída nota nas mesmas, dessa forma não se

empenharam em participar de todas as atividades.

Uma situação que dificultou a conclusão dos resultados foi a falta de um número

razoável de alunos nas últimas aulas da implementação, pelo motivo de estas terem

acontecido no final do ano letivo e os alunos já estarem aprovados e não frequentavam

com regularidade as aulas e também pelos dias chuvosos que não permitiram que os

alunos da zona rural comparecessem às aulas.

A proposta foi investigar que tipo de demonstração alunos da segunda série do

ensino médio são capazes de desenvolver. Observou-se no transcorrer das atividades,

que levariam a demonstração exigida, que os alunos tiveram facilidade de

compreensão quando utilizadas figuras geométricas de forma manipulável, e

apresentaram dificuldades em transpor os dados geométricos para forma algébrica.

Essa dificuldade foi observada durante a demonstração do Teorema de Pitágoras

utilizando a semelhança de triângulos.

Apesar das dificuldades encontradas, é notória a realização dos alunos quando

compreendem o que estão fazendo, e percebem como se constrói o conteúdo

matemático.

Essa realização por parte dos alunos canaliza o que é fundamental: o resgate do

uso das demonstrações nas aulas de matemática na educação básica, que o professor

exercite com regularidade em seus alunos o hábito de justificar respostas, para que

dessa forma melhorem seus argumentos e não tratem com estranheza as

demonstrações em sala de aula.

28

Outro fato indispensável para o uso constante das demonstrações em

matemática é a formação adequada do professor para trabalhar em sala de aula.

Morais Filho (2007, p.5) é coerente quando diz que “é necessário despertar em

professores do Ensino Médio e em nossos jovens alunos o espírito crítico, o raciocínio

correto e o cuidado com a linguagem, para que repassem esses conhecimentos às

próximas gerações.”

Por fim, acredita-se que ainda há muito a investigar sobre os tipos de

demonstrações que os alunos do ensino médio são capazes de desenvolver, em

dependência da abstração matemática que lhes são requeridas.

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