demonstrações

Demonstração

De

Derivadas

E

Integrais

Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado

PUC-GO

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

[2]

Monitor: Logan (Danilo Menezes)

Introdução

Há um ano sou monitor de Cálculo Diferencial e Integral, e neste processo de auxilio

aos alunos da PUC-GO, percebi que por mais que existam as Tábuas de Derivadas e

Integrais que permitem e direcionam o estudo destes alunos, ainda há duvidas sobre o

verdadeiro uso destas tábuas, ou o não entendimento de o porquê são usadas.

Este documento não vem com intuito de ensinar o calculo diferencial e Integral,

apenas venho através deste, auxiliar o entendimento do uso destas “fórmulas”

propostas em tabelas espalhadas livros ou em sites.

Derivadas

A seguir a Tábua de Newton e as respectivas demonstrações:

1) ,

Prova:

2) ,

Prova:

Aplicando o teorema binomial em :

Percebe-se que e que todos os demais termos possuem .

Colocando este em evidencia:


[3]


Dividindo

, e em seguida aplicando o limite:

3) ,

Prova:

4)

Prova:

5) ,

Prova:

Somando e subtraindo ao numerador teremos:


[4]


6)

,

Prova:

Somando e subtraindo ao numerador teremos:

7) ,

Prova:

Onde,

e

Assim:


[5]


8) ,

Prova:

9) ,

Prova:

- para esta prova, será usada a formula de derivada do quociente (ou divisão).

10) ,

Prova:

- para esta prova, será usada a formula de derivada do quociente (ou divisão).


[6]


11) ,

Prova:

12) ,

Prova:

13) ,

Prova:

Chamando, , e logo,

14) ,

Prova:

Calculando o limite.

Para resolver farei uma mudança de variável:

, ,

, assim:


[7]


Temos que o

, logo:

Partindo dessa ideia temos.

15) ,

Prova:

Esse é um caso particular do exercício anterior, onde .

Assim:

16) ,

ou

Prova:

Pela forma do limite fundamental, temos:

17) ,

Prova:

Caso particular do exercício anterior

18)

,

Prova:


[8]


Esses dois limites já foram demonstrados nos itens 2 e 14, e com a ajuda do

item 13 temos:

19) ,

Prova:

Temos que escrito em função de y temos:

20) ,

Prova:


21) ,

Prova:



[9]


22) ,

Prova:


23) ,

Prova:


Onde, , ou assim:

24) ,

Prova:



[10]


Onde, , ou assim:

Integrais

A seguir as integrais triviais e não triviais.

Para provar as Integrais, neste inicio usarei o método de antiderivação, pois a

integral seria a operação inversa da derivada.

1)

Prova:

2)

Prova:

3)

Prova:

4)

Prova:


[11]


5)

Prova:

6)

Prova:

7)

Prova:

8)

Prova:

Esta demonstração poderá ser feita por antiderivação, mas a maneira mais sucinta,

utilizarei a substituição simples.

Substituindo adequadamente, e .


[12]


9)

Prova:

Substituindo adequadamente, e .

10)

Prova:

Multiplicando e dividindo por :

Substituindo adequadamente, e

.

11)

Prova:

Multiplicando e dividindo por :


[13]


Substituindo adequadamente, e

.

12)

Prova:

Chamando , logo:

13)

Prova:

Chamando , logo:

14)

Prova:

Existem vários tipos de prova para este tipo de integral, mas de maneira mais

simples farei pela antiderivada.

Outra maneira de ser demonstrada:

Usando a propriedade trigonométrica

e , então


[14]


Fazendo substituição por Partes. , ,

Para integrar

, deve-se usar integral por substituição simples

, .

Assim

. Logo,

Juntando tudo:

15)

Prova:

Usando a propriedade trigonométrica

e , então

Fazendo substituição por Partes. , ,


[15]


Para integrar

, deve-se usar integral por substituição simples

, .

Assim

. Logo,

Juntando tudo:

16)

k cte

Prova:

Para calcular essa integral, poderão ser usados vários métodos, mas no caso será

usado o método da substituição trigonométrica, para que possam se familiarizar

com este método.

, ,


[16]


Onde

logo

17)

k cte

Prova:

Para calcular essa integral,será usado o método da substituição trigonométrica e

em seguida o método de frações parciais.

, ,

Onde

, e


[17]


Fazendo agora por Frações parciais:

18)

k cte

Prova:

, ,

Onde


[18]


19)

k cte

Prova:

, ,

Onde

20)

k cte

Prova:


[19]


, ,

Onde

21)

k cte

Prova:

, ,

Onde


[20]


ESTAS FORAM INTEGRAIS TRIVIAIS, AGORA COLOCAREI INTEGRAIS QUE POR

VARIAS VEZES NÃO ENCONTRAREMOS EM TÁBUAS DE INTEGRAIS.

22)

Fazendo substituição por partes , ,

, .

23)

Fazendo substituição por partes , ,

, .


[21]


24)

k cte

Prova:

, ,

25)

( )+

Prova:

Para integral , usa-se substituição por partes, onde ,

, ,


[22]


26)

k cte

Prova:

, ,


[23]


27)

Prova:

, ,

28)

Prova:


[24]


, ,

29)

Prova:

, ,


[25]


30)

Prova:

, ,

31)

Prova:


[26]


, ,

32)

k cte

Prova:

, ,

Por partes, , , ,


[27]


33)

k cte

Prova:

, ,


[28]


34)

Prova:

, ,

35)

Prova:


[29]


, ,

36)

Prova:

, ,


[30]


37)

Prova:

, ,

38)

Prova:


[31]


, ,

39)

Prova:

, ,


[32]


40)

Prova:

, ,

41)

Prova:


[33]


, ,

42)

Prova:

, ,


[34]


43)

Prova:

, ,

44)

Prova:


[35]


, ,

45)

Prova:

Fazendo substituição simples:

46)

Prova:

Fazendo substituição simples:


[36]


47)

Prova:

Fazendo frações parciais:

Resolvendo:

,

48)

Prova:



[37]


Resolvendo:

,

,

49)

Prova:

Por substituição simples:

50)

Prova:


Resolvendo:

,

,


[38]


51)

Prova:


52)

Prova:


53)

Prova:



[39]


54)

Prova:


55)

Prova:


56)

Prova:

onde esta ultima integral foi provada no item 55).


[40]


57)

Prova:

onde esta ultima integral foi provada no item 55).

demonstrações

Documents

Transcript of demonstrações