7/25/2019 Denilson - Aula 7 Arranjo e Combinao

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Arranjo e CombinaoAnlise Combinatria - Prof.: Denilson Miranda

Arranjo e Combinao-(Anlise Combinatria)

1 - Arranjo Simples

Exemplo 1:Imagine agora que quisssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras do cinema, mas temos

apenas 3 cadeiras disposio. De quantas formas poderamos fazer isso?

Um caso como esse, onde pretendemos posicionar n elementos em m posies (m menor que n),

e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, chamada de ARRANJO

SIMPLES. Sua frmula dada abaixo:

Arranjo:

Princpio Fundamental da Contagem:

**Note ainda que podemos usar Arranjo simples para resolver problemas de permutao.

2Arranjo com repetio (ou completo)

Exemplo 2: Imagine que temos disposio as letras A, B, C e D. Quantas formas de placas de carros comgrupos de 3 letras pode formar? (Ex.: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc.)

Para calcular o nmero de placas (arranjos) possveis de n elementos em grupos de m, e podendo

repetir os elementos, usamos a frmula do Arranjo com repetio:

A (n, m) = nm,

(leia: arranjo de n elementos, m a m, dado por n elevado a m)

**Voc pode resolver esse tipo de exerccio sem o auxlio de frmulas, apenas utilizando o princpio

multiplicativo?

3 - Combinao

Exemplo 3:Imagine agora que voc tem sua disposio 5 pessoas (A,B,C e D), porm agora precisa formar

uma duplapara participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas possvel formar?

Ser preciso calcular quantas combinaes de 5 pessoas, duas a duas, possvel formar. Isto feito

atravs da frmula abaixo:

, = =!

! (! !)

Arranjos Simples so agrupamentos sem repetiesem que um grupo se torna diferentedo outro pela

ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

O arranjo com repetio usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode ser

computado mais de uma vez.

Quando formamos agrupamentos com pelementos, (p

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Dicas IMPORTANRTES!!!!!

Como voc ver ao longo dos exerccios, essencial saber diferenciar se estamos diante de um caso de

arranjo, permutao ou combinao, para s ento resolv-lo. Ao se deparar com uma questo, voc deve

responder sempre a seguinte pergunta:

A ordem de escolha ou de disposio dos elementos torna uma escolha/disposio diferente da outra?

Feita a pergunta, voc tem duas possibilidades:

- Se a ordem NO RELEVANTE:utilizar a frmula de combinao.Isto muito comum em questes onde o

objetivo formar equipes, grupos, comisses etc.

- Se a ordem RELEVANTE: utilizar o princpio fundamental da contagem (aquela multiplicao simples), que

se resume nas frmulas de arranjos e permutaes.

- Se houver repetio, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n o nmero de repeties (ou usardireto a frmula da permutao com repetio); oun!, s!,t!,x!,... quando houver mais de uma repetio.

Por fim, qual a diferena entre Arranjo e Permutao? A diferena que a permutao SEMPRE envolve

TODOSos elementos disponveis (voc calcula quantas formas possveis de dispor os elementos possveis), j

o arranjo NO ENVOLVE TODOSos elementos.

*Se voc entendeu a explicao acima, conseguir resolver a grande maioria das questes. Ah, e preste

ateno nas resolues onde misturo a frmula de combinao com o princpio fundamental da contagem,

pois estas so as questes mais difceis.!!!

Seja o exemplo.Imagine que voc tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) disposio. Forme equipe e filas com 3

soldados.

Ordem no relevanteEquipes:

Ordem relevante - Filas:

Caso 2 soldados fossem idnticos, de tal modo que no fosse possvel diferenci-los (digamos que D

= E), quantas filas diferentes conseguiramos formar?

E se quisssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda?

Imagine que voc dispe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila.

- Quantas filas de 3 soldados voc consegue?

- E quantas filas com os 5 soldados voc consegue?