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Densidade de Fluxo Elétrico

Prof Daniel Silveira

Introdução

Objetivo– Introduzir o conceito de fluxo

– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico

– Introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade de fluxo elétrico

– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico

Conceito de Fluxo

Φ =(v.cosθ)A

Φ =v·A

Fluxo volumétrico= Vazão (volume por unidade de tempo) do ar através da espira por área

A) Incidência perpendicular

B) A componente perpendicular é v.cosθ

C) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v

Fluxo de um campo

É possível associar um vetor velocidade do vento a cada ponto do interior da espira

O conjunto de todos esses vetores é um campo de velocidades

A equação Φ =v·A pode ser interpretada como uma expressão para o fluxo do campo de velocidades através da espira

Interpretando desta forma, fluxo seria o produto de uma área pelo campo que existe no interior dessa área

Introdução

Michael Faraday (1791-1867)– Autodidata, com apenas educação primária

– Grandes contribuições na química e na física

– Habilidade com experimentos

– Descobriu algumas leis que regem a eletricidade e o magnetismo

– Propôs a representação do campo elétrico através de linhas de força• Recusado pelos matemáticos da época

• Provado posteriormente por Maxwell

Introdução

Michael Faraday– Papel com limalha de ferro em cima e imã embaixo

– Há também linhas de força para campo elétrico?

Introdução

Michael Faraday– Cargas opostas mergulhadas em óleo com barbantes finos

– Como medir este fluxo elétrico?

Fluxo Elétrico

Experimento de Faraday– Seja uma esfera metálica com carga +Q

– Colocando esta esfera no interior de outra esfera metálica• Carga –Q induzida na parte interna

• Carga +Q induzida na parte externa

Fluxo Elétrico

Experimento de Faraday– Ligando a esfera à terra

• Carga positivas se deslocarão para a terra

• Esfera externa com carga negativa

Fluxo Elétrico

Experimento de Faraday– Faraday interpretou o fenômeno como um fluxo de deslocamento de cargas da esfera interna para a externa

– Este fluxo deve ser igual à carga total

– As trajetórias de deslocamento de carga são denominadas linhas de fluxo

Q=Ψ


Densidade de Fluxo Elétrico ( )

Medida de quantidade de linhas de fluxo por unidade de área

Grandeza vetorial que aponta na direção das linhas de fluxo

Dr


Esferas concêntricas– Considerando uma esfera de raio r entre as duas esferas

– A carga total, i.e. o fluxo, dentro da esfera é Q e a área total é 4πr 2

– não depende do “corpo”, desde que r seja maior que este

Dr


Carga pontual na origem– Considerando esfera interna centrada na origem com

e esfera externa com

– Se a carga estiver localizada em

rar

QD

rr

24π=

0→r ∞→r

'rr

( )'

'

'42

rr

rr

rr

QrD rr

rr

rr

rr

−

−

−=

π


Carga pontual na origem– Comparando com a equação do campo para uma carga pontual

– No espaço livre

– Da mesma forma, para uma distribuição volumétrica de carga

rar

QE

rr

2

04πε=

EDrr

0ε=

( ) ∫ −

−

−=

vol

v

rr

rr

rr

dvrD

'

'

'4

'2 rr

rr

rr

rr

π

ρ


Exemplo 3.1)– Calcular densidade de fluxo ao redor de uma linha de carga uniforme de 8nC/m no eixo z no espaço livre

E3.1)– Dada uma carga pontal de 60µC na origem, determine o fluxo elétrico total que passa através de • Porção da esfera de r =26cm limitada por 0<θ<π/2 e 0<φ<π/2

• Superfície fechada definida por z =±26cm e ρ =26cm• Plano z =26cm


E3.2)– Calcular densidade de fluxo no ponto P(2,-3,6) produzido por• Uma carga pontual QA=55mC em Q(-2,3,-6)

• Uma linha de cargas uniforme com ρL=20mC/m no eixo x

• Um plano em z =-5m com ρS =120µC/m2

Aplicações da Lei de Gauss

Introdução

Lei de Gauss

Vamos usá-la para determinar a densidade de fluxo se a distribuição de cargas for conhecida

O fluxo elétrico que atravessa uma superfície

fechada é igual à carga total dentro da superfície

∫ ⋅=S

S SdDQrr

Introdução

Solução se torna simples se escolhermos uma superfície fechada em que

– é normal ou tangente à superfície gaussiana• se torna ou zero

– Quando não for zero, deve ser constante

SdDS

rr⋅

SDr

SdDS

rr⋅ dSDS

SD


Carga pontual: superfície esférica de raio r em torno da carga Q, será sempre perpendicular à superfície e constante

SDr

∫∫∫ ==⋅=esfera

S

esfera

S

S

S dSDdSDSdDQrr

∫∫ ∫ ==ππ π

θθπθφθ0

2

0

2

0

2 sen2sen drDddrDQ SS

24 rDQ Sπ= ⇒=24 a

QDS

π rS aa

QD

rr

24π=


Distribuição uniforme linear de carga ρL

– Superfície cilíndrica de raio ρ

com tampa em z=0 e z=L

– A carga total então será Q=ρLL

∫∫∫∫ ++=⋅==basetopolado

S

S

SL dSdSdSDSdDLQ 00rr

ρ

⇒=πρ

ρ

2

LSD

ρπρ

ρaD L

S

rr

2=

LDL SL πρρ 2=

A integração geralmente

se limita à área da

superfície onde D é

normal


Distribuição superficial de cargas ρS

– Superfície cilíndrica, uma base

em cada lado da placa

– é perpendicular à placa

– A carga total então será Q=ρSA

2

SSD

ρ=

E

AADADSdDQ SSS

S

S ... ρ=+=⋅= ∫rr


Cabo coaxial de comprimento infinito

– Cilindros condutores

– Raio interno ρinterno= a

– Raio interno ρexterno= b

– Temos ρS na superfície externa do condutor interno

– Achar o campo elétrico pela lei de Coulomb é

complicado


Cabo coaxial de comprimento infinito– Para ρ < a

• Como o condutor é metálico, a carga na está na superfície

• A superfície gaussiana não envolve nenhuma carga

– Para ρ > b• A carga total envolvida é zero

000 =⇒=⇒⋅== ∫ SS

S

S DDSdDQrrr

0=SDr


Cabo coaxial de comprimento infinito– Para a <ρ < b

• A superfície envolve a carga contida no condutor interno para 0<z<L

Pela lei de Gauss

SaLQ ρπ2=

LDaL SS πρρπ 22 = ⇒=ρ

ρSS

aD ρ

ρ

ρa

aD S

S

rr=

S

L

z

S aLdzadQ ρπφρπ

φ

20

2

0

== ∫ ∫= =

LDQ S πρ2=


Cabo coaxial de comprimento infinito– Para a <ρ < b

• Se o condutor interno for um fio comdistribuição de carga ρL

LQ Lρ=

ρπρ

ρaD L

S

rr

2=

SL aρπρ 2=

⇒=ρ

ρSS

aD

Forma idêntica a da linha infinita de cargas!


Cabo coaxial de comprimento infinito– Como a carga total nos dois condutores tem o mesmo módulo

ba QQ −=

SaSbb

aρρ −=

SbSa bLaL ρπρπ 22 −=


Exemplo 3.2)– Seja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm,

b=4mm e Qa=30nC• Ache a densidade de carga em cada condutor

• Determine e Dr

Er

Lei de Gauss

E3.3)– Seja nC/m2 no espaço livre. Determine:

• Campo elétrico em

• Carga total dentro da esfera r = 3

• Determine o fluxo total que deixa a esfera r = 4

rarDrr

23,0=

( )oo 90,25,2 === φθrP

Lei de Gauss

E3.4)– Calcule o fluxo total saindo de uma superfície cúbica formada por seis planos x,y,z =±5, para• Duas cargas pontuais 0,1µC em (1, -2, 3) e 1/7µC em (-1,2,-2)

• Linha uniforme de carga π µC/m em x=-2 e y=3

• Superfície uniforme de carga 0,1µC/m2 no plano y=3x


E3.5)– Uma carga pontual de 0,25µC está localizada em r=0 e superfícies uniformes de carga estão dispostas da seguinte forma: 2mC/m2 em r=1cm, -0,6mC/m2 em r=1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elétrico em• r=0,5cm• r=1,5cm• r=2,5cm

– Que densidade de carga superficial uniforme deve ser colocada em r=3cm para que a densidade de fluxo elétrico em r=3,5cm seja nula

Divergente

Relaciona um campo vetorial com um campo escalar

O divergente do campo vetorial é o produto escalar entre ∇ e

( )zzyyxxzyx aDaDaDa

za

ya

xD

rrrrrrr++⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

Dr

Dr

z

D

y

D

x

DDD zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂==⋅∇

rr div

Divergente

Em coordenadas cilíndricas

Em coordenadas esféricas

( )z

DDDD z

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

φρρ

ρ

ρφρ 11r

( ) ( )φθθ

θ

θφθ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

D

r

D

rr

Dr

rD r

sen

1sen

sen

11 2

2

r

Divergente

A divergência de um campo vetorial dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que entra) por unidade de volume

O resultado é um escalar

vD ρ=⋅∇r

←Carga por unidade de volume

0>⋅∇ Dr

0=⋅∇ Dr

0<⋅∇ Dr

Divergência

Exemplos– Fluxo líquido de água através de qualquer superfície fechada é zero• Água que entra, sai

• Divergência de velocidade é nula

– Ar se expande quando a pressão cai• Divergência é maior que zero


Lei de Gauss

Vamos aplicar a lei de Gauss a um elemento diferencial de volume em problemas que não possuem simetria

Isto servirá para determinar a divergência de um campo vetorial e para enunciar a primeira equação de Maxwell na forma diferencial

O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é

igual à carga total dentro da superfície

Divergência

Divergência informa quanto fluxo está deixando um volume por unidade de volume– Fonte de densidade de fluxo positiva

– Fonte de densidade de fluxo negativa

– Não há fonte de densidade de fluxo

0>⋅∇ Dr

0=⋅∇ Dr

0<⋅∇ Dr

Primeira Equação de Maxwell

Sabemos que

então

A primeira equação de Maxwell estabelece que o fluxo elétrico por unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é igual a sua densidade volumétrica de carga

v

SdD

D S

v ∆

⋅

=⋅∇∫

→∆

rr

r

0lim QSdD

S

=⋅∫rr

⇒=∆

=⋅∇→∆

vv v

QD ρ

0lim

r

vD ρ=⋅∇r Primeira Equação de

Maxwell (Eletrostática)

Teorema da Divergência

A integral da componente normal a qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo vetorial através do volume limitado por uma superfície fechada

Relação entre uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume

∫∫ ⋅∇=⋅volS

dvDSdDrrr


Fisicamente, podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as consequências do que ocorre na superfície de um volume sem se importar com o fenômeno que está se desenvolvendo dentro deles– O que diverge em uma célula

converge na adjacente

– Só contribui para o total

o que diverge na superfície


Exemplo 3.5– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo

C/m2

e um paralelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3

yx axaxyDrrr

22 +=


Exemplo proposto– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo

C/m2

e um paralelepípedo ρ ≤5, 0 ≤ φ ≤ 0,1π, 0 ≤ z ≤ 10

zaaaDrrrr

222 25sen25cos2 ρφρφρ φρ +−=

Lista de Exercícios

Capítulo 3– 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27,

3.29

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