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Departamento de Engenharia CivilCentro de TecnologiaUniversidade Federal da Paraíba
Curso: Engenharia CivilDisciplina: Mecânica dos Solos I Professor: Dr. Celso Augusto Guimarães Santos
Capítulo 9: Compressibilidade
9-1 A Compressibilidade
Uma das principais causas de recalques é a compressibilidadecompressibilidade do solo, ou seja, a diminuição do seu volume sob a ação das cargas aplicadas; em particular, um caso de grande importância pratica é aquele que se refere à compressibilidade de uma camada de solo, saturada e confinada lateralmente. Tal situação condiciona os chamados recalques recalques por adesamentopor adesamento, que alguns autores preferem denominar recalques por denominar recalques por consolidaçãoconsolidação.
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9-2 Relação Carga-Deformação
Todos os materiais deformam-se pela ação de uma carga aplicada, fornecendo a Resistência dos Materiais, para os diversos materiais (madeira, aço, etc.) empregados em construção, as características da correlação entre cargas e as respectivas deformações.
Essas correlações encontram-se tabeladas e são utilizadas diretamente no projetos das estruturas.
Em engenharia de fundações já o problema é mais complexo; as deformações dos solos, além de comparativamente maiores, não se verificam instantaneamente com a aplicação de carga, mas sim em função do tempo, como é exemplo característico o que acontece com as argilas.
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Para a estimativa da ordem de grandeza dos recalques por adensamento, além do reconhecimento do subsolo, que nos dará a conhecer a espessura, posição e natureza das camadas que o constituem, bem como os níveis d’água, necessita-se ainda conhecer:
a)a distribuição das pressões produzidas em cada um dos pontos do terreno, pela carga da obra; e
b)as propriedades dos solos que interessam ao problema em exame, cuja caracterização adiante abordaremos.
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9-3 Processo de Adensamento
A fim de explicar em que consiste o mecanismo do processo de adensamento, consideraremos o caso representado na figura por uma fundação que distribui sua carga a uma camada de argila saturada, limitada por camada de areia e por um leito rochoso, impermeável.
Em um ponto M qualquer da camada compressível de argila saturada, admitamos que a pressão transmitida pela fundação seja p0.
Ora, parte dessa pressão, u, vai ser transmitida à água que enche os vazios do solo; e a outra parte, p, às suas partículas sólidas, de modo a se ter:
p0 = p + u
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A pressão p tem o nome de pressão efetivapressão efetiva ou pressão grão a grãopressão grão a grão, e ao acréscimo de pressão acréscimo de pressão neutraneutra, u, chama-se sobrepressão hidrostáticasobrepressão hidrostática.
A água (admitida incompressível) que está presa nos vazios do solo, sofrendo esta sobrepressão, começa a se escoar em direção vertical, no sentido da camada drenante de areia; no caso de argila, como a sua permeabilidade é muito baixa, o escoamento se faz muito lentamente.
Dessa forma, a pressão u vai diminuindo ate anular-se, e p vai aumentando, uma vez que p0 é constante.
Assim, no momento de aplicação da carga: u = p0 e p = 0 e, no final, quando cessa a transferência de pressões de u para p, praticamente u = 0 e p = p0. Em uma fase intermediária qualquer, teremos
p0 = p(t) + u(t)
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Seja P a forca normal ao plano de contato, na situação de equilíbrio. Com as demais indicações da figura, podemos escrever:
P = psAs + pag Aag + pgAg
ou
P/A = = ps(As/A) + pag(Aag/A) + pg[(A-As-Aag)/A]
ou, ainda
= aps + (1 – a)pg – (pg – pag)
com
As/A = a e Aag/A =
Como a é muito pequeno, (1 – a) → 1; ao contrário, ps, em geral, é muito elevado. Assim, fazendo aps = p (pressão efetiva), podemos escrever:
p = – pg + (pg – pag)
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Para solos secos: = 0 » p = – pg
Para solos saturados: = 1 » p = – pag
A pressão na água (pag) por sua vez se decompõe em:
pag = uh + u
onde uh é a pressão hidrostáticapressão hidrostática e u a
pressão neutrapressão neutra ou sobrepressão sobrepressão hidrostáticahidrostática oriunda de uma sobrecarga aplicada ao solo.
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9-6 Compressibilidade dos Terrenos Permeáveis (Areia e Pedregulho)
Em se tratando de terrenos muito permeáveis, como as areias e os pedregulhos, o processo de adensamento não se apresenta como acabamos de expor, pois a pressão efetiva é praticamente sempre igual à pressão aplicada e, conseqüentemente, as deformações se produzem de maneira rápida. Tais deformações explicam-se simplesmente como devidas a um reajuste de posição das partículas do solo; daí serem, em muito maior grau que nas argilas, irreversíveis as deformações nos terrenos permeáveis.
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9-7 Compressibilidade dos Terrenos Pouco Permeáveis (Argila)
No caso de camada de argila, e de acordo com o mecanismo anteriormente descrito, a sua variação de altura, que se denomina compressão primária ou adensamento propriamente dito, representa apenas uma fase particular da compressão. Além desta, considera-se ainda a compressão inicial ou imediata – a qual se atribui a uma deformação da estrutura da argila ante a aplicação brusca da carga e à compressão instantânea da fase gasosa, quando esta existir – e a compressão secundária ou secular, também chamada “efeito secundário” do adensamento, o qual se explica como uma compressão do esqueleto sólido formado pelas partículas do solo.
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Desses 3 tipos de compressão, apenas o primeiro tem importância especial, dados os seus efeitos sobre as construções. Mais adiante voltaremos ao assunto, estudando-o em detalhes.
Tanto os efeitos devidos à compressão inicial como os ocasionados pela compressão secundária, são em geral negligenciados na prática; os primeiros, em virtude de seu pequeno valor; os outros, por serem muito atenuados pela extrema lentidão com que as deformações ocorrem, muito embora a compressão secundária seja, às vezes, responsável por uma apreciável fração do recalque total.
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9-9 Hipóteses Básicas Simplificadoras
Na formulação teórica da questão, e no que se segue, abordaremos apenas a sua conceituação clássica. Admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras:
- a camada compressível tem espessura constante, é lateralmente confinada e o solo que a constitui é homogêneo;
- todos os vazios estão saturados d’água;
- tanto a água como as partículas sólidas são incompressíveis;
- o escoamento da água obedece a lei de Darcy (com coeficiente de permeabilidade constante) e se processa unicamente na direção vertical;
- uma variação na pressão efetiva no solo causa uma variação correspondente no índice de vazios.
Tais concessões às condições reais conferem um caráter aproximado, para fins práticos, às conclusões dessa teoria, embora, em geral, satisfatório.
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9-10 Equação Diferencial do Adensamento
v = ki → v = – k(∂h/∂z)
v = – (k/a)(∂u/∂z)
A variação de v ao longo de dz será: (∂v/∂z) = – (k/a) (∂u2/∂z2)
Nessas condições, a água eliminada dos vazios do solo, no tempo ∂t, será:
– (k/a) (∂u2/∂z2), a retirada com redução de vazios, pode-se dizer:
– (k/a) (∂u2/∂z2) = – [1/(1+)] (∂/∂t) (1)
Definindo-se o coeficiente de compressibilidadecoeficiente de compressibilidade: av = – d/dp
Já que p = p0 – u e p0 = cte, tem-se que dp = – du:
d = av du donde ∂/∂t = av (∂u/∂t)
Em (1) trocando o sinal, substituindo ∂/∂t pelo seu valor e fazendo
k(1 + ) / (av a) = cv (coeficiente de adensamentocoeficiente de adensamento, em cm2/seg)
cv ∂2u/∂z2 = ∂u/∂t (Eq. 3)
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9-10 Equação Diferencial do Adensamento
cv ∂2u/∂z2 = ∂u/∂t (Eq. 3)
Esta é, em sua forma clássica, a equação de derivadas parciais, equação de derivadas parciais,
de 2ª ordemde 2ª ordem, que rege o fenômeno do adensamento unidirecional
de uma camada argilosa saturada.
Dado o coeficiente de permeabilidade (k) em cm/seg, o coeficiente
de adensamento (cv) virá expresso em cm²/seg.
Bem, esta é a equação que temos que resolver.
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9-12 Resolução da Equação Diferencial
Resolvamos a eq. anterior que satisfaça:
Para z = 0……………………….. u = 0
Para z = 2H……………………… u = 0
Para t0 = 0………………………. u = p0
Expressando o valor de u, dado pela Eq. 3, mediante o produto de 2 funções de um só variáveis (solução de Bernoulli), teremos:
u = f(x)(t)
sendo f(x) e (t) funções, respectivamente, só de z e só de t. Depois substitui na Eq. 3.
Finalmente teremos:
Eq. 9
onde: é o Fator TempoFator Tempo.
0
4
π120
22
2
π12sen
12
1
π
4 TN
eH
zN
N
pu
2H
tcT v
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9-12 Resolução da Equação Diferencial
Repetindo a Eq. 9:
Eq. 9
Fazendo-se:
Tem-se ainda:
Eq. 9’
Que é a forma mais simples de se expressar a solução da Eq. (3).
Assim, para qualquer tempo dado, t, a variação com a profundidade z, do
excesso de pressão neutra, u, pode ser calculada por esta equação,
expressa como uma fração (u/po) da pressão po aplicada.
0
4
120
22
2
12sen
12
14 TN
eH
zN
N
pu
122
1 NM
0
0 2
sen2 TMe
H
Mz
M
pu
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9-13 Porcentagem de Adensamento
Conhecida a distribuição da pressão neutra ao longo da camada em função do tempo, podemos agora calcular a porcentagemporcentagem ou grau de grau de adensamentoadensamento Uz na profundidade z e num tempo t.
Esta porcentagem pode ser definida pela relação:
a qual torna-se igual a zero no momento da aplicação de po e igual a 1, (100%), no final do adensamento.Substituindo u pelo seu valor dado pela Eq. (9’), a Eq. (10) escreve-se:
Eq. (10)
Finalmente, substituindo, acharíamos para um tempo t, a porcentagem média U de adensamento ao longo de toda camada de espessura 2H igual a:
Eq. (13)
00
0 1p
p
p
upU z
0
2
sen2
1 TMz e
H
Mz
MU
0
2
221 TMe
MU
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9-14 Fórmulas Aproximadas
Admite-se que a eq. (13) possa ser representada, aproximadamente, pelas seguintes expressões:
quando U < 60% T = (/4)U2
quando U > 60% T = -0,9332log(1 – U) – 0,0851
Uma fórmula aproximada é dada por Brinch Hansen:
63
3
5,0T
TU
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9-15 Superficies Drenantes
Se a camada adensável pode drenar livremente tanto pela face superior como pela inferior (drenagem dupla), ela se denomina camada aberta (2H) e, quando não, será camada semi-aberta (H).
Para o caso de camada semi-aberta, sujeita a um diagrama de pressão retangular, a curva da figura anterior é ainda a representação U = f(T).
Para diferentes diagramas de pressões, e tendo em vista as duas condições de drenagem da camada, existem outros gráficos e tabelas que fornecem os valores correspondentes da função U = f(T).
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9-15 Superfícies Drenantes
U Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
50% 0,20 0,29 0,09
90% 0,85 0,93 0,72
2115
2114
1η
1η
η1
η1
UUUU
UUUU
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9-20 Variações do Índice de Vazios com a Pressão Efetiva
1/
//ε
s
l
s
sl
s
sl
s
sll h
h
h
hh
SV
SVSV
V
VV
0
0
ε1h
hs
Conhecidos a altura ho do corpo de prova antes do ensaio e o índice de vazios o correspondente, tem-se imediatamente que:
hl, Vl, l: altura, volume e índice de vazios correspondente a
uma determinada leitura l do micrômetro.
S, hs: área do círculo interno do anel e altura reduzida da amostra.
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9-21 Pressão de Pré-Adensamento
Se pa = pe: normalmente adensada.
Se pa > pe: pré-adensado
Se pa < pe: parcialmente adensado
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Índice de Compressão
Quanto maior K, mais compressível é o solo.
i
f
p
pK
log
Relação entre K e LL
K = 0,009(LL – 10%)
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Determinação dos Coeficientes de Adensamento e Permeabilidade
1
avvack
50
250
1
20
t
Ha,k av
50
2502,0
t
Hcv
avv a
kc
γ
)ε1(
2H
tcT v
tHTa
k av
ε1
γ 2
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Compressão Secundária
htbaht log
= acréscimo de pressão
h = espessura da camada
a e b = constantes determinadas pelo ensaio edométrico
t = tempo (em dias)
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Cálculo dos Recalques
Recalque Total
h = h – h1
pha
p
phhh v
1
1
1
phmha
m vi
vv
1
p
ppK
hh
log 1
mv é o coeficiente de decréscimo de volume coeficiente de decréscimo de volume ou perda específica perda específica
de água intersticialde água intersticial. Tendo em vista o valor de , temos:
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Evolução do Recalque em Função do Tempo
Para T = 2 temos que U ≈ 100, assim:
2
f
h
tcT v
vc
f
h
t
2
2
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Carregamento Lento Durante o Período de Construção
Diagrama de carga
Car
ga d
a c
onst
ruçã
o
Período de construção Tempo
Rec
alqu
e
Curva teórica
2tc2tc – tc/2tctc/2tc/4tc/8
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