Dependencia e Independencia Linear

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica Professor Paulo Winterle DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam n 2 1 v ..., , v , v vetores em V e a equação vetorial 0 ... 2 2 1 1 = + + + n n v a v a v a (1) Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de n 1 v ..., , v pois a afirmação 0 . 0 ... . 0 . 0 2 1 = + + + n v v v é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução 0 ... 2 1 = = = = n a a a é chamada solução trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta “A solução trivial de (1) é única? Se a resposta for a) Sim, então n 2 1 v ..., , v , v são linearmente independentes (LI) ou o conjunto { } n 2 1 v ..., , v , v é LI b) Não, então n 2 1 v ..., , v , v são linearmente dependentes (LD) ou o conjunto { } n 2 1 v ..., , v , v é LD, e neste caso, a equação (1) admite soluções não triviais ( ) 0 i a Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 Os vetores unitários canônicos de 4 R ( ) 0 , 0 , 0 , 1 1 = e ( ) 0 , 0 , 1 , 0 2 = e ( ) 0 , 1 , 0 , 0 3 = e ( ) 1 , 0 , 0 , 0 4 = e são LI pois a equação 0 4 4 3 3 2 2 1 1 = + + + e a e a e a e a ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 0 , 0 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0 0 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 1 4 3 2 1 = + + + a a a a se reduz a ( ) ( ) 0 , 0 , 0 , 0 , , , 4 3 2 1 = a a a a e portanto, possui somente a solução trivial 0 4 3 2 1 = = = = a a a a Exemplo 2 Os vetores ( ) 1,0,0 v 1 = , ( ) 2,1,0 v 2 = e ( ) 1,-1,1 v 3 = são LI, pois a equação 0 3 3 2 2 1 1 = + + v a v a v a ou o sistema correspondente 0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 1 só admite a solução trivial 0 3 2 1 = = = a a a . Exemplo 3 Os vetores ( ) 1,0,0 v 1 = , ( ) 2,1,2 v 2 = e ( ) 1,2,4 v 3 = são LD pois além de ser verdade que 0 . 0 . 0 . 0 3 2 1 = + + v v v também é verdadeira a afirmação 0 2 3 3 2 1 = + v v v (verifique) isto é, a igualdade 0 3 3 2 2 1 1 = + + v a v a v a admite soluções ( ) 0 i a (não triviais).

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Cálculo III

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  • PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

    Faculdade de Matemtica Departamento de Matemtica Disciplina de lgebra Linear e Geometria Analtica

    Professor Paulo Winterle

    DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR Sejam n21 v..., , v,v vetores em V e a equao vetorial

    0...2211 =+++ nnvavava (1) Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito trivialmente como CL de n1 v..., ,v pois a afirmao

    0.0....0.0 21 =+++ nvvv sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A soluo 0...21 ==== naaa chamada soluo trivial de (1). A respeito desta equao o interesse est na resposta pergunta

    A soluo trivial de (1) nica? Se a resposta for

    a) Sim, ento n21 v..., , v,v so linearmente independentes (LI) ou o conjunto { }n21 v..., , v,v LI

    b) No, ento n21 v..., , v,v so linearmente dependentes (LD) ou o conjunto { }n21 v..., , v,v LD, e neste caso, a equao (1) admite solues no triviais ( )0ia

    Vejamos alguns exemplos.

    Exemplo 1 Os vetores unitrios cannicos de 4R ( )0,0,0,11 =e ( )0,0,1,02 =e ( )0,1,0,03 =e ( )1,0,0,04 =e so LI pois a equao

    044332211 =+++ eaeaeaea ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0,01,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,1 4321 =+++ aaaa se reduz a ( ) ( )0,0,0,0,,, 4321 =aaaa e portanto, possui somente a soluo trivial 04321 ==== aaaa Exemplo 2 Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,0v2 = e ( )1,-1,1v3 = so LI, pois a equao 0332211 =++ vavava ou o sistema correspondente

    000

    111

    012

    001

    s admite a soluo trivial 0321 === aaa . Exemplo 3 Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,2v2 = e ( )1,2,4v3 = so LD pois alm de ser verdade que

    0.0.0.0 321 =++ vvv tambm verdadeira a afirmao 023 321 =+ vvv (verifique)

    isto , a igualdade 0332211 =++ vavava admite solues ( )0ia (no triviais).

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    Observao Importante Todo sistema homogneo no qual ocorre

    nmero de equaes < nmero de variveis indeterminado, ou seja, admite solues no triviais ( )0 . Este fato permite identificar de imediato alguns conjuntos LD. No intuito de simplificar, tomemos o espao vetorial 3R e observemos dois detalhes importantes:

    a) como neste conjunto cada vetor tem 3 componentes, o sistema homogneo correspondente equao (1) ter sempre 3 equaes, independente do nmero de vetores.

    b) na igualdade (1) o nmero de variveis ( )ia coincide com o nmero de vetores ( )iv . Com base nestas duas observaes, conclui-se: em 3R , 4 ou mais vetores (so 3 equaes contra 4 ou mais variveis) sempre sero LD. Em outras palavras:

    No 3R o nmero mximo de vetores LI 3. Com raciocnio anlogo, infere-se que o nmero mximo de vetores LI em nR

    n ( 1+n vetores ou mais so LD) Exemplos:

    1) os vetores ( )1,0e1 = , ( )0,1e2 = e ( )2,5v = so LD, pois sendo vetores do 2R , o nmero mximo de vetores LI 2; 2) os vetores ( )1,0,0e1 = , ( )0,1,0e2 = , ( )0,0,1e3 = e ( )2,3,4v = so LD e dentre eles encontramos no mximo 3

    vetores LI; 3) quaisquer 5 ou mais vetores do 4R so LD. No entanto, muito cuidado precisamos ter quando, no nR , tivermos vetores em nmero n . Exemplo 4 Verificar se so LI ou LD os vetores ( )1,-1,1v1 = , ( )2,1,5v2 = e ( )1,4,2-v3 = . Soluo: Examinemos a igualdade

    0332211 =++ vavava (2)

    ou o sistema homogneo

    000

    241

    512

    111

    Escalonando o sistema,vem

    000

    031

    032

    001

    e, portanto, existem solues no triviais ( )0ia . Logo, os vetores dados so LD. Observao: Resolvendo o sistema obtm-se

    31 3a a= e 32 aa = . e, portanto, a equao (2) fica ( ) ( ) 0a3 332313 =++ vavva (3) para Ra 3 . E para cada valor de ( )03 a , a igualdade (3) se escreve com solues no triviais. Dividindo (3) por ( )03 a , vem

    03 321 =+ vvv

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    3

    e da

    321 31

    31 vvv = ( 1v CL de 2v e 3v )

    ou

    312 3 vvv += ( 2v CL de 1v e 3v ) ou

    213 3 vvv += ( 3v CL de 1v e 2v ) (Estas combinaes lineares mostram que um vetor depende dos outros Por isso so dependentes (LD)). Concluso: sempre que um conjunto de vetores LD, existe vetor no conjunto que CL dos outros. A recproca tambm verdadeira, isto , se um vetor CL dos outros, o conjunto deles LD. De fato, independente dos vetores, seja 22113 vavav += ou de modo equivalente 032211 =+ vvava , e a igualdade (2) admite solues ( )0 (no caso: 13 =a ). Por isso a Propriedade Um conjunto de vetores LD se, e somente se, existir no conjunto um vetor que CL dos outros. Propriedade Todo conjunto que contm o vetor nulo LD. De fato, o conjunto { }nvvA ,...,0,...,1= LD pois a igualdade

    0.0...0.5...0 1 =++++ nvv se verifica para coeficientes no todos nulos. Um s vetor LI ou LD? Depende. Todo vetor 0v LI pois 0. =va s admite a soluo trivial 0=a . O vetor nulo, no entanto, LD porque 00. =a tem solues no triviais. Dois vetores so LI ou LD? Depende. Se um mltiplo escalar do outro, ento eles so LD. Por exemplo, o vetor ( )2,4,-6v2 = mltiplo de ( )1,2,-3v1 = pois 12 2v v= , e, portanto, 02v- 21 =+ v , o que prova serem LD. Conseqentemente, se 12 vv , para todo R , ento { }21,vv LI.

    Os grficos a seguir apresentam a interpretao geomtrica da dependncia linear de 2 vetores no 3R ( a mesma no 2R ).

    { }21,vv LD { }21,vv LI

    z

    y

    V1

    V2

    z

    y

    V1 V2

    x x

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    Trs vetores no 3R Sabe-se que dois vetores 1v e 2v no paralelos geram um plano pela origem. Se um terceiro vetor 3v estiver neste plano, isto , [ ]213 ,vvv , o conjunto { }321 ,, vvv LD. Logo, trs vetores no 3R so LD caso sejam coplanares. Em caso contrrio, o conjunto { }321 ,, vvv LI. Os grficos do a interpretao geomtrica para este caso.

    { }321 ,, vvv LD { }321 ,, vvv LI

    Uma outra maneira de verificar se 3 vetores 1v , 2v e 3v do 3R so LI ou LD, calcular o determinante da matriz

    =

    |||

    |||

    221 vvvA

    com os vetores dispostos em colunas. Se acontecer det 0A

    ento os 3 vetores so LI. Em caso contrrio, os vetores so LD. Por exemplo, so LI os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )1,2,0v2 = e ( )1,1,6v3 = pois

    det 012600120111

    =

    O mesmo raciocnio vale para o 2R quando a matriz A quadrada de ordem 2, para o 4R onde A 4x4 e, assim por diante. No 2R , por exemplo, os vetores ( )1,2v1 = e ( )2,4v2 = so LD pois

    det 04221 =

    z

    y

    V3 V2

    V1

    x

    z

    y

    V3

    V2

    V1

    x