DERIVADA

Aula 01 – Matemática II – Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

•O que você sabe sobre Derivadas?

1. Qual o significado de reta tangente?

2. Qual é a relação de derivadas com aceleração e velocidade instantâneas?

3. O que significa a derivada de uma função em um ponto?

• Utilizamos o conceito de derivadas no estudo de taxas de variações como:

• Velocidades

• Acelerações

• Produtividade

• Taxa de crescimento de população

• Taxa de infecção de uma população...

• As derivadas são interpretadas como inclinações e taxas de variação.

• Domínio de gráficos de funções e suas derivadas.

• Usamos a definição de derivadas para calcular as derivadas de funções

definidas por fórmulas.

• Trabalhamos com as regras de derivação para minimizar o tédio...

• Usamos as regras para resolver problemas envolvendo taxas de variação e

aproximação de funções.

A Derivada

• O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para

estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.

• As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.

A Derivada

• Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.

Derivada - Definição

• A expressão:

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

é chamada de quociente da diferença da função f(x).

Derivada de uma Função

• A derivada da função f(x) em relação a x é a função f ’(x) dada por:

𝑓′ 𝑥 = limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

• E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação.

• Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f ’(c) existe, ou seja, se o

limite do quociente diferença que define f ’(x) existe no ponto x = c.

Significado do sinal da Derivada f ’(x)

Se a função f é derivável em x = c,

f é crescenteem x = c

f ’(x) > 0

f é decrescenteem x = c

f ’(x) < 0

Função Derivada

𝑦 = 𝑐 𝑦′ = 0

𝑦 = 𝑥 𝑦′ = 1

𝑦 = 𝑐. 𝑓(𝑥) 𝑦′ = 𝑐. 𝑓′(𝑥)

𝑦 = ℎ 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑦′ = ℎ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)

𝑦 = ℎ 𝑥 . 𝑔(𝑥) 𝑦′ = ℎ′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 . 𝑔′(𝑥)

𝑦 =ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥)𝑦′ =

𝑔 𝑥 . ℎ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 . ℎ(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑦′ = 𝑎𝑥. ln 𝑎

Considere f(x), h(x) e g(x) como funções deriváveis:

Função Derivada

𝑦 = 𝑎𝑢 𝑦´ = 𝑎𝑢. ln 𝑎. 𝑢´

𝑦 = 𝑒𝑢 𝑦´ = 𝑒𝑢. 𝑢´

𝑦 = log𝑎 𝑢 𝑦´ =𝑢´

𝑢log𝑎 𝑒

𝑦 = ln 𝑢𝑦´ =

𝑢´

𝑢

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑦´ = cos 𝑢. 𝑢´

𝑦 = cos 𝑢 𝑦´ = −𝑠𝑒𝑛 𝑢. 𝑢´

Considere u e v como funções deriváveis:

Calcule a derivada das funções:a) 𝑦 = 𝑥−4

b)𝑦 = −2

c) 𝑦 = 𝜋𝑟2

d)𝑦 = 2𝑥

e) 𝑦 =9

𝑡

f) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3

g) 𝑦 = 𝑥9 − 5𝑥8 + 𝑥 + 12

h)𝑦 = −0,02𝑥3 + 0,3𝑥

i) 𝑦 =1

𝑡+

1

𝑡2−

1

𝑡

j) 𝑦 =𝑥5−4𝑥²

𝑥³

k) 𝑦 = 3 𝑥 +13 𝑥

Derivadas trigonométricas

FUNÇÃO FÓRMULA

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦´ = cos 𝑥

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦´ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 𝑦´ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑦´ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑦´ = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑦´ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

Calcule as derivadas a seguir:

1) 𝑓 𝑥 = 10(3𝑥2 + 7𝑥 − 3)10

2) 𝑓 𝑥 = (7𝑥2 + 6𝑥)7. ((3𝑥 − 1)4

3) 𝑓 𝑥 =3(3𝑥2 + 6𝑥 − 2)2

4) 𝑓 𝑥 =2𝑥+1

𝑥−1

5) 𝑓 𝑥 = 23𝑥2+6𝑥

6) 𝑓 𝑥 =1

3𝑒3−𝑥

7) 𝑓 𝑥 = log2(2𝑥 + 4)

8) 𝑓 𝑥 = ln(1

𝑥+

1

𝑥2)

9) 𝑓 𝑥 = cos(𝜋

2− 𝑥)

10) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛³(3𝑥2 + 6𝑥)