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Derivada

Aula 09 – Cálculo Diferencial

Professor: Éwerton Veríssimo

Derivada: Conceito Físico

• Taxa de Variação– A dosagem de um medicamento pode variar conforme

o tempo de tratamento do paciente.

– O desgaste das pastilhas do sistema de frenagem poderá variar conforme a kilometragem efetuada.

– O comprimento de uma barra de ferro poderá variar por grau de temperatura.

– Uma planta cresce de modo uniforme 2 metros por ano, isto significa que a taxa de variação da altura da planta sofrerá um incremento de 2 metros à cada ano.

Se uma função é representada graficamente por uma reta (função

afim), facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.

Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da

função.

f(b)

f(a)

a b x

y

O

f(b) - f(a)

y

b – a

x

y

x

f b f a

b am

tmv = tg =

taxa média

de variação

Coeficiente Angular de uma Reta

f(b) - f(a)

y

xO

y

a

f(b)

b

f(a)b – a

x

Derivada: Conceito Geométrico

y

x

f b f a

b am

y

x

tmv =

Observe que a taxa média de variaçãode y em relação a x é dada por:

O

x-x0x0

f(x)

x

f(x0)

y

f(x) - f(x0)

xO

y Vamos, então, estudar Derivadas!

0

0

xx0Δx0

xx

)f(xf(x)lim

Δx

Δylim)(x' f

0

mtgα)(x' f 0

)x(x).(x' f)f(xf(x) 00 x

)x'.(xy )f(xy 00

)xm(x)f(xf(x) 00

Derivada: Conceito Geométrico

Equação da Reta

Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2,

no ponto de abscissa 1/2.

)).((')( 00 xxxfxfy y(ºC)

x0 = 12

y

y

x(h)

f(1/2) = 1/4

x

2)('2

1'

xxf

fdeCálculo

2

1.

2

1'

2

1xffy

4

1

2

1

2

1 :

2

fonde

2

1.1

4

1

:tan

xy

toPor

01-4y-4x

12

1.2

2

1'

f

O limite da taxa de variação, quando ,é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x. Dessa forma, a derivada de uma função f(x) no ponto será dada por:

0x

x

xfxxfxf

x

)()(lim)(' 00

00

Derivada no Ponto

0x

0

00

)()(lim)('

0 xx

xfxfxf

xx

Ou ainda:

Exercícios

1. Suponha que a temperatura de uma sala seja dada pela função . Determine a derivada da função, usando a definição, no ponto x=1.

2. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa x=1.

25²3)( xxxf

²)( xxf

REGRAS DE DERIVAÇÃO

PARTE 1

Regras de Derivação

• Derivada de uma Constante

– Exemplo: Derive a função f(x)=5.

cy

0'y

5)( xf

0)(' xf


• Regra da Cadeia

– Exemplo: Derivar a função

auy

'..' 1 uuay a3)( xxf

3)( xxf

23)( xxf


• Regra da Soma e da Subtração


vuy

''' vuy

523)( 23 xxxxf

229)(' 2 xxxf

vuy

''' vuy

)'5()'2()'()'3()(' 23 xxxxf


• Regra do Produto entre duas funções


''' .. vuvuyvuy

2323)( 23 xxxxxf

32²³323229)(' 2 xxxxxxxf


• Regra do Produto entre uma constante e uma função


'' .. ukyuky

xxxxf 2237)( 34

2²6³127)(' xxxf


• Regra do Quociente


2

''' ..

v

vuvuy

v

uy

xx

xxxf

5

13²)(

5

25

45

5

55.13²5.32)('

xx

xxxxxxxf

Exercícios

1. Determine a derivadas das funções.

a.

45 213)( xxxf b.

175

226)( 234 xxxxxf

c.

d.

e.

²³5

1035)(

2

xx

xxxf

²

8

³

2)(

xxxf

3234 1752)( xxxxxf

REGRAS DE DERIVAÇÃO

PARTE 2

Derivada de Funções Exponenciais• Derivada de uma função de base e.


'.' ueyey uu

53 xey

Observe que: 53 xu

Logo: )'53.(' 53 xey x

5353 3'3.' xx eyey

Derivada de FunçõesExponenciais• Derivada de uma função de base a


'.ln.' uaayay uu

55²35 xxy

Observe que: 55²3 xxu

Logo: )'55²3.(5ln.5' 55²3 xxy xx

)56.(5ln.5' 55²3 xy xx

Derivada da Função Logarítmica• Derivada da Função Logarítmica de base a


e

a

u

au

uyy log

''log

105³4

2log xxy

Observe que:

Logo:

1054 3 xxu

e

xx

xy 2log

105³4

5²12'

Derivada da Função Logarítmica• Derivada da Função Logarítmica de base e

(logaritmo neperiano).


u

uyuy

''ln

)136ln( xy

Observe que:

Logo:

136 xu

136

6'

136

)'136('

xy

x

xy

Derivada de FunçõesTrigonométricas• Derivada da Função Seno


cosu.u'y'senuy

)54( 23 xxseny

Observe que:

Logo:

54 23 xxu

)'54).(54cos(' 2323 xxxxy

)83).(54cos(' 223 xxxxy

Derivada de FunçõesTrigonométricas• Derivada da Função Cosseno


senu.u'y'uy cos

)510cos( 2 xxy

Observe que:

Logo:

5102 xxu

5)'10x5).(x10xsen(xy' 22

10)'5).(2x10xsen(xy' 2

Derivada de Funções Trigonométricas• Derivada da Função Tangente


u.u'secy'tguy 2

xtgy 8

Observe que:

Logo:

xu 8

)'sec²8x.(8xy'

8.sec²8xy'sec²8x.8y'

Derivada de Funções Trigonométricas• Derivadas das Demais Funções

Trigonométricas

u.u'cosecy'cotguy 2

'secu.tgu.uy'secuy

gu.u'cosecu.coty'cossecuy

Exercícios

3. Determine a derivada das funções.

a. xcossen5xf(x) 3

b. 3cosxtg2xf(x)

c. xtgf(x) 2

d.

)13(2 2 xxcosxsenf(x)e.

132 xtgsenxf(x)

2tgxf(x)

f.

Exercícios


.cos3xef(x) 2xa.

b.

c.

d.

e.

3cosxtg2xlnf(x)

cos3xsenf(x)

87²3 xxcos2xsenx e3f(x)

25²3)( 2 xxtgexf xsen

)55sec(3²2ln)( xxxff.

Derivada de Funções Trigonométricas Inversas• Derivada da função arco seno


21

'

u

uy'arcsenuy

)32( xarcseny

22321

2'

)32(1

'32'

xy

x

xy



2u1

u'y'arccosuy

)arccos(10xy

22 1001

10'

)10(1

'10'

xy

x

xy



21 u

u'y'arctguy

)xxarctg(y 389 2

2222

'2

)389(1

818'

)389(1

389'

xx

xy

xx

xxy

Derivada de Funções Trigonométricas Inversas• Derivada das demais funções inversas

trigonométricas

21 u

u'y'arccotguy

1u.u

u'y'arcsecuy

2

1u.u

u'y'arccosecuy

2

Exercícios


a.

b.

c.

d.

t.arccos3tf(t)

2arcsenxf(x)

xarctgf(x)

xxarctgf(x) 53 2

Exercício

6. Determine a derivada segunda das funções.

a.

b.

c.

d.

1²3)( 4 xxxxf

xxf ln)(

³)( xsenxf

³

1²5)(

xxxf

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