Derivadas das Funções Trigonométricas...

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

1.Funções trigonométricas

2.Funções circulares inversas

3.Derivadas das funções trigonométricas inversas

4.Exemplos

3

1. Funções trigonométricas

Vamos apresentar o comportamento dasfunções seno, cosseno, tangente, cotangente,secante e cossecante.

4

1.1. Função seno

Chama-se função seno afunção definida de ℜ em ℜ porf(x) = sen x.

5

1.1. Função seno

Para analisar o compor-tamento da função seno,imagine que a extremidade Pde um arco, partindo daorigem, percorra a circunfe-rência trigonométrica no sen-tido anti-horário.

6

1.1. Função seno

Nesse suposto desloca-mento da extremidade do arco,observamos que:

• De 0 a π/2 o seno cresce de0 a 1.

• De π/2 a π o seno decrescede 1 a 0.

• De π a 3π/2 o seno decrescede 0 a -1.

• De 3π/2 a 2π o seno crescede -1 a 0.

7

1.1. Função seno

Supondo que a extremidade P continue se deslocandoindefinidamente, a cada nova volta na circunferênciatrigonométrica o seno assumirá, em idênticas condições,todos os seus valores da primeira volta. Numa linguagemsimples, podemos dizer que a função f(x) = sen x repete-seperiodicamente de 2π em 2π.

8

1.1. Função seno

Na linguagem matemática escrevemos:

ou ainda

sen ( 4 ) sen ( 2 ) sen ( ) sen ( 2 ) sen ( 4 )x x x x xπ π π π= − = − = = + = + =… …

, sen sen ( 2 )x e k x x k π∀ ∈ ∀ ∈ = + ⋅ℝ ℤ

9

1.1. Função seno

Então dizemos que: “A função f(x) = sen (x) é umafunção periódica de período igual a 2π”. De um modo geral,uma função f é denominada periódica sempre que existe umnúmero T > 0, tal que, para todo x do domínio de f tem-se:

( ) ( )f x f x T= +

10

1.1. Função seno

O menor valor (positivo) de T que satisfaz essaigualdade é chamado período da função. O gráfico de sen(x)é chamado senóide.

[ ]( )

( ) senIm( ) 1;1

D ff x x

f

== ⇒ = −

ℝ

11

1.2. Função cosseno

Assim como analisamos afunção seno, vamos analisar ocomportamento de f(x) =cos(x) para x variando de 0 a2π.

• De 0 a π/2 o cosseno de-cresce de 1 a 0.

• De π/2 a π o cosseno de-cresce de 0 a -1.

• De π a 3π/2 o cosseno crescede -1 a 0.

• De 3π/2 a 2π o cossenocresce de 0 a 1.

12


Da segunda volta emdiante, o cosseno passa arepetir, em idênticas condi-ções, os valores da primeiravolta. Isto é,

Então dizemos que afunção f(x) = cos (x) é umafunção periódica de períodoigual a 2π.

, cos cos ( 2 )x e k x x k π∀ ∈ ∀ ∈ = + ⋅ℝ ℤ

13


O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide.Note, na figura, que a cossenóide nada mais é do que asenóide deslocada de π/2 unidades, na direção horizontal,para a “esquerda”. Essa característica da cossenóide podeser traduzida assim:

14


, cos sen2

x x xπ ∀ ∈ = +

ℝ

[ ]( )

( ) cosIm( ) 1;1

D ff x x

f

== ⇒ = −

ℝ

15

1.3. Função tangente

Chama-se função tangente a função definida por

( ) tg , ,2

f x x x k kπ π= ≠ + ∈ℤ

16


A função tangente também é periódica. Porém,enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a2π, a função tangente tem período igual a π.

17


Isso significa que a cada meia-volta a funçãotangente repete-se em idênticas condições. Isto é,

, tg tg ( )2

x e k x k x x kπ π π ∀ ∈ ∀ ∈ ≠ + ⇒ = +

ℝ ℤ

18


• De 0 a π/2 a tangente cresce de 0 a +∞.

• De π/2 a π a tangente cresce de -∞ a 0.

19


Daí em diante, a cada meia-volta, a tangentecomporta-se exatamente como na primeira meia-volta.

20


( ) / ( )( ) tg 2

Im( )

D f x x k kf x x

f

π π = ∈ ≠ + ∈ = ⇒ =

ℝ ℤ

ℝ

21

1.4. Funções cotangente, se-cante e cossecante

Por serem menos importantes que as demaisfunções trigonométricas, serão apresentadas deforma resumida, enfatizando-se o domínio e oconjunto-imagem das funções cotangente, secantee cossecante.

22


{ }( ) / ( )( ) cotg

Im( )

D f x x k kf x x

f

π = ∈ ≠ ∈= ⇒ =

ℝ ℤ

ℝ

P = π

23


P = 2π

{ }

( ) / ( )2( ) sec

Im( ) / 1 1

D f x x k kf x x

f y y ou y

π π = ∈ ≠ + ∈ = ⇒ = ∈ ≤ − ≥

ℝ ℤ

ℝ

24


P = 2π

{ }{ }

( ) / ( )( ) cossec

Im( ) / 1 1

D f x x k kf x x

f y y ou y

π = ∈ ≠ ∈= ⇒ = ∈ ≤ − ≥

ℝ ℤ

ℝ

25

2. Funções circulares inversas

As funções trigonométricas inversas sãotambém conhecidas como funções arco. Nessanotação:

sen-1 x = arc sen x cos-1 x = arc cos x

tg-1 x = arc tg x cotg-1 x = arc cotg x

sec-1 x = arc sec x cossec-1 x = arc cossec x

26

7.1. Função arco-seno

A função de domínio ℜ definida porf(x) = sen x não admite função inversa por não serinjetora(*).

Nota: Uma função f é chamada injetora se cada elemento de seu conjunto-imagem é imagem de um único elemento do domínio.

27


Porém, restringindo o domínio da funçãoseno ao intervalo [- π/2, π/2] é possível definir suainversa, que é chamada função arco-seno e édenotada pelo símbolo arc sen.

Por exemplo, a sentença

significa:

1arc sen

6 2π =

1 é o arco cujo seno é igual a

6 2π

28


Definição:

Para , a função arco-seno é definida pela sentença

y = arc sen x ⇔ sen y = x

[ ]1; 1 e ;2 2

x yπ π ∈ − ∈ −

29


Veja estes exemplos:

Este esquema mostra que a função arco-seno é a inversa da função seno:

1 1) arc sen , pois sen

6 2 6 2

) - arc sen( 1), pois sen 12 2

a

b

π π

π π

= =

= − − = −

30


Gráfico de f(x) = arc sen x

31


Se considerarmos a função seno restrita aointervalo [-π/2, π/2] e com contradomínio [-1, 1],isto é,

g: [-π/2, π/2] → [-1, 1]

tal que g(x) = sen x, a função g admitirá inversa eg-1 será denominada função arco-seno. Notemosque g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [-π/2,π/2] e associa a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [-π/2, π/2]tal que y é um arco cujo seno é x (indica-se y = arcsen x). Temos, portanto, que:

y = arc sen x ⇔ sen y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2

32


33

7.2. Função arco-cosseno

A exemplo da função seno, a função cossenonão admite inversa quando seu domínio é oconjunto ℜ. Assim, para definir a inversa dafunção cosseno, vamos restringir o seu domínio aointervalo [0; π].

34


A inversa da função cosseno é chamadafunção arco-cosseno e é denotada por arc cos.

Definição:

Para , a função arco-cosse-no é definida pela sentença

y = arc cos x ⇔ cos y = x

[ ] [ ]1; 1 e 0;x y π∈ − ∈

35


Veja estes exemplos:

Este esquema mostra que a função arco-cosseno é a inversa da função cosseno:

( )

3 3) arc cos , pois cos

6 2 6 2

) arc cos( 1), pois cos 1

a

b

π π

π π

= =

= − = −

36


Gráfico de f(x) = arc cos x

37


Se considerarmos a função cosseno restrita ao intervalo [0, π] e com contradomínio [-1, 1], isto

é,

g: [0, π] → [-1, 1]

tal que g(x) = cos x, a função g admitirá inversa eg-1 será denominada função arco-cosseno. Notemosque g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [0, π] eassocia a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [0, π] tal que y éum arco cujo cosseno é x (indica-se y = arc cos x).Temos, portanto, que:

y = arc cos x ⇔ cos y = x e 0 ≤ y ≤ π

38


39

7.3. Função arco-tangente

Para definir o inverso da função tangente,vamos restringir o inverso da mesma ao intervalo(-π/2, π/2). Observe o gráfico seguinte e note que,nesse intervalo, a função tangente é bijetora.

40


A inversa da função tangente é chamadafunção arco-tangente e é denotada por arc tg.

Definição:

Para , a função arco-tan-gente é definida por

y = arc tg x ⇔ tg y = x

e ;2 2

x yπ π ∈ ∈ −

ℝ

41


Observe estes exemplos:

( )) arc tg 1 , pois tg 14 4

) - arc tg( 3), pois tg 33 3

a

b

π π

π π

= =

= − − = −

42


Gráfico de f(x) = arc tg x

43


Se considerarmos a função tangenterestrita ao intervalo aberto (-π/2, π/2) e comcontradomínio ℜ, isto é,

g: (-π/2, π/2) → ℜ

tal que g(x) = tg x, a função g admitirá inversa e g-1

será denominada função arco-tangente. Notemosque g-1 tem domínio ℜ, contradomínio (-π/2, π/2) eassocia a cada x ∈ ℜ um y ∈ (-π/2, π/2) tal que y éum arco cuja tangente é x (indica-se y = arc tg x).Temos, portanto, que:

y = arc tg x ⇔ tg y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2

44


45

2.4. Quadro resumo

Atenção! Nenhuma função trigonométricapossui inversa, o que fazemos aqui é a modificaçãodo domínio destas funções, criando assim novasfunções que sejam inversíveis.

46

2.4. Quadro resumo

Função trigonométrica Função trigonométrica com domínio modificado Inversa trigonométrica

y = sen xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: [-1, 1]

y = sen xDomínio: [- π/2, π/2]Imagem: [-1, 1]

y = sen-1 x = arc sen xDomínio: [-1, 1]Imagem: [- π/2, π/2]

y = cos xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: [-1, 1]

y = cos xDomínio: [0, π]Imagem: [-1, 1]

y = cos-1 x = arc cos xDomínio: [-1, 1]Imagem: [0, π]

y = tg xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ π/2 + k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, +∞)

y = tg xDomínio: (- π/2, π/2)Imagem: (-∞, +∞)

y = tg-1 x = arc tg xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: (- π/2, π/2)

y = cotg xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, +∞)

y = cotg xDomínio: (0, π)Imagem: (-∞, +∞)

y = cotg-1 x = arc cotg xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: (0, π)

y = sec xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ π/2 + k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)

y = sec xDomínio: [-π, -π/2) U [0, π/2)Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)

y = sec-1 x = arc sec xDomínio: (-∞, 1] U [1, + ∞)Imagem: [-π, -π/2) U [0, π/2)

y = cossec xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)

y = cossec xDomínio: (-π, -π/2] U (0, π/2]Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)

y = cossec-1 x = arc cossec xDomínio: (-∞, 1] U [1, + ∞)Imagem: (-π, -π/2] U (0, π/2]

47

3. Derivadas das funções trigo-nométricas inversas

Aqui, usaremos a diferenciação implícitapara determinar as derivadas das funçõestrigonométricas inversas, supondo que essasfunções sejam diferenciáveis.

48

3.1. Derivada de arc sen x

Lembre-se que a função inversa da funçãoseno é dada por sen-1 x = arc sen x.

y = sen-1 x significa sen y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2

Diferenciando sen y = x implicitamente emrelação a x obtemos

Agora cos y ≥ 0, uma vez que -π/2 ≤ y ≤ π/2,logo:

1cos 1

cosdy dy

ydx dx y

= ⇒ =

2 2cos 1 sen 1y y x= − = −

49

3.1. Derivada de arc sen x

Portanto

2

1 1cos 1

dydx y x

= =−

( )1

2

1sen

1

dx

dx x

− =−

50

3.2. Derivada de arc cos x

Lembre-se que a função inversa da funçãocosseno é dada por cos-1 x = arc cos x.

y = cos-1 x significa cos y = x e 0 ≤ y ≤ π

Diferenciando cos y = x implicitamente emrelação a x obtemos

Agora sen y > 0, uma vez que 0< y< π, logo:

1sen 1

sendy dy

ydx dx y

− = ⇒ = −

2 2sen 1 cos 1y y x= − = −

51

3.2. Derivada de arc cos x

Portanto

2

1 1sen 1

dydx y x

= − = −−

( )1

2

1cos

1

dx

dx x

− = −−

52

3.3. Derivada de arc tg x

Lembre-se que a função inversa da funçãotangente é dada por tg-1 x = arc tg x.

y = tg-1 x significa tg y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2

Diferenciando tg y = x implicitamente emrelação a x obtemos

Da identidade sec2 y = 1 + tg2 y, temos

22

1sec 1

secdy dy

ydx dx y

= ⇒ =

2 2 2sec 1 tg 1y y x= + = +

53

3.3. Derivada de arc tg x

Portanto

2 2

1 1sec 1

dydx y x

= =+

( )12

1tg

1d

xdx x

− =+

54

3.4. Derivada de arc cotg x

Lembre-se que a função inversa da funçãocotangente é dada por cotg-1 x = arc cotg x.

y = cotg-1 x significa cotg y = x e 0 ≤ y ≤ π

Diferenciando cotg y = x implicitamente emrelação a x obtemos

Da identidade cossec2 y = 1 + cotg2 y, temos

22

1cossec 1

cossecdy dy

ydx dx y

− = ⇒ = −

2 2 2cossec 1 1y cotg y x= + = +

55

3.4. Derivada de arc cotg x

Portanto

2 2

1 1cossec 1

dydx y x

= − = −+

( )12

1cotg

1d

xdx x

− = −+

56

3.5. Derivada de arc sec x

Lembre-se que a função inversa da funçãosecante é dada por sec-1 x = arc sec x.

y = sec-1 x significa sec y = x e

{y ∈ ℜ/ [- π, -π/2) U [0, π/2)}

Diferenciando sec y = x implicitamente emrelação a x obtemos

Da identidade tg2 y = sec2 y - 1, temos

1sec tg 1

sec tgdy dy

y ydx dx y y

= ⇒ =

2 2tg sec 1 1y y x= − = −

57

3.5. Derivada de arc sec x

Portanto

2

1 1sec tg 1

dydx y y x x

= =−

( )1

2

1sec

1

dx

dx x x

− =−

58

3.6. Derivada de arc cossec x

Lembre-se que a função inversa da funçãocossecante é dada por cossec-1 x = arc cossec x.

y = cossec-1 x significa cossec y = x e

{y ∈ ℜ/ (-π, -π/2] U (0, π/2]}

Diferenciando cossec y = x implicitamenteem relação a x obtemos

Da identidade cotg2 y = cossec2 y - 1, temos

1cossec cotg 1

cossec cotgdy dy

y ydx dx y y

− = ⇒ = −

2 2cotg cossec 1 1y y x= − = −

59

3.6. Derivada de arc cossec x

Portanto

2

1 1cossec cotg 1

dydx y y x x

= − = −−

( )1

2

1cossec

1

dx

dx x x− = −

−

60

3.7. Resumo

Se u for uma função de x, derivável,

( )1

2

1cos

1

d duu

dx dxu− = −

−

( )1

2

1sen

1

d duu

dx dxu− =

−

( )12

1tg

1d du

udx u dx

− =+

( )12

1cotg

1d du

udx u dx

− = −+

( )1

2

1sec

1

d duu

dx dxu u− =

−

( )1

2

1cossec

1

d duu

dx dxu u− = −

−

61

4. Exemplos

Exemplo 1: Derive y = sen-1 x2.

( )

( )( )

( )

1

2

1 2

22

1 2

4

1sen

11

sen 21

2sen

1

d duu

dx dxud

x xdx x

d xx

dx x

−

−

−

=−

=−

=−

62

4. Exemplos

Exemplo 2: Derive 1 1( ) tg

1f x

x−=

+

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

12 22

12 2

2 2

12 2

2

2

1

1 1 1tg

1 111

1

1 1 1tg

1 1 11

1 1

1 1 1tg

2 1 11 11

11tg

1

d duu

dx u dx xx

ddx x x x

x x

dx xdx x x

x

xddx x

−

−

−

−

= = ⋅ − + + + +

= ⋅ − + + + +

+ +

= ⋅ − + + ++ +

+

+ = + ( )2 2

12 2 1x x x

⋅ −+ + +

2

12 2x x

= − + +

63

4. Exemplos

Exemplo 3: Derive 3 1cotg3x

y x −=

2 1 32

32 1

2

2 1

1 13 cotg

3 31

9

13 cotg

93 39

93 cotg

3

dy xx x

xdx

dy x xx

xdx

dy xx

dx

−

−

−

= ⋅ + ⋅ − ⋅ +

= ⋅ − ⋅ +

= ⋅ −3

2

19 3

xx

⋅+

32 1

2

33 cotg

3 9dy x x

xdx x

−= ⋅ −+

64

4. Exemplos

Exemplo 4: Ache dy/dx se 1ln ( ) tgx

x yy

− + =

2 22 2

2

2

2 2 2

2

1 11 1 11

11

1 11

dy dy dyy x y xdy dx dx dx

xx y dx y x y yxyy

dy dy dyy x ydx dx dx

y xx y y x yy

⋅ − ⋅ + − ⋅ + = ⋅ ⇒ = ⋅ + + ++

+ − += ⋅ ⇒ =

++ + 2 2 2

dyy x

dxy x y

−⋅

+

22 2

1dy dy

y xdx dx y

x y y x

+ −= ⇒

+ + ( )2 2 2 2dyx y x xy y

dx+ + + ⋅ = + ( )

( ) ( ) ( )( )

2

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2

dyx xy

dx

dy dy dyy x x xy xy x x xy y xy x

dx dx dxx y xdy xy x dy

dx x xy y dx x xy y

− + ⋅

+ ⋅ + + ⋅ = − ⇒ + + ⋅ = −

−−= ⇒ =+ + + +

65

4. Exemplos

Exemplo 5: Derive a função ( )1( ) sec 3 xf x e−=

( )( )'

2

'

1( ) 3

3 3 1

1( )

3

x

x x

x

f x ee e

f xe

= ⋅−

=( )2

33 1

x

x

ee

⋅−

( )'

2

1( )

9 1xf x

e=

−

66

4. Exemplos

Exemplo 6: Derive a função 1 1( ) cossecf x x

x−=

' 122

2' 1

22

2

' 1

2

' 1

2

1 1 1( ) cossec

1 11

1 1( ) cossec

1

1 1( ) cossec

1

1( ) cossec

1

f x xx x

x x

xf x

x xx

x

f xx x

x

xf x

x x

−

−

−

−

= + − ⋅ −

−

− = + ⋅ − −

= + −

= +

−

67

4. Exemplos

No exemplo a seguir, um observador estáolhando um quadro colocado em uma parede. Veja afigura a seguir. Quando o observador estáafastado da parede, o ângulo segundo o qual ele vêo quadro é pequeno. À medida que o observador seaproxima da parede, o ângulo irá aumentando, atéatingir um valor máximo. Então, se o observadorcontinuar se aproximando, o ângulo diminuirá.Quando o ângulo for máximo, diremos que oobservador tem a “melhor visão” do quadro.

68

4. Exemplos

Exemplo 7: Um quadro com 1 m de altura écolocado em uma parede de tal forma que sua baseesteja 2 m acima do nível dos olhos de umobservador. Quantos metros o observador deveráse afastar da parede, para obter a melhor visão doquadro, isto é, para que o ângulo segundo o qual elevê o quadro seja o máximo?

69

4. Exemplos

Seja x m a distância do observador até aparede, θ a medida em radianos do ângulo segundoo qual o observador vê o quadro, α a medida doângulo em radianos, segundo o qual o observador vêa parte da parede acima do nível dos olhos e abaixodo quadro, e β = α + θ.

Queremos encontrar o valor de x que irátornar θ um máximo absoluto. Como x está nointervalo (0, +∞), o valor máximo absoluto de θ seráum valor máximo relativo.

70

4. Exemplos

Vemos, da figura, que:

Como

Substituindo esses valores de α e β narelação θ = β - α.

cotg cotg3 2x x

eβ α= =

0 e 02 2π πβ α< < < <

1 1cotg e cotg3 2x xβ α− −= =

-1 -1cotg cotg3 2x x= −θ

71

4. Exemplos

Derivando com relação a x, teremos:

Equacionando , iremos obter

2 2 2 2

1 13 23 2

9 41 1

3 2

ddx x xx x

θ = − + = − ++ + + +

2 2

2

2

2(9 ) 3(4 ) 0

(18 12) 0

6

2,45

x x

x

x

x

+ − + =− + − =

=≅

0ddx

θ =

2 2

2

2

2(9 ) 3(4 ) 0

(18 12) 0

6

2,45

x x

x

x

x

+ − + =− + − =

=≅

72

4. Exemplos

A solução -2,45 foi rejeitada por não estarno intervalo (0, +∞). Os resultados do teste daderivada primeira estão na tabela abaixo. Como ovalor máximo relativo de θ é um valor máximoabsoluto, concluímos que o observador deve ficar aaproximadamente 2,45 m da parede.

Conclusão

0 < x < 2,45 +

x = 2,45 0 (θ tem um valor máximo relativo)

2,45 < x < ∞∞∞∞ -

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