Derivadas de Estabilidade: Adimensionalização · Objectivo Necessidade relacionar derivadas de...

Derivadas de Estabilidade:Adimensionalização

João Oliveira

Departamento de Engenharia Mecânica,Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial

Instituto Superior Técnico

Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial

Versão de 7 de Dezembro de 2010

João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 1 / 35

Sumário

Objectivo

Derivadas de Estabilidade Dimensionais

Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas

Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada

Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral


Objectivo

Sumário

Objectivo






Objectivo

Necessidade relacionar derivadas de estabilidadedimensionais e adimensionais

ñ As equações do movimento (para pequenasperturbações) foram escritas na forma dimensional.

ñ Logo, usam as derivadas de estabilidade na formadimensional.

ñ Mas as derivadas são obtidas muitas vezes na formaadimensional (por exemplo, são obtidas por testes demodelos em túnel de vento).

ñ Portanto, é necessário relacionar as derivadas deestabilidade dimensionais e adimensionais.



Sumário

Objectivo







Derivadas longitudinaisAs forças e momentos longitudinais correspondente apequenas perturbações são dados por:

∆X = Xu∆u+Xww +Xww +Xqq +∆Xc∆Z = Zu∆u+ Zww + Zww + Zqq +∆Zc∆M = Mu∆u+Mww +Mww +Mqq +∆Zc

Xu =∂X∂u

Xw =∂X∂w

Xq =∂X∂q≈ 0 Xw =

∂X∂w

≈ 0

Zu =∂Z∂u

Zw =∂Z∂w

Zq =∂Z∂q

Zw =∂Z∂w

Mu =∂M∂u

Mw =∂M∂w

Mq =∂M∂q

Mw =∂M∂w



Derivadas lateraisAs forças e momentos laterais correspondente à pequenaperturbação são dados por:

∆Y = Yvv + Ypp + Yrr +∆Yc∆L = Lvv + Lpp + Lrr +∆Lc∆N = Nvv +Npp +Nrr +∆Nc

Yv =∂Y∂v

Yp =∂Y∂p

Yr =∂Y∂r

Lv =∂L∂v

Lp =∂L∂p

Lr =∂L∂r

Nv =∂N∂v

Np =∂N∂p

Nr =∂N∂r


Derivadas de Estabilidade Adimensionais

Sumário

Objectivo






Derivadas de Estabilidade Adimensionais Adimensionalização das variáveis dinâmicas

Adimensionalização das variáveis dinâmicas

(Caso de pequenas perturbações)

u = uu0

v = vu0

w = wu0

q = q2u0c

p = p2u0b

r = r2u0b

ˆα = α2u0c



Coeficientes adimensionais longitudinais

Movimento longitudinal

Cx =X

12ρV2S

Cz =Z

12ρV2S

Cm =M

12ρV2Sc

Movimento lateral

Cy =Y

12ρV2S

Cl =L

12ρV2Sb

Cn =N

12ρV2Sb



Derivadas adimensionais longitudinais

Cx = Cxuu+ Cxαα+ Cxq q + Cxα ˆα

Cz = Czuu+ Czαα+ Czq q + Czα ˆα

Cm = Cmuu+ Cmαα+ Cmq q + Cmαˆα

Cxu =∂Cx∂u

Cxα =∂Cx∂α

Cxq =∂Cx∂q

Cxα =∂Cx∂ ˆα

Czu =∂Cz∂u

Czα =∂Cz∂α

Czq =∂Cx∂q

Czα =∂Cz∂ ˆα

Cmu =∂Cm∂u

Cmα =∂Cm∂α

Cmq =∂Cm∂q

Cmα =∂Cm∂ ˆα



Derivadas adimensionais laterais

Cy = Cyββ+ Cyp p + Cyr rCl = Clββ+ Clp p + Clr rCn = Cnββ+ Cnp p + Cnr r

Cyβ =∂Cy∂β

Cyp =∂Cy∂p

Cyr =∂Cy∂r

Clβ =∂Cl∂β

Clp =∂Cl∂p

Clr =∂Cl∂r

Cnβ =∂Cn∂β

Cnp =∂Cn∂p

Cnr =∂Cn∂r


Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais

Sumário

Objectivo






Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z

Força segundo z

Z = 12ρV2SCz

Note-se que velocidade da aeronave é dada por:

V2 = u2 + v2 +w2

e, por outro lado,

u = u0 +∆uv0 = 0

w0 = 0



Derivada relativamente a u

Zu ≡(∂Z∂u

)0︸︷︷︸

estado estacionário

No estado estacionário, u = u0, v = 0 e w = 0. Logo

Zu ≡(∂Z∂u

)0= ∂∂u

[12ρV 2SCz

]0

=[∂∂u

(12ρV 2S

)]0(Cz)0 +

(12ρV 2S

)0

(∂Cz∂u

)0

= 12ρ(2u0)S (Cz)0 +

12ρu2

0S(∂Cz∂u

)0

= ρu0S (Cz)0 +12ρu2

0S(∂Cz∂u

)0



Derivada relativamente a u (2)

No estado estacionário: Z0 = −mg cosθ0. Logo:

(Cz)0 =Z0

12ρSu

20

= −mg cosθ012ρSu

20

= −CW0 cosθ0.

E também:(∂Cz∂u

)0=(∂u∂u

)0

(∂Cz∂u

)0=(∂ uu0

∂u

)0

(∂Cz∂u

)0= 1u0Czu .




Finalmente, substituímos

(Cz)0 = −CW0 cosθ0 e(∂Cz∂u

)0= 1u0CZu

na equação Zu = ρu0S (Cz)0 +12ρu2

0S(∂Cz∂u

)0,

obtendo

Zu = −ρu0S cosθ0CW0 +12ρSu0Czu



Derivada relativamente a w

Zw ≡(∂Z∂w

)0︸︷︷︸


No estado estacionário, u = u0, v = v0 = 0 e w = w0 = 0. Logo

Zw ≡(∂Z∂w

)0= ∂∂w

[12ρV 2SCz

]0

=[∂∂w

(12ρV 2S

)]0(Cz)0 +

(12ρV 2S

)0

(∂Cz∂w

)0

= 12ρ(2w0︸︷︷︸

=0

)S (Cz)0 +12ρu2

0S(∂Cz∂w

)0

= 12ρu2

0S(∂Cz∂w

)0



Derivada relativamente a w (2)

Note-se que(∂Cz∂w

)0=(∂w∂w

)0

(∂Cz∂w

)0=(∂ wu0

∂w

)0

(∂Cz∂w

)0= 1u0

(∂Cz∂w

)0.

Por outro lado, w = α para pequenas perturbações.

Logo(∂Cz∂w

)0≡ Czα .

Zw =12ρSu0Czα



Derivada relativamente a w

Zw ≡(∂Z∂w

)0︸︷︷︸


Zw ≡(∂Z∂w

)0= ∂∂w

[12ρV 2SCz

]0

=[∂∂w

(12ρV 2S

)]0(Cz)0 +

(12ρV 2S

)0

(∂Cz∂w

)0

= 0+ 12ρu2

0S(∂Cz∂w

)0



Derivada relativamente a w (2)

Para pequenas perturbações: w = wu0= αx ⇒ w = u0αx

Por outro lado: ˆαx =αx2u0c

Logo(∂Cz∂w

)0= 1u0

(∂Cz∂α

)0= 1u0

c2u0

(∂Cz∂ ˆα

)0= c

2u20Cz ˆα

Zw =14ρScCzα



Derivada relativamente a q

Zq ≡(∂Z∂q

)0︸︷︷︸


Zq ≡(∂Z∂q

)0

= ∂∂q

[12ρV 2SCz

]0

=[∂∂q

(12ρV 2S

)]0

(Cz)0 +(

12ρV 2S

)0

(∂Cz∂q

)0

= 0+ 12ρu2

0S(∂Cz∂q

)0



Derivada relativamente a q (2)

Mas: q = q2u0c

Logo

(∂Cz∂q

)0

= c2u0

(∂Cz∂q

)0

= c2u2

0Czq

Zq =14ρu0ScCzq


Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo x

Derivadas da força segundo x

Procede-se de forma idêntica ao caso anterior, mas com

X = 12ρV2SCx

Note-se que agora

X0 =mg sinθ0 ⇒ Cx0 = CW0 sinθ0



Derivada relativamente a u

Xu ≡(∂X∂u

)0= ∂∂u

[12ρV 2S Cx

]0

=[∂∂u

(12ρV 2S

)]0(Cx)0 +

(12ρV 2S

)0

(∂Cx∂u

)0

= ρu0S (Cx)0 +12ρu2

0S(∂Cx∂u

)0

Agora Cx0 = CW0 sinθ0 e também:

(∂Cx∂u

)0=(∂u∂u

)0

(∂Cx∂u

)0=(∂ uu0

∂u

)0

(∂Cx∂u

)0= 1u0Cxu .




Substituindo

(Cz)0 = CW0 sinθ0 e(∂Cx∂u

)0= 1u0Cxu

em Xu = ρu0S (Cx)0 +12ρu2

0S(∂Cx∂u

)0, obtém-se

Xu = ρu0S sinθ0 CW0 +12ρSu0 Cxu



Outras derivadas

Para as outras derivadas procede-se exactamente comopara o caso das derivadas da força segundo z, obtendo-se:

Xw =12ρSu0Cxα

Xw =14ρScCxα

Xq =14ρu0ScCxq


Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas do momento de picada

Derivadas do momento de picada

Neste caso

M = 12ρV2ScCm

Por outro lado M0 = 0⇒ (Cm)estado estacionário = 0. Logo:

Mu =12ρSu0cCmu

Mw =12ρSu0cCmα

Mq =14ρSu0c2Cmq

Mw =14ρSc2Cmα


Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais

Sumário

Objectivo






Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de rolamento

Momento de rolamento

L = 12ρV2Sb Cl

No estado estacionário: L0 = 0⇒ Cl0 = 0,

e também v0 = 0 e p0 = r0 = 0.

Por outro lado, para pequenas perturbações:

β = arcsinvV≈ vu0= v



Derivada em ordem a v

Lv ≡(∂L∂v

)0= ∂∂v

[12ρV 2SbCl

]0

=[∂∂v

(12ρV 2Sb

)]0Cl0 +

(12ρV 2Sb

)0

(∂Cl∂v

)0

= 0+ 12ρu2

0Sb(∂Cl∂v

)0

Por outro lado,(∂Cl∂v

)0=(∂v∂v

)0

(∂Cl∂v

)0= 1u0Clβ .

Lv =12ρu0Sb Clβ



Derivada em ordem a p

Lp ≡(∂L∂p

)0

=[∂∂p

(12ρV 2Sb

)]0

Cl0 +(

12ρV 2Sb

)0

(∂Cl∂p

)0

= 0+ 12ρu2

0Sb(∂Cl∂p

)0

Por outro lado, como p = p2u0

b

:

(∂Cl∂p

)0

=(∂p∂p

)0

(∂Cl∂p

)0

= b2u0

Clp .

Lp =14ρu0Sb2 Clp



Derivada em ordem a r

Lr ≡(∂L∂r

)0=[∂∂r

(12ρV 2Sb

)]0Cl0 +

(12ρV 2Sb

)0

(∂Cl∂r

)0

= 0+ 12ρu2

0Sb(∂Cl∂r

)0

Por outro lado, como r = r2u0

b

:

(∂Cl∂r

)0=(∂r∂r

)0

(∂Cl∂r

)0= b

2u0Clr .

Lr =14ρu0Sb2 Clr


Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de guinada

Derivadas do momento de guinada

O momento de guinada é: N = 12ρV

2Sb Cn.De novo, no estado estacionário N0 = 0⇒ Cn0 = 0.

De forma análoga ao caso do momento de rolamento,obtém-se

Nv =12ρu0Sb Cnβ

Np =14ρu0Sb2 Cnp

Nr =14ρu0Sb2 Cnr


Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas da força lateral

Derivadas da força lateral

Finalmente, de: Y = 12ρV

2S Cy , e Y0 = 0⇒ Cy0 = 0,obtém-se

Yv =12ρu0S Cyβ

Yp =14ρu0Sb Cyp

Yr =14ρu0Sb Cyr


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