Derivadas Elementares

Matemática Superior - UVB

Faculdade On-line UVB 24

Aula 05Derivadas das Funções Elementares

Objetivos da Aula

• Apresentar as técnicas de derivação elementares, cuja utilização

direta otimiza e simplifica o cálculo da derivada de uma função.

• Aplicar o cálculo de derivadas na resolução de problemas.

Vimos na aula anterior que as derivadas são interpretadas como

as inclinações e as taxas de variação, vimos também como estimar

derivadas de funções dadas pelas tabelas de valores. Desta forma,

faremos a seguinte definição.

Definição de Derivada de uma Função

A derivada de uma função f é a função f‘ (lê-se f linha de x), tal que

seu valor em todo x do domínio de f se dado por

se este limite existe.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também

pelos símbolos:

y’ , dy/dx ou f ‘ (x).

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

∆

)()()(' lim0



Usamos a definição de uma só derivada para calcular as derivadas

de funções definidas pelas fórmulas, mas seria tedioso se sempre

usássemos a definição; então, mostraremos regras para encontrar

derivadas sem ter que usar diretamente a definição.

1. Derivada de uma Função Constante

Vamos iniciar com a função constante f(x) = c. O gráfico dessa função

é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0 (zero); logo, devemos ter

f’(x) = 0, como mostra a figura abaixo.

Veja uma prova formal da definição de uma derivada:

y

x0

c

inclinação = 0

y = c

O gráfico de f(x) = c é a reta y = c; assim f’(x) = 0.

Vamos agora escrever essa regra na notação de Leibniz.

d/dx(c) = 0 (sendo ”c”, uma constante).

Exemplos:

( ) ( ) ( ) =−=−+=→→ h

cch

xfhxfxfhh 00limlim' 00lim

0=

→h

1º) Se f(x) = 32, então

( ) == )32('dxdxf 0

2º) Se f(x) = -7, então

( ) =−= )7('dxdxf 0



Função Potência

Vamos olhar a função f(x) = x n, onde n é um inteiro positivo. Se

n = 1, o gráfico f(x) = x é a reta y = x, cuja inclinação é 1 (veja a figura

abaixo).

y

x

cy = x

inclinação = 10

O gráfico de f(x) = x é a reta y = x; assim f’(x) = 1.

Logo

d/dc (c) = 0 ou f’(x) = 1

Derivada da Função Potência ou Regra da Potência

Se n é qualquer número real, e se f(x) = xn, então .

PRIMEIRA PROVA:

x n – a n = (x - a) . (x n-1 + x n – 2 + ... + xa n – 2 + a n - 1)

pode ser simplesmente verificada multiplicando-se o lado direito (ou

somando-se o segundo fator como uma séria geométrica).



SEGUNDA PROVA (usaremos h = Dx para facilitar a compreensão

do cálculo)

Para achar a derivada de x 4desenvolvemos (x + h) 4. Aqui precisamos

desenvolver (x +h)n, usamos o teorema Binomial para fazer isto:

( ) ( ) ( )axax

axafxfaf

−−=

−−=

→→

nn

axaxlimlim'

( ) ( )1-n2-n2-n1-n

axlim' axaaxxaf ++++=

→

( ) 1-n2-n2-n1-n' aaaaaaaf ++++=

( ) 1-n ' naaf =

( ) ( ) ( ) ( )h

xhxh

xfhxfxfnn

0h0hlimlim' −+=−+=

→→

( )( )

h

xhnxhhxnnhnxxxf

nn1-n22-n1-nn

0h

21

lim'−

+++−++

=→

( )( )

h

hnxhhxnnhnxxf

+++−+

=→

n1-n22-n1-n

0h

21

lim'

( )( )

h

hnxhhxnnhnxxf

+++−+

=→

1-n2-n2-n1-n

0h

21

lim'

( ) 1-n' nxxf =



porque todo o termo, exceto o primeiro, tem h como um fator,

conseqüentemente tende a 0 (zero).

Vamos analisar a regra da potência para o caso especial n = 2. Se

f(x) = x 2, então:

Exemplos:

( ) ( ) ( ) ( )h

xfhxfxdxdxf −+==

→0h

2 lim'

( ) ( )h

xhxxf22

0hlim' −+=

→

( )h

xhxhxxf222

0h

2lim' −++=→

( ) ( )=+=+=→→

2

0h

2

0h2lim2lim' hxh

hhxhxf x2

1º) a) Se f(x) = x, então

( ) ( ) ==⋅== − 0111' xxxdxdxf 1

b) Se f(x) = x 8, então

( ) ( )== 8' xdxdxf 78x

c) Se f(x) = x 5/2, então

( ) ( )== 2/5' xdxdxf 2/3

25 x



2º) Ache uma equação da reta tangente à curva no

ponto (1,1). Ilustre fazendo o gráfico da curva e sua reta

tangente.

Solução

d) f(x) = x

Reescrevendo x na forma x 1/2, obtemos

( ) ( ) ==== 1/21/2-1/2

21

21'

xxx

dxdxf

x21

e) g(x) = 3 x1

R eescrevendo 3 x1

na forma x -1/3, obtemos

( ) ( ) ==== 4/34/3-1/3-

31

31'

xxx

dxdxg

3 4 3

1

x ou

3 4 3

1

x

xxy =

A derivada de ( ) 3/21/2 xxxxxxf === é

( ) ( ) xxxxf23

23

23' 1/213/2 === −

Logo a inclinação da reta tangente em (1,1) é ( )23' =xf . Portanto, uma

equação da reta tangente é

( )1231 −=− xy ou 2

123 −= xy .



Este é o gráfico da curva e sua reta tangente.

y = 3 x - 122

y = x

3

-1

3-1

x

3. Regra do Múltiplo Constante

Quando novas funções são formadas a partir das antigas

funções por adição, subtração, multiplicação ou divisão, suas

derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas das

antigas funções. Em particular, a fórmula a seguir nos diz que

a derivada de uma constante vezes uma função é a constante

vezes a derivada da função.

Seja uma função diferenciável ou derivável, onde n é qualquer

número real e c for uma constante, então

Representação Geométrica da Regra do Múltiplo

Constante

A multiplicação por c = 2 estica o gráfico verticalmente por um

fator de 2.

( ) ( ) 11 )(][)(' −− ==== nn cnxnxcxfdxdcxcf

dxdxf



Todas as subidas têm de ser dobradas, mas a corrida continua

a mesma. Logo as inclinações ficam dobradas também.

x

y

y = f(x)

y = 2 f(x)

0

PROVA : Se g(x) = cf(x), então

EXEMPLOS:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcfhxcfh

xghxgxg −+=−+=→→ 0h0h

limlim'

( ) ( ) ( ) ( )

=−+=

−+=

→→

xfhxfch

xfhxfc0h0h

limlim ( )xcf '

1º) Se f(x) = - x, então

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )=⋅−=−=⋅−=−= 1111' xdxdx

dxdx

dxdxf 1−

2º) Se f(x) = 5x 3, então

( ) ( ) ( ) ( )=⋅=== 233 3555' xxdxdx

dxdxf x15

3º) Se ( )x

xf 3= , então

( ) ( ) =

−⋅== − 2/32/1

2133' xx

dxdxf 2/32

3x

−



4. Regra da Soma

Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x)

+ g(x), e se f ’(x) e g’(x) existem, ou seja são diferenciáveis,

então

ou

A derivada da soma (diferença) de duas funções diferenciáveis

é igual à soma (diferença) de duas derivadas.

Este resultado pode ser estendido para soma e diferença de

um número finito qualquer de funções diferenciáveis.

Vamos verificar a regra para a soma de duas funções.

PROVA : Seja s(x) = f(x) + g(x), então

A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer

número de funções. Por exemplo, usando este teorema duas

vezes, obtemos

(f + g + h)’ = [(f + g) + h] ’ = (f + g)’ = h´= f ’ + g’ + h’

)(')(')(' xgxfxh += ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xgdxdxf

dxdxgxf

dxd +=+

( ) ( ) ( )h

xshxsxsh

−+=→0

lim'

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h

xgxfhxghxfxsh

] [] [lim'0

+−+++=→

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h

xghxgxfhxfxsh

] [] [ lim'0

−++−+=→

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=−++−+=

→→ hxghxg

hxfhxfxs

hh

] [lim] [lim'00

( ) ( )xgxf '' +



Escrevendo f – g como f + (- 1)g e aplicando a Regra da Soma e

a Regra do Múltiplo Constante, obtemos a seguinte fórmula

5·Regra da Diferença

Se f e g forem ambas diferenciáveis, então

ou

As três regras podem ser combinadas com a Regra da Potência

para diferenciar qualquer polinômio.

Exemplos:

1º)

2º) ( ) 3

2 55 tttg +=

( )

+= −32 5

51' tt

dxdtg (Reescrevendo 3

1t

como t -3)

415

52)(' −−= tttg

4

5

5752)('

tttg −= (Reescrevendo t -4 como 4

1t

e simplificando)

0)1(6)3(10)4(4)5(128)('

0)1(6)3(10)4(4)5(128)('

5610412)(

2447

1113141518

3458

+−+−+=

+−+−+=

+−+−+=−−−−−

xxxxxf

xxxxxxf

xxxxxxf

63016608)(' 2347 −+−+= xxxxxf



3º) Seja f(x) = 3x² + 2x. Determine: (a) f ’(-2) e (b) f ’(4)

a) f ’(- 2) = 6(- 2) + 2 = -10 b) f ’(4) = 6(4) + 2 = 26

4º) Ache os pontos sobre a curva y = x 4 – 6x 2 + 4 onde a reta

tangente é horizontal.

Solução

As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada é zero.

Temos

Assim dy/dx = 0 se x = 0 ou x 2 – 3 = 0, isto é, x = ± . Logo, a

curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, e - .

Os pontos correspondentes são (0,4), ( ,-5) e (- ,-5). Veja a

figura abaixo

x

- 5,-( )3 - 5,3( )

(0,4)

y

=+= − 2)2(3)(' 12xxf 26 +x

( ) ( ) ( ) =+−=+−= 012446 324 xxdxdx

dxdx

dxd

dxdy ( )34 2 −⋅ xx

3

3

3 3 3



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:

Thomson, 2001.

FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São

Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo:

Harbra,1988.

STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003.

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