DERIVADAS EXERCICIOS RESOLVIDOS. - provasbook.com Resolvidos, Derivadas 1.pdf · DERIVADAS –...

DERIVADAS ndash EXERCICIOS RESOLVIDOS

1 Dentre todos os retacircngulos de periacutemetro 64cm encontre as medidas

de um dos lados para que sua aacutereas seja maacutexima

a) cmP

Dados

64

yx

yx

yx

yxP

soluccedilatildeo

32

2

64

)(264

22

Re

yyA

yyA

yxA

2

32

)32(

b)

yA

yA

yA

y

y

232acute

32acute

32

2

2

cmy

y

y

16

322

0232

cmx

x

yx

16

1632

32

NBCom este resultado concluiacutemos que para que a aacuterea seja

maacutexima o quadrilaacutetero pedido eacute um quadrado de lado 16cm

REGRA DE DERIVACcedilAtildeO NOS DIVERSOS TIPOS DE FUNCcedilOtildeES

1 Derivada de uma Potencia

Exemplo

1)acute()(

)acute()(

)acute()(

0111

334

23

1

8242

3

xxx

xxx

xx

xfxf

xfxf

xfxf

2 Derivada de uma Raiz

Exemplo

32

3

3

1)acute()(

2

1)acute()(

xxfxxf

xxfxxf

Se

Xnxnn

xfxf

1

)acute()(

Se

nn

n

xn

xfxxf1

1)acute()(

3 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica

4 Derivada de Funccedilotildees exponencial e logariacutetmica

Funccedilatildeo Derivada Resultado

Senxxf )( )acute( senxxf xcos

Cosxxf )( cos)acute( xxf senx

Tgxxf )( )acute( tgxxf

xcos2

1

Cotgxxf )( cot)acute( gxxf

xsen2

1


xxf ln)( ln)acute( xxf x

1

xxfa

log)( )acute( log xxfa

ax ln

1

ex

xf )( )acute( ex

xf ex

ax

xf )( )acute( ax

xf aaxln

5 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica Inversa

6 Operaccedilatildeo com Derivadas

Sejam f(x) e g(x) funccedilotildees derivaacuteveis no ponto xO e C (uma constante)

Funccedilatildeo F(x) inversa Derivada

senxxf )( arcSenxxf )(

xxf

21

1)acute(

Cosxxf )( arcCosxxf )(

x2

1

1

Tgxxf )( arctgxxf )(

x2

1

1

Cotgxxf )( arcCotgxxf )(

x2

1

1

FUNCcedilAtildeO DERIVADA RESULTADO

C

(C)acute

ZERO

Cf(x)

[Cf(x)]acute Cf(x)

f(x) plusmn g(x) [f(x) plusmn g(x)]acute facute(x) plusmn gacute(x)

EXERCICIOS RESOLVIDOS ndash DERIVADAS

Derivada da funccedilatildeo potencia

1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092

2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094

3 119891(119909) = 21199093 ndash 51199092 + 3 = 119891acute(119909) = 61199092 ndash 10x

4 119891(119909) = 119909 = 1199091

2 = facute(x) = 1

2 119909

5 119891(119909) = (2x+1)(1199092 + 1) = 119891acute(119909) = (2x+1)acute(1199092 + 1)+(2x+1)(1199092+1)acute = 119891acute(119909) = 61199092 +

2x +2

6 119891 119909 =119909+1

119909+3 = 119891acute 119909 =

119909+1 acute 119909+3 minus 119909+1 119909+3 acute

(119909+3)2 =minus2

(119909+3)2

7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909

8 119891 119909 = 119909 + 1 3119909 + 2 = 119891acute 119909 = 119909 + 1 acute 3119909 + 2 + 119909 + 1 3119909 + 2 acute = 119891acute 119909 =

6119909 + 5

9

2)acute(

3212)acute(

acute1321acute32acute)acute(

132)(

98

323

23

33

3

xx

xx

xx

x

xf

xxf

xxxf

xxf

f(x)g(x) [f(x)g(x)]acute facute(x)g(x)+f(x)gacute(x)

f(x)divideg(x)

)(

)(acute

xg

xf )(

2

)acute()()()acute(

xg

xgxfxgxf

DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA

1

xx

xxxf

x

senxsenxxxf

senxxxsenxxf

tgxxf

sen

x

coscoscos

coscos

cos

22

22

2

2

2

1)acute(

)acute(

acutecosacutecos)acute(

)(

2

xx

xxxf

x

xxxf

xsenxsenxxxf

gxxf

sensensen

sensen

senx

22

22

2

22

2

1)acute(

)acute(


cot)(

cos

cos

3

xsenx

senxxf

xsenxxsenx

xsenxsenxxf

xsenxxsenx

xxxsenxxxxf

xsenxxsenx

xxxsenxxxxf

xsenxxsenxxsenxxsenxxf

xsenx

xsenxxf

sensen

sensen

xsenx

cos

2)acute(

coscos

cos2)acute

coscos

cos2)acute(

coscos

cos2)acute(

cosacutecoscosacutecos)acute(

cos

cos)(

2222

2222

2

coscos

coscos

cos

4

x

x

x

senxxf

SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf

xxxcoxxf

x

xxf

cos1

cos1

cos1

2

2

2

2)acute(

)acute(

cos1acutecos1cos1acute1)acute(

cos1

cos1)(

DERIVADA DE UMA RAIZ

1

xxf

xf

xxf

xxxx

x

2

1)acute(

1

2

1

2

1

2

1)acute(

)(

2

12

11

2

1

2

1

2

1

2

109

10

1

10

110

10

1)acute(

)acute(

)(

x

x

x

xf

xf

xxf

3

32

3

13

3

1)acute(

)(

x

x

xf

xxf

DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO

1

3ln1)acute(

)( log3

xxf

xxf

2 2ln)acute(

)(

2

2x

x

xf

xf

DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA

1

x

x

xxf

xxxf

xxf

xarcsenxsenxf

2

2

2

1)acute(

2

1

1

1)acute(

acute

1

1)acute(

)(

2

x

xx

xx

xxf

xf

arctgtgxf

4

2

4

22

1

2)acute(

acute1

1)acute(

)(

DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS

1

xxf

xfxf

x

xxxx10)acute(

acute3acuteacute)acute(3)(

6

52522

2323

2

22)acute(

22)acute(

12212)acute(

12acute11acute12)acute(112)(

6

422

22

2

222

xxf

xxf

xxxf

xxxfxxf

x

xx

x

xxx

3

3

33

2

22

2)acute(

131acute33acute1)acute(

3

1)(

x

xx

xf

xxxxxxxf

x

xxf

4

3ln1

)acute(

acuteacute)acute()(

3cos

33

2

x

xx

xxf

tgxxftgxxf

5

xx

xf

senxgxxxfsenxgxxxf

senxcos

1

5

1)acute(

acuteacutecotacute)acute(cot)(

25

4

55

6

exx

exxe

exeex

e

xeexex

x

x

x

x

xx

xx

x

xf

xf

xxfxf

43

2

43

2

43

2

444

4

44

)acute(

)acute(

acuteacute)acute()(

7

33

33

22

22

126262)acute(

6232)acute(

62acute33acute62

3

62)(

xx

xxxx

xf

xxxf

xxxx

x

xxf

8

121

5

1211

15)acute(

1211

56)acute(

12

2)(

22

2

2

2

2

xx

x

xxx

xxxf

xxx

xxf

x

xxf

xx

xx

xx

9

x

xx

x

xxf

x

xxf

xxx

xfxx

xf

2

22

2

1)acute(

111)acute(

acuteln1acute1

)acute(ln1)(

10

senxxxxxf

xxxfxxxf

e

exexx

xx

3ln2)acute(

acutecos3acuteacuteln)acute(cos3ln)(22

11

xsenx

xsenx

xf


xsenx

xsenxxf

cos

cos

2

2

2)acute(


cos

cos)(

12

x

xsenx

xf

xxxxxf

x

xxf

cos1

cos1

2

2

2)acute(

cos1acutecos1cos1acutecos1)acute(

cos1

cos1)(

13 xxxx

xfxf 33323

3ln)acute()(

14 222 22ln)acute()(22 xxx

xxfxf xx

15 23ln

)acute(321

)(

33

xxxfxxf

16 eexxx

xxxxfxxf ln2)acute(ln)(2

17

12

1cos)acute(

1)(

x

senxxxxf

x

senxxf

18 22)acute(cos2)(22 xx senxxCosxxfxxf

19

12

1)acute(ln)(

xxxxfxxxf

20 eexxx

xxxxfxxf 4442

ln2)acute(ln)(

21 223ln)acute()( 3322

22

xxxfxxfxx

22 12

21cos)acute(

1)(

2

2

2

x

xx

xSenxxxf

senxxf

23 5

23

2

5

4

35

84)acute(23)(

4

334

xx

xxx

xxfxf

24 2

21)acute(2lncot)(

22

2

xsenx

x

xxfgxxf

25

e

eee x

xx

x

x

xxfxxf

22

)acute(2)(

26 555

2

3

3

2322

)acute(2)(

xx

x xx

xfxxf

27 cos33

1)acute(12ln)( 3

2x

xxfsenxxf x

28

5ln5ln12

2)acute(12)( 55log

11

5

xx

xxfxxf

29 eexSenxSen

xxfxf33

3cos3)acute()(

30 1

2)acute(1ln)(

2

2

xx

xxfxf

31 eexx

xfxf 31313

)acute()(

32 3

)acute(3)(2

2

xx

xxfxf

33 x

xfxtgxf

cos2

3)acute(3)(

34 xsenxxfxxf sen cos2)acute()(2

35 2

)acute(cos)(sen

xfxxf

36 33)acute(3)( 323523245

xxxxx xfxf

37 3ln23

3)acute(23)( log

3

xxfxxf

38 xx

xfxgxf

sen 23

1)acute(3cot)(

2

REGRA DE DERIVACcedilAtildeO NOS DIVERSOS TIPOS DE FUNCcedilOtildeES

1 Derivada de uma Potencia

Exemplo

1)acute()(

)acute()(

)acute()(

0111

334

23

1

8242

3

xxx

xxx

xx

xfxf

xfxf

xfxf

2 Derivada de uma Raiz

Exemplo

32

3

3

1)acute()(

2

1)acute()(

xxfxxf

xxfxxf

Se

Xnxnn

xfxf

1

)acute()(

Se

nn

n

xn

xfxxf1

1)acute()(







xcos2

1


xsen2

1



1

xxfa


ax ln

1

ex

xf )( )acute( ex

xf ex

ax

xf )( )acute( ax

xf aaxln






xxf

21

1)acute(


x2

1

1


x2

1

1


x2

1

1


C

(C)acute

ZERO

Cf(x)

[Cf(x)]acute Cf(x)




1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092

2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094


4 119891(119909) = 119909 = 1199091

2 = facute(x) = 1

2 119909


2x +2

6 119891 119909 =119909+1

119909+3 = 119891acute 119909 =


(119909+3)2 =minus2

(119909+3)2

7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909


6119909 + 5

9

2)acute(

3212)acute(


132)(

98

323

23

33

3

xx

xx

xx

x

xf

xxf

xxxf

xxf


f(x)divideg(x)

)(

)(acute

xg

xf )(

2

)acute()()()acute(

xg

xgxfxgxf


1

xx

xxxf

x

senxsenxxxf

senxxxsenxxf

tgxxf

sen

x

coscoscos

coscos

cos

22

22

2

2

2

1)acute(

)acute(


)(

2

xx

xxxf

x

xxxf

xsenxsenxxxf

gxxf

sensensen

sensen

senx

22

22

2

22

2

1)acute(

)acute(


cot)(

cos

cos

3

xsenx

senxxf

xsenxxsenx

xsenxsenxxf

xsenxxsenx

xxxsenxxxxf

xsenxxsenx

xxxsenxxxxf


xsenx

xsenxxf

sensen

sensen

xsenx

cos

2)acute(

coscos

cos2)acute

coscos

cos2)acute(

coscos

cos2)acute(


cos

cos)(

2222

2222

2

coscos

coscos

cos

4

x

x

x

senxxf


xxxcoxxf

x

xxf

cos1

cos1

cos1

2

2

2

2)acute(

)acute(


cos1

cos1)(


1

xxf

xf

xxf

xxxx

x

2

1)acute(

1

2

1

2

1

2

1)acute(

)(

2

12

11

2

1

2

1

2

1

2

109

10

1

10

110

10

1)acute(

)acute(

)(

x

x

x

xf

xf

xxf

3

32

3

13

3

1)acute(

)(

x

x

xf

xxf


1

3ln1)acute(

)( log3

xxf

xxf

2 2ln)acute(

)(

2

2x

x

xf

xf


1

x

x

xxf

xxxf

xxf

xarcsenxsenxf

2

2

2

1)acute(

2

1

1

1)acute(

acute

1

1)acute(

)(

2

x

xx

xx

xxf

xf

arctgtgxf

4

2

4

22

1

2)acute(

acute1

1)acute(

)(


1

xxf

xfxf

x

xxxx10)acute(


6

52522

2323

2

22)acute(

22)acute(

12212)acute(


6

422

22

2

222

xxf

xxf

xxxf

xxxfxxf

x

xx

x

xxx

3

3

33

2

22

2)acute(


3

1)(

x

xx

xf

xxxxxxxf

x

xxf

4

3ln1

)acute(

acuteacute)acute()(

3cos

33

2

x

xx

xxf

tgxxftgxxf

5

xx

xf

senxgxxxfsenxgxxxf

senxcos

1

5

1)acute(


25

4

55

6

exx

exxe

exeex

e

xeexex

x

x

x

x

xx

xx

x

xf

xf

xxfxf

43

2

43

2

43

2

444

4

44

)acute(

)acute(

acuteacute)acute()(

7

33

33

22

22

126262)acute(

6232)acute(

62acute33acute62

3

62)(

xx

xxxx

xf

xxxf

xxxx

x

xxf

8

121

5

1211

15)acute(

1211

56)acute(

12

2)(

22

2

2

2

2

xx

x

xxx

xxxf

xxx

xxf

x

xxf

xx

xx

xx

9

x

xx

x

xxf

x

xxf

xxx

xfxx

xf

2

22

2

1)acute(

111)acute(

acuteln1acute1

)acute(ln1)(

10

senxxxxxf

xxxfxxxf

e

exexx

xx

3ln2)acute(


11

xsenx

xsenx

xf


xsenx

xsenxxf

cos

cos

2

2

2)acute(


cos

cos)(

12

x

xsenx

xf

xxxxxf

x

xxf

cos1

cos1

2

2

2)acute(


cos1

cos1)(

13 xxxx

xfxf 33323

3ln)acute()(

14 222 22ln)acute()(22 xxx

xxfxf xx

15 23ln

)acute(321

)(

33

xxxfxxf

16 eexxx


17

12

1cos)acute(

1)(

x

senxxxxf

x

senxxf


19

12

1)acute(ln)(

xxxxfxxxf

20 eexxx

xxxxfxxf 4442

ln2)acute(ln)(

21 223ln)acute()( 3322

22

xxxfxxfxx

22 12

21cos)acute(

1)(

2

2

2

x

xx

xSenxxxf

senxxf

23 5

23

2

5

4

35

84)acute(23)(

4

334

xx

xxx

xxfxf

24 2

21)acute(2lncot)(

22

2

xsenx

x

xxfgxxf

25

e

eee x

xx

x

x

xxfxxf

22

)acute(2)(

26 555

2

3

3

2322

)acute(2)(

xx

x xx

xfxxf

27 cos33

1)acute(12ln)( 3

2x

xxfsenxxf x

28

5ln5ln12

2)acute(12)( 55log

11

5

xx

xxfxxf

29 eexSenxSen

xxfxf33

3cos3)acute()(

30 1

2)acute(1ln)(

2

2

xx

xxfxf

31 eexx

xfxf 31313

)acute()(

32 3

)acute(3)(2

2

xx

xxfxf

33 x

xfxtgxf

cos2

3)acute(3)(


35 2

)acute(cos)(sen

xfxxf

36 33)acute(3)( 323523245

xxxxx xfxf

37 3ln23

3)acute(23)( log

3

xxfxxf

38 xx

xfxgxf

sen 23

1)acute(3cot)(

2







xcos2

1


xsen2

1



1

xxfa


ax ln

1

ex

xf )( )acute( ex

xf ex

ax

xf )( )acute( ax

xf aaxln






xxf

21

1)acute(


x2

1

1


x2

1

1


x2

1

1


C

(C)acute

ZERO

Cf(x)

[Cf(x)]acute Cf(x)




1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092

2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094


4 119891(119909) = 119909 = 1199091

2 = facute(x) = 1

2 119909


2x +2

6 119891 119909 =119909+1

119909+3 = 119891acute 119909 =


(119909+3)2 =minus2

(119909+3)2

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9

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98

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2

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4 119891(119909) = 119909 = 1199091

2 = facute(x) = 1

2 119909


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6 119891 119909 =119909+1

119909+3 = 119891acute 119909 =


(119909+3)2 =minus2

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7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909


6119909 + 5

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4 119891(119909) = 119909 = 1199091

2 = facute(x) = 1

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