Derivadas Parciais

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UNIVERSIDADE DA REGIÃO DE JOINVILLE - UNIVILLE CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA DERIVADAS PARCIAIS ANDRÉ COGORNI BRUNO LIBERATO GIRARDI GEOVANI FERREIRA CESCONETTO GIOVANI RICARDO SCHNEIDER ANDRIOLI LEANDRO JOSÉ PALOSCHI PROFESSOR: ROGÉRIO VIEIRA

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UNIVERSIDADE DA REGIÃO DE JOINVILLE - UNIVILLE

CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA

DERIVADAS PARCIAIS

ANDRÉ COGORNIBRUNO LIBERATO GIRARDI

GEOVANI FERREIRA CESCONETTOGIOVANI RICARDO SCHNEIDER ANDRIOLI

LEANDRO JOSÉ PALOSCHI

PROFESSOR: ROGÉRIO VIEIRA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Joinville

2008

Page 2: Derivadas  Parciais

SUMARIO

INTRODUÇÃO............................................................................................................3

2. DERIVADAS PARCIAIS........................................................................................5

2.1. Derivadas Parciais.........................................................................................5

2.2. Interpretação Geométrica Da Derivada Parcial De Uma Função De Duas

Variáveis................................................................................................................8

2.3. Derivadas Parciais De Segunda Ordem Ou Mais........................................9

2.3.1 Derivadas Parciais de Segunda Ordem.....................................................9

2.3.3 Derivadas Parciais de Ordem Superior a Dois.........................................11

2.4. Derivadas Direcionais E Gradiente.............................................................11

2.5. Regra Da Cadeia...........................................................................................12

2.6. Problemas de Máximo e Mínimo.................................................................13

2.7. Aplicações Das Derivadas...........................................................................15

2.7.1. Posição e Deslocamento:........................................................................17

2.7.2. Velocidade, Velocidade Média e Aceleração:........................................18

2.7.3. Uso de derivadas parciais em termodinâmica química...........................21

2.7.4. Uso das derivadas parciais em fenômenos de transportes.....................23

2.7.5. Estática dos fluidos..................................................................................24

3.0. CONCLUSÃO....................................................................................................26

REFERÊNCIAS........................................................................................................27

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INTRODUÇÃO

Muitas das funções que aparecem na Matemática e em suas aplicações

envolvem duas ou mais variáveis independentes. Já encontramos funções dessa

espécie em nosso estudo da geometria analítica espacial. Assim, a equação z = x² -

y² é a equação de uma certa superfície de sela, mas define também z como função

das duas variáveis x e y, e a superfície pode ser encarada como o gráfico dessa

função.

Usualmente denotamos uma função qualquer de duas variáveis x e y

escrevendo z = f(x, y), e podemos visualizar tal função esboçando seu gráfico no

espaço xyz, (Fig. 1)

Figura1.

Nessa figura, P =m (x, y) é um ponto “adequado” do plano x y – isto é, um

ponto do domínio D da função – e z é a distância orientada para cima ou para baixo

ao correspondente ponto sobre a superfície. Essa superfície foi esboçada como

estando “acima” do domínio D, embora parte dela possa realmente estar abaixo do

plano xy.

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Por uma extensão óbvia da notação aqui usada, w = f(x, y, z, t, u, v) é uma

função das seis variáveis entre parênteses. Por exemplo, se a temperatura T num

ponto P dentro de uma esfera sólida de ferro depende das três coordenadas

cartesianas x, y, e z de P, então escrevemos T = f(x, y, z); se, além disso,

consideramos a possibilidade de que a temperatura num dado ponto varia com o

tempo t, então T é uma função das quatro variáveis, T = f(x, y, z, t)

Veremos então, que os principais temas do cálculo diferencial de uma

variável – derivadas, taxas de derivação, cálculos com a regra da cadeia, problemas

de máximo e mínimo e equações diferenciais – podem ser entendidos para funções

de muitas variáveis. Porém, há diferenças surpreendentes entre o cálculo de uma

variável e o cálculo de muitas variáveis.

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2. DERIVADAS PARCIAIS

2.1. Derivadas Parciais

A discussão sobre derivação de uma função de n variáveis com valores reais reduz-

se ao caso unidimensional, se tratarmos uma função de n variáveis como uma

função de uma variável de cada vez, mantendo fixas as demais variáveis. Isso nos

leva ao conceito de derivada parcial.

Ou seja, suponha que y = f(x) seja uma função de apenas uma variável.

Sabe-se que sua derivada, definida por:

Pode ser interpretada como a taxa de variação de y em relação a x. no caso

de uma função z = f(x, y) de duas variáveis independentes, necessitaremos de

instrumental matemático semelhante para trabalhar com a taxa com que z muda

quando ambos x e y variam. Para funções de mais de duas variáveis, faz-se com

que uma delas varie enquanto as demais são consideradas constantes. Então

teremos uma derivada para cada uma das variáveis independentes.

Para a função z = f(x, y) de duas variáveis, primeiro mantemos y fixo e

consideramos x como variável. A taxa de derivação em x é denotada por ∂z/ ∂x e

definida por:

5

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Se esse limite existir, chama-se a derivada parcial de z em relação a x e lê-

se “delta z, delta x”.

As notações mais usadas para essa derivada são:

Analogamente, se x for mantido fixo e y variar, então a derivada parcial de z

em relação a y é definida por:

E as notações padrões nesse caso são:

Exemplos

Exemplo 1:

Encontre o valor da derivada parcial da função f(x, y) = xy² + x³ , no ponto (2,

1).

Solução:

fx(x, y) = y² + 3x² ou

fx(2, 1) = 13

fy(x,y) = 2xy ou

fy(2, 1) = 4

6

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Exemplo 2:

A Lei do Gás Ideal afirma que, para uma dada quantidade de gás, a pressão

p, o volume V e a temperatura absoluta T são ligados pela equação PV=nRT, onde n

é o número de moles de gás na amostra e R é uma constante. Mostre que

Solução:

Como

Temos

Assim,

Por ser esse resultado -1 e não +1, conclui-se que não pode-se tratar as

derivadas parciais do membro esquerdo como frações.

7

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2.2. Interpretação Geométrica Da Derivada Parcial De Uma Função De Duas

Variáveis

Interpretações geométricas das derivadas parciais de uma função de duas

variáveis são similares àquelas dadas para funções de uma variável. O gráfico de

uma funçãof de duas variáveis é uma suferfície cuja equação é z = f(x, y). se y for

mantida constante (digamos, y = y0), então z = f(x, y0) será uma equação do traço

dessa superfície no plano y = y0. a curva pode ser representada pelas equações

y = y0 e z = f(x, y)

pois ela é a intersecção dessas duas superfícies.

Então fx(x0, y0) é a inclinação da reta tangente à curva dada pelas

equações no ponto P0(x0, y0, f(x0, y0)), no plano y = y0. analogamente, fy(x0, y0)

representa a inclinação da reta tangente à curva cujas equações são

X = x0 e z = f(x, y)

No ponto P0, no plano x = x0. A figura 2 mostra partes das curvas e das

retas tangentes.

Figura 2.

8

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Exemplo

Ache a inclinação da reta tangente à curva de intersecção das superfícies

Com o plano y = 2, no ponto (2, 2, √3)

Solução: A inclinação pedida é o valor de ∂z no ponto (2, 2, √3) ∂x

Assim em (2, 2, √3)

2.3. Derivadas Parciais De Segunda Ordem Ou Mais

2.3.1 Derivadas Parciais de Segunda Ordem

Observa-se que para uma função z = f(x, y) de duas variáveis, as derivadas

parciais fx e fy também são funções de duas variáveis e próprias podem ter

derivadas parciais. Essas derivadas parciais de segunda ordem são denotadas de

diferentes maneiras. Começando com as derivadas parciais de primeira ordem.

9

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As derivadas em relação a x são

e

As derivadas em relação a y são

Exemplo

Seja f(x, y) = x³e5y + y sen 2x. temos então

2.3.2 Derivadas Parciais de Segunda Ordem Mistas

As derivadas parciais de segunda ordem mistas,

envolvem novas idéias. A derivada parcial mista fxy dá a taxa de variação na

direção do eixo y da taxa de variação f na direção do eixo x; fxy dá a taxa de

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variação na direção do eixo x da taxa de variação de f na direção do eixo y. O que

não indica que essas derivadas parciais estejam relacionadas entre si.

Exemplo

Para a função f(x, y) = x³e5y + y sen 2x, vemos facilmente que

2.3.3 Derivadas Parciais de Ordem Superior a Dois

Derivadas parciais de ordem superior a dois, assim como derivadas de

ordem superior de funções de mais de duas variáveis, são definidas de maneira

óbvia. Por exemplo, se w = f(x, y, z), então

Em geral, com continuidade adequada, não é importante a ordem em que

uma sequência de derivações parciais é realizada, pois, aplicando as fórmulas

vistas, podemos inverter a ordem de quaisquer duas derivações sucessivas. Por

exemplo, fxxyz = fxyxz = fxyzx = fyxzx = fyzxx.

2.4. Derivadas Direcionais E Gradiente

Seja f(x,y,z) uma função definida em alguma região do espaço tridimensional

e seja P um ponto dessa região. Nas direções dos eixos x, y e z sabemos que as

taxas de variação de f são dadas pelas derivadas parciais ∂f∕∂x, ∂f∕∂y e ∂f∕∂z. A taxa

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de variação de f se partimos de P numa direção que não é a de um eixo coordenado

nos leva a um conceito muito importante de gradiente de uma função.

2.5. Regra Da Cadeia

A regra da cadeia para derivadas ordinárias mostra a maneira de se derivar

funções compostas: sendo w uma função de x e x, por sua vez, função de uma

terceira variável t, assim w=f(x). x=g(t), então

Sabemos, por experiência, que a regra da cadeia é um instrumento

indispensável de calculo; é usado com mais freqüência do que qualquer outra regra

de derivação.

A regra da cadeia mais simples para funções de várias variáveis envolve

uma função w=f(x,y) de duas variáveis x e y, onde x e y são, cada uma delas,

funções de outra variável t, x=g(t) e y=h(t). Então, w é uma função de t,

A derivada dessa função composta é dada pela

Exemplo

Sendo w = 3x² + 2xy – y² com x = cos(t) e y = sen(t), calcule dw/dt:

Solução

12

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Aplicando a formula da regra da cadeia teremos que

Substituindo-se agora x = cos(t) e y = sen(t), dw/dt se expressa em termos

de t:

2.6. Problemas de Máximo e Mínimo

No caso de funções de uma variável, uma das principais aplicações das

derivadas é o estudo de seus máximos e mínimos.Os problemas de máximo e

mínimo de funções de duas ou mais variáveis podem ser muito mais complicados do

que os com derivadas primeira e segunda de funções.

Suponha que uma função z = f(x, y) tenha um valor máximo num ponto P0 =

(x0, y0) no interior de seu domínio. Isso significa que f(x, y) está definida e que

também f(x, y) ≤ f(x0, y0) em alguma vizinhança de P0, como mostra a figura a

seguir.

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Se manter-se y fixo no valor y0, z = f(x, y0) é uma função apenas de x e,

como ela tem um valor máximo em x = x0, sua derivada deve ser zero nesse ponto.

Assim, ∂z/∂x = 0 nesse ponto. E da mesma maneira, ∂z/∂y = 0 nesse ponto.

Essas equações (∂z/∂x = 0 e ∂z/∂y = 0) são duas equações em duas

incógnitas cuja a solução são as coordenadas do ponto de máximo (x0, y0).

Aplica-se essas mesmas considerações ao valor mínimo mostrado no centro

da figura 3. mas, quando tenta-se localizar valores máximo ou mínimo de uma

função resolvendo as equações ∂z/∂x = 0 e ∂z/∂y = 0, deve saber-se que essas

equações podem resultar nas coordenadas de um ponto de sela, como mostrado a

direita da figura 3, onde a função tem um máximo em uma direção e um mínimo em

alguma outra direção.

Por analogia a definição referente a funções de uma variável, chama-se um

ponto (x0, y0) m que ambas as derivadas parciais são nulas, de ponto crítico de F(x,

y).

Exemplo

Calcule as dimensões de uma caixa retangular com a parte superior aberta,

com volume fixo de 4 m³ e com a menor área de superfície possível.

Solução:

Sendo x e y as arestas da base e z a altura, a área total da caixa será

A = xy + 2xz + 2yz

Como xyz = 4, temos z = 4/xy, e a área a ser minimizada pode ser expressa

como função das duas variáveis x e y,

A = xy + 8/y + 8/x

Procura-se um ponto crítico dessa função, isto é, um ponto em que

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∂A = y – 8 = 0 , ∂A = x – 8 = 0∂x x² ∂y y² Para resolver essas equações simultaneamente, as reescrevemos:

X²y = 8, xy² = 8.

Divindindo membro a membro teremos x/y = 1, logo y = x e uma das

equações fica x³ = 8. então x = y = 2. Assim, x = 1, logo a caixa de volume dado,

sem tampa com área de superfície mínima, tem uma base quadrada e altura

medindo metade do valor da aresta da base.

2.7. Aplicações Das Derivadas

Poucos conceitos terão tantas aplicações no mundo científico com o da derivada. De

fato na Física, Química, Biologia, Medicina, Sociologia e etc. Usam a simples

definição de derivada:   . Contudo neste módulo vamos tratar

de aplicações matemáticas que são também originadas pelo conceito.

Seja y = f( x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0 e x0 + x dois

valores de seu domínio.

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y

f(x0 + x)

f (x0 )

o

x0 x0 + x x

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A razão incremental é dada por :

Denomina-se função derivada o limite de quando x tende a zero ( assume

valores muito pequenos ).

E indica-se por :

nota:

A função derivada também pode ser indicada por :

y´ ( lê-se, derivada de y )

( lê- se, derivada de y em relação a x )

Exemplo:

Dada a função , definida em R , calcular a função derivada .

Aqui serão estendidas as considerações apresentadas nos capítulo anterior para os

casos bi e tridimensionais. Vamos utilizar álgebra vetorial nos conceitos já vistos

(posição, velocidade, deslocamento e aceleração). LINUX.ALFAMAWEB.

2.7.1. Posição e Deslocamento:

Em geral, a localização de uma partícula é determinada pelo vetor posição r,

que é um vetor que de um ponto de referência (geralmente a origem de um

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Page 17: Derivadas  Parciais

sistema de coordenadas) até a partícula. Pela notação de vetores,

escrevemos r como :

r = xi + yj + zk , onde xi , yj e zk são as componentes vetoriais de r, e os

coeficientes x, y e z são as componentes escalares.

Figura 4: Demonstra localização de uma partícula.

Ao longo do eixo x, P está 3 unidades da origem, no sentido –i . Ao longo do eixo y,

está à duas unidades da origem, no sentido +j . E, ao longo do eixo z, está a 5

unidades da origem, no sentido +k.

Ex.: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é r1 = -3i + 2j + 5k e logo depois é

r2 = 9i + 2j + 8k . Qual é o deslocamento de r1 para r2 ?

Solução :

r = r2 – r1 = ( 9i + 2j + 8k ) – ( -3i + 2j + 5k ) = 12i + 3k

Nota:

Este vetor deslocamento é paralelo ao plano xz, porque sua componente y é nula;

um fato constatado pelo resultado numérico. LINUX.ALFAMAWEB.

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2.7.2. Velocidade, Velocidade Média e Aceleração:

Velocidade

Suponhamos que um carro se move em linha reta e que a sua distância ao ponto de

partida , após um tempo t , é dada por ) (t s . Então no intervalo de tempo entre t e

t+ t , o carro sofre um deslocamento s = s ( t+ t ) – s(t)

A velocidade média do carro nesse intervalo de tempo é definida como o quociente

do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo, ou seja:

Sabemos que a velocidade do carro varia durante o percurso, isto é, o carro tem sua

velocidade aumentada ou diminuída durante o intervalo de tempo considerado.

Portanto a velocidade média pode não ser igual a velocidade mostrada no

velocímetro no instante t Em princípio, a velocidade média nada nos diz sobre a

velocidade do corpo no instante t . Entretanto se fizermos os intervalos de tempo t

. cada vez menores, a velocidade média encontrada é uma boa aproximação da

velocidade instantânea. Dessa forma, a velocidade instantânea é dada como o limite

da velocidade média para quando t tende a zero, isto é:

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Como vimos anteriormente, esse limite é a derivada da função espaço em relação à

variável tempo. Portanto:

Velocidade instantânea

Uma partícula que sofre um deslocamento r, durante um intervalo de tempo t ,

tem velocidade média:

A velocidade instantânea é o limite de , quando t tende para zero. Lembramos

que esse limite é a derivada de r em relação á t ou seja, ; Substituindo r

pela expressão r = xi + yj + zk , temos :

;

os coeficientes são as componentes escalares de v:

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Figura 5: Demonstra a posição de uma partícula no ponto P e sua trajetória.

A posição da partícula P, na sua trajetória, é mostrada no instante t1 e no

instante t1 + t seguinte. O vetor r é o deslocamento da partícula, no intervalo t.

Também é mostrada a tangente à trajetória no instante t1.

Nota:

No limite, quando t tende a zero, a velocidade média tende para v

(velocidade instantânea) , e também, a velocidade média tem a direção da tangente.

Logo, v também tem a mesma direção, isto é, sempre tangente à trajetória da

partícula.

Aceleração

Vamos introduzir o conceito de aceleração de maneira análoga ao de velocidade.

A aceleração média mede a variação de velocidade do corpo por unidade de tempo

no intervalo de tempo t, isto é:

Para obtermos a aceleração instantânea, isto é, a aceleração do corpo no instante t,

basta calcular o limite da aceleração média para quando t tende a zero, ou seja:

Logo, a aceleração é a derivada da função velocidade em relação à variável tempo,

portanto:

Como s´( t ) = v´ ( t ) e v´ ( t ) = a ( t ), temos s´´ ( t ) = a ( t ).

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Page 21: Derivadas  Parciais

2.7.3. Uso de derivadas parciais em termodinâmica química

Vamos considerar como ponto de partida a equação de estado para gases

ideais:

PV = nRT, ou (1)

PVm = RT (onde Vm = V/n) (2)

A partir destas equações, é possível dizer de que qualquer uma das

variáveis depende das outras duas, e poderíamos escrever cada variável como

sendo uma função de duas variáveis. Por exemplo,

P = P(Vm, T) = (RT/Vm) (3)

Vm = Vm(P, T) = (RT/P) (4)

T = T(Vm, P) = (PVm/R) (5)

O uso de cálculo diferencial permite saber a maneira como uma variável

dependente, p. ex. P na equação (3), varia quando as variáveis independentes (T e

Vm na equação 3) são alteradas.

Uma derivada parcial representa a taxa de mudança de uma função,

dependente de várias variáveis independentes, quando todas as variáveis exceto

uma são mantidas constantes. Por exemplo, a mudança da pressão de um gás com

a temperatura mantendo o volume molar constante (por exemplo, no pneu de um

carro) pode ser representado por,

(6)

De maneira análoga, podemos representar a variação da pressão com o

volume molar mantendo a temperatura constante através da equação (7),

(7)

Derivadas parciais também podem ser calculadas usando equação (5), onde

Vm é agora a variável dependente e P e T as variáveis independentes, ou equação

(6), onde T é a variável dependente e P e Vm as variáveis independentes.

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Page 22: Derivadas  Parciais

Voltando a equação (6), podemos agora integrar esta expressão para

calcular a mudança na pressão com uma variação infinitesimal do volume molar a

temperatura constante.

A temperatura constante

(8)

Em muitas situações em termodinâmica, e em aplicações termodinâmicas, é

importante conhecer o valor numérico da derivada e não apenas a formula

analítica!!! Podemos ilustrar isto para um caso específico: um gás ideal a P = 1 atm e

T = 300 K. Conforme a equação dos gases ideais, Vm = 24,6 dm3 para estas

condições de temperatura e pressão. Assim, substituindo na equação 8, podemos

obter o valor numérico de (∂P/∂Vm)300 K para as condições especificadas.

(∂P/∂Vm)300 K = - [0,082×300/(24,6)2] = - 4,1×10-2 atm mol dm-3

2.7.4. Uso das derivadas parciais em fenômenos de transportes

Fluidos incompressíveis

São os fluidos cujos volumes não dependem da pressão, isto é, apresentam

volumes próprios independentes da pressão à que estão submetidos, tal como os

líquidos. A expressão formal é:

Em várias situações práticas usuais da Engenharia Química os líquidos são

considerados como incompressíveis, ou seja, a pressão não exerce influência no

volume por eles ocupado; pode-se aumentar ou diminuir a pressão que a densidade

permanecerá constante. Um exemplo dessa consideração é a simplificação que se

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Page 23: Derivadas  Parciais

faz na equação do balanço diferencial de massa para o caso de líquidos. A equação

geral do referido balanço é:

Quando o líquido é considerado incompressível, tanto para escoamento em regime

estacionário ou variável, a relação entre o volume ocupado pelo líquido e a sua

massa, ou seja a densidade do líquido é constante e o termo é nulo. Assim, a

equação transforma-se em:

Que é bem mais simples de ser resolvida do que a equação (1).

          Mas para ser adotada essa simplificação, deve-se antes verificar se é

permitida pelas condições de pressão e temperatura, na qual se encontra o líquido.

HOTTOPOS.

Fluidos compressíveis:

São os fluidos cujos volumes dependem da pressão, isto é, apresentam

volumes próprios dependentes da pressão à que estão submetidos, tal como os

gases, (HOTTOPOS). A expressão formal é:

2.7.5. Estática dos fluidos

Considera-se na estática dos fluidos duas partes:

O estudo da pressão e a sua variação no interior de um fluido;

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Page 24: Derivadas  Parciais

O estudos das forças de pressão em superfícies finitas.

Pressão num ponto

A pressão média é calculada dividindo-se as forças normais, que

age contra uma superfície plana pela área desta;

A pressão num ponto é o limite da relação entre a força normal e

a área quando fazemos a área tender para zero em torno do ponto;

A pressão é a mesma em todas as direções num ponto de um

fluido em repouso

Equação fundamental da estática dos fluidos; variação da

pressão num fluido em repouso; num fluido em repouso não há tensões de

corte: as forças de pressão equilibram a ação da gravidade.

A lei da variação de pressão num fluido em repouso (na forma de

componentes) é dada por

As derivadas parciais, que dão a variação nas direções horizontais, são uma

forma da lei de Pascal que afirma ser a mesma a pressão em dois pontos no mesmo

nível de uma massa contínua de um fluido em repouso (os planos horizontais são

planos de pressão constante).

Como p é apenas função de z:

Esta equação diferencial simples relaciona a variação de pressão com o peso

específico (ρg ) e a variação decota, sendo válida tanto para fluidos compressíveis

como para incompressíveis.

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Page 25: Derivadas  Parciais

3.0. CONCLUSÃO

Dada uma função, conclui-se assim que, pela definição, investigar a

existência de sua derivada em qualquer ponto do domínio, examinando determinado

limite. Se a função for derivável em um ponto, existirá o limite examinado.

A derivada é o coeficiente angular da reta tangente à função. Uma curva

definida pela função F(x) e traçar uma reta que tangencie esta curva no ponto

definido pelo par ordenado (x,y = F(x)), o coeficiente angular desta reta será F´(x).

A equação da reta é y = mx + h, onde m é o tal coeficiente angular, que é a tangente

do ângulo que a reta faz com o eixo X. É neste ponto que chegamos numa das

maiores aplicações da derivada, encontrar máximos e mínimos de funções. Se este

coeficiente angular for zero então X = 0, pois tg(0)=0, significa que a reta à qual ele

pertence é paralela ao eixo X. Se esta reta é a reta tangente à curva, então este

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Page 26: Derivadas  Parciais

ponto da curva é o maior ou menor valor que a função pode atingir. Existem outras

diversas aplicações para derivadas, como encontrar taxas de variação de função,

crescimento / decrescimento.

Os limites explicam os comportamentos que as funções possuem. Se forem

contínuas ou possuem singularidades; tendem-se a infinito ou a zero, etc.

As derivadas tratam de taxas de variação de grandezas. Através delas pode-se

determinar os máximos e mínimos de funções, os seus gradientes com isso

consegue-se resolver os problemas que aparecem em um sistema.

REFERÊNCIAS

http://www.usp.br/massa/pessoal/riveros/tutorial/intro.pdf <Acesso em 19 de

outubro de 2008>

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2.

Editora: Makron Books, 2002.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, 3ª Edição. Editora:

Harbra ltda, 2001.

http://www.hottopos.com/regeq2/sao_os_liquidos_incompressiveis.htm

<Acesso em 09 de Novembro de 2008>

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Page 27: Derivadas  Parciais

http://linux.alfamaweb.com.br/sgw/downloads/

38_084525_DerivadaeCinematica2aparte.doc <Acesso em 09 de Outubro de 2008>

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