DERIVADAS PARCIAIS

24
DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS Def. 1: Seja w = f(P) = f(x 1 ,x 2 , ... ,x n ) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P 0 ao número real: w f P f P f x x x x x x f x x x n n n = = + + + ( ) ( ) ( , , , ) ( , , , ) 0 1 1 2 2 1 2 K K . Vamos considerar os seguintes casos: 1 0 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f x ( ) , temos que P = x, P 0 = x 0 e y = f x () f(x 0 ) = f x x f x ( ) ( ) 0 0 + . Geometricamente: y f(x 0 +x) f(x 0 ) x 0 x 0 +x x y x f x x f x x = + ( ) ( ) 0 0 = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x 0 , x 0 + x] e dy dx y x f x x f x x f x x x = = + = lim lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = taxa de variação (instantânea) de y em relação a x, a partir de x 0 , por unidade de variação de x. = f x dy dx ( ) 0 é a derivada total de y = f x ( ) no ponto x 0 . Exemplo: Consideremos a função y x = , x 0 = 9. Então, f x ( ) 0 3 = e = = f x x ( ) 0 0 1 2 1 6 . Isto significa que se: (a) x x 0 +∆ = 10, então f x x ( ) 0 +∆ = 3 + 1/6; (b) x x 0 +∆ = 11, então f x x ( ) 0 +∆ = 3 + 2(1/6); (c) x x 0 +∆ = 8, então f x x ( ) 0 +∆ = 3 1/6. 2 0 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z = f xy ( , ) , temos P = (x,y), P 0 = (x 0 , y 0 ) e z f P f P f x xy y f x y = = + + ( ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 . Geometricamente: z f(x 0 +x,y 0 +y) z f(x 0 ,y 0 ) y 0 y 0 +y x 0 P 0 y x 0 +x P=(x 0 +x,y 0 +) x

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Page 1: DERIVADAS PARCIAIS

DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2, ... ,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real: ∆ ∆ ∆ ∆w f P f P f x x x x x x f x x xn n n= − = + + + −( ) ( ) ( , , , ) ( , , , )0 1 1 2 2 1 2K K . Vamos considerar os seguintes casos: 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f x( ) , temos que P = x, P0 = x0 e ∆y = f x( )− f(x0) = f x x f x( ) ( )0 0+ −∆ . Geometricamente: y f(x0+∆x) f(x0) x0 x0+∆x x ∆∆

∆∆

yx

f x x f xx

=+ −( ) ( )0 0 = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x0 + ∆x]

e dydx

yx

f x x f xx

f xx x

= =+ −

= ′→ →

lim lim( ) ( )

( )∆ ∆

∆∆

∆∆0 0

0 00 = taxa de variação (instantânea) de y em relação

a x, a partir de x0, por unidade de variação de x.

′ =f xdydx

( )0 é a derivada total de y = f x( ) no ponto x0.

Exemplo: Consideremos a função y x= , x0 = 9. Então, f x( )0 3= e ′ = =f xx

( )00

12

16

.

Isto significa que se: (a) x x0 + ∆ = 10, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 1/6; (b) x x0 + ∆ = 11, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 2(1/6); (c) x x0 + ∆ = 8, então f x x( )0 + ∆ = 3 − 1/6. 20 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z = f x y( , ) , temos P = (x,y), P0 = (x0, y0) e ∆ ∆ ∆z f P f P f x x y y f x y= − = + + −( ) ( ) ( , ) ( , )0 0 0 0 0 . Geometricamente: z f(x0+∆x,y0+∆y) ∆z f(x0,y0) y0 y0+∆y x0 P0 y

x0+∆x P=(x0+∆x,y0+∆)

x

Page 2: DERIVADAS PARCIAIS

Neste caso, ∆z depende das variações de ∆x e de ∆y. Vamos considerar, então, que ∆z de-

pende da distância do ponto P0 ao ponto P, d(P0,P), que representa o módulo do vetor P P0

→ =

P P− 0 . Portanto, por analogia, temos que:

∆z

d P P( )0 = taxa de variação média de z em relação às variações de x e y ou que, é a taxa de

variação média de z em relação à variação da distância entre P0 e P e, que,

dz

d P Pz

d P Pf P f P

P PP P P P( )lim

( )lim

( ) ( )

0 0

0

00 0

= =−

−→ →

∆= lim

( , ) ( , )( , ) ( , )∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆x y

f x x y y f x y

x y→

+ + −

+0 0

0 0 0 0

2 2

é a taxa de variação (instantânea) de z em relação a x e a y, a partir do ponto P0, por unidade de distância de P0 a P. É, por analogia, chamada de derivada total de z = f(P) no ponto P0 e, em rela-ção a x e a y. Exemplo: Calcular a derivada total de z = f x y( , ) = 3x2y, no ponto P0 = (1,2).

dzd P P

f x y fx y

x yx yx

yxy

( )lim

( , ) ( , )lim

( ) ( ) ( )

000

2 2 00

2 2

2 2

1 2 1 2 3 1 2 3 1 2=

+ + −

+=

+ + −

+→→

→→

∆∆

∆∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆ ou,

dzd P P( )0

= lim∆∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆xy

x y x x yx y→

+ + + + + −

+00

2 2

2 2

6 12 3 6 3 6 = lim

∆∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆xy

x y x x yx y→

+ + +

+00

2 2

2 2

12 3 6 3

Como o limite apresenta a indeterminação 00

e não apresenta simplificação, vamos usar os

caminhos: ( )

Cxy

x xx

x xxx

yx1 0

0

2

2 0

00

12 6 12 612

∆∆

∆ ∆

∆ ∆∆∆

∆∆

→=

⇒+

=+

=→=

→ lim lim e

Cxy

yyx

y

2 00

00

33

∆∆

∆∆∆

=→

⇒ ==→

lim

Como os resultados são diferentes, não existe o limite. Isto é, esta função não tem derivada total no ponto (1,2). Obs.: Em geral, z = f x y( , ) não tem derivada total. Mas, em particular, vamos considerar os resul-tados dos limites por caminhos, isto é, as derivadas por caminhos ou, as derivadas parciais, defini-das por: Def. 2: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x, ao número real f x yx ( , )0 0 , definido por

f x yf x x y f x y

xzx

x yx x( , ) lim

( , ) ( )( , ),

0 0 0

0 0 0 00 0=

+ −=

→∆

∆∆

∂∂

desde que o limite exista. Obs.: Usamos a letra d para indicar a derivada total. Para não confundir, usamos a letra d do alfabe-to Ronde, ∂ , para indicar a derivada parcial. Analogamente, podemos ter a derivada parcial em relação a y, isto é:

Page 3: DERIVADAS PARCIAIS

Def. 3: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a y, ao número real f x yy ( , )0 0 , definido por

f x yf x y y f x y

yzy

x yy y( , ) lim

( , ) ( , )( , )0 0 0

0 0 0 00 0=

+ −=

→∆

∆∆

∂∂

desde que o limite exista. Exemplos: 1) Determine as derivadas parciais de z = f x y( , ) = 3x2y no ponto (1,2) e, em relação a x e, em relação a y. Solução: (a) Em relação a x:

ff x f

xx

xx x x( , ) lim

( , ) ( , )lim

( ) ( )1 2

1 2 1 2 3 1 2 3 1 20 0

2 2

=+ −

=+ −

→ →∆ ∆

∆∆

∆∆

= fx x

xx x( , ) lim1 2

6 12 6 60

2

=+ + −

→∆

∆ ∆∆

fx x

xx x( , ) lim

( )1 2

12 612

0=

+=

→∆

∆ ∆∆

.

(b) Em relação a y:

ff y f

yyyy y y

( , ) lim( , ) ( , )

lim( ) ( ) ( )

1 21 2 1 2 3 1 2 3 1 2

0 0

2 2

=+ −

=+ −

→ →∆ ∆

∆∆

∆∆

= lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆y y

yy

yy→ →

+ −= =

0 0

6 3 6 33.

2) Idem (1) para P0 = (x0,y0) genérico. Solução: (a) Em relação a x:

f x yf x x y f x y

xx x( , ) lim

( , ) ( , )0 0 0

0 0 0 0=+ −

→∆

∆∆

= lim( )

∆∆x

x x y x yx→

+ −0

02

0 02

03 3 ∴

f x yx ( , )0 0 = lim∆

∆ ∆∆x

x y x y x y x x yx→

+ + −0

02

0 0 0 03

02

03 6 3 3 = lim

( )∆

∆ ∆∆x

x y y x xx→

+0

0 0 06 3 ∴

f x y x yx ( , )0 0 0 06= . (b) Em relação a y:

f x yf x y y f x y

yy y( , ) lim

( , ) ( , )0 0 0

0 0 0 0=∆

∆∆→

+ − = lim

( )∆

∆∆y

x y y x yy→

+ −0

02

0 02

03 3 = lim

∆∆y

x yy→0

023

f x y xy ( , )0 0 023= .

Se a função z = f x y( , ) admite derivadas parciais em relação a x e a y em todos os pontos P0 de uma região D do plano IR2, dizemos que z = f x y( , ) é derivável parcialmente em relação a x e a y em D. Neste caso, podemos definir as funções derivadas parciais em D. Isto é:

(i) ∂∂

zx

f x yf x x y f x y

xx x= =

+ −→

( , ) lim( , ) ( , )

∆∆0

é a função derivada parcial de f x y( , ) em D;

(ii) ∂∂

zy

f x yf x y y f x y

yy y= =

+ −→

( , ) lim( , ) ( , )

∆∆0

é a função derivada parcial de f x y( , ) em D.

Page 4: DERIVADAS PARCIAIS

Exemplo: Vimos (ex. 2, anterior) que a função f x y( , ) = 3x2y tem derivada parcial em relação a x e em relação a y, em todos os pontos (x0,y0) do IR2. Logo, é derivável parcialmente em IR2 e, suas funções derivadas parciais ou apenas derivadas parciais são:

∂∂

zx

f x y xyx= =( , ) 6 e ∂∂

zy

f x y xy= =( , ) 3 2 .

CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE z = f(x,y) Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) não precisamos calcular os limites que as definem. Podemos usar as fórmulas de derivação usadas para o calculo das derivadas de y = f x( ) . (a) Derivada parcial em relação a x: Para calcularmos as derivadas parciais em relação a x, vamos usar a função auxiliar ϕ (x) = f x y( , )0 em que consideramos y = y0 constante. Então:

∂∂

zx=

∂∂

ϕ ϕϕ

zx

f x yf x x y f x y

xx x x

xx

y yx x x

= =

+ −=

+ −= ′

=→ →

0

0 0

0 0

0( , ) lim

( , ) ( , )lim

( ) ( )( )

∆ ∆

∆∆

∆∆

.

Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a x de z = f x y( , ) = 3x2y. Sol.: Considerando y = y0 = b (constante), temos a função auxiliar ϕ (x) = f x b( , ) = 3x2b.

Derivando ϕ em relação a x, obtemos ϕ‘(x) = 6xb. Como ∂∂

zx

xby b

=

= 6 = ϕ‘(x), voltamos com o

valor b = y obtendo ∂∂

zx

xy= 6 que é a derivada de f x y( , ) em relação a x.

2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. Sol.: Para y = y0 = b (constante), a função auxiliar é ϕ (x) = x2 + b2 + 3xb2 + 5x − b + 10. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = 2x + 3b2 + 5. Voltando com b = y, temos que, ∂∂

zx

f x y x yx= =( , ) 2 3 52+ + .

(b) Derivada parcial em relação a y: De modo análogo, vamos usar a função auxiliar ψ(y) = f x y( , )0 em que considera-mos x = x0 constante. Então:

∂∂

zy=

∂∂

ψ ψψ

zy

f x yf x y y f x y

yy y y

yy

x xy y y

= =

+ −=

+ −= ′

=→ →

0

0 0

0 0

0( , ) lim

( , ) ( , )lim

( ) ( )( )

∆ ∆

∆∆

∆∆

.

Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a y de z = f x y( , ) = 3x2y. Sol.: Considerando x = x0 = a (constante), temos a função auxiliar ψ (y) = f a y( , ) = 3a2y.

Derivando ψ em relação a y, obtemos ψ ‘(y) = 3a2. Como ∂∂

zy

ax a

=

= 3 2 = ψ ‘(y), voltamos com o

valor a = x obtendo ∂∂

zy

x= 3 2 que é a derivada de f x y( , ) em relação a y.

Page 5: DERIVADAS PARCIAIS

2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. Sol.: Para x = x0 = a (constante), a função auxiliar é ψ (y) = a2 + y2 + 3ay2 + 5a − y + 10. Derivando em relação a y obtemos ψ ‘(y) = 2y + 6ay −1. Voltando com a = x, temos que, ∂∂

zy

f x y y xyy= =( , ) 2 6 1+ − .

30 CASO: Para as funções do tipo w = f x y z( , , ) , de três variáveis, temos que P = (x,y,z), P0 = (x0,y0,z0) e ∆w = f(P) − f(P0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − f(x0,y0,z0). Neste caso, não temos representação geométrica e, por analogia, concluímos que não existe a derivada total de w = f x y z( , , ) em relação conjunta às três variáveis x, y e z. Mas, existem as deri-vadas parciais, isto é: Def. 4: Dada a função w = f x y z( , , ) das três variáveis x, y, z e, o ponto P0 = (x0,y0,z0), en-tão, temos que a derivada parcial de w = f(x,y,z), no ponto P0 e, (i) em relação a x, é dada por

∂∂wx

f x y zf x x y z f x y z

xx x= =

+ −→

( , , ) lim( , , ) ( , , )

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

∆∆

;

(ii) em relação a y, é dada por

∂∂wy

f x y zf x y y z f x y z

yy y= =

+ −→

( , , ) lim( , , ) ( , , )

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

∆∆

;

(iii) em relação a z, é dada por

∂∂wz

f x y zf x y z z f x y z

zz z= =

+ −→

( , , ) lim( , , ) ( , , )

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

∆∆

,

desde que os limites existam. Se as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) existem em todos os pontos P = (x0,y0,z0) de uma região R do IR3, dizemos que w = f x y z( , , ) é derivável parcialmente em R e, podemos calcular suas funções derivadas parciais em relação a x, y e z. (Basta trocar na definição 4, x0 por x, y0 por y, z0 por z e, calcular os limites). Exemplo: Calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z da função w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10. Sol.: (a) Em relação a x: ∂∂wx

f x x y z f x y zxx

= lim( , , ) ( , , )

∆∆→

+ −0

∂∂wx

= lim( ) ( ) ( )

∆ ∆ ∆∆x

x x y z x x y yz x x z x y z xy yz xzx→

+ − + + − + + − + − + −0

3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10

∂∂wx

x y z x x z x y z x y x z xxx

= lim∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆→

+ + − −0

2 2 2 2 2 33 3 5 2 = 3x2y2z − 5y − 2z.

(b) Em relação a y: ∂∂wy

f x y y z f x y zyy

= lim( , , ) ( , , )

∆∆→

+ −0

∂∂wy

= lim( ) ( ) ( )

∆ ∆ ∆∆y

x y y z x y y y y z xz x y z xy yz xzy→

+ − + + + − + − + − + −0

3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10

∂∂wy

= lim∆

∆ ∆∆y

x yz x y z yy

x yz x z→

− +− +

0

332 5 3

2 5 3= .

Page 6: DERIVADAS PARCIAIS

(c) Em relação a z: ∂∂wz

f x y z z f x y zzz

= lim( , , ) ( , , )

∆∆→

+ −0

∂∂wz

= lim( ) ( ) ( )

∆ ∆ ∆∆z

x y z z xy y z z x z z x y z xy yz xzz→

+ − + + − + + − + − + −0

3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10

∂∂wz

x y z y z x zz

x y y x= =3 2

3 23 23 2

∆ ∆ ∆∆

+ −+ − .

CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE w = f(x,y,z) De modo análogo ao caso anterior, vamos calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) em relação as variáveis x, y e z, usando funções auxiliares que são funções de uma única variável. Isto é, as duas outras variáveis são consideradas como constantes. (a) Derivação parcial em relação a x: Vamos considerar a função auxiliar ϕ(x) = f x y z( , , )0 0 em que y = y0 e z = z0 são constan-tes. Então:

∂∂

∂∂

ϕ ϕϕ

wx

wx

f x x y z f x y zx

x x xx

xy yz z

x x=

=

+ −=

+ −= ′

==

→ →0

0

0

0 0 0 0

0lim

( , , ) ( , , )lim

( ) ( )( )

∆ ∆

∆∆

∆∆

.

(b) Derivação parcial em relação a y: Vamos considerar a função auxiliar ψ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e z = z0 são constan-tes. Então:

∂∂

∂∂

ψ ψψ

wy

wy

f x y y z f x y zy

y y yy

yx xz z

y y=

=

+ −=

+ −= ′

==

→ →0

0

0

0 0 0 0

0lim

( , , ) ( , , )lim

( ) ( )( )

∆ ∆

∆∆

∆∆

.

(c) Derivação parcial em relação a z: Vamos considerar a função auxiliar λ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e y = y0 são constan-tes. Então:

. ∂∂

∂∂

λ λλ

wz

wz

f x y z z f x y zz

z z zz

zx xy y

x z=

=

+ −=

+ −= ′

==

→ →0

0

0

0 0 0 0

0lim

( , , ) ( , , )lim

( ) ( )( )

∆ ∆

∆∆

∆∆

.

Exemplos: 1) Calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10, em rela-ção a x, y e z. Sol.: (a) Em relação a x: Fazendo y = y0 = b e z = z0 = c, constantes, temos que ϕ(x) = f(x,b,c) = x3b2c − 5xb + 3bc − 2xc + 10. Derivando em relação a x, ϕ‘(x) = 3x2b2c − 5b − 2c. Voltando com os valores de b = y, c

= z, obtemos ∂∂wx

f x y z x y z y zx= = − −( , , ) 3 5 22 2 .

(b) Em relação a y: Para x = x0 = a e z = z0 = c, constantes, ψ(y) = f(a,y,c) = a3y2c − 5ay + 3yc − 2ac + 10. Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = 2a3yc − 5a + 3c. Voltando com a = x e c = z, resulta

que ∂∂wy

f x y z x yz x zy= = − +( , , ) 2 5 33 .

Page 7: DERIVADAS PARCIAIS

(c) Em relação a z: Considerando x = x0 = a e y = y0 = b, resulta que λ(z) = f(a,b,z) = a3b2z − 5ab + 3bz − 2az + 10. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = a3b2 + 3b − 2a. Voltando com os valores de a =

x, b = y, resulta ∂∂wz

f x y z x y y xz= = + −( , , ) 3 2 3 2 .

40 CASO: GENERALIZAÇÃO Dada a função de n variáveis w = f(x1,x2, . . . ,xn) então, suas derivadas parciais em relação d cada uma das n variáveis é dada por:

(a) ∂∂

wx

f x x x x f x x xxx

n n

1 0

1 1 2 1 2

11

=+ −

→lim

( , , , ) ( , , , )∆

∆∆

K K;

(b) ∂∂

wx

f x x x x f x x xxx

n n

2 0

1 2 2 1 2

22

=+ −

→lim

( , , , ) ( , , , )∆

∆∆

K K;

M

(n) ∂∂

wx

f x x x x f x x xxn x

n n n

nn

=+ −

→lim

( , , , ) ( , , , )∆

∆∆0

1 2 1 2K K,

desde que os limites existam. As derivadas parciais podem ser calculadas diretamente se considerarmos as outras variáveis como constantes. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Calcular as funções derivadas parciais de z = f x y( , ) = 9 2 2− −x y . Em seguida, calcu-lar fx (2,1) e fy(2,1). Sol.: (a) Em relação a x: Para y = b, temos que ϕ (x) = f(x,b) = 9 2 2− −x b . Derivando em relação a x, obtemos:

ϕ‘(x) = −

− −

22 9 2 2

xx b

. Voltando com y = b, temos que fx(x,y) = −

− −

xx y9 2 2

e fx (2,1) = −1;

(b) Em relação a y: Considerando x = a, temos que ψ(y) = f(a,y) = 9 2 2− −a y . Derivando em relação a y,

obtemos ψ‘(y) = −

− −

22 9 2 2

ya y

. Voltando com x = a, temos que fy(x,y) = −

− −

yx y9 2 2

e que

fy(2,1) = − ½ . 2) Calcular as derivadas parciais de z = ln(x2 + xy + y2) Sol.: (a) Em relação a x:

Fazendo y = b, resulta que ϕ(x) = ln(x2 + xb + b2) cuja derivada é ϕ‘(x) = 2

2 2

x bx xb b

++ +

.

Como b = y, temos que ∂∂

zx

x yx xy y

=+

+ +2

2 2 ;

Page 8: DERIVADAS PARCIAIS

(b) Em relação a y:

Para x = a, ψ(y) = ln(a2 + ay + y2) e sua derivada é ψ‘(y) = a y

a ay y+

+ +2

2 2 . Substituindo a

por x, obtemos ∂∂

zy

x yx xy y

=+

+ +2

2 2 .

3) Calcular ∂∂

zx

e ∂∂

zy

para zxy

x y=

+2

2 2 .

Sol.:

(a) Cálculo de ∂∂

zx

:

Para y = b, ϕ(x) = 22 2

xbx b+

e ϕ‘(x) = 2 2 22 2

2 2 2

b x y bx xx b

( ) ( )( )+ −

+ =

2 22

2 2 2

by bxx b

−+( )

. Logo, como

b = y, temos que ∂∂

zx

= 2 23

2 2 2

y xyx y

−+( )

.

(b) Em relação a y:

Fazendo x = a, ψ(y) = 2

2 2

aya y+

e ψ‘(y) = 2 2 22 2

2 2 2

a x y ay yx y

( ) ( )( )+ −

+ =

2 22 2

2 2 2

ax aya y

−+( )

. Logo,

como a = x, temos que ∂∂

zy

= 2 23

2 2 2

x xyx y

−+( )

.

4) Determine as derivadas parciais de zyx

= arctg .

Sol.: (a) Em relação a x:

ϕ(x) = f(x,b) = arctgbx

. Derivando, ϕ‘(x) =

+

+

bx

bx

bx

x bx

2

2

2

2 2

21= = −

+−+

bxx x y

bx y

2

2 2 2 2 2( )= .

Portanto, ∂∂

zx

= −+y

x y2 2 .

(b) Em relação a y:

ψ(y) = f(a,y) = arctgya

. Derivando, ψ‘(y) =

1

1

1

2 2 2

2

aya

aa y

a+

+= =

aa a y

2

2 2( )+. Simplificando

por a, e substituindo a por x, obtemos ∂∂

zy

= x

x y2 2+.

5) Se z xy= tg , determine suas derivadas parciais. Sol.: (a) Em relação a x:

ϕ(x) = f(x,b) = tgxb . Derivando, ϕ‘(x) = ( )sec2

1

x

b xbb tg−

. Para b = y, temos ∂∂

zx

= ( )sec2

1

x

y xyy tg−

.

Page 9: DERIVADAS PARCIAIS

(b) Em relação a y: ψ(y) = f(a,y) = tgay . Para derivarmos, vamos escrever na forma ψ(y) = f(a,y) =

( ) yy aa1

tg=tg . Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = ( ) ay

a y tgln1tg 2

1

− . Para a = x, temos

∂∂

zy

= −tg

tgx

yx

y

2 ln .

6) Determine as derivadas parciais de w = xy2z3 − 5xy + 3yz. Sol.: A função w é uma função das três variáveis x, y e z. Devemos então calcular as três de-rivadas parciais. Isto é: (a) Em relação a x: Considerando y = b e z = c, constantes, obtemos a função auxiliar ϕ(x) = f(x,b,c) = xb2c3 − 5xb + 3bc. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = b2c3 − 5b. Voltando com o b = y e c = z,

obtemos ∂∂wx

= y2z3 − 5y.

(b) Em relação a y: Para x = a e z = c, temos que ψ(y) = f(a,y,c) = ay2c3 − 5ac + 3yc. Derivando, ψ‘(y) = 2ayc3 + 3c.

Voltando com os valores de a = x e c = z, obtemos ∂∂wy

= 2xyz3 + 3z.

(c) Em relação a z: Considerando x = a e y = b, constantes, temos que λ(z) = f(a,b,z) = ab2z3 − 5ab + 3bz. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = 3ab2z2 + 3b. Voltando com a = x e b = y, temos que ∂∂wz

= 3xy2z2 + 3y.

7) Calcule as derivadas parciais de w = xyz. Sol.: a) Em relação a x:

ϕ(x) = f(x,b,c) = xbc. Derivando, ϕ‘(x) = bc. Logo, ∂∂wx

= yz.

(b) Em relação a y:

ψ(y) = f(a,y,c) = ayc. Derivando, ψ‘(y) = acyc -- 1. Portanto, ∂∂wy

= xzyz − 1 .

(c) Em relação a z:

λ(z) = f(a,b,z) = abz. Derivando, λ‘(z) = abzlnb. Logo, ∂∂wz

= xyzlny.

8) Calcule as derivadas parciais de wxy

yz

zt

tu

= + + + .

Sol.: Aqui temos w = f(x,y,z,t,u). Vamos, então, calcular cinco derivadas parciais. (a) Em relação a x:

ϕ(x) = f(x,b,c,d,e) = xb

bc

cd

de

+ + + . Derivando, ϕ‘(x) = 1b

e ∂∂wx

= 1y

.

Page 10: DERIVADAS PARCIAIS

(b) Em relação a y:

ψ(y) = f(a,y,c,d,e) = ay

yc

cd

de

+ + + . Derivando, ψ‘(y) = − +ay c2

1. Logo,

∂∂wy

= − +xy z2

1.

(c) Em relação a z:

λ(z) = f(a,b,z,d,e) = ab

bz

zd

de

+ + + . Derivando, λ‘(z) = − +bz d2

1. Logo,

∂∂wz

= − +yz t2

1.

(d) Em relação a t:

θ(t) = f(a,b,c,t,e) = ab

bc

ct

te

+ + + . Derivando, θ‘(t) = − +ct e2

1. Logo,

∂∂wt

= − +zt u2

1.

(e) Em relação a u:

ρ(u) = f(a,b,c,d,u) = ab

bc

cd

du

+ + + . Derivando, ρ‘(u) = −du2 . Logo,

∂∂wu

= −t

u2 .

9) Mostre que se zx y

x y=

2 2+−

então, x∂∂

zx

+ y∂∂

zy

= z.

Sol.: (a) ∂∂

zx

= ( )

2 1 22 2

2

2 2

2

x x y x y

x y

x xy yx y

( ) ( )( )( )

− − +

− −−

= ;

(b) ∂∂

zy

= 2 1 22 2

2

2 2

2

y x y x yx y

x xy yx y

( ) ( )( )( ) ( )

− − + −−

+ −−

= .

Substituindo na equação a derivadas parciais, obtemos:

x∂∂

zx

+ y∂∂

zy

= xx xy y

x yy

x xy yx y

2 2

2

2 2

2

2 2− −−

+

+ −−

( ) ( ) =

x x y xy x y xy yx y

3 2 2 2 2 3

2

2 2− − + + −−( )

x∂∂

zx

+ y∂∂

zy

= x x y y x y

x y

2 2

2

( ) ( )( )− + −

− =

x yx y

z2 2+−

= . #

10) Se x = ρcosθ e y = ρsenθ , determine

∂∂ρ

∂∂θ

∂∂ρ

∂∂θ

x x

y y .

Sol.: Derivando parcialmente as funções x = f(ρ,θ) e y = f(ρ,θ), obtemos:

∂∂ρ

θx

= cos , ∂∂θ

ρ θx

= − sen , ∂∂ρ

θy

= sen e ∂∂θ

ρ θy

= cos . Substituindo no determinante,

obtemos:

∂∂ρ

∂∂θ

∂∂ρ

∂∂θ

θ ρ θθ ρ θ

ρ θ ρ θ

x x

y y = =cos sensen cos cos sen

−+2 2 = ρ(cos2θ + sen2θ ) = ρ.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (I) Calcular as derivadas parciais de z = f(x,y) em relação a x e a y de: 1) f x y( , ) = 2x − 7y2, no ponto (1,2) 2) f x y( , ) = x2 + 3xy − y2, no ponto (2,1) 3) f x y( , ) = 1 − 3xy, no ponto (1,2) 4) f x y( , ) = xy2 − 3x2y3, no ponto (1, −1)

Page 11: DERIVADAS PARCIAIS

5) f x y xyxy

( , ) = + , no ponto (2,1)

(II) Calcular as derivadas parciais das seguintes funções:

1) f x y( , ) = 3x2 − 2xy + 5y4 + xy2 − 4x + y + 7 2) f x y( , ) = x2 + xy x y12

13 2+

3) f x y( , ) = x y2 75 4) f x y( , ) = 13 23 x y

5) f x y( , ) = x y2 2− 6) f x y( , ) = x y − 7

7) z = ex+y 8) z = xy

9) z = x2cosy 10) z = 3cos(xy) + 5sen(xy)

11) zx yx y

=−+

12) z = xcosy + ysenx

13) z x y= +ln 2 2 14) z = 1 − y2

15) f x yxy

x y( , ) =

+2

2 2 16) z = xy

17) zyx

= arctg 18) ( )z x x y= + +ln 2 2

19) z eyx=

sen 20) z

x yx y

=−+

arcsen2 2

2 2

21) zx

y=

+ln sen

1 22) z

e ex y

x y

=++cos sen

23) f x y zy xz

x y z( , , ) =

++ +

3 2

2 2 2 24) f x y z( , , ) = ln(xy + z)

25) w = (xy)z 26) w = x y z

x y z+ +

+ +2 2 2

27) w = zxy 28) w exyz

xyz= + arctg3

2

29) w x y z= + +ln 2 2 2 30) f x y z t xyzt( , , , ) ( )= arctg (III) Verificar as identidades ou calcular o valor de:

1) Se zx

x y=

2

2 2+, então, x

zx

yzy

z∂∂

∂∂

+ = 2) Se zx

x y= 2 2+

, então, xzx

yzy

∂∂

∂∂

+ =

3) Se z xy xeyx= + , então, x

zx

yzy

xy z∂∂

∂∂

+ += 4) Se zyx

= ln , então, xzx

yzy

∂∂

∂∂

+ =

5) Se w = (x− y)(y− z)(z− x), então, ∂∂

∂∂

∂∂

wx

wy

wz

+ + =

6) Se w xx yx z

= +−−

, então, ∂∂

∂∂

∂∂

wx

wy

wz

+ + =

Page 12: DERIVADAS PARCIAIS

DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Se a função w = f(P) admite derivadas parciais em relação a todas as variáveis independen-tes, x1,x2, ..., xn e, estas funções derivadas parciais admitem derivadas parciais em relação a todas as variáveis, então, suas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de w = f(P). Se as derivadas de segunda ordem são parcialmente deriváveis, suas derivadas são chamadas de derivadas parciais de terceira ordem de w = f(P) e, assim, sucessivamente. 1) Para z = f(x, y), temos as seguintes derivadas sucessivas:

z f x y

zx

fzy

f

ordem

zx

f

zy x

f

zx y

f

zy

f

ordem

zx

f

zy x

f

zx y x

f

zy x

f

zx y

f

zy x y

f

zx y

f

zy

f

x

y

a

xx

xy

yx

yy

a

xxx

xxy

xyx

xyy

yxx

yxy

yyx

==

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

( , )

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂∂

∂ ∂∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂∂

∂ ∂∂∂

1

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2

3

3

1 24 34

1 244 344

yyy

a ordem

31 244 344

Obs.: O número de derivadas parciais é 2n em que n é a ordem das derivadas. Exemplo: Calcular as derivadas de 3a ordem de z = f x y( , ) = x4y5 + 5x3y3 − 4x2y − 5 Sol.: Derivadas de primeira ordem ∂∂

zx

= 4x3y5 + 15x2y3 − 4xy2 +3 ∂∂

zy

= 5x4y4 + 15x3y2 − 4x2y − 5

Derivadas de segunda ordem

∂∂

zx 2 = 12x2y5 + 30xy3 − 4y2

∂∂ ∂

2 zx y

= 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy

∂∂ ∂

2 zy x

= 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy ∂∂

2

2

zy

= 20x4y3 + 30x3y − 4x2

Derivadas de terceira ordem

∂∂

3

3

zx

= 24xy5 + 30y3 ∂∂ ∂

3

2

zy x

= 60x2y4 + 90xy2 − 8y

∂∂ ∂

3

2

zx y

= 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂

∂ ∂ ∂

3zy x y

= 80x3y3 + 90x2y − 8x

∂∂ ∂ ∂

3zx y x

= 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂∂ ∂

3

2

zy x

= 80x3y3 + 90x2y − 8x

∂∂ ∂

3

2

zx y

= 80x3y3 + 90x2y − 8x ∂∂

3

3

zy

= 60x4y2 + 30x3

Page 13: DERIVADAS PARCIAIS

2) Para w = f(x, y, z), temos as seguintes derivadas parciais

w f x y z

wx

fwy

f

wz

f

ordem

wx

f

wy x

f

wz x

f

wx y

f

wy

f

wz y

f

wx z

f

wy z

f

wz

f

ordem

x

y

z

a

xx

xy

xz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

a

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

( , , )

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 24 34

1 244 344

Obs.: O número de derivadas parciais é 3n em que n é a ordem das derivadas. Exemplo: Calcular as derivadas de segunda ordem de w = f x y z( , , ) = x3y4z5 + x2y2z2 + 3xyz + 5x − 6y + 7z − 12. Sol.: Derivadas de primeira ordem

∂∂wx

= 3x2y4z5 + 2xy2z2 + 3yz + 5 ∂∂wy

= 4x3y3z5 + 2x2yz2 + 3xz − 6 ∂∂wz

= 5x3y4z4 + 2x2y2z +

3xy + 7 Derivadas de segunda ordem ∂∂

2

2

wx

= 6xy4z5 + 2y2z2 ∂∂ ∂

2wy x

= 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z ∂∂ ∂

2 wz x

= 15x2y4z4 + 4xy2z +

3y ∂∂ ∂

2wx y

= 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z ∂∂

2

2

wy

= 12x3y2z5 + 2x2z2 ∂∂ ∂

2 wz y

= 20x3y3z4 + 4x2yz +

3x ∂∂ ∂

2 wx z

= 15x2y4z4 + 4xy2z + 3y ∂∂ ∂

2 wy z

= 20x3y3z4 + 4x2yz + 3x ∂∂

2

2

wz

= 20x3y4z4 + 2x2y2

Teorema 1: Se a função w = f(P) admite derivadas parciais mistas de ordem n, contínuas em uma região R do IRn, então, suas derivadas parciais mistas são iguais.

Page 14: DERIVADAS PARCIAIS

INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS 1) DA FUNÇÃO z = f(x,y) 1.1) GEOMÉTRICA Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) , usamos as funções auxiliares ϕ(x) = f(x,y0) e ψ(y) = f(x0,y) nas quais, y0 e x0 são, respectivamente, constantes. (a) Em relação a x: A função ϕ(x) = f(x, y0) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de z = f x y( , ) com o plano y = y0 = constante. Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0 + ∆x,y0) sobre a curva ϕ(x). A reta s que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular

da reta s é dado por mx x x

xs =+ −ϕ ϕ( ) ( )0 0∆

∆ =

f x x y f x yx

( , ) ( , )0 0 0 0+ −∆∆

.

Se o ponto P desliza sobre ϕ(x) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angular é dado por

mx x x

xt x=

+ −→

lim( ) ( )

∆∆0

0 0ϕ ϕ = lim

( , ) ( , )∆

∆∆x

f x x y f x yx→

+ −0

0 0 0 0 = ϕ‘(x0) = fx(x0,y0)

Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0, y0, z0). A reta t, tangente, pertence ao plano y = y0 = constante que é paralelo ao plano coor-denado x0z. Logo, o ângulo α que t forma com a reta y = y0 = constante, no plano x0y é o mesmo ângulo que t forma com o eixo 0x. Portanto:

f x yf P

xx ( , )( )

0 00=

∂∂

= tg α = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano x0z. Analogamente, (b) Em relação a y: A função ψ (y) = f(x0, y) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de z = f x y( , ) com o plano x = x0 = constante. Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0,y0 + ∆y) sobre a curva ψ(y). A reta s que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular

da reta s é dado por my y x

ys =+ −ψ ψ( ) ( )0 0∆

∆ =

f x y y f x yy

( , ) ( , )0 0 0+ −∆∆

.

Se o ponto P desliza sobre ψ(y) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angular é dado por

my y y

yt y=

+ −→

lim( ) ( )

∆∆0

0 0ψ ψ = lim

( , ) ( , )∆

∆∆y

f x y y f x yy→

+ −0

0 0 0 0 = ψ‘(y0) = fy(x0,y0)

Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0).

Page 15: DERIVADAS PARCIAIS

A reta t, tangente, pertence ao plano x = x0 = constante que é paralelo ao plano coor-denado y0z. Logo, o ângulo β que t forma com a reta x = x0 = constante, no plano x0y é o mesmo ângulo que t forma com o eixo 0y. Portanto:

f x yf P

yy ( , )( )

0 00=

∂∂

= tg β = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano y0z . Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, (a) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano x0z, isto é, na direção do eixo 0x; (b) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano y0z, isto é, na direção do eixo 0y; (c) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0x; (d) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0y. Sol.: As derivadas parciais de z = f x y( , ) são: fx(x,y) = −2x + 2 e fy(x,y) = −2y + 2 (a) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano x0z é uma reta que pertence ao plano y = 3 e tem como coeficiente angular fx(2,3) = − 4 + 2 = −2; (b) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano y0z é uma reta que pertence ao plano x = 2 e tem como coeficiente angular fy(2,3) = − 6 + 2 = −4; (c) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0x, é uma reta que pertence ao plano y = 1 e tem como coeficiente angular fx(1,1) = − 2 + 2 = 0; (a) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0y, é uma reta que pertence ao plano x = 1 e tem como coeficiente angular fy(1,1) = − 2 + 2 = 0. EQUAÇÕES DAS RETAS TANGENTES (a) A equação da reta t1, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale-la ao plano x0z, é dada por:

Na forma simétrica x x z z

f x yy y

x

−=

=

0 0

0 0

0

1 ( , )

ou, na forma paramétrica x xy yz z f x yx

= +== +

0

0

0 0 0

λ

λ

( , ).

(b) A equação da reta t2, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale-la ao plano y0z, é dada por:

Na forma simétrica y y z z

f x yx x

y

−=

=

0 0

0 0

0

1 ( , )

ou, na forma paramétrica x xy yz z f x yy

== += +

0

0

0 0 0

λ

λ ( , ).

Exemplo: Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, (a) no ponto (2,3,4); (b) no ponto (1,1,9). Sol.: Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(2,3) = −2; fy(2,3) = −4; fx(1,1) = 0 = fy(1,1), temos que:

Page 16: DERIVADAS PARCIAIS

(a) Paralela ao plano x0z é xyz

= = =

234 2

+

λ

λ e, paralela ao plano y0z é

xyz

= = =

234 4+−

λλ

(b) Paralela ao plano x0z é xyz

== =

119

+

λ e, paralela ao plano y0z é

xyz

= 1 = 1+= 9

λ

PLANO TANGENTE − RETA NORMAL As retas tangentes t1 e t2, se interceptam no ponto T = (x0,y0,z0). Logo, determinam um plano que passa por T e que contém as retas t1 e t2. Este plano é o plano tangente ao gráfico de z = f x y z( , , ) , no ponto T. Sua equação geral é dada por z - z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y− y0) cujo vetor normal é r r rn v v= 1 2× , em que rv1 é o vetor diretor de t1 e, rv 2 é o vetor diretor de t2. Isto é,

r r r

r r r

r r rn v v

i j ki j k= 1 2 0

0

0 01 00 1

× = = − − +f Pf P

f P f Px

y

x y( )( )

( ) ( ) ou, r r r rn i j k= + −f P f Px y( ) ( )0 0 .

Obs.: Para P = (x0 + ∆x, y0 +∆y) pertencente a uma vizinhança de P0, o valor de z = f x y( , ) , isto é, o valor de f(P) = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) pode ser calculado, aproximadamente, sobre o plano tangente. Ou seja, vale que z = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) ≅ zplano. A reta normal ao gráfico de z = f x y( , ) no ponto T = (x0,y0,z0), tem como vetor diretor o

vetor rn . Logo, suas equações paramétricas são x x f x yy y f x yz z

x

y

= −= −= +

0 0 0

0 0 0

0

λλλ

( , )( , )

e, as equações simétricas são

x xf x y

y yf x y

z zx y

−−

=−

−= −

0

0 0

0

0 00( , ) ( , )

.

Exemplo: Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y nos pontos: (a) (2,3,4) (b) (1,1,9) Sol.: (a) Considerando os resultados dos exemplos anteriores, isto é, que fx(2,3) = −2,

fy(2,3) = − 4 e que rv1 = (1,0,−2) e rv 2 = (0,1,−4 ), temos que: r r r

r r r

n v vi j k

1 2= =× −−

1 0 20 1 4

= 2ri + 4

rj +

rk é o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é 2x + 4y + z + d = 0. Como o ponto (2,3,4) pertence ao plano, 2.2 + 4.3 + 4 + d = 0, ou, d = −20. Logo, a equação do plano tan-gente é 2x + 4y − z −20 = 0. Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que: z − 4 = −2(x − 2) − 4(y − 3) ou que 2x + 4y + z −20 = 0.

Page 17: DERIVADAS PARCIAIS

A equação simétrica da reta normal é x y

z− −

22

34

4= = e, as paramétricas são

xyz

===

2 23 44

+++

λλλ

.

(b) Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(1,1) = fy(1,1) = 0, e que

rv1 = (1,0,0) e rv 2 = (0,1,0), temos que: r r r

r r r

n v vi j k

= =1 2 1 0 00 1 0

× = 0ri + 0

rj −

rk é o vetor normal ao

plano tangente. A equação do plano tangente é: − z + d = 0. Como o ponto (1,1,9) pertence ao plano tangente, −9 + d = 0 ou que, d = 9. Logo, a equação do plano tangente é z −9 = 0 ou z = 9. Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que, z − 9 = 0(x −1) + 0(y −1) ou que z − 9 = 0.

As equações simétricas e paramétricas da reta normal são idênticas e valem

+ λ9=0=0=

zyx

.

1.2) TAXA DE VARIAÇÃO Vimos que não existe a derivada total de z = f x y( , ) , no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x e a y, simultaneamente. Mas, podemos avaliar as variações de z em relação a x e, em relação a y, em separado. Isto é: (a) Em relação a x: A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e

P = (x0 + ∆x,y0), isto é, na direção do vetor P P0

→ ou, do eixo 0x, é dada por

∆∆ ∆

∆∆

zx

f P f Px

f x x y f x yx

= =( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 .

A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto P0 e na direção positiva do eixo 0x, é dada por

lim( ) ( )

lim( , ) ( , )

( , ) ( )∆ ∆∆

∆∆x x x

f P f Px

f x x y f x yx

f x yzx

P→ →

− + −0

0

0

0 0 0 00 0 0= = =

∂∂

ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação de z por unidade de variação de x, na direção positiva do eixo 0x, a partir de P0 = (x0,y0). Analogamente: (b) Em relação a y: A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e

P = (x0,y0 +∆y), isto é, na direção do vetor P P0

→ ou, do eixo 0y, é dada por

∆∆ ∆

∆∆

zy

f P f Py

f x y y f x yy

= =( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 .

A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto P0 e na direção positiva do eixo 0y, é dada por

Page 18: DERIVADAS PARCIAIS

lim( ) ( )

lim( , ) ( , )

( , ) ( )∆ ∆∆

∆∆y y y

f P f Py

f x y y f x yy

f x yzy

P→ →

− + −0

0

0

0 0 0 00 0 0= = =

∂∂

ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação de z por unidade de variação de y, na direção positiva do eixo 0y, a partir de P0 = (x0,y0). Exemplo: 1) A temperatura do ponto (x,y) de uma placa metálica plana é dada por T(x,y) = 40 − 43 2 42 2− −x y (T em 0C, x e y em cm) (a) Determine a temperatura no ponto (3,2) e a equação da isoterma que passa por este ponto; (b) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação a x e a y? (c) Qual é a temperatura aproximada dos pontos (4,2); (3,3); (2,2) e (3,1)? Sol.: (a) T(3,2) = 40 − 43 2 3 4 22 2− −( ) ( ) = 40 −3 = 37 0C A isoterma que passa pelo ponto (3,2) é a equação de todos os pontos que tem temperatu-ra 37 0C, isto é, a curva de nível T(x,y) = 37 . Substituindo e desenvolvendo obtemos: 40 − 43 2 42 2− −x y = 37 ou (3)2 = 43 − 2x2 − 4y2 ou 2x2 + 4y2 = 34. (b) (i) Em relação a x:

∂∂Tx

= Tx(x,y) = −−

− −

42 43 2 42 2

xx y

= 2

43 2 42 2

xx y− −

e, no ponto (3,2),

∂∂

Tx

Tx

( , )( , )

3 23 2= =

2(3)9

= 63

= 2 0C/cm. (Temperatura aumenta de 20C por cm)

(ii) Em relação a y:

∂∂Ty

T x yy

x yy= =( , ) −

− −

82 43 2 42 2

= 4

43 2 42 2

yx y− −

e, no ponto (3,2),

∂∂

Ty

Ty

( , )( , )

( )3 23 2

4 29

= = =83

≅ 2,66 0C/cm. (Temperatura aumenta de 2,660C por cm)

(c) Os valores aproximados das temperaturas são: T(4,2) ≅ 370C + 20C.1cm = 370C + 20C = 390C T(3,3) ≅ 370C + 2,660C.1cm = 370C + 2,660C = 39,660C T(2,2) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 20C = 370C T(3,1) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 2,660C = 36,340C. 2) DA FUNÇÃO w = f(x,y,z) Vimos que esta função não tem representação geométrica (gráfico). Logo, só pode-mos interpretar suas derivadas parciais através da taxa de variação. Isto é: (a) Em relação a x: A taxa de variação média da função w = f x y z( , , ) entre os pontos P0 = (x0,y0,z0) e

P =(x0 + ∆x,y0,z0) é dada por ∆∆

∆∆

wx

f x x y z f x y zx

=+ −( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 . Logo, a taxa de variação

instantânea ou apenas taxa de variação de w = f x y z( , , ) , a partir de P0 e na direção de P0 a P, isto é, na direção positiva do eixo 0x, é dada por

Page 19: DERIVADAS PARCIAIS

lim( , , ) ( , , )

( , , )∆

∆∆x x

f x x y z f x y zx

f x y z→

+ −0

0 0 0 0 0 00 0 0=

que indica o quanto varia w por unidade de variação de x, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0x. (b) Analogamente, a derivada parcial de w = f x y z( , , ) no ponto P0 e em relação a y, indica a taxa de variação de w por unidade de variação de y, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0y e, (c) A derivada parcial de w = f x y z( , , ) , no ponto P0 e em relação a z, indica a taxa de vari-ação de w em relação a variação de z, a partir do ponto P0 e, na direção positiva do eixo 0z. GENERALIZAÇÃO Para w = f(x1,x2, . . ., xn), interpretamos cada derivada parcial como sendo a taxa de varia-ção de w por unidade de variação da respectiva variável xi, i = 1,2, ..., n, a partir do ponto P0 e na direção positiva do eixo xi. Exemplo: 1) O volume de um tronco de cone reto, com altura h, raio da base (maior) R e raio menor r,

é dado pela função V(h,r,R) = π3

2 2h r rR R( )+ + (V em unidades de volume e h,r,R em unidades

lineares) Em um determinado instante temos um tronco de cone de dimensões h = 10 cm, r = 2 cm e R = 5 cm. (a) Qual é o volume tronco do cone? (b) Se variarmos só a altura, qual é a variação do volume? (c) Se variarmos só o raio menor, qual é a variação do volume? (d) Qual é a variação do volume em relação ao raio da base? Sol.:

(a) O volume do tronco do cone é V = =π

π3

10 4 10 25 130( )+ + cm3.

(b) ∂∂

πVh

V h r R r rR Rh= =( , , ) ( )3

2 2+ + e Vh(10,2,5) = 13π cm3/cm.

(c) ∂∂

πVr

V h r R h r Rr= =( , , ) ( )3

2 + e Vr(10,2,5) = 30π cm3/cm.

(d) ∂∂

πVR

V h r R h r RR= =( , , ) ( )3

2+ e VR(10,2,5) = 40π cm3/cm.

2) O potencial elétrico dos pontos (x,y,z) de uma região do espaço é dado por V x y z x y z( , , ) ln= 2 2 2+ + (V em volts; x,y e z em cm) (a) Determine o potencial elétrico do ponto (1,2,2); (b) Qual é a superfície equipotencial que passa pelo ponto (1,2,2)? (c) Quais são as taxas de variação do potencial V, no ponto (1,2,2), em relação as variações de x, y e z? Sol.: (a) V ( , , ) ln1 2 2 1 2 22 2 2= + + = ln3 = 1,0986 volts. (b) A equação da superfície equipotencial é dada por V(x,y,z) = ln3 (é uma superfície de ní-vel)

Page 20: DERIVADAS PARCIAIS

Substituindo e desenvolvendo, ln x y z2 2 2+ + = ln3 ou x2 + y2 + z2 = 32 , isto é, to-dos os pontos que pertencem à esfera de centro na origem e raio 3 têm o mesmo potencial elétrico e ln3 volts. (c) As taxas de variação são dadas pelas derivadas parciais no ponto (1,2,2), isto ë: (i) Em relação a x:

∂∂Vx

V x y z

xx y z

x y zx

x y zx= = =( , , )

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

+ +

+ + + + e Vx(1,2,2) =

11 2 2

192 2 2+ +

=

volts/cm. (ii) Em relação a y:

∂∂Vy

V x y z

yx y z

x y zy

x y zy= = =( , , )

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

+ +

+ + + + e Vy(1,2,2) =

21 2 2

292 2 2+ +

= volts/cm.

(iii) Em relação a z:

∂∂Vz

V x y z

zx y z

x y zz

x y zz= = =( , , )

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

+ +

+ + + + e Vz(1,2,2) =

21 2 2

292 2 2+ +

= volts/cm.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcular as derivadas parciais de terceira ordem das seguintes funções: a) f x y( , ) = x4 + 5y3 + 3x2y + 8xy b) f x y( , ) = x3cosy + 4y2senx c) f x y( , ) = ln(x + y) d) z = x3e5y e) z = cos(3x + 5y) f) z = ln(x2 + y) g) z = excosy h) z = exseny

i) z x yyx

= arctg( )2 2+ j) z = lnx x y

x x y

− −

+ −

2 2

2 2

2) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:

a) z = arcseny

x 2 b) w = xy + yz + zx

c) z = xaybzc d) w = x y z2 2 2+ +

3) Verifique se ∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2zx y

zy x

= para:

a) z = arcsenx y

x−

b) z = 2 2xy y+

c) z = arctgx y

xy+−1

d) z = xy

Page 21: DERIVADAS PARCIAIS

4) a) Mostre que para a função f x y xyx yx y

x y

x y( , ) , ( , ) ( , )

( , ) ( , )=

−+

=

2 2

2 2 0 0

0 0 0

se

se , temos fxy(0,0) = −1 e

fyx(0,0) = 1;

b) Dada a função z = ye x2

, calcular ∂

∂ ∂

4

2 2

zx y

;

c) Mostre que a função z = x3 − 2xy2 verifica a equação xz

xy

zy x

zx

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2

2+ = ;

d) Mostre que a função z = xyx

yx

+ verifica a equação xz

xxy

zx y

yz

y2

2

2

22

2

22 0∂∂

∂∂ ∂

∂∂

+ + = ;

e) Mostre que a função z = tg(y + kx) + (y − kx)3/2 verifica a equação da corda vibrante, ∂∂

∂∂

2

22

2

2

zx

kz

y= ;

f) Quando dois resistores de resistências R1 ohms e R2 ohms são conectados em paralelo, sua re-

sistência combinada R em ohms é RR R

R R= 1 2

1 2+. Mostre que

∂∂

∂∂

2

12

2

22

2

1 24

4RR

RR

RR R

=( )+

5) Se f x y( , ) admite derivadas parciais de segunda ordem, chama-se Laplaciano de f à função:

r∇ = +2

2

2

2

2f x yf

xx y

fy

x y( , ) ( , ) ( , )∂∂

∂∂

Calcule r∇2 f x y( , ) para as seguintes funções:

a) f x y( , ) = x4 − y4 b) f x y( , ) = sen(x2 − y2) c) f x y( , ) = 1

2 2x y+

d) f x y( , ) = 2

2 2

xx y+

e) f x y( , ) = arctgyx

f) f x y( , ) = excosy

6) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de z = 10 22 2− −x y com o plano y = 1 no ponto em que x = 2.

7) Dada a função f x y yx y

( , ) = 22 2

1+

+, pede-se determinar:

a) O domínio de f; b) As derivadas parciais fx(3,4) e fy(3,4); c) O coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto em que y = 4. 8) Determine a equação do plano tangente e da reta normal às seguintes superfícies: a) z = x2 − 4y2, no ponto P0 = (5,−2) b) z = x2 + y2 , no ponto P0 = (3,4) c) z = x2 + y2 − 4x − 6y + 9, no ponto em que o plano tangente é paralelo ao plano x0y. 9) Através da equação do plano tangente, encontre um valor aproximado para: a) (1,02)3(0,97)2 b) (0,998)31,003 c) ( , ) ( , )4 05 2 932 2+

d) 8 002 3 9623 3, , e) 24 93681 082

,,

f) 36 24, tg44040’

10) Um ponto move-se ao longo da intersecção do parabolóide elíptico z = x2 + 3y2 e o plano x = 2. A que taxa está z variando em relação a x quando o ponto está em (2,1,7)?

Page 22: DERIVADAS PARCIAIS

11) Um ponto move-se ao longo da intersecção do plano y = 3 e superfície z x y= 29 2 2− − . Qual é a taxa de variação de z em relação a x e em relação a y quando o ponto está em (4,3,3)? 12) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa metálica plano é dada por T x y x y( , ) = 30 50 2 2+ − − . (T em 0C, x e y em cm) a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4); b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e a represente no plano x0y; c) Se a partir do ponto (3,4) um formiga caminhar na direção do eixo 0x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos graus por centímetro aproximadamente? 13) Em uma livraria, o lucro mensal L é uma função do número de vendedores, x, e do capital inves-tido em livros, y, (y em milhares de reais). Em uma certa época tem-se: L(x,y) = 400 − (12 − x)2 − (40 − y)2. a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos;

b) Calcule ∂∂

∂∂

Lx

Ly

( , ) ( , )7 30 7 30 e ;

c) O que é mais lucrativo, a partir da situação do item (a): − aumentar de uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido; − ou investir mais 1 mil reais, mantendo o número de vendedores? 14) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa é dada por T(x,y) = 2x2 + 3y2 + 15, (T em 0C, x e y em cm). a) Determine a equação da isoterma que passa por (1,2); b) Se a partir do ponto (1,2) nos movermos no sentido positivo do eixo 0x, a temperatura aumenta ou diminui? De quantos 0C por cm, aproximadamente? c) Em que ponto (a,b) a temperatura vale 45 0C, sendo a taxa de variação da temperatura em relação à distância percorrida na direção do eixo 0y, sentido positivo, igual a 12 0C/cm? (considere a e b positivos). 15) Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por C x y x y( , ) .= + +20 000 2 2 (C em reais). Em um certo mês, foram produzidas 3.000 unidades de A e 2.000 unidades de B. a) Calcule o custo da produção neste mês;

b) Calcule ∂∂

∂∂

Cx

Cy

e ;

c) O que é mais conveniente, a partir desta situação: aumentar a produção de A mantendo constante a de B, ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique com base nos resultados de (b). 16) A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x0y, de modo que a profundi-dade sob o ponto (x,y) é dada por f x y( , ) = 300 − 2x2 − 3y2, (unidades em metros). Se um esquiador aquático está na água no ponto (4,9), ache a taxa de variação da profundidade na direção leste e na direção norte.

17) O potencial elétrico V no ponto (x,y,z) é dado por V x y zx y z

( , , ) =+ +100

2 2 2 (V em volts, x, y e z

em cm). Ache a taxa de variação de V, no ponto (2,−1,1) na direção: a) do eixo 0x b) do eixo 0y c) do eixo 0z

Page 23: DERIVADAS PARCIAIS

18) A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula IV

R L=

+2 2 2ω, em que I é a corrente,

V a voltagem, R a resistência, L a indutância e ω uma constante positiva. Ache e interprete ∂∂

IR

e

∂∂

IL

.

19) A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula REI

= , em que I é a corrente

em ampères e E é a força eletromotriz em volts. Calcule e interprete o significado de ∂∂

∂∂

RI

RE

e

quando I = 15 ampères e E = 110 volts. 20) A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. Os supercomputadores modernos, entretanto, têm entre dois e vários milhares de processadores. Um supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de speedup. A speedup S é o número de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um mul-tiprocessador, do que com um uniprocessador. A lei de Amdahl é uma fórmula usada para determi-nar S

S p qp

q p q( , )

( )=

+ −1

em que p é o número de processadores e q é a fração do cálculo que pode ser realizada utilizando todos os processadores disponíveis em paralelo − isto é, usando-os de maneira que os dados sejam processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal, paralelismo completo, ocorre quando q = 1. a) Se q = 0,8, ache a speedup quando p = 10; 100 e 1.000. Mostre que a speedup S não pode exceder a 5, independente do número de processadores disponíveis. b) Ache a taxa instantânea de variação de S em relação a q. c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processa-dores afeta esta taxa de variação? d) A eficiência E de um cálculo por multiprocessador pode ser calculada pela equação:

E p qS p q

p( , )

( , )=

Mostre que, se 0 ≤ q < 1, E(p,q) é uma função decrescente de p e, portanto, sem paralelismo com-pleto, o aumento de número de processadores não aumenta a eficiência do cálculo. 21) No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t horas e à pro-fundidade x pode ser dada, aproximadamente, por T x t T e t xx( , ) sen( )= −−

0λ ω λ

em que T0, ω e λ são constantes. O período de sen(ωt − λx) é 24 horas.

a) Calcule e interprete ∂∂

∂∂

Tx

Tt

e .

b) Mostre que T verifica a equação unidimensional do calor ∂∂

∂∂

Tt

kT

x=

2

2 em que k é uma

constante. 22) A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inala-ção de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula V(x,y) = 27,63y − 0,112xy.

Calcule e interprete o significado de ∂∂

∂∂

Vx

Vy

e .

Page 24: DERIVADAS PARCIAIS

23) Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pé) às t horas após o nascente e à profun-

didade oceânica de x metros, pode ser aproximada por: I x t I et

Dkx( , ) sen ( )= −

03 π

em que I0 é a

intensidade de luz ao meio-dia, D é a extensão do dia (em horas) e k é uma constante positiva. Se

I0 = 1.000, D = 12 e k = 0,1, calcule e interprete ∂∂

∂∂

It

Ix

e quando t = 6 e x = 5.

24) O volume V de um cone circular reto é dado por V x y x=π24

42 2 2− em que y é o compri-

mento da geratriz e x é o diâmetro da base. Encontre a taxa de variação do volume em relação à ge-ratriz e do volume em relação ao diâmetro quando x = 16 cm e y = 10 cm.