DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição...

70
Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A R 3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função. 1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y,z) A é denotada por ∂f ∂x (x,y,z) e definida por: ∂f ∂x (x,y,z) = lim t−→0 f (x + t,y,z) f (x,y,z) t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y,z) A é denotada por ∂f ∂y (x,y,z) e definida por: ∂f ∂y (x,y,z) = lim t−→0 f (x,y + t,z) f (x,y,z) t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x,y,z) A é denotada por ∂f ∂z (x,y,z) e definida por: ∂f ∂z (x,y,z) = lim t−→0 f (x,y,z + t) f (x,y,z) t se o limite existe. De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duas variá- veis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x A é necessário que x + t e i A, onde i =1, 2, 3; o que é verdadeiro se |t| (η> 0 pequeno). Veja a bibliografia. 89

Transcript of DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição...

Page 1: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

Capítulo 5

DERIVADAS PARCIAIS

5.1 Introdução

Definição 5.1. Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função.

1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é

denotada por∂f

∂x(x, y, z) e definida por:

∂f

∂x(x, y, z) = lim

t−→0

f(x+ t, y, z) − f(x, y, z)

t

se o limite existe.

2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é

denotada por∂f

∂y(x, y, z) e definida por:

∂f

∂y(x, y, z) = lim

t−→0

f(x, y + t, z) − f(x, y, z)

t

se o limite existe.

3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é

denotada por∂f

∂z(x, y, z) e definida por:

∂f

∂z(x, y, z) = lim

t−→0

f(x, y, z + t) − f(x, y, z)

t

se o limite existe.

De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duas variá-veis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x ∈ A é necessárioque x + t ei ∈ A, onde i = 1, 2, 3; o que é verdadeiro se |t| < η (η > 0 pequeno).Veja a bibliografia.

89

Page 2: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

90 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Exemplo 5.1.

[1] Se z = f(x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 2:

∂f

∂x(x, y) = lim

t−→0

f(x+ t, y) − f(x, y)

t= lim

t−→0

(x+ t) y − x y

t= lim

t−→0

t y

t= y,

∂f

∂y(x, y) = lim

t−→0

f(x, t+ y) − f(x, y)

t= lim

t−→0

x (t+ y) − x y

t= lim

t−→0

t x

t= x.

[2] Se w = f(x, y, z) = x2 y z2, calcule suas derivadas parciais. Estamos no cason = 3:

∂f

∂x(x, y, z) = lim

t−→0

f(x+ t, y, z) − f(x, y, z)

t= lim

t−→0

(x+ t)2 y z2 − x2 y z2

t

= limt−→0

2x y z2 t+ t2yz2

t= 2x y z2,

∂f

∂y(x, y, z) = lim

t−→0

f(x, t+ y, z) − f(x, y, z)

t= lim

t−→0

x2 (t+ y) z2 − x2 y z2

t

= limt−→0

t x2 z2

t= x2 z2,

∂f

∂z(x, y, z) = lim

t−→0

f(x, y, t+ z) − f(x, y, z)

t= lim

t−→0

x2 y (t+ z)2 − x2 y z2

t

= limt−→0

t2 x2 y + 2 t x2 y z

t= 2x2 y z.

Observação 5.1.

Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f(x, c); logo:

g′(x) = limt−→0

g(x+ t) − g(x)

t= lim

t−→0

f(x+ t, c) − f(x, c)

t=∂f

∂x(x, c);

se h(y) = f(c, y), então:

h′(y) =∂f

∂y(c, y).

Analogamente para mais variáveis. Consequentemente, para derivar parcialmenteuma função em relação a x, as demais variáveis são consideradas como constantese a derivação é feita como em R.Em relação às outras variáveis o procedimento é análogo. Assim, todas as regrasde derivação estudadas para funções em R podem ser aplicadas.

Page 3: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.1. INTRODUÇÃO 91

Exemplo 5.2.

[1] Se z = f(x, y) =√

x2 + y2, calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primei-ramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela observação anterior conside-ramos z =

√x2 + c, onde c = y2; derivando como em R:

∂f

∂x(x, y) =

x√x2 + c

=x

x2 + y2;

analogamente para y: fazemos c = x2:

∂f

∂y(x, y) =

y√

c+ y2=

y√

x2 + y2.

[2] Se z = f(x, y) = (x2 + y2) cos(x y), calcule suas derivadas parciais no ponto(1, π). Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pelaobservação anterior consideramos z = (x2 + c2) cos(c x), onde y = c; derivandocomo em R:

∂f

∂x(x, y) =

(

(x2 + c2) cos(c x))′ = 2x cos(c x) − c (x2 + c2) sen(c x)

= 2x cos(x y) − y (x2 + y2) sen(x y);

analogamente para y: fazemos z = (c2 + y2) cos(c y):

∂f

∂y(x, y) =

(

(c2 + y2) cos(c y))′

= 2 y cos(c y) − c (c2 + y2) sen(c y)

= 2 y cos(x y) − x (x2 + y2) sen(x y));

∂f∂x(1, π) = −2, ∂f

∂y (1, π) = −2π.

[3] Sew = f(x, y, z) = ln(x2 +y2+z2), calcule suas derivadas parciais. Calculemos,primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Seja w = ln(x2 + c), ondec = y2 + z2; derivando como em R, temos:

∂f

∂x(x, y, z) =

2x

x2 + c=

2x

x2 + y2 + z2;

analogamente para y: fazemos c = x2 + z2 e para z: c = x2 + y2:

∂f

∂y(x, y, z) =

2 y

y2 + c=

2 y

x2 + y2 + z2e

∂f

∂z(x, y, z) =

2 z

c+ z2=

2 z

x2 + y2 + z2.

[4] Se w = f(x, y, z) = sen(x y

z

)

, calcule suas derivadas parciais. Calculemos,

primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x; seja w = sen(c x), ondec =

y

z; derivando:

∂f

∂x(x, y, z) = c cos(c x) =

y

zcos

(x y

z

)

;

analogamente para y; fazemos c =x

ze para z; fazemos c = x y:

∂f

∂y(x, y, z) = c cos(c y) =

x

zcos

(x y

z

)

e

∂f

∂z(x, y, z) = −c z−2cos(

c

z) = −x y

z2cos

(x y

z

)

.

Page 4: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

92 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, as derivadas parciais de uma funçãosão funções e, portanto, podemos calcula-lás em pontos de seus domínios.

[5] Seja f(x, y) = ln (x2 + y2 + 1); então:

∂f

∂x(x, y) =

2x

x2 + y2 + 1e

∂f

∂y(x, y) =

2 y

x2 + y2 + 1.

Temos duas novas funções: g(x, y) =2x

x2 + y2 + 1e h(x, y) =

2 y

x2 + y2 + 1Logo,:

g(1, 1) = h(1, 1) =2

3, g(3,−2) =

3

7e h(1,−2) = −2

7.

-2

0

2

-2

02

0

1

2

3

Figura 5.1: Gráfico de f .

Figura 5.2: Gráficos de g e h, respectivamente.

A não existência das derivadas parciais de uma função contínua de duas variáveisnum ponto indica que o gráfico da função apresenta "arestas"nesse ponto.

De fato, seja z = f(x, y) =√

x2 + y2; então, as derivadas parciais existem, excetona origem.

Page 5: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.2. GENERALIZAÇÕES 93

Figura 5.3: Gráfico de f(x, y) =√

x2 + y2.

5.2 Generalizações

Definição 5.2. Seja A ⊂ Rn um conjunto aberto, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ A e f : A −→ R

uma função. A derivada parcial de f em relação à j-ésima variável no ponto x ∈ A édenotada por ∂f

∂xj(x) e definida por:

∂f

∂xj(x) = lim

t−→0

f(x1, ..., xj + t, .., xn) − f(x1, ...., xn)

t,

se o limite existe.

Fazendo j = 1, ..., n, temos as derivadas parciais de f em relação à primeira, àsegunda, à terceira, ......., à n-ésima variáveis, respectivamente. Denotando porej = (0, ...., 1, ....0) o vetor que tem todas as componentes zero exceto a j-ésima,que é igual a 1, temos:

∂f

∂xj(x) = lim

t−→0

f(x + tej) − f(x)

t.

5.3 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais

O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x, y) é, em geral, uma superfícieem R

3. A interseção desta superfície com um plano paralelo ao plano xz, que passapelo ponto (0, y0, 0) é uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz às condições:

{

z = f(x, y)

y = y0.

Como a curva é plana, podemos considerá-la como o gráfico de uma função deuma variável, a saber: g(x) = f(x, y0). Logo, o coeficiente angular da reta tangenteà curva no ponto x0, relativa ao plano, é:

g′(x0) =∂f

∂x(x0, y0)

Analogamente, a curva plana definida pela interseção do gráfico de f com o planoque passa por (x0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser definida por h(y) = f(x0, y).

Page 6: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

94 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto y0, relativa ao plano,é:

h′(y0) =∂f

∂y(x0, y0)

Desenhos à esquerda e à direita, respectivamente:

Figura 5.4:

Figura 5.5:

Exemplo 5.3.

[1] Seja z = f(x, y) = x2 + y2. Determine a equação da reta tangente à interseçãodo gráfico de f com o plano de equação y = 2, no ponto (2, 2, 8).

Pela observação anterior: z = x2 + 4; logo, z = g(x) = x2 + 4 e a equação da retatangente é: z − g(x0) = g′(x0)(x− x0), onde x0 = 2, ou seja: z − 4x = 0.

-2

0

2

-2

0

2

0

2

4

6

-2

0

2

4

Figura 5.6: Exemplo [1].

Page 7: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.3. INTERPRETAÇÃOGEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 95

[2] Seja z = f(x, y) = y2. Determine a equação da reta tangente à interseção dográfico de f com o plano de equação x = x0, no ponto (x0, 1, 1).

Pela observação anterior: z = y2; logo z = h(y) = y2 e a equação da reta tangenteé: z − h(y0) = h′(y0) (y − y0), onde y0 = 1, ou seja: z − 2y + 1 = 0.

1

Figura 5.7: Exemplo [2].

Dos parágrafos anteriores temos:

Proposição 5.1. Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função tal que as derivadas parciais existam

no conjunto aberto A, então:

∂f

∂x(a, b) = g′(a) se g(x) = f(x, b)

∂f

∂y(a, b) = h′(b) se h(y) = f(a, y)

A prova segue das definições e observações anteriores. Esta proposição se estendenaturalmente para n ≥ 2.

Exemplo 5.4.

[1] Se f(x, y) = 4√

x4 + y4, calcule∂f

∂x(0, 0) e

∂f

∂y(0, 0).

Seja g(x) = f(x, 0) = x e h(y) = f(0, y) = y; logo g′(x) = 1 e h′(y) = 1; então:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 1.

[2] Se f(x, y) = x2√

(x2 + y2 ln(y2 + 1))−5 etg(x2 y+y3 x2), calcule∂f

∂x(1, 0).

Seja g(x) = f(x, 0) = x−3 e g′(x) = −3x−4; logo:

∂f

∂x(1, 0) = g′(1) = −3.

[3] Se f(x, y, z) =cos(x+ y + z)

ln(x2 + y2 + z2), calcule

∂f

∂x(π, 0, 0).

Seja g(x) = f(x, 0, 0) =cos(x)

2 ln(x)e g′(x) = −x ln(x) sen(x) + cos(x)

2 ln2(x); logo:

∂f

∂x(π, 0, 0) = g′(π) =

1

2π ln2(π).

Page 8: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

96 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

5.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variação

As derivadas parciais também podem ser interpretadas como taxa de variação ourazão instantânea.

De fato, sejamA ⊂ R2 aberto e f : A −→ R uma função tal que as derivadas parciais

existem no ponto (x0, y0). A derivada parcial∂f

∂x(x0, y0) é a taxa de variação de

f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0), isto é,c(t) = (x0, y0) + t (1, 0) = (x0 + t, y0), (|t| pequeno).De forma análoga interpretamos a outra derivada parcial:

∂f

∂y(x0, y0) é a taxa de

variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),isto é, d(t) = (x0, y0) + t (0, 1) = (x0, y0 + t), (|t| pequeno).

0

0 +t

0 0+t

e

e

2

1

Ay

y

x xd(t) d(t)

c(t)

c(t)

Figura 5.8:

Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da função emrelação a cada variável, quando as outras estão fixadas.

Exemplo 5.5.

[1] A lei de um gás ideal confinado é P V = 8T , onde P é a pressão em N/cm2, Vé o volume em cm3 e T é a temperatura em graus. Se o volume do gás é de 150 cm3

e a temperatura é de 100o, pede-se:

(a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura para o vo-lume fixo de 150 cm3.

(b) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão para a tempera-tura fixa de 100o.

(a) Escrevamos a pressão em função do volume e da temperatura:

P (V, T ) = 8T

V; então,

∂P

∂T(V, T ) =

8

V;

logo,∂P

∂T(150, T ) ∼= 0.0533 N/cm2/kal.

Page 9: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAÇÃO 97

A variação da pressão em relação à temperatura cresce a uma razão de 0.0533

N/cm2/kal. Note que∂P

∂Tnão depende de T .

(b) Escrevemos o volume em função da pressão e da temperatura:

V (P, T ) = 8T

P; então,

∂V

∂P(P, T ) = −8

T

P 2.

Por outro lado, P = 8T

Ve para T = 100 e V = 150, obtemos P =

16

3; logo:

∂V

∂P(16

3, 100) = −28.13 cm3/N.

A variação do volume em relação à pressão diminui a uma razão de 28.13 cm3/N .

[2] O potencial elétrico no ponto (x, y, z) é dado por:

V (x, y, z) =x

x2 + y2 + z2,

onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantâneade V em relação à distância em (1, 2, 3) na direção do:

(a) eixo dos x;

(b) eixo dos y;

(c) eixo dos z.

(a) Devemos calcular∂V

∂x(1, 2, 3). Seja g(x) = f(x, 2, 3) =

x√x2 + 13

; então:

∂V

∂x(x, 2, 3) = g′(x) =

13

(x+ 13)3/2,

logo;∂V

∂x(1, 2, 3) =

13

14√

14volts/cm.

(b) Devemos calcular∂V

∂y(1, 2, 3): Seja h(y) = f(1, y, 3) =

1√

y2 + 10; então:

∂V

∂y= h′(y) = − y

(y2 + 10)3/2,

logo;∂V

∂y(1, 2, 3) = − 1

7√

14volts/cm.

(c) Devemos calcular∂V

∂z(1, 2, 3): Seja k(z) = f(1, 2, z) =

1√z2 + 5

; então:

∂V

∂z= k′(z) = − z

(z2 + 5)3/2,

logo;∂V

∂z(1, 2, 3) = − 3

14√

14volts/cm.

Page 10: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

98 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

[3] Quando materiais tóxicos são despejados ou manipulados num aterro podemser liberadas partículas contaminadas para a atmosfera circundante. Experimental-mente, a emissão destas partículas pode ser modelada pela função:

E(V,M) = K × 0.00032 V 1.3M−1.4,

onde E é a emissão (quantidade de partículas liberadas na atmosfera por toneladade solo manipulado), V é a velocidade média do vento (mph=metros por hora),Mé a umidade contida no material (dada em porcentagem) e K é uma constante quedepende do tamanho das partículas. Calcule a taxa de variação da emissão parauma partícula tal queK = 0.2, V = 10 eM = 13 em relação:

(a) ao vento;

(b) à umidade.

10 20 30 40 5010

20

30

40

50

Figura 5.9: Curvas de nível de E.

(a) Calculamos∂E

∂V(10, 13): Então,

∂E

∂V(V,M) = 0.000122V 0.3M−1.4; logo,

∂E

∂V(10, 13) = 0.00001496.

(b) Calculamos∂E

∂M(10, 13): Então,

∂E

∂M(V,M) = −0.000291V 1.3M−2.4; logo,

∂E

∂M(10, 13) = −0.00001234.

Interprete os resultados obtidos no último exemplo.

5.5 Diferenciabilidade

No caso de uma variável sabemos que se uma função é derivável num ponto, ela écontínua no ponto. Gostaríamos de ter um comportamento análogo para funçõesde várias variáveis; no entanto, a existência das derivadas parciais não garante acontinuidade da função.

Page 11: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.5. DIFERENCIABILIDADE 99

De fato, a existência de∂f

∂xdepende do comportamento da função f somente na

direção do eixo dos x e a existência de∂f

∂ydepende do comportamento da função

f somente na direção do eixo dos y. Por exemplo, sabemos que a função:

f(x, y) =

2x y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

não é contínua na origem. No entanto, as derivadas parciais existem em todos ospontos, inclusive na origem. De fato, sejam g(x) = f(x, 0) = 0 e h(y) = f(0, y) = 0;logo:

∂f

∂x(0, 0) = g′(0) = 0 e

∂f

∂y(0, 0) = h′(0) = 0.

As derivadas parciais para (x, y) 6= (0, 0) são:

∂f

∂x=

2 y3 − 2x2 y

(x2 + y2)2e

∂f

∂y=

2x3 − 2x y2

(x2 + y2)2.

Em uma variável, a existência da derivada de uma função num ponto, garante quenas proximidades desse ponto o gráfico da função fica bastante próximo da retatangente a esse gráfico no ponto considerado. Seguiremos esta idéia para esten-der o conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis. Correspon-dendo à reta tangente num ponto do gráfico de uma função em R temos o "planotangente"num ponto do G(f) e este plano deve ser uma "boa"aproximação para oG(f) numa vizinhança do ponto.

Definição 5.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto aberto A.

Dizemos que f é diferenciável no ponto x0 ∈ A se existem as derivadas parciais de f emx0 e:

lim‖h‖→0

∣f(x) − f(x0) −n

j=1

∂f∂xj

(x0)hj

‖h‖ = 0,

onde h = x− x0, hj é a componente j-ésima de h e x ∈ A.

Para n = 2, este limite expressa o que pensamos ao dizer que:

f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0) (x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y − y0),

é uma boa aproximação para f numa vizinhança de x0 = (x0, y0).

Definição 5.4. f é diferenciável em A ⊂ Rn, se é diferenciável em cada ponto de A.

Page 12: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

100 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Exemplo 5.6.

Considere a função:

f(x, y) =

x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

f é contínua em (0, 0); suas derivadas parciais são:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂f

∂x(x, y) =

2x y3

(x2 + y2)2e

∂f

∂y(x, y) =

x2 (x2 − y2)

(x2 + y2)2.

Agora, apliquemos a definição de diferenciabilidade para f no ponto (0, 0):

lim(x,y)−→(0,0)

|f(x, y)|‖(x, y)‖ = lim

(x,y)−→(0,0)

|x2y|(x2 + y2)

x2 + y2;

considere y = k x, k > 0:

lim(x,y)→(0,0)

|x2y|(x2 + y2)

3

2

= lim(x,y)→(0,0)

|kx3|(x2 + k2x2)

3

2

= lim(x,y)→(0,0)

±k(1 + k2)

3

2

= ± k

(1 + k2)3

2

;

o limite depende de k; logo f não é diferenciável em (0, 0).

Figura 5.10: Gráfico de f .

Aplicar diretamente a definição de função diferenciável pode ser, em muitos casos,bastante complicado. Por isso, apresentamos o seguinte teorema:

Teorema 5.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto aberto A tal

que existem todas as derivadas parciais em cada ponto de A e cada uma delas é contínua noponto x0 ∈ A. Então f é diferenciável em x0.

O teorema estabelece apenas uma condição suficiente, ou seja, nem todas as fun-ções diferenciáveis num ponto x0 devem ter derivadas parciais contínuas numavizinhança de x0. Para a prova do teorema, veja o apêndice.

Page 13: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.5. DIFERENCIABILIDADE 101

Exemplo 5.7.

[1] Considere a seguinte função

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

As derivadas parciais são:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂f

∂x(x, y) =

2xy4

(x2 + y2)2e

∂f

∂y(x, y) =

2x4y

(x2 + y2)2.

As derivadas parciais existem em todo ponto. Aplicaremos o teorema para provara diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para isto provaremos que as derivadasparciais são contínuas no ponto (0, 0).

lim(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y) = lim

(x,y)→(0,0)

2xy4

(x2 + y2)2=∂f

∂x(0, 0) = 0.

De fato, |x| ≤√

x2 + y2 e y4 ≤ (x2 + y2)2; logo, |2x y4|(x2+y2)2

≤ 2√

x2 + y2; se δ = ε2 ,

teremos∣

2 x y4

(x2+y2)2

∣ < ε se 0 <√

x2 + y2 < δ. Analogamente para a outra derivadaparcial.

Figura 5.11: Exemplo [1].

[2] Os polinômios em várias variáveis são claramente diferenciáveis em todo pontode R

n.

[3] A função z = f(x, y) =√

x2 + y2 é diferenciável em R2 − {(0, 0)}. De fato:

∂f

∂x=

x√

x2 + y2e

∂f

∂y=

y√

x2 + y2

e ambas são funções contínuas em R2 − {(0, 0)}.

Definição 5.5. Uma função é dita de classe C1 em A quando existem as derivadas parciaisem cada ponto de A e estas são contínuas. Logo f de classe C1 implica em f diferenciável.

Page 14: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

102 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Proposição 5.2. Se f e g são funções de classe C1 no ponto x0, então:

1. f + g é de classe C1 em x0.

2. f g é de classe C1 em x0.

3. Se g(x0) 6= 0,f

gé de classe C1 em x0.

As provas seguem da aplicação direta da definição.

Exemplo 5.8.

[1] As função definidas por polinômios de várias variáveis são de classe C1.

[2] A função f(x, y) = xy2 +y

x2 + y2 + 1é diferenciável em todo R

2. De fato,

escrevendo:

f(x, y) = f1(x, y) +f2(x, y)

f3(x, y),

onde f1(x, y) = xy2, f2(x, y) = y e f3(x, y) = x2 + y2 + 1, vemos que as trêsfunções são diferenciáveis em todo o plano, pois são polinômios e f3 não se anulaem nenhum ponto do plano. Pelas propriedades anteriores, f é diferenciável emR

2.

Teorema 5.2. Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0.

Para a prova, veja o apêndice. Se f é de classe C1, então f é diferenciável e portantof é contínua.

O plano tangente ao gráfico de uma função f num ponto é o plano que contemtodas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retastangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangentenão existe. Nos próximos parágrafos daremos uma justificativa para a seguintedefinição:

Definição 5.6. Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função diferenciável no ponto (x0, y0). A

equação do plano tangente ao G(f) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é:

z = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0) (x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y − y0)

Figura 5.12: Plano tangente ao G(f).

Page 15: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.5. DIFERENCIABILIDADE 103

Segue, de imediato, que os vetores normais ao plano tangente no ponto (x0, y0, z0),onde z0 = f(x0, y0), são:

n(x0, y0, z0) = ±(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0),−1

)

Exemplo 5.9.

[1] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = (x2 + y2 +1) e−(x2+y2)

no ponto (0, 0, 1).

Observemos que f(x, y) = (x2 + y2 + 1) e−(x2+y2) é uma função diferenciável emR

2. Sejam g(x) = f(x, 0) = (1 + x2) e−x2

e h(y) = f(0, y) = (1 + y2) e−y2

; logo,g′(x) = −2x3 e−x2

e h′(y) = −2 y3 e−y2

e:

∂f

∂x(0, 0) = g′(0) = 0;

∂f

∂y(0, 0) = h′(0) = 0

e f(0, 0) = 1. A equação do plano tangente no ponto (0, 0, 1) é:

z = 1.

Figura 5.13: Plano tangente do exemplo [1].

[2] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = x − 6 y2 nos pontos(1, 1, f(1, 1)) e (−1,−1, f(−1,−1)).

Como f é diferenciável em R2: f(1, 1) = −5 e f(−1,−1) = −7. Por outro lado:

∂f

∂x(x, y) = 1,

∂f

∂y(x, y) = −12 y.

As equações dos planos tangente ao G(f) nos pontos (1, 1,−5) e (−1,−1,−7) são:

z = x− 12 y + 6 e z = x+ 12 y + 6,

respectivamente.

Page 16: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

104 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Figura 5.14: Plano tangente do exemplo [2].

[3] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = ex−y + x y2 no ponto(1, 1, 2).

Note que f é diferenciável em R2:

f(1, 1) = 2,∂f

∂x(x, y) = ex−y + y2 e

∂f

∂y(x, y) = −ex−y + 2x y.

A equação do plano tangente ao G(f) no ponto (1, 1, 2) é:

z = 2x+ y − 1.

Os vetores normais no ponto (1, 1, 2) são n = (2, 1,−1) e n = (−2,−1, 1).

5.6 Aproximação Linear

Como em Cálculo I, podemos usar a "boa"aproximação do plano tangente ao grá-fico numa vizinhança de um ponto para efetuar cálculos numéricos aproximados.

Definição 5.7. Seja f diferenciável no ponto x0. A aproximação linear de f ao redor de x0

é denotada por l e definida como:

1. se n = 2 e z0 = f(x0, y0):

l(x, y) = z0 +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

2. se n = 3, x0 = (x0, y0, z0) e w0 = f(x0):

l(x, y, z) = w0 +∂f

∂x(x0) (x− x0) +

∂f

∂y(x0) (y − y0) +

∂f

∂z(x0) (z − z0)

Seja ε > 0 pequeno. Para todo x ∈ B(x0, ε), o erro da aproximação é:

E(x) = |f(x) − l(x)|

Page 17: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 105

e satisfaz:

limx−→x0

E(x)

‖x− x0‖= 0.

Em outras palavras l(x) aproxima f(x) numa vizinhança de x0. A função l(x)também é chamada linearização de f numa vizinhança de x0.

Exemplo 5.10.

[1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculoe precisamos resolver os seguintes problemas:

(a) Se:T (x, y) = x ex y

representa a temperatura num ponto (x, y) numa certa região do plano, calcular asseguintes temperaturas T (1.0023, 0.00012) e T (0.00012, 1.0023).

(b) Se:ρ(x, y, z) = ln(

x2 + y2 + z2)

representa a densidade de um ponto (x, y, z) numa certa região do espaço que nãocontem a origem, determine ρ(1.005, 0.007, 1.01).

(c) Calcule, aproximadamente, o valor de√

1.012 + 4.012 + 8.0022.

(a) Como (1.0023, 0.00012) está perto de (1, 0) acharemos a linearização de T numavizinhança de (1, 0). Isto é:

l(x, y) = T (1, 0) +∂T

∂x(1, 0) (x − 1) +

∂T

∂y(1, 0) y

= 1 +∂T

∂x(1, 0)x +

∂T

∂y(1, 0) y − ∂T

∂x(1, 0).

∂T

∂x(x, y) = ex y (1 + x y) e

∂T

∂y(x, y) = ex y x2; então, numa vizinhança do ponto

(1, 0), temos:x ex y ≃ x+ y.

O ponto (1.0023, 0.00012) está perto do ponto (1, 0), logo:

1.0023 × e1.0023×0.00012 ≃ 1.0023 + 0.00012 = 1.00242.

Analogamente, como (0.00012, 1.0023) está perto de (0, 1) acharemos a linearizaçãode T numa vizinhança de (0, 1). Isto é:

l(x, y) = T (0, 1) +∂T

∂x(0, 1)x +

∂T

∂y(0, 1) (y − 1)

=∂T

∂x(0, 1)x +

∂T

∂y(0, 1) y − ∂T

∂y(0, 1)

= x.

Então, numa vizinhança do ponto (0, 1), temos:

x ex y ≃ x.

Page 18: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

106 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Logo: T (0.00012, 1.0023) ≃ 0.00012.

(b) Devemos determinar a linearização de ρ numa vizinhança de (1, 0, 1). Isto é:

l(x, y, z) = ρ(1, 0, 1) +∂ρ

∂x(1, 0, 1) (x − 1) +

∂ρ

∂y(1, 0, 1) y +

∂ρ

∂z(1, 0, 1) (z − 1).

Temos:

∂ρ

∂x(x, y, z) =

x

x2 + y2 + z2,

∂ρ

∂y(x, y, z) =

y

x2 + y2 + z2e

∂ρ

∂z(x, y, z) =

z

x2 + y2 + z2.

Então, numa vizinhança do ponto (1, 0, 1), temos:

ln(√

x2 + y2 + z2) ≃ x+ z + ln(2)

2− 1.

Logo: ρ(1.005, 0.007, 1.01) ≃ 0.354.

(c) Seja f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2. Consideremos o ponto (x0, y0, z0) = (1, 4, 8) edeterminemos a linearização de f numa vizinhança do ponto (1, 4, 8):

l(x, y, z) = f(1, 4, 8) +∂f

∂x(1, 4, 8) (x − 1) +

∂f

∂y(1, 4, 8) (y − 4) +

∂f

∂z(1, 4, 8) (z − 8).

Temos:

∂f

∂x(x, y, z) =

x

f(x, y, z),

∂f

∂y(x, y, z) =

y

f(x, y, z)e

∂f

∂z(x, y, z) =

z

f(x, y, z).

Logo, f(1, 4, 8) = 9,∂f

∂x(1, 4, 8) =

1

9,∂f

∂y(1, 4, 8) =

4

9e∂f

∂z(1, 4, 8) =

8

9; então, numa

vizinhança do ponto (1, 4, 8), temos:

x2 + y2 + z2 ≃ 1

9(x+ 4 y + 8 z),

Em particular, no ponto (1.01, 4.01, 8.002):

1.012 + 4.012 + 8.0022 ≃ 1

9(1.01 + 4 × (4.01) + 8 × (8.002)) ≃ 9.0073.

[2] Lei de gravitação de Newton. A força de atração entre dois corpos de massameM , respectivamente, situados a uma distância r é dada por:

F (m,M, r) =GmM

r2,

onde G é a constante de gravitação. Determinemos a linearização da função F aoredor do ponto (m0,M0, r0).

∂F

∂m(m,M, r) =

GM

r2,

∂F

∂M(m,M, r) =

Gm

r2e

∂F

∂r(m,M, r) = −2GmM

r3;

Page 19: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 107

logo, no ponto (m0,M0, r0), temos:

l(m,M, r) =G

r30(M0 r0m+m0 r0M − 2m0M0 r +m0M0 r0).

Por exemplo, sem0 = 1,M0 = 2 e r0 = 1, temos que:

F (m,M, r) ≃ G (2m+M − 4 r + 2),

para todo (m,M, r) numa vizinhança de (1, 2, 1).

[3] Um depósito de material radioativo tem o formato de um cilindro circular reto edeve possuir altura no lado interno igual a 6 cm, raio interno com 2 cm e espessurade 0.1 cm. Se o custo de fabricação do depósito é de 10 cv por cm3. (cv= centavos),determine o custo aproximado do material usado.

Figura 5.15: Depósito de material radioativo.

O volume exato do depósito é a diferença entre os volumes dos cilindros C1 e C ,onde C1 tem raio r1 = 2.1 e altura h1 = 6.2 e C tem raio r = 2 e altura h = 6.Determinemos a aproximação linear do volume do cilindro: V (r, h) = π r2 h. ComoV (2, 6)) = 24π,

∂V

∂r(r, h) = 2π r h e

∂V

∂h(r, h) = π r2;

então, numa vizinhança do ponto (2, 6), temos: l(r, h) = 4π(6 r+h−12). O volumede C1 é VC1

∼= l(2.1, 6.2) = 27.2π e o volume total é V =(

27.2π − 24π)

cm3 =3.2π cm3. Logo o custo aproximado é de 10 × 3.2π ∼= 100.58 cv.

O argumento desenvolvido neste parágrafo se generaliza facilmente para mais de3 variáveis:

[4] Suponha que 4 resistores num circuito são conectados em paralelo; a resistênciaR do circuito é dada por:

R(r1, r2, r3, r4) =

(

1

r1+

1

r2+

1

r3+

1

r4

)−1

.

Determine a linearização de R numa vizinhança do ponto (10, 20, 40, 10), onde osri são medidos em Ohms. Seja x = (r1, r2, r3, r4):

∂R

∂r1(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r21,

∂R

∂r2(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r22,

Page 20: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

108 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

∂R

∂r3(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r23,

∂R

∂r4(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r24.

Logo, numa vizinhança do ponto (10, 20, 40, 10), temos:

R(r1, r2, r3, r4) ≃1

121(16 r1 + 4 r2 + r3 + 16 r4).

5.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior

Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função tal que suas derivadas parciais existem em

todos os pontos (x, y) ∈ A. As derivadas parciais são, em geral, funções de x e y epodemos perguntar se as derivadas parciais destas funções existem:

∂f

∂x,∂f

∂y: A ⊂ R

2 −→ R.

Definição 5.8. As derivadas parciais de segunda ordem de f são definidas e denotadas por:

∂x

(∂f

∂x

)

(x, y) = limt→0

S∂f∂x (x+ t, y) − ∂f

∂x(x, y)

t

∂x

(∂f

∂y

)

(x, y) = limt→0

∂f∂y (x+ t, y) − ∂f

∂y (x, y)

t

∂y

(∂f

∂x

)

(x, y) = limt→0

∂f∂x(x, y + t) − ∂f

∂x(x, y)

t

∂y

(

∂f

∂y

)

(x, y) = limt→0

∂f∂y (x, y + t) − ∂f

∂y (x, y)

t,

se os limites existem.

As notações usuais são:

∂x

(∂f

∂x

)

(x, y) =∂2f

∂x2(x, y)

∂x

(∂f

∂y

)

(x, y) =∂2f

∂x∂y(x, y)

∂y

(∂f

∂x

)

(x, y) =∂2f

∂y∂x(x, y)

∂y

(∂f

∂y

)

(x, y) =∂2f

∂y2(x, y)

Exemplo 5.11.

[1] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = x2 y3.

Page 21: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 109

Primeiramente, calculamos as de primeira ordem∂f

∂x= 2x y3 e

∂f

∂y= 3x2 y2; logo:

∂2f

∂x2=

∂x

(∂f

∂x

)

=∂

∂x

(

2x y3)

= 2 y3,∂2f

∂y2=

∂y

(∂f

∂y

)

=∂

∂y

(

3x2 y2)

= 6x2 y,

∂2f

∂x∂y=

∂x

(∂f

∂y

)

=∂

∂x

(

3x2 y2)

= 6x y2,∂2f

∂y∂x=

∂y

(∂f

∂x

)

=∂

∂y

(

2x y3)

= 6x y2.

[2] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = ln(x2 + y2).

Primeiramente,∂f

∂x=

2x

x2 + y2e∂f

∂y=

2y

x2 + y2; logo:

∂2f

∂x2=

∂x

(

2x

x2 + y2

)

=2 (y2 − x2)

(x2 + y2)2,

∂2f

∂y2=

∂y

(

2y

x2 + y2

)

=2(x2 − y2)

(x2 + y2)2,

∂2f

∂x∂y=

∂x

(

2 y

x2 + y2

)

=−4xy

(x2 + y2)2,

∂2f

∂y∂x=

∂y

(

2x

x2 + y2

)

=−4x y

(x2 + y2)2.

Em geral, se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função tal que suas derivadas parciais existem

em todos os pontos x ∈ A, definimos as derivadas parciais de segunda ordem de fda seguinte forma:

∂xj

( ∂f

∂xi

)

(x) = limt→0

∂f∂xi

(x + tej) − ∂f∂xi

(x)

t,

se os limites existem. A notação é∂

∂xj

( ∂f

∂xi

)

(x) =∂2f

∂xj∂xi(x). Logo, definimos n2

funções:∂

∂xj

( ∂f

∂xi

)

: A ⊂ Rn −→ R.

Se n = 2 temos 4 derivadas parciais de segunda ordem e se n = 3 temos 9 derivadasparciais de segunda ordem. Se i = j:

∂xi

( ∂f

∂xi

)

(x) =∂2f

∂x2i

(x).

Analogamente, definimos as derivadas de ordem 3, 4, etc. Por exemplo, parai, j, k = 1....n:

∂3f

∂xj∂xi∂xk(x) =

∂xj

( ∂2f

∂xi∂xk

)

(x).

Exemplo 5.12.

[1] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y, z) = x y z.

Page 22: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

110 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Calculemos as de primeira ordem:∂f

∂x= y z,

∂f

∂y= x z e

∂f

∂z= x y, logo:

∂2f

∂x2=

∂x(y z) = 0,

∂2f

∂y2=

∂y(x z) = 0,

∂2f

∂z2=

∂z(x y) = 0,

∂2f

∂x∂y=

∂x(x z) = z,

∂2f

∂x∂z=

∂x(x y) = y,

∂2f

∂y∂x=

∂y(y z) = z,

∂2f

∂y∂z=

∂y(x y) = x,

∂2f

∂z∂x=

∂z(y z) = y,

∂2f

∂z∂y=

∂z(x z) = x.

[2] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y, z) = sen(x y z).

Calculemos as de primeira ordem:∂f

∂x= y z cos(x y z),

∂f

∂y= x z cos(x y z) e

∂f

∂z= x y cos(x y z); logo:

∂2f

∂x2== −y2 z2 sen(x y z),

∂2f

∂y2= −x2 z2 sen(x y z),

∂2f

∂z2= −x2 y2 sen(x y z),

∂2f

∂x∂y= z cos(x y z) − x y z2 sen(x y z),

∂2f

∂x∂z= y cos(x y z) − x y2 z sen(x y z),

∂2f

∂y∂x= z cos(x y z) − x y z2 sen(x y z),

∂2f

∂y∂z= x cos(x y z) − x2 y z sen(x y z),

∂2f

∂z∂x= y cos(x y z) − x y2 z sen(x y z),

∂2f

∂z∂y= x cos(x y z) − x2 y z sen(x y z).

[3] Equação de Laplace: Seja u = u(x, y) uma função duas vezes diferenciável numconjunto aberto do plano. A equação de Laplace é:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

A equação de Laplace está associada a fenômenos estacionários, isto é, indepen-dentes do tempo, como por exemplo potenciais eletrostáticos. As soluções destaequação são chamadas funções harmônicas. A função u(x, y) = sen(x) ey é harmô-nica. De fato:

∂2u

∂x2= −sen(x) ey e

∂2u

∂y2= sen(x) ey.

Page 23: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 111

0 2 4 6 81

2

3

4

5

6

Figura 5.16: Curvas de nível da função u(x, y) = sen(x) ey .

[4] Equação da onda: Seja u = u(x, t) uma função duas vezes diferenciável numconjunto aberto do plano. A equação homogênea da onda é:

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2,

onde c > 0 (c é chamada a velocidade de propagação da onda). u(x, t) descreve odeslocamento vertical de uma corda vibrante. A função :

u(x, t) = (x+ c t)n + (x− c t)m, n, m ∈ N

satisfaz à equação da onda. De fato.

∂2u

∂x2= m (m− 1) (x − c t)m−2 + n (n− 1) (x + c t)n−2,

∂2u

∂t2= c2 (m (m− 1) (x− c t)m−2 + n (n− 1) (x + c t)n−2).

Figura 5.17: Gráfico de z = u(x, t) para c = 16 , n = m = 3.

Analogamente, a função: u(x, t) =sen(x+ c t) + cos(x− c t)

2satisfaz à equação da

onda. De fato.

∂2u

∂x2= −1

2(sen(x+ c t) + cos(x− c t)),

∂2u

∂t2= −c

2

2(sen(x+ c t) + cos(x− c t)).

Page 24: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

112 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Figura 5.18: Gráfico de z = u(x, t) para c = 2.

Definição 5.9. A função f : A −→ R é de classe C2 quando existem as derivadas parciaisaté a segunda ordem em todos os pontos de A e as funções

∂xj

( ∂f

∂xi

)

: A ⊂ Rn → R

são contínuas.

Notamos que nos exemplos estudados sempre verificamos que:

∂xj

( ∂f

∂xi

)

=∂

∂xi

( ∂f

∂xj

)

.

Isto é consequencia do seguinte teorema.medskip

Teorema 5.3. (Schwarz) Se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função de classe C2 no ponto

x0 ∈ A, então para todo i, j = 1.....n tem-se:

∂xj

( ∂f

∂xi(x0)

)

=∂

∂xi

( ∂f

∂xj(x0)

)

para i 6= j.

Para a prova veja o apêndice.

Exemplo 5.13.

Consideremos a função: f(x, y) =

x y (x2 − y2)

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

Page 25: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 113

Figura 5.19: Gráfico de f .

Se (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) possui derivadas parciais de todas as ordens; em (0, 0) asderivadas parciais de f(x, y) existem e são todas nulas:

∂f

∂x=y (x4 − y4 + 4x2y2)

(x2 + y2)2e

∂f

∂y=x (x4 − y4 − 4x2y2)

(x2 + y2)2.

Para todo y 6= 0, f(0, y) = 0, ∂f∂x(0, y) = −y, ∂f

∂y (0, y) = 0 e:

∂2f

∂x∂y(0, y) = −1,

∂2f

∂y∂x(0, y) = 0.

Logo, a função não é de classe C2.

Em geral, as funções "bem comportadas", como as polinomiais, exponenciais e amaioria das funções utilizadas neste livro são de classe C2. A seguir apresentamosos gráficos e as curvas de nível da função de classe C2:

f(x, y) = (x2 − y2) e−x2+y2

2

e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordemmistas, respectivamente:

Figura 5.20: Gráficos.

Page 26: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

114 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 5.21: Curvas de nível

O teorema de Schwarz também é valido para derivadas mistas de ordem superiora dois. De fato, se as terceiras derivadas de f são contínuas (f de classe C3), temos:

∂3f

∂x∂x∂y=

∂x

( ∂2f

∂x∂y

)

=∂

∂x

( ∂2f

∂y∂x

)

=∂3f

∂x∂y∂x.

Por outro lado, fazendo g = ∂f∂x :

∂3f

∂x∂y∂x=

∂2g

∂x∂y=

∂2g

∂y∂x=

∂3f

∂y∂x∂x.

Fica como exercício determinar as outras igualdades. Em geral, f é de classe Ck

(k ≥ 1), no conjunto aberto A se as derivadas parciais até ordem k existem e sãocontínuas em A. f e de classe C∞ se é de classe Ck para todo k ≥ 1.

5.8 Regra da Cadeia

Teorema 5.4. Se n = 2, z = f(x, y) é uma função de classe C1, x = x(r, s) e y = y(r, s)são funções tais que suas derivadas parciais existem, então:

∂z

∂r=∂z

∂x

∂x

∂r+∂z

∂y

∂y

∂re

∂z

∂s=∂z

∂x

∂x

∂s+∂z

∂y

∂y

∂s

r

x

z

y

rs s

Figura 5.22: A regra da cadeia para n = 2.

Em particular, se x = x(t) e y = y(t) são deriváveis, então:

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt

Page 27: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.8. REGRA DA CADEIA 115

x

z

y

t

Figura 5.23: Caso particular da regra da cadeia para n = 2.

Se n = 3, w = f(x, y, z) é uma função de classe C1, x = x(r, s, t), y = y(r, s, t) ez = z(r, s, t) são tais que as derivadas parciais existem, então:

∂w

∂r=∂w

∂x

∂x

∂r+∂w

∂y

∂y

∂r+∂w

∂z

∂z

∂r,

∂w

∂s=∂w

∂x

∂x

∂s+∂w

∂y

∂y

∂s+∂w

∂z

∂z

∂s

e∂w

∂t=∂w

∂x

∂x

∂t+∂w

∂y

∂y

∂t+∂w

∂z

∂z

∂t

x

w

y z

r r s t r s tts

Figura 5.24: A regra da cadeia para n = 3.

Em particular, se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) são deriváveis, então:

x y

t

z

w

Figura 5.25: Caso particular da regra da cadeia para n = 3.

dw

dt=∂w

∂x

dx

dt+∂w

∂y

dy

dt+∂w

∂z

dz

dt

Exemplo 5.14.

[1] Calculedw

dtse w = f(x, y, z) = x y z onde x = x(t) = t2, y = y(t) = t e

z = z(t) = t4.dw

dt=∂w

∂x

dx

dt+∂w

∂y

dy

dt+∂w

∂z

dz

dt,

Page 28: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

116 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

∂w

∂x= y z = t× t4 = t5,

∂w

∂y= x z = t2 × t4 = t6 e

∂w

∂z= x y = t2 × t = t3. Por outro

lado, temos quedx

dt= 2 t,

dy

dt= 1 e S

dz

dt= 4 t3; então;

dw

dt= 2 t6 + t6 + 4 t6 = 7 t6.

Observe que podemos obter o mesmo resultado fazendo a composição das funções:

w = f(t2, t, t4) = t2 × t× t4 = t7, entãodw

dt= 7 t6.

Pode explicar por que isto ocorre?

[2] Seja w = f(x, y, z) = x2 + y2 + 2 z2, se:

x(ρ, α, θ) = ρ sen(α) cos(θ),

y(ρ, α, θ) = ρ sen(α) sen(θ) e

z(ρ, α, θ) = ρ cos(α).

Calcule∂w

∂ρ,∂w

∂αe∂w

∂θ.

∂w

∂ρ=∂w

∂x

∂x

∂ρ+∂w

∂y

∂y

∂ρ+∂w

∂z

∂z

∂ρ= 2x sen(α) cos(θ) + 2 y sen(α) sen(θ) + 4 z cos(α);

logo, utilizando a definição das funções x, y e z temos:

∂w

∂ρ= 2 ρ sen2(α)

(

cos2(θ) + sen2(θ))

+ 4 ρ cos2(α) = 2 ρ+ 2 ρ cos2(α).

Como antes, se fazemos w = f(ρ, α, θ) = ρ2 + ρ2cos2(α), obtemos:

∂w

∂ρ= 2 ρ+ 2 ρ cos2(α),

∂w

∂α= −2 ρ2cos(α) sen(α) e

∂w

∂θ= 0.

[3] Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo retângulo é10 cm e cresce à razão de 1 cm/seg; o comprimento do outro lado é 12 cm e decresceà razão de 2 cm/seg. Calcule a razão de variação da medida do ângulo agudooposto ao lado de 12 cm, medido em radianos, no instante dado.

x

y

θ

Figura 5.26: Exemplo [3].

Page 29: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.8. REGRA DA CADEIA 117

Sejam x = x(t) e y = y(t) os lados no instante t e θ = arctg( y

x

)

o ângulo em questão;pela regra da cadeia:

dt=∂θ

∂x

dx

dt+∂θ

∂y

dy

dt= − y

x2 + y2

dx

dt+

x

x2 + y2

dy

dt;

temos x = 10,dx

dt= 1; y = 12,

dy

dt= −2, pois y decresce. Substituindo estes valores

na expressão anteriordθ

dt= − 8

61; logo, decresce à razão de

8

61rad/seg.

[4] A resistência R, em Ohms, de um circuito é dada por R = EI , onde I é a cor-

rente em ampères e E é a força eletromotriz, em volts. Num certo instante, quandoE = 120 volts e I = 15 ampères, E aumenta numa velocidade de 0.1 volts/seg e Idiminui à velocidade de 0.05 ampères/seg. Determine a taxa de variação instantâ-nea de R.

Como R = R(E, I) =E

I. Sejam E = E(t) a força eletromotriz no instante t e

I = I(t) a corrente no instante t. Pela regra da cadeia:

dR

dt=∂R

∂E

dE

dt+∂R

∂I

dI

dt=

1

I

dE

dt+

[

− E

I2

] dI

dt.

Temos E = 120,dE

dt= 0.1, I = 15,

dI

dt= −0.05, pois I decresce. Substituindo estes

valores na expressão anterior:

dR

dt=

1

30Ohm/seg.

[5] A lei de um gás ideal confinado é P V = k T , onde P é a pressão, V é o vo-lume, T é a temperatura e k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de2 graus/min e a pressão aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se em certo instante, atemperatura é de 200 graus e a pressão é de 10 kg/cm2, ache a razão com que variao volume para k = 8.

Escrevemos o volume do gás em função da pressão e da temperatura:

V (P, T ) = 8T

P= 8T P−1.

Sejam P = P (t) a pressão do gás no instante t e T = T (t) a temperatura do gás no

instante t. Pela regra da cadeia e usando quedT

dt= 2 e

dP

dt= 0.5:

dV

dt=∂V

∂T

dT

dt+∂V

∂P

dP

dt=

4

P(4 − T

P).

Como T = 200 e P = 10, substituindo estes valores na expressão anterior:

dV

dt= −32

5cm3/min.

O volume decresce à razão de32

5cm3/min.

Page 30: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

118 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

[6] De um funil cônico escoa água à razão de 18πcm3/seg. Se a geratriz faz com oeixo do cone um ângulo α = π

3 , determine a velocidade com que baixa o nível deágua no funil, no momento em que o raio da base do volume líquido é igual a 6 cm.

r

h

α

Figura 5.27: Funil.

Sejam r = r(t) o raio do cone no instante t, h = h(t) a altura do cone no instante t.

O volume do cone é V (r, h) =r2hπ

3. Devemos calcular

dh

dt.

dV

dt=∂V

∂r

dr

dt+∂V

∂h

dh

dt=π

3

(

2rhdr

dt+ r2

dh

dt

)

;

sabemos quedV

dt= 18π e tg(α) = r/h, logo r = h tg(π/3) =

√3h e

dr

dt=

√3dh

dte:

18π =π

3

(

2rhdr

dt+ r2

dh

dt

)

= π r2dh

dt.

Logo, temosdh

dt=

18

r2=

1

2cm/seg.

[7] Suponha que z = f(b x2

2− a y3

3

)

é diferenciável, a, b ∈ R. Então, f satisfaz àequação:

a y2 ∂z

∂x+ b x

∂z

∂y= 0.

De fato, seja u =b x2

2− a y3

3; então, z = f(u). Pela regra da cadeia:

∂z

∂x=dz

du

∂u

∂x= f ′(u) b x e

∂z

∂y=dz

du

∂u

∂y= −f ′(u) a y2;

logo, a y2 ∂z

∂x+ b x

∂z

∂y= f ′(u) (a b x y2 − a b x y2) = 0.

[8] Equação da onda: Seja u = u(x, t) de classe C2. A equação homogênea da ondaé dada por:

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2,

A solução (chamada de d’Alambert) desta equação é dada por:

u(x, t) = f(x+ c t) + g(x− c t),

Page 31: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.9. EXERCÍCIOS 119

onde f e g são funções reais de uma variável duas vezes diferenciáveis. De fato,pela regra da cadeia:

∂2u

∂x2= f ′′(x+ c t) + g′′(x− c t) e

∂2u

∂t2= c2 (f ′′(x+ c t) + g′′(x− c t)),

ou seja,∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2.

5.9 Exercícios

1. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

(a) z = x2 y − x y2

(b) z = x3 y3

(c) z = x2 y3 − 3x4 y4

(d) z = arctg(x2 + y)

(e) z = sec(x2 y)

(f) z = senh(√x y)

(g) z =x y

x+ y

(h) z =x− y

x+ y

(i) z =1

x2 + y2

(j) z = tg( 4

y

x)

(k) z = arcsec(x

y3)

(l) z = cos(x y4)

(m) w = x y z + z sen(x y z)

(n) w = exyz2

(o) w =x+ y + z

x2 + y2 + z2

(p) w = arctg(x+ y + z)

(q) w = arcsec(x y z)

(r) w = argsenh(x y z)

(s) w = x2 y3 z4

(t) w = cos(x y + z x)

(u) w = 6√x y z

(v) w = ln(x2 y3 z4)

(w) w =x y + z x

1 + x2 + y3 z4

(x) w = sen(ln(x y z2))

(y) w = ex2 y3 z4

(z) w = cos(ln(x y z2))

2. Seja∂w

∂x+∂w

∂y+∂w

∂z= 0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equa-

ção:

(a) w = ex−y + cos(y − z) +√z − x

(b) w = sen(ex + ey + ez)

(c) w = ln(ex + ey + ez)

(d) w = cos(x2 + y2 + z2)

3. Ligando-se em paralelo n resitências R1, R2, ........, Rn a resistência total R édada por

1

R=

n∑

i=1

1

Ri.

Verifique que:∂R

∂Ri=

( R

Ri

)2.

Page 32: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

120 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

4. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z = f(x, y) noponto P se:

(a) z = x2 + y, P = (1, 1, f(1, 1)).

(b) z = x2 − y2, P = (0, 0, 0).

(c) z = x2 + 4 y2, P = (2, 1, f(2, 1)).

(d) z = x2 y + y3, P = (−1, 2, f(−1, 2)). .

(e) z =x

x2 + y2, P = (3,−4, f(3,−4)).

(f) z = sen(x y), P = (1, π, 0).

(g) z =x2 + 4 y2

5, P = (3,−2, 5).

(h) z =4 − x y

x+ y, P = (2, 2, f(2, 2)).

(i) z = x ex2−y2

, P = (2, 2, f(2, 2)).

(j) z = 3x3 y − x y, P = (1,−1, f(1,−1)).

(k) z =1

x y, P = (1, 1, f(1, 1)).

(l) z = cos(x) sen(y), P = (0,π

2, f(0,

π

2)).

5. Determine o plano tangente ao gráfico de z = x y que passa pelos pontos(1, 1, 2) e (−1, 1, 1).

6. Determine o plano tangente ao gráfico de z = x2 + y2 que seja paralelo aoplano z − 2x− y = 0.

7. Verifique que o plano tangente ao gráfico de z = x2 − y2 na origem intersectao gráfico segundo duas retas.

8. Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados:

(a) f(x, y) = sen(x y), (0, 1).

(b) f(x, y, z) = 4√

x2 + y2 + z2, (1, 0, 0).

(c) f(x, y, z) = x y z, (1, 1, 1).

(d) f(x, y, z) = (x y)z , (12, 10, 1).

(e) f(x, y, z) = x y3 + cos(π z), (1, 3, 1)

(f) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2 + x y z, (1, 1, 0)

9. Calcule, aproximadamente:

Page 33: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.9. EXERCÍCIOS 121

(a) 4√

1.00222 + 0.00232 + 0.000982.

(b) 0.98 × 0.99 × 1.02.

(c) 3.001×(2.0023)3×cos((1.002)π).

(d) (12.03 × 10.04)1.08.

(e) 8.99 ×√

9.99 − 1.013

(f) 1.0023×2.99313 +cos(1.00012π).

10. Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:

(a) z = x3 y − 2x2 y2 + 5x y − 2x

(b) z = x cos(x y) − y sen(x y)

(c) z = cos(x3 + x y)

(d) z = arctg(x2 − 2x y)

(e) z = ex2+y2

(f) w = x2y3 z4

(g) w = cos(x+ y + z)

(h) w = x3 y2 z + 2 (x+ y + z)

(i) w =x3 − y3

x2 + y3

(j) w = exyz

(k) w = log4(x2 + y z + x y z)

(l) w = exy2z3

11. Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace:

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0.

(a) f(x, y) = e−x cos(y).(b) f(x, y) = ln(

x2 + y2).(c) f(x, y) = arctg

(y

x

)

, x > 0.

12. Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão3:

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2= 0.

(a) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2 z2. (b) f(x, y, z) = e3x+4ycos(5z).

13. Usando a regra da cadeia para z = f(x, y) e w = f(x, y, z), calculedz

dtedw

dt:

(a) z = x2 + 2y2, x = sen(t), , y = cos(t)

(b) z = arctg(y

x), x = ln(t), y = et

(c) z = tg(x

y), x = t, y = et

(d) z = exy, x = 3t+ 1, y = t2

(e) z = x2cos(y) − x, x = t2, y = 1t

(f) z = ln(x) + ln(y) + xy, x = et, y = e−t

(g) w = xyz, x = t2, y = t3, z = t4

(h) w = e−xy2sen(z), x = t, y = 2t, z = 3t

(i) w = x2 + y2 + z2, x = et, y = etcos(t), z = etsen(t)

Page 34: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

122 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

(j) w =x2 + y2

1 + x2 + y2 + z2, x = cos(t),

y = sen(t), z = et

(k) w =x+ y + z

x2 + y2 + z2, x = cos(t),

y = sen(t), z = et

(l) w = (x2 − y2) ln(

z3

x2 − y2), x = cosh(t),

y = senh(t), z = t

14. Usando a regra da cadeia para z = f(x, y) e w = f(x, y, z), calcule:

∂z

∂t,∂z

∂se∂w

∂t,∂w

∂se∂w

∂r.

(a) z = x2 − y2, x = 3t− s, y = t+ 2s

(b) z = ey

x , x = 2s cos(t), y = 4s sen(t)

(c) z = x2 + y2, x = cosh(s) cos(t),y = senh(s) sen(t)

(d) z = x2y−2, x = s2 − t, y = 2st

(e) z = cosh(y

x), x = 3t2s, y = 6tes

(f) ) z =√

1 + x2 + y2, x = set, y = se−t

(g) z = arcsen(3x+ y), x = s2, y = sen(st)

(h) w = xey , x = arctg(rst), y = ln(3rs+ 5st)

(i) w = x2 + y2 + z2, x = rsen(t)cos(s), y = rsen(t)sen(s), z = rcos(t)

(j) w =√

x2 + y2 + z2, x = tg(t), y = cos(r), z = sen(s)

(k) w = xy + yz + zx, x = tr, y = st, z = ts

(l) w = log5(xy + yz + zx), x = t2r, y = st2, z = t2s

15. Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão de 0.3 cm/he 0.5 cm/h respectivamente, determine a razão de decrescimento do volumedo tanque quando r = 6 cm e h = 30 cm.

16. Num certo instante, a altura de um cone é 30 cm e o raio da base é 20 cm ecresce à razão de 1 cm/seg. Qual é a velocidade com que a altura aumenta noinstante em que o volume cresce à razão de 2000

3 π cm3/seg?

17. Considere a lei de um gás ideal confinado, para k = 10. Determine a taxa devariação da temperatura no instante em que o volume do gás é de 120 cm3 eo gás está sob pressão de 8 din/cm2, sabendo que o volume cresce à razão de2 cm3/seg e a pressão decresce à razão de 0.1 din/cm2.

Page 35: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

5.9. EXERCÍCIOS 123

18. Se z = f(x, y) é diferenciável, x = rcos(θ) e y = rsen(θ), verifique:

∂z

∂x=∂z

∂rcos(θ) − ∂z

∂θ

sen(θ)

re

∂z

∂y=∂z

∂rsen(θ) +

∂z

∂θ

cos(θ)

r.

19. Sejam f(x, y) e g(x, y) funções diferenciáveis tais que:

∂f

∂x=∂g

∂ye

∂f

∂y= −∂g

∂x.

Se x = rcos(θ), y = rsen(θ) verifique que:

∂f

∂r=

1

r

∂g

∂θe

∂g

∂r= −1

r

∂f

∂θ.

20. Verifique que se w = f(x, y, z) é diferenciável e homogênea de grau n, então:

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z= nf(x, y, z).

Page 36: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

124 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

Page 37: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

Capítulo 6

DERIVADA DIRECIONAL

6.1 Introdução

Suponha que estamos numa ladeira de uma montanha e desejamos determinar ainclinação damontanha na direção do eixo dos z. Se a montanha fosse representadapelo gráfico da função z = f(x, y), então, já saberíamos determinar a inclinação em

duas direções diferentes, a saber, na direção do eixo dos x utilizando∂f

∂x(x, y) e na

direção do eixo dos y utilizando∂f

∂y(x, y).

Neste parágrafo veremos como utilizar derivada para determinar a inclinação emqualquer direção; para isto definimos um novo tipo de derivada chamada direcio-nal. Este conceito generaliza o de derivada parcial, isto é, as derivadas parciais deuma função podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais.

Definição 6.1. Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A ⊂ R

n −→ R uma função, x ∈ A e ~v umvetor unitário em R

n. A derivada direcional de f no ponto x e na direção ~v é denotadapor:

∂f

∂v(x)

e definida por:∂f

∂v(x) = lim

t−→0

f(x + t ~v) − f(x)

t,

se o limite existe.

Se n = 3, A ⊂ R3 aberto, f : A ⊂ R

3 −→ R uma função, x = (x, y, z) ∈ A e~v = (v1, v2, v3) um vetor unitário em R

3. A derivada direcional de f no ponto

(x, y, z) e na direção ~v é denotada por:∂f

∂v(x, y, z) e definida por:

∂f

∂v(x, y, z) = lim

t−→0

f(x+ t v1, y + t v2, z + t v3) − f(x, y, z)

t

se o limite existe. Analogamente para n = 2:

∂f

∂v(x, y) = lim

t−→0

f(x+ t v1, y + t v2) − f(x, y)

t

125

Page 38: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

126 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

se o limite existe.

Exemplo 6.1.

[1] A função:

f(x, y) =

x2 y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

não é contínua na origem. No entanto, as derivadas direcionais no ponto (0, 0) eem qualquer direção ~v = (v1, v2) existem.

De fato:

f(

(0, 0) + t (v1, v2))

− f(0, 0) = f(

t v1, t v2)

=t v2

1 v2t2 v4

1 + v22

;

então:

∂f

∂v(0, 0) = lim

t→0

f(

(0, 0) + t (v1, v2))

− f(0, 0)

t

= limt→0

v21 v2

t2 v41 + v2

2

=

v21

v2se v2 6= 0

0 se v2 = 0.

[2] Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x2 + y2 na direção (2, 2).

O vetor (2, 2) não é unitário; logo ~v =(2, 2)

‖(2, 2)‖ =

√2

2

(

1, 1)

é unitário e:

f(

x+

√2 t

2, y +

√2 t

2

)

=(

x+t√

2

2

)2+

(

y +t√

2

2

)2;

então, f(

x+

√2 t

2, y +

√2 t

2

)

− f(x, y) = t2 +√

2 t (x+ y); logo,

∂f

∂v= lim

t→0

f(

x+√

2 t2 , y +

√2 t2

)

− f(x, y)

t= lim

t→0

(

t+√

2 (x+ y))

=√

2 (x+ y).

[3] Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = x y z na direção (1, 1, 1). O vetor

(1, 1, 1) não é unitário; logo ~v =(1, 1, 1)

‖(1, 1, 1)‖ =

√3

3

(

1, 1, 1)

é unitário. Denote por

(x0, y0, z0) =(

x+

√3 t

3, y +

√3 t

3, z +

√3 t

3

)

; logo:

f(x0, y0, z0)) =(

x+t√

3

3

) (

y +t√

3

3

) (

z +t√

3

3

)

;

então:

f(x0, y0, z0) − f(x, y, z) =

√3 t3

9+t2 (x+ y + z)

3+t√

3 (x y + x z, x y)

3;

Page 39: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.2. DERIVADA DIRECIONAL COMO TAXA DE VARIAÇÃO 127

logo,

∂f

∂v= lim

t→0

(

√3 t2

9+t (x+ y + z)

3+

√3 (x y + x z + x y)

3

)

=

√3 (x y + x z + x y)

3.

A derivada direcional é a generalização natural das derivadas parciais. De fato,se ~v = e1 = (1, 0, 0), então, a derivada direcional de f na direção ~v é a derivadaparcial de f em relação a x:

∂f

∂e1(x, y, z) = lim

t→0

f(x+ t, y, z) − f(x, y, z)

t=∂f

∂x(x, y, z).

Analogamente se ~v = e2 = (0, 1, 0) e ~v = e3 = (0, 0, 1):

∂f

∂e2(x, y, z) =

∂f

∂y(x, y, z) e

∂f

∂e3(x, y, z) =

∂f

∂z(x, y, z).

A definição para n = 2 é análoga.

Notemos que na definição de derivada direcional o vetor ~v deve ser unitário. Arazão disto é a seguinte: se o vetor não fosse unitário, a derivada direcional nãodependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor.Para n = 2, ~v determina a direção do plano secante que intersecta o gráfico de f .

Figura 6.1:

Pode acontecer que a derivada direcional de uma função num ponto numa certadireção exista e a derivada direcional da mesma função no mesmo ponto em outradireção não exista.

6.2 Derivada Direcional como Taxa de Variação

De forma análoga ao que ocorre com as derivadas parciais, a derivada direcionalde f no ponto x ∈ A na direção ~v exprime a taxa de variação de f ao longo da reta

Page 40: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

128 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

c(t) = x + t~v ou, equivalentemente, a taxa de variação de f em relação à distância,no plano xy, na direção ~v.

y0

y0 +t

x0 x0+t

Ae

e

2

1

v

c(t)

Figura 6.2:

Novamente, a existência de todas as derivadas direcionais de uma função numponto não garante a continuidade da função no ponto, pois, equivale a aproximar-se do ponto por retas.

Exemplo 6.2.

O potencial elétrico numa região do espaço é dado por V (x, y, z) = x2 + 4 y2 + 9 z2.Ache a taxa de variação de V no ponto (2,−1, 3) e na direção de (2,−1, 3) para aorigem.

O vetor (2,−1, 3) não é unitário; logo, ~v =(2,−1, 3)

‖(2,−1, 3)‖ =1√14

(

2,−1, 3)

. Então:

f(

x+2 t√14, y − t√

14, z +

3 t√14

)

=(

x+2 t√14

)2+ 4

(

y − t√14

)2+ 9

(

z +3 t√14

)2;

e,

f(

x+2 t√14, y − t√

14, z +

3 t√14

)

− f(x, y, z) =1

14t(

89 t+ 2√

14 (2x− 4 y + 27 z))

.

Logo,∂f

∂v= lim

t−→0

1

14

(

89 t+ 2√

14 (2x− 4 y + 27 z))

=

√14

7(2x− 4 y + 27 z). En-

tão:∂f

∂v(2,−1, 3) =

89√

14

7.

Se f é diferenciável no ponto x0, então, f possui todas as derivadas direcionais emx0. A recíproca é falsa. Procure exemplos.

6.3 Gradiente de uma Função

Definição 6.2. Sejam A ⊂ Rn aberto, x ∈ A e f : A ⊂ R

n −→ R uma função tal que asderivadas parciais existem em x. O gradiente de f no ponto x é o vetor do R

n denotadopor ∇f(x) e definido por:

∇f(x) =( ∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

)

.

Page 41: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 129

Equivalentemente:

∇f(x) =∂f

∂x1(x) ~e1 +

∂f

∂x2(x) ~e2 + ............ +

∂f

∂xn(x) ~en.

Se n = 3, A ⊂ R3 aberto, f : A ⊂ R

3 −→ R uma função, x = (x, y, z) ∈ A ogradiente de f no ponto (x, y, z) é definido por:

∇f(x, y, z) =(∂f

∂x(x, y, z),

∂f

∂y(x, y, z)

∂f

∂z(x, y, z)

)

Analogamente para n = 2.A rigor ∇f é uma função que associa a cada ponto x ∈ A ⊂ R

n um único vetor∇f(x) ∈ R

n. Este tipo de função é chamado campo de vetores. O nome se jus-tifica se expressarmos graficamente ∇f do seguinte modo: em cada ponto x ∈ Adesenhamos um vetor com origem em x e com o comprimento e direção de∇f(x).

A

Figura 6.3: O gradiente como campo de vetores.

Exemplo 6.3.

[1] Se f(x, y) = x2 + y2; então,∇f(x, y) = (2x, 2 y).

(x, y) ∇f(x, y) ‖∇f(x, y)‖(0, 0) (0, 0) 0(1, 0) (2, 0) 2(x, 0) (2x, 0) 2x(0, y) (0, 2y) 2y

(1, 1) (2, 2) 2√

2(x, y) (2x, 2y) 2 ‖(x, y)‖

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce efica igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

Page 42: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

130 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

Figura 6.4: Esboço de∇f e das curvas de nível de f .

[2] Se f(x, y) = x2 − y2; então,∇f(x, y) = (2x,−2 y).

(x, y) ∇f(x, y) ‖∇f(x, y)‖(0, 0) (0, 0) 0(1, 0) (2, 0) 2(x, 0) (2x, 0) 2x(0, y) (0,−2y) 2y

(1, 1) (2,−2) 2√

2(x, y) (2x,−2y) 2 ‖(x, y)‖

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresceficando igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

Figura 6.5: Esboço de∇f e das curvas de nível de f .

[3] Se f(x, y) = sen(x) sen(y); então,∇f(x, y) = (cos(x) sen(y), sen(x) cos(y)).

Page 43: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 131

Figura 6.6: Esboço de∇f e das curvas de nível de f .

[4] Se f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, então: ∇f(x, y, z) = (2x, 2 y, 2 z) e:

‖∇f(x, y, z)‖ = 2√

x2 + y2 + z2.

Figura 6.7: Esboço de∇f .

Proposição 6.1. Se f é uma função diferenciável então:

∂f

∂v(x) = ∇f(x) · ~v

Para a prova, veja o apêndice. Se n = 2, qualquer vetor unitário ~v pode ser escritona forma

(

cos(θ), sen(θ))

, onde θ é o ângulo diretor de ~v. Logo:

∂f

∂v(x, y) = cos(θ)

∂f

∂x(x, y) + sen(θ)

∂f

∂y(x, y)

Exemplo 6.4.

[1] Calcule as derivadas direcionais de z = f(x, y) = ln(√

x2 + y2) na direção dovetor (1, 1).

O ângulo formado por (1, 1) e o eixo positivo dos x é θ = π4 , logo:

∂f

∂v(x, y) = cos(

π

4)

x

x2 + y2+ sen(

π

4)

y

x2 + y2=

√2

2

( x+ y

x2 + y2

)

.

Page 44: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

132 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

[2] Calcule as derivadas direcionais de w = f(x, y, z) = x y z na direção do vetor(1, 2, 2).

Consideremos o vetor unitário ~v =(1, 2, 2)

‖(1, 2, 2)‖ =(1

3,2

3,2

3

)

; logo:

∂f

∂v(x, y, z) =

(

y z, x z, x y)

·(1

3,2

3,2

3

)

=y z + 2x z + 2x y

3.

[3] Calcule as derivadas direcionais de w = f(x, y, z) = ex + y z na direção do vetor(−1, 5,−2).

O vetor (−1, 5,−2) não é unitário; logo ~v =1√30

(−1, 5,−2).

∂f

∂v(x, y, z) =

1√30

(ex, z, y) · (−1, 5,−2) =−ex + 5 z − 2 y√

30.

6.3.1 Observações Geométricas sobre Gradientes

Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável tal que ∇f 6= ~0, ~v um vetor

unitário e α o ângulo formado por ~v e ∇f . Então:

∇f · ~v = ‖∇f‖ ‖~v‖ cos(α) = ‖∇f‖ cos(α);

como cos(α) atinge o máximo em α = 0, então: ∂f∂v

≤ ‖∇f‖. Se α =π

2, então, ∇f é

ortogonal a ~v. Se consideramos o vetor unitário ~v = ∇f‖∇f‖ , então,

∂f

∂v= ∇f · ∇f

‖∇f‖ =‖∇f‖2

‖∇f‖ = ‖∇f‖.

Logo, temos a igualdade quando derivamos na direção de∇f .

Proposição 6.2. Se∇f 6= 0, então:

1. A taxa máxima de crescimento de f no ponto x0 ocorre na direção e no sentido dogradiente. Analogamente, a taxa mínima de crescimento de f no ponto x0 ocorre nadireção contrária a do gradiente.

2. O valor máximo de ∂f∂vno ponto x0 é ‖∇f(x0)‖.

3. Se∇f(x) = ~0, então, ∂f∂v

= 0 para todo ~v.

O gradiente de f no ponto x0 indica a direção, no plano xy (Dom(f)), de maiorcrescimento de f numa vizinhança do ponto x0.

Page 45: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 133

Figura 6.8:

Exemplo 6.5.

[1] Se T (x, y) =100x y

x2 + 4 y2 + 4é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina

metálica, x e y medidos em cm, determine a direção de crescimento máximo de Ta partir do ponto (1, 1) e a taxa máxima de crescimento de T , nesse ponto.

Pela proposição anterior, no ponto (1, 1), a função cresce mais rapidamente na di-reção de∇T (1, 1) e a taxa máxima de crescimento nesta direção é ‖∇T (1, 1)‖.

∇T (x, y) =100

(4 + x2 + 4 y2)2(

y (4 − x2 + 4 y2), x (4 + x2 − 4 y2))

;

∇T (1, 1) =100

92

(

7, 1)

e ‖∇T (1, 1)‖ =500

√2

92∼= 8.729o por centímetro.

A solução apresentada pode ser enganosa, pois, apesar de o gradiente apontar nadireção de maior crescimento da temperatura, não necessariamente indica o lu-gar mais quente da lâmina, isto é, o gradiente nos dá uma solução num pequenoaberto ao redor do ponto (1, 1); se mudamos este ponto a direção de maior cres-cimento muda. Desenhos do gradiente ao redor do ponto (1, 1) numa região doplano, respectivamente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Figura 6.9:

Page 46: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

134 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

[2] Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:

V (x, y) = 80 − 20x e−x2

+y2

20

em volts, x e y em cm.

(a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixodos x.

(b) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixodos y.

(c) Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor (1, 1).

(d) Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto (1, 2)?

(e) Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta e diminui?

(a) Qualquer direção paralela ao eixo dos x é dada pelo vetor ~v = (1, 0); logo:

∂V

∂v(x, y) =

∂V

∂x(x, y) = 2 (x2 − 10) e−

x2+y2

20 .

(b) Analogamente, qualquer direção paralela ao eixo dos y é dada pelo vetor ~v =(0, 1); logo:

∂V

∂v(x, y) =

∂V

∂y(x, y) = 2x y e−

x2+y2

20 .

(c) O vetor (1, 1) não é unitário; normalizando o vetor obtemos ~v =√

22 (1, 1) e

calculamos:∂V

∂v(x, y) = ∇V (x, y) · ~v.

Então:

∇V (x, y) =

(

∂V

∂x(x, y),

∂V

∂y(x, y)

)

= 2 e−x2

+y2

20 (x2 − 10, x y);

∂V

∂v(x, y) =

√2∇V (x, y) · (1, 1) =

√2 e−

x2+y2

20 (x2 + x y − 10).

(d) A taxa máxima do potencial no ponto (1, 2) é ‖∇V (1, 2)‖.

‖∇V (x, y)‖ = 2 e−x2

−y2

20

100 + x4 + x2 (y2 − 20);

logo, ‖∇V (1, 2)‖ =2√

854√evolts.

(e) A direção do gradiente é aquela onde o potencial cresce mais rapidamente.Logo, temos que ∇V (0, 0) = (−20, 0). A partir da origem o potencial cresce maisrapidamente na direção do vetor (−20, 0) e decresce mais rapidamente na direçãodo vetor −∇V (0, 0) = (20, 0). Veja o seguinte desenho:

Page 47: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 135

Figura 6.10: Exemplo [3].

[3] A temperatura do ar em certa altitude é dada por f(x, y, z) = x y2 z3 + x2 y z3 +x2 y3 z. Um avião está localizado no ponto (−1, 2, 1). Em que direção deve voarpara que o motor resfrie o mais rapidamente possível?

De todas as direções possíveis, a direção do gradiente é aquela onde a função crescemais rapidamente. Logo, o avião deverá voar na direção contrária a do gradiente.

∂f

∂x(x, y) = y z (2x y2 + 2x z2 + y z2),

∂f

∂y(x, y) = x z (3x y2 + x z2 + 2 y z2),

∂f

∂z(x, y) = x y (x y2 + 3x z2 + 3 y z2), e ∇f(−1, 2, 1) = (−16, 9, 2).

O avião deverá voar na direção de (16,−9,−2).

[4] Uma lâmina metálica está situada no plano xy de modo que a temperatura T =T (x, y), em graus Celsius, em cada ponto, seja proporcional à distância do ponto àorigem. Se a temperatura no ponto (3, 4) é de 150oC , pede-se:

(a) Ache a taxa de variação de T no ponto (3, 4) na direção (−1, 1).

(b) Em que direções a taxa de variação é zero?

Note que T (x, y) = k√

x2 + y2; então, 150 = T (3, 4) = 5 k; logo k = 30 e:

T (x, y) = 30√

x2 + y2 e o gradiente ∇T (x, y) =30

x2 + y2(x, y).

Logo,∇T (3, 4) = 6 (3, 4). Esboço de∇f :

Page 48: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

136 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

Figura 6.11: Exemplo [4].

(a) (−1, 1) não é unitário; logo, ~v =(

− 1√2,

1√2

)

; então,

∂T

∂v(3, 4) = ∇T (3, 4) · ~v = 3

√2.

(b) Seja ~v = (a, b) tal que a2 +b2 = 1;∂T

∂v(3, 4) = 0 se (3, 4) · (a, b) = 0; logo, obtemos

o seguinte sistema:{

a2 + b2 = 1

3 a+ 4 b = 0,

com solução a = ±4

5e b = ∓3

5. As direções solicitadas são (4,−3) e (−4, 3).

[5] A equação da superfície de uma montanha é z = f(x, y) = 1200 − 3x2 − 2 y2,onde as distâncias são medidas emmetros. Suponha que os pontos do eixo positivodos x estão a leste e os pontos do eixo positivo dos y ao norte e que um alpinistaestá no ponto (−10, 5, 850).

Figura 6.12: Exemplo [5].

(a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada?

(b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo e qualserá sua velocidade?

Page 49: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 137

(c) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo equal será sua velocidade?

(d) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano?

Sabemos que∂f

∂vatinge o máximo valor se ~v =

∇f(x, y)

‖∇f(x, y)‖ e∂f

∂v= ‖∇f(x, y)‖.

(a) ∇f(x, y) = (−6x,−4 y) e ∇f(−10, 5) = (60,−20). A direção da parte que tem ainclinação mais acentuada é (3,−1).

Figura 6.13: Esboço de∇f e das curvas de nível de f

Um vetor unitário no plano se escreve ~v = (cos(α), sen(α)), onde α é o ânguloformado pelo vetor e o eixo dos x.

(b) O vetor unitário na direção leste é ~v = (cos(0), sen(0)) = (1, 0); veja o desenho:

L

N

O

Figura 6.14:

∂f

∂v(−10, 5) =

∂f

∂x(−10, 5) = 60.

O alpinista estará subindo a uma razão de 60m/min.

(c) O vetor na direção sudoeste é (−1,−1); logo, o vetor unitário nesta direção é

dado por: ~v = (−√

2

2,−

√2

2); veja o desenho:

Page 50: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

138 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

O�

S

Figura 6.15:

∂f

∂v(−10, 5) = ∇f(−10, 5) · ~v = −20

√2.

O alpinista estará descendo a uma razão de 20√

2m/min.

(d) Seja ~v = (cos(α), sen(α)) vetor unitário. Devemos determinar α tal que:

∂f

∂v(−10, 5) = ∇f(−10, 5) · ~v = 0,

que é equivalente a 3 cos(α) − sen(α) = 0; logo tg(α) = 3. Utilizando a seguinte

identidade trigonométrica: sen2(α) =tg2(α)

1 + tg2(α), obtemos sen(α) = ±3

√10

10e

cos(α) =√

1 − sen2(α) = = ±√

1010 . O alpinista estará percorrendo um caminho

plano na direção de (1, 3) ou de (−1,−3).

6.4 Funções Implícitas

Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, f : A −→ R

2 e c ∈ R fixado. A equaçãof(x, y) = c define y implicitamente como função de x, quando existe g : I −→ R talque y = g(x) e f(x, g(x)) = c. Isto significa que:

f−1(c) = {(x, y) ∈ A/f(x, y) = c}

é o gráfico de g.

Em geral uma equação do tipo f(x, y) = c quando define y em função de x o fazapenas localmente (ou seja numa vizinhança de um ponto). Como veremos nosexemplos, nem sempre uma equação do tipo f(x, y) = c define alguma funçãoimplicitamente. Para isto, basta considerar c /∈ Im(f).

Exemplo 6.6.

[1] Seja f(x, y) = x2 + y2. Se c = −1, f não define implicitamente nehuma função.Se c = 0, então x = 0 e y = 0 e f não define implicitamente nenhuma funçãodefinida num intervalo não degenerado. Se c = 1, f não define implicitamentenehuma função. Considerando x ∈ I = (−1, 1), podemos definir:

g1(x) =√

1 − x2 se A1 = {(x, y) ∈ R2 / y > 0},

Page 51: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.4. FUNÇÕES IMPLÍCITAS 139

eg2(x) = −

1 − x2 se A2 = {(x, y) ∈ R2 / y < 0}.

[2] Seja f(x, y) = x y e c ∈ R; então, f define implícitamente:

y = g(x) =c

xse x 6= 0.

Nosso objetivo é dar condições suficientes para que seja possível obter uma fun-ção definida implicitamente. Exceto para as equações mais simples, por exemplo,lineares, quadráticas, esta questão não é simples. O estudo das funções definidasimplicitamente temmuitas aplicações não só na Matemática como em outras Ciên-cias.

[3] A lei de Gay-Loussac para gases ideais confinados: P V = k T , onde P é apressão, V o volume e T a temperatura.

[4] O sistema:{

x2 + y2 + z2 = 1

x+ y + z = 0,

estabelece uma relação entre as coordenadas de um ponto da esfera unitária cen-trada na origem.

No estudo das funções definidas implicitamente surgem dois problemas:1. Dada f(x, y) = c, f de classe Ck, (k > 1), em que casos existe g definida implici-tamente por f(x, y) = c?2. Se existe g diferenciável definida implicitamente por f(x, y) = c, como calcular aderivada de g?

Teorema 6.1. (Função Implícita) Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, f : A −→ R de

classe Ck e c ∈ R fixo. Se (x0, y0) ∈ A é tal que f(x0, y0) = c e∂f

∂y(x0, y0) 6= 0, então,

existe um retângulo aberto I1 × I2 centrado em (x0, y0) tal que f−1(c) ∩

(

I1 × I2)

é ográfico da função g : I1 −→ I2 de classe C

k e:

y′ = −∂F

∂x(x, g(x))

∂F

∂y(x, g(x))

.

Ix

g(x)

1

I2f=c

Figura 6.16:

Page 52: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

140 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

O teorema da função implícita é um teorema de existência; isto é, não indica comodeterminar a função definida implícitamente. O teorema tem consequências geo-métricas profundas. Se f satisfaz às hipóteses do teorema, então f−1(c) é local-mente uma curvas de classe Ck. Veja [4] na bibliografia. Nós, essencialmente, utili-zaremos a fórmula para o cálculo das derivadas.

Exemplo 6.7.

[1] Se y = f(x) é definida implicitamente por ex−y + x2 − y = 1, calcule y′.

Seja f(x, y) = ex−y + x2 − y − 1; f é de classe Ck e∂f

∂y(x0, y0) = −ex0−y0 − 1 6= 0

para todo (x0, y0) ∈ R2; então:

y′ =ex−y + 2x

ex−y + 1.

[2] Se y = f(x) é definida implicitamente por x2 + y2 = 1, calcule y′.

Seja f(x, y) = x2 +y2, f é de classe Ck e∂f

∂y(x0, y0) = −2 y0 6= 0 para todo (x0, y0) ∈

R2 tal que y0 6= 0; então:

y′ = −xy.

[3] Seja f(x, y) = (x − 2)3 y + x ey−1. Não podemos afirmar que f(x, y) = 0 defineimplicitamente uma função de x num retângulo aberto centrado em (1, 1). De fato,f(1, 1) = 0, f é de classe Ck mas:

∂f

∂y(1, 1) = (x− 2)3 + x ey−1

(1,1)

= 0.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

Figura 6.17: Curvas de nível de f num retângulo centrado em (1, 1).

Para n > 2 o teorema da função implícita também é válido. A seguir, apressenta-mos a versão para n = 3:

Teorema 6.2. (Função Implícita) Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto, f : A −→ R de

classe Ck e c ∈ R fixo.

Page 53: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.5. GRADIENTE E CONJUNTOS DE NÍVEL 141

Se (x0, y0, z0) ∈ A é tal que f(x0, y0, z0) = c e∂f

∂z(x0, y0, z0) 6= 0, então, existe um

paralelepípedo aberto I1 × I2 × I3 centrado em (x0, y0, z0) tal que f−1(c) ∩

(

I1 × I2 × I3)

é o gráfico da função g : I1 × I2 −→ I3 de classe Ck tal que z = g(x, y) e:

∂g

∂x= −

∂f

∂x(x, , y, g(x, y))

∂f

∂z(x, y, g(x, y))

e∂g

∂x= −

∂f

∂y(x, , y, g(x, y))

∂f

∂z(x, y, g(x, y))

.

Novamente o teorema implica em que toda superfície de classe Ck é localmente ográfico de alguma função de classe Ck. Veja [4] na bibliografia.

6.5 Gradiente e Conjuntos de Nível

Sabemos que ∇f aponta na direção para a qual f cresce o mais rapidamente, masnas curvas de nível a função f permanece constante, isto é, ao andarmos por umacurva de nível, os valores de f são constantes; logo, a derivada direcional nessadireção será zero (sem variação):

∂f

∂v(x0) = ∇f(x0) · ~v = 0.

Em geral, considere uma função f : A ⊂ Rn −→ R diferenciável.

Proposição 6.3. Seja x0 ∈ A tal que ∇f(x0) 6= ~0. Então ∇f(x0) é perpendicular aoconjunto de nível de f que passa pelo ponto x0.

Para a prova, veja o apêndice.

Sc3

S

Sc2

c1

Figura 6.18: O gradiente perpendicular aos conjuntos de nível.

6.6 Gradiente e Curvas de Nível

Seja a função f : A ⊂ R2 −→ R diferenciável e as curvas de nível c de f :

Cc = {(x, y) ∈ R2/f(x, y) = c}.

Page 54: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

142 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

Se (x0, y0) ∈ Cc tal que ∇f(x0, y0) 6= ~0. Pela proposição 6.3, segue que a equaçãoda reta tangente à curva de nível f(x, y) = c no ponto (x0, y0) é

∇f(x0, y0) · (x− x0, y − y0) = 0

ou:∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) = 0

e a equação da reta normal é:

∂f

∂x(x0, y0)(y − y0) −

∂f

∂y(x0, y0)(x− x0) = 0

Exemplo 6.8.

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal no ponto (x0, y0) daelipse centrada na origem.

A equação da elipse centrada na origem éx2

a2+y2

b2= 1, (a, b 6= 0). Considere-

mos:

f(x, y) =x2

a2+y2

b2− 1;

então, ∇f(x0, y0) = 2(x0

a2,y0

b2)

; as equações das retas tangente e normal são, res-pectivamente:

{

b2 x0 x+ a2 y0 y = a2 b2,

b2 x0 y − a2 y0 x = (b2 − a2)x0 y0.

Em particular, se a = b temos um círculo de raio a e as equações da reta tangente eda reta normal são, respectivamente,

{

x0 x+ y0 y = a2

x0 y − y0 x = 0.

[2] Determine a equação da reta tangente à elipsex2

16+y2

9= 1, que é paralela à reta

x+ y = 0.

Seja f(x, y) =x2

16+y2

9e g(x, y) = x+ y. Pelo exercício anterior para a = 4 e b = 3,

temos:9xx0 + 16 y y0 = 144;

esta reta deve ser paralela à reta x + y = 0; logo, os vetores normais devem serparalelos, isto é, devemos resolver o sistema:

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)

x20

16+y20

9= 1.

Page 55: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.6. GRADIENTE E CURVAS DE NÍVEL 143

Ou, equivalentemente:

(1) x0 = 8λ

(2) 2 y0 = 9λ

(3)x2

0

16+y20

9= 1.

Fazendo (1) = (2) e utilizando (3), temos: (x0, y0) = ±(16

5,9

5

)

; logo, no ponto(16

5,9

5

)

, temos x+ y = 5 e no ponto(

− 16

5,−9

5

)

, temos

x+ y = −5.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Figura 6.19: Exemplo [2].

[3] Determine a equação da reta normal à parábola y2 = −8x que passa pelo ponto(−5, 0).

Primeiramente, observamos que o ponto (−5, 0) não pertence à parábola. Seja:

f(x, y) = y2 + 8x;

logo,∇f(x, y) = 2 (4, y). A equação da reta normal no ponto (x0, y0) é:

−x y0 + 4 y − 4 y0 + x0 y0 = 0.

Como esta reta deve passar por (−5, 0), temos x0 = −1 ou y0 = 0. Como o ponto(x0, y0) pertence à parábola y2

0 = −8x0. Se y0 = 0, então a equação é: y = 0. Sex0 = −1, então y0 = ±2

√2 e as equações são:

2 y −√

2x = 5√

2 e 2 y +√

2x = −5√

2,

nos pontos (−1, 2√

2) e (−1,−2√

2), respectivamente.

Page 56: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

144 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

-5 -4 -3 -2 -1

-4

-2

2

4

Figura 6.20: Exemplo [3].

6.6.1 Ângulo entre Curvas que se Intersectam

Sejam as curvas de nível:

C1 = {(x, y) ∈ R2 /F (x, y) = 0} e C2 = {(x, y) ∈ R

2 /G(x, y) = 0}

que se intersectam no ponto (x0, y0). O ângulo compreendido entre elas é definidocomo o menor ângulo formado pelas retas tangentes a essas duas curvas no ponto(x0, y0), o qual é equivalente ao ângulo α formado pelas respectivas normais noponto (x0, y0). Logo, se ∇F (x0, y0) 6= 0 e ∇G(x0, y0) 6= 0, temos que o ângulo α,formado por C1 e C2 é dado por:

cos(α) =∇F (x0, y0) · ∇G(x0, y0)

‖∇F (x0, y0)‖ ‖∇G(x0, y0)‖

As curvas são ortogonais se:

∇F (x0, y0) · ∇G(x0, y0) = 0,

ou seja:∂F

∂x

∂G

∂x+∂F

∂y

∂G

∂y= 0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (x0, y0).

Exemplo 6.9.

[1] Determine o ângulo entre as curvas x y = −2 e y2 = −4x no ponto (−1, 2).

Sejam f(x, y) = x y + 2 e g(x, y) = 4x+ y2, ambas funções diferenciáveis; então,∇f(x, y) = (y, x) e∇g(x, y) = (4, 2 y). Logo,

cos(α) =∇f(−1, 2) · ∇g(−1, 2)

‖∇f(−1, 2)‖ ‖∇g(−1, 2)‖

e cos(α) =

√10

10.

Page 57: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.7. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 145

-2 -1

-2

2

Figura 6.21:

[2] Determine o ângulo entre as curvas x2 + y2 = 8 e 3x2 − y2 = 8 no ponto (−2, 2).

Sejam f(x, y) = x2 + y2 e g(x, y) = 3x2 − y2, ambas funções diferenciáveis; então,∇f(x, y) = 2 (x, y) e∇g(x, y) = = 2 (3x,−y). Logo,

cos(α) =∇f(−2, 2) · ∇g(−2, 2)

‖∇f(−2, 2)‖ · ‖∇g(−2, 2)‖

e cos(α) =√

55 .

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 6.22:

O gráfico de uma função y = f(x) pode ser considerado como a curva de nível zerode F (x, y) = y − f(x); então:

∇F (x, y) = (−f ′(x), 1); logo, y − y0 = f ′(x) (x − x0).

6.7 Gradiente e Superfícies de Nível

Neste caso, o conjunto de nível c de f são as superfícies de nível c de f . (c ∈ R):

Sc = {(x, y, z) ∈ R3/f(x, y, z) = c}

Da proposição 6.3, segue que a equação do plano tangente à superfície de nível

Page 58: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

146 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

Sc de f , no ponto (x0, y0, z0) é:

∇f(x0, y0, z0) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0

se∇f(x0, y0, z0) 6= ~0, ou, equivalentemente:

∂f

∂x(x0, y0, z0) (x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0, z0) (y − y0) +

∂f

∂z(x0, y0, z0) (z − z0) = 0

Logo, a reta normal ao plano tangente deve ter a direção do gradiente e as equaçõesparamétricas desta reta no ponto (x0, y0, z0) são:

x(t) = x0 + t∂f

∂x(x0, y0, z0)

y(t) = y0 + t∂f

∂y(x0, y0, z0)

z(t) = z0 + t∂f

∂z(x0, y0, z0), t ∈ R.

Como ∇f(x0, y0, z0) é normal ao plano tangente a Sc no ponto (x0, y0, z0), o vetornormal unitário a Sc em qualquer ponto (x, y, z) é:

~n(x, y, z) =∇f(x, y, z)

‖∇f(x, y, z)‖ .

Exemplo 6.10.

[1] Determine o vetor normal unitário à superfície sen(x y) = ez no ponto (1, π2 , 0).

Seja f(x, y, z) = sen(x y) − ez . A superfície do exemplo é a superfície de nível zerode f ;

S0 = {(x, y, z) ∈ R3/f(x, y, z) = 0}.

Logo, ∇f(x, y, z) = (y cos(x y), x cos(x y),−ez) e ∇f(1, π2 , 0) = (0, 0,−1) é o vetor

normal unitário à superfície S.

0.0

0.5

1.0

1.5

1.5

2.0-2

-1

0

Figura 6.23: Exemplo [1].

Page 59: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.7. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 147

[2] Determine o vetor normal unitário à superfície z = x2 y2+y+1 no ponto (0, 0, 1).

Seja f(x, y, z) = x2 y2 + y − z. A superfície do problema é a superfície de nível −1de f ;

S−1 = {(x, y, z) ∈ R3/f(x, y, z) = 0}.

Logo,∇f(x, y, z) = (2x y2, 2x2 y + 1,−1) e∇f(0, 0, 1) = (0, 1,−1); então,

~n(0, 0, 1) =1√2

(0, 1,−1).

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0

1

2

3

Figura 6.24: Exemplo [2].

Esta definição de plano tangente é mais geral que a dada anteriormente.

De fato, se z = g(x, y) é uma função nas condições da proposição, então o gráficode g pode ser definido como a superfície de nível zero de f(x, y, z) = g(x, y) − z.Note que:

∇f =(∂g

∂x,∂g

∂y,−1

)

,

que é exatamente, o vetor normal ao plano tangente ao gráfico de f no ponto(x, y, g(x, y)).

Note que os vetores tangentes ao gráfico de f em (x, y, g(x, y)) são:

~vx =(

1, 0,∂g

∂x

)

e ~vy =(

0, 1,∂g

∂y

)

.

Figura 6.25:

Page 60: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

148 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

Lembramos, que todas as superfícies definidas por equações em três variáveis,como as quádricas, podem ser consideradas como superfícies de algum nível deuma função de tres variáveis.

Exemplo 6.11.

[1] Seja f uma função de classe C1 tal que f(1, 1, 2) = 1 e∇f(1, 1, 2) = (2, 1, 3).

A equação f(1, 1, 2) = 1 define implícitamente uma função g? No caso afirmativo,determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 2).

Como ∇f(1, 1, 2) = (2, 1, 3); então, temos que∂f

∂x(1, 1, 2) = 2,

∂f

∂y(1, 1, 2) = 1 e

∂f

∂z(1, 1, 2) = 3. Pelo teorema da função implícita, existe z = g(x, y) de classe C1 no

ponto (1, 1), g(1, 1) = 2 e:

∂g

∂x(1, 1) =

∂f

∂x(1, 1, 2))

∂f

∂z(1, 1, 2))

= −2

3e

∂g

∂y(1, 1) = −

∂f

∂y(1, 1, 2)

∂f

∂z(1, 1, 2)

= −1

3.

Logo, a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 2) é:

z = g(1, 1) +∂g

∂x(1, 1) (x − 1) +

∂g

∂y(1, 1) (y − 1) =

6 − 2x− y

3;

equivalentemente, 3 z + 2x+ y = 6.

[2] O cone x2 + y2 − z2 = 0 pode ser considerado como a superfície de nível c = 0da função f(x, y, z) = x2 +y2− z2. Determinaremos as equações do plano tangentee da reta normal à superfície no ponto (1, 1,

√2):

∇f(1, 1,√

2) · (x− 1, y − 1, z −√

2) = 0.

Temos ∇f(x, y, z) = (2x, 2 y,−2 z) e ∇f(1, 1,√

2) = 2(1, 1,−√

2); então, a equaçãodo plano tangente é x + y −

√2z = 0 e a reta normal passando por (1, 1,

√2) tem

equações paramétricas:

x = 1 + 2 t

y = 1 + 2 t

z =√

2 − 2√

2 t;

o plano tangente à superfície contem a reta na direção (1, 1,√

2) perpendicular ao∇f(1, 1,

√2).

Page 61: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.7. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 149

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

Figura 6.26:

[3] Determine a equação do plano tangente à superfície 3x y + z2 = 4 no ponto(1, 1, 1).

Considere f(x, y, z) = 3x y+z2. Logo, superfície de nível c = 4 de f é 3x y+z2 = 4.No ponto (1, 1, 1) a equação do plano tangente à superfície de nível de f é dada por:

∇f(1, 1, 1) · (x− 1, y − 1, z − 1) = 0; ∇f(x, y, z) = (3 y, 3x, 2 z) e

∇f(1, 1, 1) = (3, 3, 2);

então, a equação é:

3x+ 3 y + 2 z = 8.

[4] Determine:

(a) O vetor normal unitário a 5x2 + y2 − 2 z2

5= 10 nos pontos (1, 0, 0) e (1,

√5, 0).

(b) A equação do plano tangente à superfície 5x2 + y2 − 2 z2

5= 10 no ponto

(1,√

5, 0).

(a) Seja f(x, y, z) = 5x2 + y2 − 2 z2

5; ∇f(x, y, z) = (10x, 2 y,−4 z

5). Então:

~n1 =∇f(1, 0, 0)

‖∇f(1, 0, 0)‖ = (1, 0, 0) e ~n2 =∇f(1,

√5, 0)

‖∇f(1,√

5, 0)‖=

√30

30(5,

√5, 0).

(b) No ponto (1,√

5, 0), teremos:

5x+√

5 y = 10.

Page 62: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

150 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

Figura 6.27:

[5] Determine as equações dos planos tangentes à superfície

x2 +y2

4+z2

9= 1

paralelos ao plano x+ y + z = 0.

Como o plano x + y + z = 0 é paralelo aos planos tangentes à superfície, então osvetores normais a ambos os planos devem ser paralelos; logo, existe λ 6= 0 tal que∇f(x0, y0, z0) = λ(1, 1, 1), para algum (x0, y0, z0) na superfície.

Como ∇f(x0, y0, z0) = (2x0,y0

2,2

9z0). Devemos resolver o sistema:

2x0 = λ

y0 = 2λ

2 z0 = 9λ,

sendo x02 +

y20

4+z20

9= 1; logo λ = ±

2

7; obtemos, assim, os pontos:

p = ±√

2

7

(1

2, 2,

9

2

)

.

Logo, ∇f(

p)

= ±√

14

7

(

1, 1, 1)

; então, as equações dos planos tangentes nestespontos, são:

x+ y + z = ±√

14.

[6] Determine a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) à superfície defi-nida por:

Ax2 +B y2 +C z2 = D

onde A, B, C, D ∈ R.

Consideremos f(x, y, z) = Ax2 +B y2 + C z2 −D; logo, temos que:

∇f(x0, y0, z0) = (2Ax0, 2B y0, 2C z0)

Page 63: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.7. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 151

e a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é:

Ax0 x+B y0 y + C z0 z = D

onde usamos o fato de que (x0, y0, z0) pertence à superfície. Em particular, o planotangente no ponto (x0, y0, z0) de:

1. um elipsóide centrado na origem é:

x0 x

a2+y0 y

b2+z0 z

c2= 1

2. um parabolóide hiperbólico centrado na origem é:

2x0x

a2− 2

y0y

b2− z

c= 0

6.7.1 Ângulo entre Superfícies

Em diversas áreas da ciência é importante saber determinar o ângulo formado pelainterseção de duas superfícies num ponto dado. O ângulo entre duas superfíciesnum ponto comum é o menor ângulo formado pelas normais a essas superfíciesnesse ponto.

Figura 6.28: Interseção de superfícies.

Suponha que as superfícies são definidas por:

F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0

e tem um ponto comum (x0, y0, z0). Consideremos as funções:

w = F (x, y, z) e w = G(x, y, z)

tais que existam os gradientes e sejam não nulos neste ponto. As superfícies sãoas superfícies de nível c = 0 de w = F (x, y, z) e w = G(x, y, z), respectivamente.∇F (x0, y0, z0) e ∇G(x0, y0, z0) são os vetores normais às superfícies de nível:

S1 = {(x, y, z) ∈ R3 /F (x, y, z) = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R

3 /G(x, y, z) = 0},

Page 64: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

152 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

respectivamente. Se ∇F (x0, y0, z0) 6= 0 e ∇G(x0, y0, z0) 6= 0, temos que o ângulo α,formado por S1 e S2 é dado por:

cos(α) =∇F (x0, y0, z0) · ∇G(x0, y0, z0)

‖∇F (x0, y0, z0)‖ ‖∇G(x0, y0, z0)‖

As superfícies são ortogonais no ponto (x0, y0, z0) se:

∂F

∂x

∂G

∂x+∂F

∂y

∂G

∂y+∂F

∂z

∂G

∂z= 0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (x0, y0, z0).

Exemplo 6.12.

[1] Determine o ângulo formado pelas superfícies:

z − exy + 1 = 0 e z − ln(√

x2 + y2) = 0

no ponto (0, 1, 0).

Sejam F (x, y, z) = z − exy + 1 e G(x, y, z) = z − ln(√

x2 + y2);

∇F (x, y, z) = (−y exy,−x exy, 1), ∇G(x, y, z) = (−x

x2 + y2,

−yx2 + y2

, 1),

∇F (0, 1, 0) = (−1, 0, 1), ∇G(0, 1, 0) = (0,−1, 1);

logo,∇F (0, 1, 0) · ∇G(0, 1, 0) = 1; então, cos(α) =1

2e α =

π

3.

Figura 6.29: Superfícies do exemplo [1].

[2] Determine o ângulo formado pelas superfícies:

x y + y z − 4 z x = 0 e 3 z2 − 5x+ y = 0

no ponto (1, 2, 1).

Sejam F (x, y, z) = x y + y z − 4 z x e G(x, y, z) = 3 z2 − 5x+ y

∇F (x, y, z) = (y − 4 z, x+ z, y − 4x), ∇G(x, y, z) = (−5, 1, 6 z),

∇F (1, 2, 1) = (−2, 2,−2), ∇G(1, 2, 1) = (−5, 1, 6);

Page 65: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.7. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 153

logo,∇F (1, 2, 1) ·G(1, 2, 1) = 0; então, cos(α) = 0 e: α =π

2.

Figura 6.30: Superfícies do exemplo [1].

[3] Reta tangente à interseção de duas superfícies.

Seja C a curva (ou ponto) dada pela interseção das superfícies de nível:

S1 = {(x, y, z) ∈ R3 /F (x, y, z) = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R

3 /G(x, y, z) = 0}.

Sejam w = F (x, y, z), w = G(x, y, z) duas funções tais que as derivadas parciaisexistam e P = (x0, y0, z0) um ponto comum às duas superfícies. Considere osvetores:

N1 = ∇F (x0, y0, z0) e N2 = ∇G(x0, y0, z0),

N1 é normal à S1 no ponto P e N2 é normal à S2 no ponto P . Logo N1 e N2 sãonormais a C no ponto P . SeN1 eN2 não são paralelas, então o vetor tangente a Cno ponto P tem a mesma direção que N1 × N2 no ponto P (produto vetorial dosvetores normais). Como isto vale para qualquer ponto P da interseção, temos queseN1 × N2 = (a, b, c), então a equação na forma parámetrica da reta tangente a Cno ponto P é:

x = x0 + t a

y = y0 + t b

z = z0 + t c, t ∈ R.

Por exemplo, determinemos a equação da reta tangente à interseção das seguintessuperfícies 3x2 + 2 y2 + z2 = 49 e x2 + y2 − 2 z2 = 10 no ponto (3,−3, 2).

Sejam F (x, y, z) = 3x2 + 2 y2 + z2 − 49 e G(x, y, z) = x2 + y2 − 2 z2 − 10: então:

N1 = ∇F (3,−3, 2) = 2 (9,−6, 2) e N2 = ∇G(3,−3, 2) = 2 (3,−3,−4)

logo, (9,−6, 2) × (3,−3,−4) = 3 (10, 14,−3); a equação, na forma paramétrica, dareta tangente pedida é:

x = 3 + 10 t

y = −3 + 14 t

z = 2 − 3 t.

Page 66: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

154 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

6.8 Exercícios

1. Calcule o gradiente das seguintes funções:

(a) z = 2x2 + 5 y2

(b) z =1

x2 + y2

(c) w = 3x2 + y2 − 4 z2

(d) w = cos(x y) + sen(y z)

(e) w = ln(x2 + y2 + z2)

(f) w = cos(2x) cos(3 y) senh(4x)

(g) w = x y ez + y z ex

(h) w =x y

z

(i) w = ln(x2 + y2 + z2 + 1)

(j) w =1

x2 + y2 + z2 + 1

(k) w = log6(x+ y2 + z3)

(l) w =x y2 z3

x2 + y2 + z2 + 1

2. Determine a derivada direcional da função dada na direção ~v:

(a) z = 2x2 + 5 y2, ~v = (cos(π2 ), sen(π

2 )).

(b) z =1

x2 + y2, ~v = (1, 1).

(c) z = x2y3, ~v =1

5(3,−4).

(d) z = x2 + x y + y2 + 3x− 3 y + 3, ~v =1√5

(1, 2).

(e) z = y2 tg2(x), ~v =1

2(−

√3, 1).

(f) w = 3x2 + y2 − 4 z2, ~v = (cos(π

3), cos(

π

4), cos(

3).

(g) w = cos(x y) + sen(y z), ~v = (−1

3,2

3,2

3).

(h) w = ln(x2 + y2 + z2), ~v =

√3

3(1,−1,−1).

(i) w = cos(2x) cos(3 y) senh(4 z), ~v =

√3

3(1,−1, 1).

(j) w = x y ez + y z ex, ~v = (2, 2, 1).

(k) w =x y

z, ~v = (1, 1, 1).

(l) w = x sen(y) + y sen(z) + z sen(x), ~v = (1, 1, 1).

(m) w = exyz , ~v = (1, 1, 1).

(n) w = e1+x2+y2+z2

, ~v = (1, 0, 1).

(o) w = arcsec(x y z), ~v = (0, 0, 1).

(p) w =1

x+

2

y+

3

z, ~v = (1, 1, 1).

(q) w =1

x2+

2

y2+

3

z3, ~v = (1, 1, 1).

(r) w = sen(log3(x+ y + z)), ~v = (2, 1, 2).

Page 67: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.8. EXERCÍCIOS 155

3. Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P e adirecão em que ocorre:

(a) z = 2x2 + 3 y2, P = (1,−1).

(b) z =√

4 − x2 − y2, P = (1, 1).

(c) z = x y, P = (1, 0).

(d) z = e2y arctg(y

3x), P = (1, 3).

(e) w = sen(x y) + cos(y z), P = (−3, 0, 7).

(f) w = ex cos(y) + ey cos(z) + ez cos(x), P = (0, 0, 0).

(g) w = 2x y z + y2 + z2, P = (2, 1, 1).

(h) w = exyz , P = (1, 1, 1).

(i) w = cosh(x y z), P = (1, 0, 1).

(j) w =√

x2 + y2 + z2 + 1, P = (1, 1, 1).

4. Verifique as seguintes identidades:

(a) ∇(f + g) = ∇f + ∇g(b) ∇(f g) = f ∇g + g∇f

(c) ∇(f

g

)

= g ∇f−f ∇gg2 se g 6= 0

5. Se f(x, y) = 2 e−x2

+ e−3y2

é a altura de uma montanha na posição (x, y), emque direção, partindo de (1, 0) se deveria caminhar para subir a montanhamais rapidamente?.

6. Em que direção a derivada direcional de f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2no ponto (1, 1) é

zero?.

7. Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor (2, 2), noponto (1, 2) é igual a −3 na direção do vetor (1,−1), no mesmo ponto. Deter-mine o gradiente d função no ponto (1, 2).

8. Verifique que os gráficos de z = x2 + y2 e z = −x2 − y2 − xy3 são tangentesna origem.

9. Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a temperaturaT = T (x, y) num ponto (x, y) é inversamente proporcional á distância doponto á origem. Sabendo que a temperatura no ponto P = (3, 4) é 100oC ,determine:

(a) A taxa de variação de T no ponto P e na direção o vetor (1, 1).

(b) A direção em que T aumenta mais rapidamente no ponto P .

(c) A direção em que T decresce mais rapidamente no ponto P .

Page 68: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

156 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL

(d) A direção em que a taxa de variação é zero..

10. Determine o plano tangente e a reta normal às superfícies no ponto P :

(a) x2 + x y2 + y3 + z + 1 = 0, P = (2,−3, 4).

(b) x2 + 2x y + y2 + z − 7 = 0, P = (1,−2, 6).

(c) x2 − y2 − z2 = 1, P = (3, 2, 2).

(d) x2 + y2 − z2 = 25, P = (5, 5, 5).

(e) x− y − z2 = 3, P = (3, 4, 2).

(f) 3√x2 + 3

y2 +3√z2 =

3√a2, P = (x0, y0, z0).

(g) ln( y2 z ) − x = 0, P = (0, 2, 1).

(h) x2

a2 − y2

b2+ z2

c2= 1, P = (x0, y0, z0).

(i) x2

a2 − y2

b2− z2

c2= 1, P = (x0, y0, z0).

(j) x2

a2 + y2

b2− z2

c2= 1, P = (x0, y0, z0).

11. Um nave está perto da órbita de um planeta na posição (1, 1, 1). Sabendo quea temperatura da blindagem da nave em cada ponto é dada por T (x, y, z) =

e−(x2+3y2+2z2) graus, determine a direção que a nave deve tomar para perdertemperatura o mais rapidamente possível.

12. Determine a equação do plano tangente à x2−2 y2−4 z2 = 16 e que é paraleloao plano 4x− 2 y + 4 z = 5.

13. A densidade de uma bola esférica de centro na origem, num ponto (x, y, z)é proporcional ao quadrado da distn̂cia do ponto á origem. E fetuando umdeslocamento a partir do ponto (1, 2, 3) do interior da bola, na direção dovetor (1, 1/2,−1), a densidade aumenta ou diminui? Justifique.

14. Determine o ângulo entre as seguintes superfícies no ponto P .

(a) x2 y2 + 2x+ z2 = 16, 3x2 + y2 − 2 z = 9 e P = (2, 1, 2).

(b) x2 + 3 y2 + 2 z2 = 9, x2 + y2 + z2 − 8x− 8 y − 6 z + 24 = 0 e P = (2, 1, 1).

(c) 3x2 + 2 y2 − 2 z = 1, x2 + y2 + z2 − 4 y − 2 z + 2 = 0 e P = (1, 1, 2).

(d) z − x2 − y2 + 2x y = 0, z − x2 + y2 = 0 e P = (0, 0, 0).

(e) x2 − y2 = 1, 3x2 + y2 − 2 z = 9 e P = (1, 0, 0).

(f) x2 −2 y z+y3 = 4, x2 +(4 c−2) y2 − c z2 +1 = 0 e P = (1,−1, 2), (c ∈ R).

15. Determine o ponto (ou pontos) em que o gradiente da função : f(x, y) =ln(x+ y−1) é igual a (1,−16/9).

16. Determine a equação da reta tangente à interseção das superfícies x2 − y = 0e y + z2 = 16 no ponto (4, 16, 0).

Page 69: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

6.8. EXERCÍCIOS 157

17. Determine o ângulo entre os gradientes da função : f(x, y) = ln( yx) nos pon-

tos (1/2, 1/4) e (1, 1).

18. Sejam as seguintes superfícies x2 + y2 + z2 = 6 e 2x2 + 3 y2 + z2 = 9.

(a) Determine as equações dos planos tangentes a cada superfície no ponto(1, 1, 2), respectivamente.

(b) Determine o ângulo entre as superfícies no ponto (1, 1, 2).

(c) Determine a equação da reta tangente à interseção das superfícies no ponto(1, 1, 2).

19. O potencial V associado a um campo elétrico E é dado por V (x, y) = 1√x2+y2

.

Sabendo que E = −grad(V ), determine E(4, 3). Em que direção, a partir doponto (4, 3) a taxa de variação do potencial é máxima?

20. Sejam φ, η e ψ funções de uma variável real com derivadas de segunda ordemsatisfazendo:

φ′′(x) + λ2 φ(x) = 0 e ψ′′(t) + c2 λ2 ψ(t) = 0,

sendo λ, c constantes. Verifique que u(x, t) = φ(x)ψ(t) é solução da equaçãoda onda.

21. Verifique que w(x, t) = 1√te−

x2

4kt , t > 0 e k constante, é solução da equação docalor:

∂w

∂t− k

∂2w

∂x2= 0.

Page 70: DERIVADAS PARCIAIS - ufersa.edu.br · Capítulo 5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução Definição 5.1. Sejam A⊂ R3 um conjunto aberto e f: A−→ R uma função. 1. A derivada

158 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIRECIONAL