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Ivan A. C. de Albuquerque ÂNGULO Ângulo é um ente geométrico fundamental, muito conseqüente e apreendido pela nossa intuição sem maior esforço. Aqui faremos uma caminhada no sentido de defini-lo o mais rigorosamente possível. Vamos nessa direção. No plano, quaisquer dois pontos distintos determinam um segmento de reta que está contido neste plano. Esta propriedade, óbvia, do plano conter o segmento de reta determinado por estes dois pontos não é compartilhada com outros subconjuntos do plano. Os subconjuntos do plano que compartilham com ele a propriedade acima são chamados de conjunto convexo, ou região convexa, e os que não compartilham são chamados de conjunto côncavo, ou região côncava. Para maior clareza observe a ilustração abaixo: Considere no plano um ponto P qualquer e a partir dele duas semi- retas. Três possibilidades essenciais podem ocorrer: 1 côncav os convexos

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ÂNGULO

Ângulo é um ente geométrico fundamental, muito conseqüente e apreendido pela nossa

intuição sem maior esforço. Aqui faremos uma caminhada no sentido de defini-lo o mais

rigorosamente possível. Vamos nessa direção.

No plano, quaisquer dois pontos distintos determinam um segmento de reta que está contido

neste plano. Esta propriedade, óbvia, do plano conter o segmento de reta determinado por

estes dois pontos não é compartilhada com outros subconjuntos do plano. Os subconjuntos

do plano que compartilham com ele a propriedade acima são chamados de conjunto

convexo, ou região convexa, e os que não compartilham são chamados de conjunto

côncavo, ou região côncava. Para maior clareza observe a ilustração abaixo:

Considere no plano um ponto P qualquer e a partir dele duas semi-retas. Três possibilidades

essenciais podem ocorrer:

1. Semi-retas na mesma direção e no mesmo sentido, como a figura abaixo mostra:

1

.

côncavosconvexos

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2. Semi-retas na mesma direção e sentido contrário, como indicado na figura abaixo:

3. Semi-retas em diferentes direções, como se mostra na figura abaixo:

Observação: As figuras acima representam casos particulares das infinitas posições

possíveis no plano.

No plano, qualquer par de semi-retas coma a mesma origem determinam nele duas regiões,

ou conjuntos, sendo uma convexa e a outra côncava. De fato: na primeira possibilidade,

semi-retas na mesma direção e no mesmo sentido, a região convexa é determinada pelas

semi-retas e a região côncava pelo seu complementar com relação ao plano. Veja figura a

seguir.

.

.

2

Região côncava

.

Região convexa

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Na segunda possibilidade, semi-retas na mesma direção e sentido contrário, a região

convexa é determinada pelas semi-retas, neste caso uma reta, e a região côncava pelo seu

complementar com relação ao plano. Observe a ilustração abaixo.

Na terceira possibilidade, semi-retas em direções diferentes, a região convexa é determinada

pela união do conjunto formado pelas semi-retas com o conjunto convexo delimitado por elas,

e a região côncava pelo seu complementar com relação ao plano. Veja a figura abaixo

3

Região côncava

Região convexa

.

Região côncava

Região convexa

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Neste ponto de nossa caminhada estamos em condições de darmos uma definição de

ângulo.

Definição – Dadas duas semi-retas com origem comum chama-se de ângulo ao

complementar, com relação ao plano, da região côncava determinada por elas.

O ângulo determinado por duas semi-retas com origem comum na mesma direção e no

mesmo sentido é chamado de ângulo nulo

e o ângulo determinado por duas semi-retas com origem comum na mesma direção e com

sentidos opostos será chamado de ângulo raso

ELEMENTOS DE UM ÂNGULO

Dado um ângulo a origem comum das semi-retas que o definem é chamado de vértice do e

estas semi-retas serão chamadas de lados do ângulo. O vértice e os lados são os elementos

do ângulo.

TRANSPORTE DE ÂNGULOS

Dado um ângulo como obter um outro ângulo que possa em certo sentido “ser confundido”

com o ângulo dado? As ações que respondem a esta pergunta é o que se chama em

Desenho Geométrico de TRANSPORTE DE ÂNGULO.

4

Ângulo nulo.

.Ângulo raso

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Dado um ângulo, como por exemplo, o ângulo que segue.

Vamos transportá-lo.

Determine um ponto O e uma semi-reta com origem nele.

Com a ponta sega do compasso no vértice do ângulo e uma abertura conveniente, trace um

arco interceptando os dois lados do ângulo nos pontos A e B.

Em seguida, com a ponta sega no ponto O e a mesma abertura anterior determine um arco

conveniente interceptando a semi-reta com origem em O no ponto A’.

Neste arco com abertura do compasso igual à distância entre os pontos A e B e ponta sega

no ponto de interseção A’, obtenha o ponto B’.

5

O

V

V A

B

O A’

O A’

B’

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Trace a semi-reta de origem em O que passa pelo ponto B’ que acabamos de obter.

O ângulo determinado por esta semi-reta e a anteriormente traçada é o ângulo desejado, o

ângulo transportado!

Nota. O procedimento acima esta justificado pelo fato de que os triângulos ,

obtidos nestas construções, serem congruentes.

CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS

Dois ângulos são ditos congruentes quando transportados de forma que possuam o vértice e

um dos lados em comum, o outro lado de cada ângulo, desenhados no mesmo semiplano,

venha também a coincidir.

Nas condições descritas acima o ângulo transportado é congruente ao ângulo objeto do

transporte.

ADIÇÃO DE ÂNGULOS

No plano, duas retas concorrentes determinam quatro ângulos como indicado, por exemplo,

na figura abaixo.

6

O A’

B’

O

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Há, porém, uma posição peculiar entre retas concorrentes para a qual os quatro ângulos

determinados por elas são congruentes entre si. Quando as retas estão nessa posição elas

são chamadas de perpendiculares e cada um dos ângulos de ângulo reto. Observe a figura

abaixo.

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

A BISSETRIZ de um ângulo é uma semi-reta com origem no vértice do ângulo, situada em

qualquer um dos semiplanos determinados por qualquer um dos lados do ângulo que

contenha necessariamente o outro lado, e que determina com cada um dos lados do ângulo

ângulos congruentes.

O nosso objetivo agora é traçar a bissetriz de um ângulo dado. Vamos proceder como

indicado a seguir:

Dado o ângulo como, por exemplo, o mostrado ma figura abaixo.

Retas perpendiculares

Ângulos retos

7

O

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Com o compasso, trace um arco de circunferência de centro no vértice do ângulo, o ponto O,

e raio conveniente para determinar os pintos P e Q sobre os lados do ângulo, como indicado

na figura que segue.

Em seguida, construa dois arcos de circunferência centrados respectivamente nos pontos P

e Q, e raio d1, d1 maior que a distância entre os pontos P e Q, que se interceptam no ponto T,

como mostra a figura a seguir.

A solução é a semi-reta de origem no ponto O que passa pelo ponto P, como se vê abaixo.

Justificativa: Os triângulos são congruentes e portanto, o ângulo determinado

pelas semi-retas OP e OT é congruente ao ângulo determinado pelas semi-retas OQ e OT.

Ver apêndice.

8

O Q

P

O Q

P T

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9

O Q

P T

BISSETRIZ

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TRAÇANDO PARARELAS

Duas retas são ditas paralelas quando não há interseção entre elas. Um axioma da

geometria elementar afirma que dois pontos distintos determinam uma única reta.

É importante observar que se duas retas são paralelas então, a distância de pontos de uma

reta a outra se mantém constante. Feita esta observação fica claro que se determinarmos

dois pontos P e Q exteriores a uma dada reta r, ambos pertencentes ao mesmo semiplano,

cujas distâncias a reta r sejam iguais eles determinaram uma reta s paralela à reta r dada.

Os argumentos acima serão os nortes, para que possamos traçar paralelas a uma reta dada.

O traçado de uma reta paralela a uma reta dada pode se dar de uma maneira livre, onde se

traça arbitrariamente uma paralela a reta dada, onde nos referimos a ela por paralela livre,

ou de uma maneira determinada onde se conhece um ponto P dessa paralela, onde nos

reportamos a ela dizendo: paralela pelo ponto P.

Vamos aos traçados.

PARALELA LIVRE

Dada uma reta r vamos traçar, uma paralela livres a ela.

Determine um ponto O sobre a reta r.

Com uma abertura conveniente do compasso, do, e a ponta sega no ponto O trace uma

circunferência, C0, obtendo os pontos P e Q, interseção desta circunferência com a reta r

.O r

10

r

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Em seguida, com abertura do compasso igual a d1, , construa as

circunferências centradas nos pontos P e Q respectivamente e raio igual a d1,

obtendo-se assim sobre C0 os pontos P’, P”, Q’ e Q”.

Observe agora que os triângulos , por exemplo, são congruentes, e, portanto,

a altura do triângulo com respeito ao lado é congruente coma a altura do triângulo

com respeito ao lado , que são lados correspondentes. É fácil concluir que a

distância de cada um dos pontos P’,P”,Q’ e Q” a reta r é a mesma e portanto, tomando dois

deles que estejam no mesmo semiplano determinado pela reta r, determinará a reta paralela

procurada.

.O rP Q

C0

P’

P”

Q’

Q”

C1 C2

11

.O rP Q

C0

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PARALELA PELO PONTO P

Dados uma reta r e um ponto P fora dela, ,

Construa uma circunferência C0 centrada no ponto P e com raio d1, d1 maior que a distancia

da reta r ao ponto P, obtendo os pontos O e Q interseção da circunferência C0 com a reta r.

.P

r

12

.O rP Q

C0

P’

P”

Q’

Q”

C1 C2

s

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Trace com centro no ponto O e raio igual a d1 uma circunferência C1, e sobre esta com a

ponta sega no ponto P e abertura do compasso igual à distância entre os pontos O e Q

obtenha o ponto R no mesmo semiplano que contém o ponto P.

13

.P

OQ r

C0

C0

.P

OQ r

R

C1

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A reta s determinada pelos pontos P e R é a reta procurada.

Observe que os triângulos isósceles são congruentes. Logo a altura de cada

triângulo com respeito ao lado não congruente de cada triângulo coincide. Observe que o

ponto S, eqüidistantes dos pontos P e R, está à mesma distância da reta r que o ponto P e

como a reta determinada por P e R é a mesma determinada por P e S conclui-se que a reta s

é paralela à reta r.

s.P

OQ r

R

14

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TRAÇANDO PERPENDICULARES

Lembramos que duas retas r e s concorrentes no ponto O, , são ditas

perpendiculares quando dois quaisquer dos ângulos determinados por elas forem

congruentes.

Nosso objetivo agora é: dada uma reta r qualquer traçarmos uma reta s perpendicular a ela.

Há duas situações essenciais: a perpendicular a ser traçada é arbitrária, qualquer uma ou é

conhecido, a priori, um ponto P por onde traçaremos a perpendicular.

I – A perpendicular a ser traçada é arbitrária.

Dada a reta r

escolha arbitrariamente um ponto P onde a reta s ser traçada, deve passar.

Se o ponto P escolhido não pertence à reta r, procedemos como segue:

15

r

r

.P

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Com a ponta sega do compasso no ponto P e uma abertura conveniente do mesmo,

construa a circunferência C0, obtendo os pontos O e Q, interseção desta circunferência com

a reta r. Em seguida, mantida a mesma abertura do compasso, construa as circunferências

C1 e C2 com centros nos pontos O e Q respectivamente obtendo o ponto R, não pertencentes

ao mesmo semiplano que o ponto P, interseção das circunferências C1 e C2.

16

r

.P

O Q

O Q r

.P

R .

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A reta s determinada pelos pontos P e R é a reta procurada.

No caso em que o ponto P escolhido pertence à reta r então, proceda assim:

escolha um ponto O qualquer fora da reta r

17

O Q r

.P

R .

s

rP.

O .

rP.

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Construa a circunferência centrada no ponto O e raio igual à distância do ponto O ao ponto

P, para obter o ponto Q interseção da circunferência com a reta r.

Trace um segmento de reta ligando os pontos Q a O, prolongando-o ate obter o ponto S

sobre a circunferência.

Areta s determinada pelos pontos P e S é a reta procurada.

18

O .

rP.

Q

O .

rP.

Q

.S

O .

rP.

Q

.S

s

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O caso em que o ponto P está fora da reta dada o processo justifica-se pela congruência dos

triângulos que possui ainda o segmento determinado pelos pontos O e Q

como lado comum. Quando o ponto P esta sobre a reta é justificado pelo fato de que o

triângulo de vértices nos pontos Q, S e P, , é retângulo em P.

II – O ponto P por onde traçaremos a perpendicular é conhecido a priori.

Dados uma reta r e um ponto P fora dela, ,

Proceda como segue: tome dois pontos Q e R sobre a reta r, como indicado na figura abaixo,

por exemplo.

Trace uma circunferência centrada no ponto Q e raio igual à distância do ponto Q ao ponto P

e em seguida trace outra circunferência centrada no ponto R e raio igual à distância do ponto

R ao ponto P. Estas circunferências têm como interseção os pontos P e S

19

r

P.

r

P.

.QR

.

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A reta procurada é a reta determinada pelos pontos P e S.

O ponto P pertence à reta dada.

20

r

P.

.QR

.

S

r

P.

.QR

.

S

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Trace uma circunferência com centro no ponto P e raio qualquer para obter os pontos O e Q

sobre a reta r como interseção desta circunferência com a reta.

Com raio d, maior que a distância entre os pontos O e P, trace uma circunferência com

centro no ponto O e outra centrada no ponto Q. Estas circunferências interceptam-se nos

pontos R e S.

21

. P

. P

O Q

. P

O Q

R

S

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A reta solução é a reta s determinada pelos pontos R e S.

22

. P

O Q

R

S

s

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TRAÇANDO POLÍGONOS

POLIGONAL – É uma linha, não retilínea, formada por mais de dois segmentos de reta

ligados a apenas um dos outros pelas extremidades.

Na figura abaixo se expõem um exemplo de cada tipo de poligonal.

POLÍGONO – É a porção “finita” do plano determinada por uma poligonal fechada simples.

Segue abaixo alguns exemplos de polígonos.

23

Poligonal aberta simples

poligonal aberta não simples

Poligonal fechada simples

Poligonal fechada não simples

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Dado um polígono, cada segmento de reta que define a poligonal que o determina chama-se

lado do polígono e os extremos destes segmentos são chamados de vértices do polígono.

Veja a figura abaixo mostra um polígono e alguns de seus vértices e lados.

O interesse aqui é no traçado de alguns polígonos, os mais elementares da geometria plana,

a partir do conhecimento de algum de seus elementos. Iniciaremos pelo mais simples deles,

o trilátero (triângulo, como a tradição consagrou).

TRILÁTERO – (TRIÂNGULO) – É todo polígono que possui apenas três lados.

Observe que para construirmos um triângulo a partir de três segmentos de reta dados é

necessário o comprimento de qualquer um deles seja estritamente menor que a soma dos

comprimentos dos outros dois.

24

Vértices

Lados

Lado

Vértice

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TRIÂNGULO EQÜILÁTERO - Chama-se triângulo eqüilátero a todo triângulo cujos lados

sejam congruentes entre se.

Construindo um triângulo eqüilátero dado um de seus lados. Dado um segmento l, designe

seus extremos por A e B respectivamente, como por exemplo, se representa abaixo.

Com centro em cada um dos extremos do segmento l e abertura do compasso igual ao

comprimento deste segmento, trace dois arcos de circunferência para obter os pontos C e C’,

interseção destes dos arcos, como ilustrado na figura a seguir.

A solução é, por exemplo, o triângulo cujos vértices estão nos pontos A, B e C. , figura 24(b)

abaixo.

25

C

C’

lA B

lA B

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Construir um triângulo eqüilátero conhecendo-se o segmento de reta h cujo comprimento

coincide com a altura do triângulo.

Inicialmente construa uma semi-reta de origem O como mostra a figura abaixo.

26

C

l

C’

h

O

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Com centro no ponto O e rio r conveniente, construa uma circunferência para determinando

o ponto B sobre a semi-reta, como mostra a figura que segue.

Agora com centro no ponto B e raio igual a r, desenhe um arco de circunferência

interceptando a circunferência anterior no ponto C como indicado na figura.

Agora construa a semi-reta com origem no ponto O e que passa pelo ponto C. Observe que

o triângulo é eqüilátero.

27

O

C

B

O B

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Construa, com origem no ponto O, uma semi-reta perpendicular à semi-reta com origem no

ponto O e que contém o ponto B,

28

O

C

B

O

C

B

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e nela determine o ponto P, cuja distância ao ponto O é igual ao comprimento do segmento

de reta h.

Em seguida, com origem no ponto P, construa uma semi-reta paralela à semi-reta

determinada pelos pontos O e B, determinando o ponto Q interseção desta semi-reta com a

semi-reta determinada pelos pontos O e C. Como mostra a figura abaixo.

29

O

C

B

P

O

C

B

Q

P

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Ivan A. C. de Albuquerque

Com centro no ponto O e raio igual à medida do comprimento do segmento de reta

determinado pelos pontos O e Q determine sobre a semi-reta definida pelos pontos O e B o

ponto S.

A solução é o triângulo de vértices nos pontos O,Q e S como ilustrado na figura abaixo.

30

S

O

C

B

Q

S

P

O

C

B

Q

P

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Ivan A. C. de Albuquerque

Convença-se de que o triângulo obtido acima é de fato a solução.

TRIÂNGULO ISÓSCELES – É todo triângulo no qual dois de seus lados são congruentes

entre se.

Construção de triângulos isósceles conhecidos dois segmentos de reta l1 e l2 congruentes a

dois de seus lados.

Dados os segmentos de reta l1 e l2,

escolha aquele de menor comprimento para iniciar o processo. No caso é o segmento l2.

Construa com cento em cada um dos extremos do segmento l2, pontos O e P, uma

circunferência de raio igual ao comprimento do segmento l1.

31

l1

l2

l2

l2O P

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Obtêm-se assim os pontos Q e R, interseção destas circunferências e a solução é qualquer

um dos triângulos ou .

Traçar um triângulo isóscele, conhecidos o segmento de reta congruente a um de seus lados

e também um de seus ângulos.

Sejam então dados o segmento e o ângulo como, por exemplo, indicados na figura que

segue.

Teremos duas opções:

1ª - O segmento l determina o comprimento dos lados congruentes do triângulo.

2ª - O segmento l determina o comprimento do lado não congruente aos outros dois lados do

triângulo.

No primeiro caso proceda como segue.

32

l2O P

Q

R

l

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Ivan A. C. de Albuquerque

Transporte o ângulo dado de forma que tenha o seu vértice coincidindo com um dos

extremos do segmento e, além disso, tenha este segmento sobre um de seus lados. Como

indicado, por exemplo, na figura abaixo.

Agora, com a abertura do compasso igual ao comprimento de segmento l, e centro no vértice

do ângulo determine um arco de circunferência para obter o ponto Q interseção do arco com

o prolongamento do outro lado do ângulo. Veja a figura.

33

Q

PO

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Ivan A. C. de Albuquerque

A solução é o triângulo cujos vértices são os pontos O,P e Q indicado na figura abaixo.

No segundo caso o processo é o seguinte. Transporte o ângulo dado de tal forma que cada

extremo O e P do segmento l seja vértice do ângulo transportado e que o segmento l seja

também lado comum aos ângulos transportados. Veja a figura abaixo.

Prolongando-se cada um dos lados dos ângulos transportados obtêm-se o ponto Q.

34

Q

PO

O Pl

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Ivan A. C. de Albuquerque

Solução, é o triângulo de vértices nos pontos.O,P e Q veja figura.

TRIÂNGULO RETÂNGULO – É todo triângulo no qual um de seus ângulos é reto.

Em um triângulo retângulo o maior de seus lados chama-se hipotenusa e os outros dois são

chamados de catetos, os quais são sempre lados do ângulo reto.

Traçar um triângulo retângulo, conhecidos seus catetos . Sejam com se

mostra na figura abaixo, por exemplo.

35

O Pl

Q

O Pl

Q

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Ivan A. C. de Albuquerque

Construa duas semi-retas com origem no mesmo ponto O e perpendiculares entre se, como

indicado na figura que segue.

Com centro no ponto O e abertura do compasso igual a trace duas circunferências

concêntricas uma de raio igual ao comprimento do segmento e a outra com raio igual ao

comprimento do segmento , como se mostra na figura abaixo.

Obtêm-se então, os pontos P e Q sobre um das semi-retas e os pontos R e S sobre a outra

com se vê na figura que segue.

36

O

O

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Ivan A. C. de Albuquerque

Como solução têm-se os triângulos: . Veja por exemplo o triângulo na figura

abaixo.

37

O P Q

R

S

O P Q

R

S

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Ivan A. C. de Albuquerque

Traçar um triângulo retângulo dado um de seus catetos, , e um ângulo que tem neste cateto

um de seus lados.

Seja então, o cateto e o ângulo como ilustra a figura a seguir.

Proceda como segue. Trace por um dos extremos do segmento l, o ponto O, por exemplo,

uma semi-reta perpendicular a este segmento, e transporte o ângulo dado de modo que seu

vértice esteja sobre o outro extremo do segmento, o ponto P, e tenha o seu lado neste

segmento. Como se vê na figura a seguir.

Observação: Tome cuidado para que a semi-reta e o ângulo estejam no mesmo semiplano.

Prolongue o lado do ângulo para obter o ponto Q interseção deste prolongamento com a

perpendicular ao segmento l. Veja a figura que segue.

38

l

l

O

P

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Ivan A. C. de Albuquerque

A solução é o triângulo de vértices nos pontos O,P e Q como se ver na figura abaixo.

TRIÂNGULO ESCALENO – É todo triângulo para o qual não há dois lados congruentes ente

se.

Dados três segmentos de reta , onde o comprimento de um deles é diferente do

comprimento de cada um dos outros dois, trace um triângulo.

39

P

l

O

P Q

l

O

Q

l1

l2

l3

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Ivan A. C. de Albuquerque

Procedimento. Escolha um dos segmentos, por exemplo, l2, para iniciar o processo. Trace

um outro segmento de reta congruente a ele, indicando seus extremos por A e B como

ilustrado na figura abaixo.

Em seguida construa duas circunferências, uma com centro no ponto A e raio igual ao

comprimento de segmento l1 e a outra com centro no ponto B e raio igual ao comprimento de

segmento l3. Observe a figura que segue.

40

l2

A B

l2

A B

l3

l1

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Ivan A. C. de Albuquerque

Obtêm-se assim os pontos C e C’como interseção destas circunferências. A solução é

qualquer um dos triângulos , como se mostra na figura abaixo.

Dados os segmentos l e h e um ângulo, traçar um triângulo escaleno que tenha um lado

congruente ao segmento l, altura congruente ao segmento h e tenha o ângulo dado como um

de seus ângulos. Na figura abaixo se dar um exemplo.

41

l

h

l2

A B

l3

l1

C

C’

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Ivan A. C. de Albuquerque

Trace um segmento de reta congruente ao segmento l e determine seus extremos pelos

pontos A e B. Em seguida transporte o ângulo de forma que o ponto A seja o seu vértice,

como se mostra na figura abaixo.

Por um ponto qualquer do segmento de reta l, digamos A, construa uma perpendicular a este

segmento e com o auxilio do compasso marque sobre ela o ponto P cuja distância ao ponto

A coincide com comprimento do segmento h. Veja a figura abaixo.

Trace pelo ponto P uma paralela ao segmento de reta l, como se vê abaixo.

r

42

A Bl

A B

P

l

A B

P

l

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Ivan A. C. de Albuquerque

Prolongue o lado do ângulo que não corresponde ao segmento l ate que este intercepte a

paralela traçada anteriormente no ponto C. Como se mostra a seguir.

A solução e o triângulo como se mostra abaixo.

43

A B

P

l

C

P

A Bl

C

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Ivan A. C. de Albuquerque

CONSSTRUÇÕES DE QUADRILÁTEROS

Quadrilátero é todo polígono que possui quatro lados.

Nosso interesse está no traçado de quadrados, retângulos, paralelogramos, losango e

trapézios.

Quadrado – Quadrilátero com os ângulos retos e os lados iguais entre si - Construção de um

quadrado, conhecido seu lado , figura 3.3.

Trace um segmento cujo comprimento seja igual a . Pelo ponto A trace uma semi-reta,

, perpendicular ao segmento . Com centro no ponto A e

raio igual a , determine sobre Ax o ponto C. Em seguida, com mesmo raio e centro nos

pontos C e B determine, como interseção dos dois arcos, o ponto D, figura 3.2(a) acima. A

solução é o quadrado de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 3.3(b) abaixo.

44

l

Fig. 3.3

C D

A B Fig. 3.3(b)

C D

A B Fig. 3.3(a)

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Ivan A. C. de Albuquerque

Construir um quadrado, dado sua diagonal . Construa um segmento cujo comprimento

seja igual a , como ilustrado na figura 3.4 abaixo.

Construa a mediatriz do segmento determinando sua interseção O com o segmento,

como se indica na figura 3.34(a) abaixo.

Com centro no ponto O e raio igual a , obtenha sobre a mediatriz os ponto C e D, cujo

comprimento é obviamente igual a . Veja a figura 3,4(b) a seguir.

45

A

B Fig. 3.4

A O

B

Fig. 3.4

A O

B

C

Fig. 3.4(b)

D

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Ivan A. C. de Albuquerque

A solução é o quadrado de vértices nos pontos A,C,B e D co explicado na figura 3.34(c)

abaixo.

Retângulo – Quadrilátero com os quatro ângulos retos – Construção de um retângulo dado a

diagonal e a base . Construa os segmentos de reta com o comprimento igual a e

cujo comprimento é igual a , como indicado na figura 3.5 logo a seguir.

Determine o ponto médio,M, da diagonal e com centro neste e raio igual ao comprimento do

segmento trace uma circunferência, figura 3.5(a) abaixo.

46

D

A O

B

C

Fig. 3.4(b)

C D

A B

Fig. 3.5

A B M

Fig. 3.5(a)

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Ivan A. C. de Albuquerque

Com centro nos pontos A e B trace com raio igual a circunferências para determinar os

pontos C e D como indicado na figura 3.5(b) abaixo.

A solução é paralelogramo de vértices nos pontos A,C,B, e D como está indicado na figura

3.5 (c)

47

A B M

Fig. 3.5(a)

C

D

C

D

A B M

Fig. 3.5 (c)

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Ivan A. C. de Albuquerque

Construir um retângulo, conhecendo sua diagonal e o anglo que esta forma com um dos

lados. Figura 3.6 abaixo.

Trace um semi-reta Ax e em seguida transporte o ângulo de formas que este tenha vértice

no ponto A e um dos lados sobre a semi-reta, como indicado na figura 3.6(a).

Com origem no ponto A construa a semi-reta Ay, contendo o outro lado do ângulo. Figura

3.6(b) abaixo

48

d

Fig. 3.6

A

x

Y

A x Fig.3.6(b)

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Ivan A. C. de Albuquerque

Com centro no ponto A e raio igual ao comprimento da diagonal, determine sobre a semi-

reta Ay o ponto C, ilustrado na figura 3.6(c) abaixo.

elo ponto C trace uma perpendicular a semi-reta Ax obtendo o ponto B. Com centro no

ponto C e raio igual ao comprimento do segmento trace um arco e pelo ponto A com raio

igual ao comprimento do segmento um outro arco cuja interseção com o arco anterior é o

ponto D. Observe a figura 3.6(d) abaixo.

49

C

Y

A x Fig.3.6(c)

Y

A B x

Fig.3.6(d)

DC

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Ivan A. C. de Albuquerque

A solução é o retângulo de vértices nos pontos A,B,C e D, ilustrado na figura 3.6(e).

Construção de um retângulo conhecido sua diagonal e um dos ângulos formados por

elas. Figura 3.7 abaixo.

Construa um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento da diagonal,

e determine o seu ponto médio M, como se mostra na figura 3.7(a) mais a frente. Transporte

o ângulo de forma que este tenha suo vértice no ponto M e um dos lados sobre a diagonal,

como ilustrado na figura 3.7(b), e determine a reta s passando pelo ponto M e fazendo com a 50

DC

Y

A B x

Fig.3.6(e)

d

Fig. 3.7

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Ivan A. C. de Albuquerque

diagonal um ângulo , como se ilustra na figura 3.7(b) abaixo. Com centro no ponto M e

raio igual a , determine sobre a reta s os pontos C e D.

A solução é o retângulo de vértices nos pontos A,B,C, e D ilustrado na figura 3.7 (c) abaixo

Paralelogramo – Quadrilátero com os lados opostos paralelos – Construção de um

paralelogramo conhecidos os lados e a altura relativa a um dele, digamos . Figura 4.1.

51

A B

Fig.3.7(a)

A M B

Fig.3.7(b)

C

D

s

A M B

Fig.3.7(c)

C

D

s

2

1

2

l

l

hl

Fig. 4.1

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Trace um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento do lado ,

tomado como base. Por um ponto qualquer do segmento de reta , por exemplo o ponto A,

trace uma perpendicular a este segmento, e nela com centro no ponto A e raio igual ao

comprimento da altura, , determine o ponto P e por ele trace uma paralela ao segmento

, veja figura 4.1(a) abaixo.

Com centro nos pontos A e B , e raio igual ao comprimento de determines os pontos C e

D, como por exemplo indicados na figura 4.1(b) abaixo.

A solução é o paralelogramo de vértices nos pontos A,B,C e D, ilustrado na figura 4.1(c)

abaixo.

52

P

Fig. 4.1(a)

A B

A B

P

Fig. 4.1(b)

DD

Fig. 4.1(c)

D C

A B

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Losango – Quadrilátero com os lados iguais e dois ângulos agudos. Construção de um

losango, conhecido seu lado e um dos ângulos internos, . Figura 5.1.

Construa um segmento de resta de comprimento igual ao comprimento do lado , e

transporte o ângulo de formas que seu vértice coincida com o ponto A e um de seus lados

esteja sobre o segmento como indicado na figura 5.1(a) abaixo.

Construa a semi-reta Ax , sobre o lado do ângulo que não esta sobre o segmento , e

sobre ela, com centro no ponto A e raio igual a determine o ponto C., conforme ilustrado na

figura 5.1(b) acima. Com centro nos pontos C e B e raio igual a trace arcos para determina

o ponto D como interseção destes, como vai indicado na figura 5.1(c) abaixo.

53

l

Fig. 5.1

A B

Fig. 5.1(a)

A B

Fig. 5.1(b)

C

A B

Fig. 5.1(c)

CD

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A solução é o losango cujos vértices são os pontos A,B,D e C, ilustrado na figura 5.1(d)

abaixo.

Construção de um losango, conhecidos o lado , e a diagonal . Figura 5.2.

54

d

l

Fig. 5.2

A B

C

D

Fig.5.2(a)

A B

Fig. 5.1(d)

CD

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Ivan A. C. de Albuquerque

Construa um segmento de comprimento igual ao comprimento de e com centro nos

pontos A e B e raio igual a , construa arcos para determinar os pontos C e D como

indicados na figura 5.2(a) acima. A solução é o losango de vértices nos pontos A,B,C e D,

também indicado na figura 5.2(a).

Trapézio – Quadrilátero com dois de seus lados não paralelos – Construção do trapézio

isósceles, conhecendo-se suas bases e sua altura , como se mostra na figura 5.3.

Construa um segmento cujo comprimento seja igual ao comprimento de uma das bases,

por exemplo a base . Em seguida, construa a mediatriz do segmento , localizando o

ponto médio M do segmento, e sobre ela com centro no ponto M e raio igual determine o

ponto P, como ilustrado na figura 5.3(a) abaixo. .cuja distância ao segmento seja igual a

altura.

55

h

b1

b2

Fig. 5.3

P

M

Fig. 5.3(a)

A B

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Ivan A. C. de Albuquerque

Trace pelo ponto P, uma paralela s ao segmento , e com centro no ponto P e raio igual a

determine sobre esta paralela os pontos C e D, como se mostra na figura 5.3(b) abaixo

A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 5.3(c) abaixo.

56

P

M

Fig. 5.3(b)

A B

CD s

A BM

P

Fig. 5.3(c)

CD s

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Ivan A. C. de Albuquerque

Construção do trapézio isósceles, conhecendo sua base maior b, seu lado l e o ângulo

compreendido entre a base e o lado. Veja figura 5.4 abaixo.

Construa o segmento com comprimento igual a b e transporte o ângulo de forma que

tenha um dos lados sobre o segmento e vértices nos pontos A e B, como indicado na figura

5.4(a) abaixo.

Determine as semi-retas Ax e By . Com centro nos pontos A e B e raio igual a , determine

sobres as semi-retas os pontos C e D, conforme indicado na figura 5.4(b) abaixo.

57

Fig.5.4

A

B

Fig. 5.4(a)

D

A

B

Fig. 5.4(b)

C D

A

B

Fig. 5.4(c)

C

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Ivan A. C. de Albuquerque

A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 5.4(c) acima.

Construir um trapézio escaleno conhecendo, sua altura , um de seus lados e suas bases:

menor e maior . Veja figura 5.5 abaixo

Construa um segmento de reta cujo comprimento seja igual a . Por um ponto qualquer

do segmento, por exemplo o ponto A, determine uma semi-reta Ax perpendicular ao

segmento. Sobre esta semi-reta determine o ponto P de forma que o segmento de reta

tenha comprimento igual a , conforme indicado na figura 5.5(a) abaixo.

58

h

l

b1

b2

Fig.5.5

P

A

B

Fig. 5.5(a)

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Ivan A. C. de Albuquerque

Pelo ponto P trace uma paralela ao segmento . Em seguida, com centro em qualquer um

dos pontos A ou B, digamos B, e raio igual a determine o ponto C sobre esta paralela e em

seguida com centro neste ponto C e raio igual a determine ainda sobre esta paralela o

ponto D, veja a figura 5.5(b) abaixo.

A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D, ilustrado na figura 5.5(c) abaixo.

Construir um trapézio retângulo, conhecidos a base maior um lado e a altura . Figura

5.6 abaixo.

59

P

A

B

Fig. 5.5(b)

CD

A

B

Fig. 5.5(c)

CD

Fig. 5.6

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Ivan A. C. de Albuquerque

Cons um segmento rua de comprimento igual a e por qualquer ponto do segmento , por

exemplo A, determine uma semi-reta perpendicular ao segmento. Com centro no ponto A e

raio igual a determine sobre a semi-reta o ponto D , interseção da semi-reta com a

circunferência. Trace por D uma paralela ao segmento . Com centro no ponto B e raio

igual a determine sobre a paralela o ponto C, veja a figura 5.6(a) abaixo

A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 5.6(b) abaixo.

TRAÇADO DOS POLÍGNOS REGULARES

60

CD

A

B

Fig. 5.6(a)

CD

A

B

Fig. 5.6(b)