Desenho de uma rede Logística · 2016. 2. 23. · Tipos de Equipamentos Problemas em que se...

Mestrado em Matemática Aplicada à Economia e Gestão - Logística e Gestão de Operações 1º Ano 2º Semestre

Módulo de Logística Docente : Maria da Conceição da Fonseca

Desenho de uma rede Logística

Desenho da rede Logística ( Logística empresarial) Desenho do sistema através do qual existe um fluxo de produtos entre os fornecedores e os clientes. Desenho da rede Logística ( setor público) Determinar onde localizar os equipamentos que vão servir as comunidades

No desenho de uma rede logística as questões principais são: Onde devem ser localizados os equipamentos Quantos equipamentos devem ser construídos Qual a dimensão (capacidade) de cada equipamento Qual o papel de cada equipamento no sistema Que mercados devem ser servidos a partir de cada equipamento Quais os fornecedores que devem servir cada equipamento Quais os equipamentos que devem ser desativados, deslocados, ou redimensionados

1


Módulo de Logística Docente : Maria da Conceição da Fonseca 2

As decisões sobre onde localizar os equipamentos são feitas no ínicio quando se desenha o sistema logístico. Devem também ser tomadas quando há variações nos padrões de procura dos bens há alterações nos custos das matérias primas, energia, trabalho novos produtos ou serviços são lançados ou a produção de certos artigos é descontinuada

As decisões sobre onde localizar são tomadas a nível estratégico e tático Nível estratégico Quando as fábricas são compradas ou construídas, o que envolve grandes investimentos. Neste caso, alterar as localizações ou os equipamentos é muito improvável a médio ou curto prazo. Nível tático Quando há aluguer de equipamento ou de espaço ou subcontratação de serviços (as decisões tomadas podem ser reversíveis a médio prazo)



A tomada de decisões sobre o desenho de uma rede logística baseia-se no conhecimento de um conjunto de dados:

• Localização dos clientes, fornecedores, equipamentos já existentes,

• Quais os produtos a considerar e a procura (estimada) por cliente;

• Meios de transporte que podem ser utilizados e respetivos custos;

•Custos associados aos potenciais equipamentos a instalar;

•Restrições orçamentais;

•Objetivos a atingir.

Quantidade de dados a tratar é muitas vezes elevada

Agregação dos dados

Agregação por procura

Agregação por produtos

Os clientes podem ser agrupados de acordo com a sua localização geográfica, nível de serviço ou frequência das entregas .

Os produtos podem ser agrupados de acordo com o seu padrão de distribuição (produtos produzidos pelas mesmas fábricas e distribuídos aos mesmos clientes são agrupados e considerados um único produto), ou com as suas características(peso,volume, forma,custo,..).



Classificação dos Problemas de Localização

Os problemas de localização podem ser classificados de acordo com um grande número de citérios.

Potenciais localizações dos equipamentos

Os equipamentos podem ser localizados em qualquer ponto do plano sendo definida uma métrica para calcular as distâncias (por ex. distância euclidiana, distância de Manhattan,..) (Localização no Plano) Os equipamentos podem ser localizados em qualquer ponto de uma rede (nodos ou arcos) (Localização em Redes) Os potenciais locais para instalar equipamentos são conhecidos e em número finito (Localização discreta)

Objetivos

Problemas com um único objetivo (Problemas de localização mono objetivo) - Minimizar os custos totais (custos de transporte+ custos de instalação) -Maximizar a procura satisfeita -Maximizar a equidade na prestação de serviços - Minimizar a distância ao cliente que se encontra mais afastado de um determinado serviço - ….

Problemas com vários objetivos conflituosos (Problemas de localização multi-objetivo)



Horizonte Temporal

Problemas em que se considera um único período (Problemas estáticos). As decisões são tomadas no início do horizonte temporal e com base em estimativas conhecidas para os requisitos do sistema logístico. Problemas em que se considera o horizonte temporal dividido em vários períodos (Problemas dinâmicos). No início do horizonte temporal decide-se a sequência de alterações a fazer em determinados instantes dentro do horizonte temporal (por ex. quando abrir ou fechar equipamentos ou expandir capacidades)

Certeza ou Incerteza nos dados

Problemas em que se considera que os dados são conhecidos com total certeza (Problema determinístico) Problemas em que se considera de forma explícita a incerteza associada aos dados (Problemas estocásticos)

Tipos de Equipamentos

Problemas em que se considera que os equipamentos instalados são todos do mesmo tipo (por exemplo fábricas, armazéns, centros de distribuição,..) Problemas em que se considera a instalação simultanea de vários tipos de equipamentos (por exemplo, instalar fábricas e centros de distribuição)

Tipos de Produtos

Problemas em que se considera que existe um único produto ou serviço a ser fornecido pelos equipamentos a localizar e que a procura por parte dos clientes é idêntica. Problemas em que se considera a existência de vários produtos com características diferentes e inclusivamente a possibilidade de considerar uma procura diferenciada por parte dos clientes (por exemplo considerando prioridades)



Interação entre equipamentos

Em sistemas logísticos mais complexos pode considerar-se que existe fluxo de produtos entre equipamentos do mesmo tipo (por exemplo o fluxo de componentes , materiais semi-acabados entre fábricas). Neste caso, determinar a localização ótima dos equipamentos depende não só da distribuição espacial dos clientes para os produtos acabados como da localização dos equipamentos relativamente uns aos outros.

Fluxo dos produtos

Problemas em que se considera apenas um nível, isto é, o fluxo de produtos que entra ou o fluxo de produtos que sai dos serviços a localizar pode ser ignorado. Problemas em que se considera a possibilidade de localizar simultaneamente serviços que pertencem a diferentes níveis da cadeia logística de abastecimento (Problemas multi-nível ou hierárquicos). Por exemplo, localizar simultaneamente fábricas e centros de distribuição em que existem custos de transporte das fábricas para os centros de distribuição e destes para os clientes.

Divisibilidade da procura

Problemas em que cada cliente é servido por um só serviço ou equipamento (por ex. por razões administrativas ou de contabilidade) Problemas em que cada cliente pode utilizar os serviços de vários serviços ou equipamentos.



Influência dos transportes nas decisões de localização

Problemas em que se considera que o custo de transporte entre serviços ou entre serviços e clientes é proporcional à distância percorrida. Problemas em que se considera que os clientes não são servidos diretamente nos equipamentos instalados, mas sim através de veículos que saem do depósito, percorrem um certo conjunto de clientes, retornando depois ao depósito. Nestes casos, pretende-se localizar os serviços de forma a minimizar os custos totais (custos de instalação dos serviços+ custos dos veículos+custos das rotas efetuadas de modo a servir todos os clientes) (Problemas de localização-distribuição).

Localização dos Retalhistas

No planeamento de uma rede de lojas ou retalhistas pretende-se determinar a localização ótima no sentido de competir com as outras lojas ou retalhistas. Neste contexto , prever as receitas esperadas é difícil pois dependem de vários fatores tais como o local, a área de vendas e o nível de competição. Estes problemas designam-se de Localização Competitiva.



Problemas de Localização no setor público

Na localização de serviços no setor público é importante assegurar não só um custo mínimo mas também garantir um adequado nível de serviço aos utentes. Exemplos: serviços de combate a incêndios, serviços de transporte para deficientes motores, serviço de ambulâncias, ….

Problema do p-centro

Neste problema pretende-se determinar onde localizar p serviços de modo que a máxima distância entre um cliente e o serviço que lhe está mais próximo seja mínima, isto é, pretende-se que o cliente que está mais afastado do serviço a que está afeto esteja o mais próximo possível. Este modelo aplica-se nas situações em que é necessário assegurar equidade nos serviços prestados aos utentes espalhados numa área geográfica.



Modelo Matemático

Notação

1,...,

1,...,

:ij

I n

J m

d

Conjunto dos potenciais locais para instalar equipamentos

Conjunto de clientes cuja procura deve ser satisfeita

Distância entre o equipamento localizado em i e o cliente j ,i I j J

Variáveis de decisão

1 se se localiza um equipamento em

0 caso contrario i

iy

1 se se afeta o cliente j a um equipamento localizado em

0 caso contrario ij

ix



Modelo

,

. . 1 (1)

, (2)

(3)

0,1 , (4)

0,1 (5)

ij iji I j J

ij

i I

ij i

i

i I

ij

i

Min Max d x

s a x j J

x y i I j J

y p

x i I j J

y i I

Restrições

(1) Garantem que cada cliente está afeto a um só serviço (2) A afetação é feita a serviços instalados (3) Instalam-se p serviços (4) e (5) as variáveis são binárias



A existência das restrições

1 ij

i I

x j J

Permite escrever a função objetivo como

ij ijj J

i I

Min Max d x

Qualquer das funções é não linear mas facilmente se obtem um modelo linear

ij ijj J

i I

W Max d x

e adicionam-se as restrições

ij ij

i I

W d x j J



Modelo Linear

. . 1 (1)

, (2)

(3)

(6)

0,1 , (4)

0,1 (5)

ij

i I

ij i

i

i I

ij ij

i I

ij

i

Min W

s a x j J

x y i I j J

y p

W d x j J

x i I j J

y i I

As restrições podem ser substituídas pelas restrições e tem-se o que se designa por formulação fraca. As formulações são equivalentes em termos de soluções inteiras, não o são em termos de Relaxação Linear.

,ij ix y i I j J

i onde ij i

j J

x ny I n J



Exemplo

Na zona do Pinhal Interior todos os anos há vários incêndios. Além das medidas preventivas decidiu-se instalar mais 2 quartéis de bombeiros. Consideraram-se as localidades de Pampilhosa da Serra, Oleiros, Sertã, Vila de Rei e Mação como potenciais locais para instalar os quartéis e como utentes dos serviços prestados pelos quartéis instalados.



Matriz das distâncias

Pampilhosa da Serra

Oleiros Sertã Vila de Rei Proença-a-Nova

Mação

Pampilhosa da Serra

0 28 79 75 72 140

Oleiros 28 0 28 49 46 107

Sertã 79 28 0 21 20 81

Vila de Rei 75 49 21 0 39 46

Proença-a-Nova

72 46 20 39 0 64

Mação 140 107 81 46 64 0

Seja I={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1- Pampilhosa da Serra 2- Oleiros 3- Sertã 4- Vila de Rei 5- Proença-a-nova 6- Mação

. . 1 (1)

, (2)

(3)

(6)

0,1 , (4)

0,1 (5)

ij

i I

ij i

i

i I

ij ij

i I

ij

i

Min W

s a x j J

x y i I j J

y p

W d x j J

x i I j J

y i I

I: potenciais locais de instalação de serviços J: localidades a servir



Modelo Matemático

Neste caso tem-se I=J. Assim, é desnecessário usar as variáveis uma vez que iy

11 1 22 2 33 3 44 4 55 5 66 6 x y x y x y x y x y x y

11 21 31 41 51 61 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62 12 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63 13 23 43

. .

1 28 +79x +75x +72x +140x

1 28 +28x +49x +46x +107x

1 79 +28x +21x +2

Min W

s a

x x x x x x W x

x x x x x x W x

x x x x x x W x

53 63

14 24 34 44 54 64 14 24 34 54 64

15 25 35 45 55 65 15 25 35 45 65

16 26 36 46 56 66 16 26 36

0x +81x

1 75 +49x +21x +39x +46x

1 72 +46x +20x +39x +64x

1 140 +107x +81x +46x

x x x x x x W x

x x x x x x W x

x x x x x x W x

46 56

11 22 33 44 55 66

11 12 13 14 15 16 11

21 22 23 24 25 26 22

31 32 33 34 35 36 33

41 42 43 44 45 46 44

51 52 53 54 55 56

+64x

2 0,1 ,

6

6

6

6

6

ijx x x x x x x i j I

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

55

61 62 63 64 65 66 666x x x x x x x



A localidade mais afastada de um quartel é Mação. A distância máxima é 46Km



Se instalássemos apenas um quartel seria em Proença-a-Nova. A localidade mais afastada de um quartel seria a Pampilhosa da Serra. A distância máxima seria 72Km



Problemas de Localização no setor público

Problema de cobertura

Nestes problemas pretende-se localizar a custo mínimo um conjunto de serviços com uma restrição adicional que garante uma distância máxima entre qualquer cliente e o serviço que lhe está mais próximo. Estabelece-se uma distância máxima ou um tempo que se considera razoável para garantir a cada cliente um nível mínimo na qualidade do serviço de que usufrui.

Notação

1,...,

1,...,

:

:

:

ij

i

j

I n

J m

d

f

p



Distância (caminho mais curto) entre o equipamento localizado em e o cliente ,i I j J

Custo fixo de construir um serviço em

Penalização incorrida por não servir o cliente

ij

i i I

jj J



Variáveis de decisão


0 caso contrario i

iy

1 se d

0 caso contrario

ij

ij

Ta

1

0jz

se o cliente não é servido

caso contrário

j

Seja T a distância (tempo) máximo permitido entre um serviço e um cliente. Define-se uma constante binária que toma o valor 1 se o serviço i pode servir o cliente j e toma o valor zero, caso contrário. Asssim,

ija



Modelo

. . 1 (1)

0,1 (2)

0,1 (3)

i i j j

i I j J

ij i j

i I

i

j

Min f y p z

s a a y z j J

y i I

z j J

Pretende-se minimizar a soma dos custos fixos de instalar os serviços com as penalizaçõe por não servir os clientes. As restrições (1) garantem que para cada cliente se os serviços instalados não servem o cliente

, 1jj J z

, ( . . 0)ij i

i I

j i e se a y



Se todos os clientes tiverem que ser servidos temos o problema de cobertura de um conjunto.

Se os custos fixos de instalação forem iguais para todos os potenciais locais pode ser conveniente escolher de entre todas as soluções com o menor número de serviços abertos aquela a que corresponde o tempo total mínimo de transporte (ou a distância total mínima)

1 se o cliente usa o serviço instalado em

0 caso contrario ij

j ix

Sejam as variáveis

Tem-se o modelo

. . 1 (1)

(2)

0,1 (3)

0,1 , (4)

i ij ij

i I i I j J

ij ij

i I

ij i

j J

i

ij

Min My d x

s a a x j J

x J y i I

y i I

x i I j J

M é uma constante positiva muito grande. As restrições (1) garantem que todos os clientes são servidos e as restrições (2) garantem que só são servidos por serviços que estão abertos.



Exemplo

Almada Azenha Carregosa Corroios Lavradio Macau Moita Montijo Palmela Pinhal Novo

Almada 0.0 24.4 33.2 4.7 29.9 39.0 29.5 38.8 34.3 39.1

Azenha 24.4 0.0 13.2 18.2 14.8 15.4 9.5 18.7 24.0 16.9

Carregosa 33.2 13.2 0.0 27.1 11.1 13.9 5.1 7.2 16.4 10.9

Corroios 4.7 18.2 27.1 0.0 23.8 32.9 23.4 32.7 28.2 33.0

Lavradio 29.9 14.8 11.1 23.8 0.0 16.1 7.4 16.6 26.2 14.2

Macau 39.0 15.4 13.9 32.9 16.1 0.0 9.1 12.0 6.9 1.7

Moita 29.5 9.5 5.1 23.4 7.4 9.1 0.0 10.6 11.7 7.2

Montijo 38.8 18.7 7.2 32.7 16.6 12.0 10.6 0.0 19.0 10.3

Palmela 34.3 24.0 16.4 28.2 26.2 6.9 11.7 19.0 0.0 8.8

Pinhal Novo

39.1 16.9 10.9 33.0 14.2 1.7 7.2 10.3 8.8 0.0

Um consórcio de 10 munícipios decidiu melhorar o sistema de combate a incêndios existente. Decidiu-se que deveriam ser construídos quartéis de bombeiros de modo a que cada localidade seja servida num tempo máximo de 15 minutos. A cada quartel estará afeto um veículo. As distâncias (em Km) entre as localidades estão na tabela que se segue.




Almada 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Azenha 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

Carregosa 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

Corroios 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Lavradio 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1

Macau 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1

Moita 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Montijo 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1

Palmela 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

Pinhal Novo

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Se suposermos que a velocidade média é de 60 km/h, em termos de valor, as distâncias e os tempos em minutos são iguais. A matriz de 0 e 1 com a indicação de quais as localidades alcançaveis num tempo menor ou igual a 15m é



Se os custos de instalação forem iguais para todos os locais e muito superiores às distâncias entre as localidades (por exemplo 198 000 euros) a solução ótima é neste caso:

Se os custos de instalação dos quartéis variarem as soluções obtidas já são diferentes. Seja por exemplo:


Custos 198000 198000 90000 190000 110000 168000 198000 100000 98000 89000

Neste caso a solução ótima será construir um quartel em Corroios, Carregosa e Pinhal Novo. O custo total será 369052 euros.

Instalar um quartel de bombeiros em Almada ou Corroios e instalar outro quartel na Moita.



Problema de localização Simples

Neste problema considera-se um conjunto de clientes cuja procura é satisfeita por equipamentos que se pretendem construir. Existe um conjunto de potenciais locais para os instalar. Não se consideram capacidades associadas aos equipamentos, isto é, cada equipamento é capaz de satisfazer a totalidade da procura dos clientes. Considera-se ainda que a procura de cada cliente é satisfeita por um só equipamento instalado.

Seja

1,...,

1,...,

:

:

ij

i

I n

J m

c

f



custo unitário de satisfazer a procura do cliente a partir do equipamento localizado em ,i I j J i

j

Custo fixo de construir um serviço em i

Variáveis


0 caso contrario i

iy

1 se o cliente j fica afeto ao serviço instalado em i

0 caso contrario ijx



Modelo Matemático

. . 1 (1)

, (2)

0,1 (3)

0,1 , (4)

i i ij ij

i I i I j J

ij

i I

ij i

i

ij

Min f y c x

s a x j J

x y i I j J

y i I

x i I j J

Restrições (1) Garantem que cada cliente será afeto a apenas um equipamento (2) Garantem que um cliente só será afeto a um serviço que esteja instalado (3) e (4) definem o domínio de variação das variáveis de decisão



Exemplo

Viana

Ponte de Lima

Ruivães

Lindoso

Uma empresa pretende determinar onde instalar armazéns na região de Trás-os-Montes de modo a poder fornecer os seus clientes em Caminha, Viana do Castelo, Barcelos, Terras de Bouro, Chaves e Melgaço.

Clientes Potenciais locais de instalação de armazéns



De acordo com estudos feitos consideraram-se como potenciais locais para instalação de serviços Monção, Lindoso, Ponte de Lima e Ruivães. Tendo em conta a procura estimada dos clientes nos próximos 10 anos conclui-se que a capacidade de qualquer um dos armazéns a construir será suficiente para a satisfazer na sua totalidade.

As distâncias entre as localidades e os potenciais locais de instalação dos armazéns são:

Caminha

Viana do Castelo

Barcelos

Terras de

Bouro

Chaves

Melgaço

Monção 56 92 108 105 172 23

Lindoso 90 69 86 39 135 57

Ponte de Lima 51 30 49 47 158 78

Ruivães 135 112 71 38 79 164

Potenciais Locais

Clientes

Se admitirmos que o custo de transporte por Km e por unidade transportada é 0.5 euros considere-se a matriz com os custos de afetar cada cliente a cada potencial local de instalação de armazéns.



Caminha

Viana do Castelo

Barcelos

Terras de

Bouro

Chaves

Melgaço

Monção 28 46 54 52.5 86 11.5

Lindoso 45 34.5 43 19.5 67.5 28.5

Ponte de Lima 25.5 15 24.5 23.5 79 39

Ruivães 67.5 56 35.5 19 39.5 82

Potenciais Locais

Clientes

Se considerarmos os custos de instalação

Monção Lindoso Ponte de Lima Ruivães

100 180 165 60

Sendo I={potenciais locais} 1-Monção 2-Lindoso 3-Ponte de Lima e 4-Ruivães J={clientes} 1-Caminha 2-Viana do Castelo 3-Barcelos 4-Terras de Bouro 5-Chaves e 6-Melgaço temos o seguinte modelo



1 2 3 4 100 180 165 60Min y y y y Custos de instalação dos armazéns

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 45 56

41 42 43 44 45 46

28 46 54 52.5 86 11.5

45 34.5 43 19.5 67.5 28.5

25.5 15 24.5 23.5 79 39

67.5 56 35.5 19 39.5 82

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

Custos de afetação dos armazéns aos clientes

Restrições

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

15 25 35 45

16 26 36 46

1

1

1

1

1

1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Cada cliente será afeto apenas a um único armazém



Vamos considerar a formulação fraca 11 12 13 14 15 16 1

21 22 23 24 25 26 2

31 32 33 34 35 36 3

41 42 43 44 45 46 4

6

6

6

6

x x x x x x y

x x x x x x y

x x x x x x y

x x x x x x y

11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 16 1

21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2

31 3 32 3 33 3 34 3 35 3 36 3

41 4 42 4 43 4 44 4 45 4 46 4

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

x y x y x y x y x y x y




Todos os clientes são abastecidos por armazéns instalados

Todas as variáveis são binárias



Viana

Ponte de Lima

Ruivães

Lindoso

A solução ótima deste problema consiste em construir um armazém em Monção e outro em Ruivães. O armazém de Monção fornecerá os clientes de Melgaço, Caminha e Viana do Castelo e o armazém de Ruivães fornecerá os clientes de Chaves, Terras de Bouro e Barcelos. O custo total será 329.5



Viana

Ponte de Lima

Ruivães

Lindoso

Se para o mesmo problema considerarmos os custos de instalação todos iguais a 10000 a solução ótima será instalar apenas um armazém em Ponte de Lima que servirá todos os clientes da zona. O custo total será de 10206.5



12 6

1

10

9

8

7 6

5

4

3

2

11

1

5

4

3

2

Considere-se o seguinte grafo que representa 12 localidades e 5 potenciais locais para instalação de serviços.

Exemplo

localidade

Potencial local de instalação



Inicialização. Para cada i = 1, 2, ..., n calcular

Determinar i* tal que

Fazer S = {i*}

C(S) =

uj = (j=1, 2, ..., m)

1

m

i i ij

j

z f d

*

1mini i

i nz z

*

iz

Heurística Greedy (Cornuejols, Fisher, Nemhauser, 1977)

Iteração t. Para cada iS calcular


Se segue para o Fim.

Se fazer S = S {i*}

C(S) = C(S) +

uj = min ( uj , ) (j=1,2, ..., m)

Se S I Repetir a iteração t.

Fim. S é a solução obtida com custo C(S). STOP

1

min (0, )m

i i ij j

j

f d u

* mini i

i S

* 0i * 0i

*

i

*i jd

*i jd



1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

Custos de instalação

1 2 3 4 5 6

Custos 80 70 60 90 70 80

Clientes

Serviços Exemplo




Inicialização. 1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

1

m

i i ij

j

z f d

Para cada i=1,2,3,..,6 calcular

860 857 1021 815 698 915

80 70 60 90 70 80

940 927 1081 905 768 995

12

1

ij

j

d

if

iz


*

1mini i

i nz z

i*=5 . Fazer S={ 5 } C(S)= 768

5j ju d



Vamos agora ver se, em termos de custo, há alguma vantagem em abrir mais um serviço, isto é, se a poupança em termos de custos de afetação compensa o custo de abertura de um novo serviço

Para cada iS, isto é , para i ={1,2,3,4,6} calcular

1

min (0, )m

i i ij j

j

f d u

1 2 3 4 5 6

1 -81 -24 0 0 -15

2 -47 0 0 0 -15

3 -34 -91 -23 -5 0

4 -25 -8 0 0 0

5 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 -38

7 0 -21 -29 -11 0

8 0 0 0 -5 0

9 0 0 0 0 0

10 0 0 -54 -24 0

11 0 0 0 -14 0

12 0 0 0 -10 0

Matriz com

1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

min(0, )ij jd u

-187 -144 -106 -69 -68

80 70 60 90 80

-107 -74 -46 21 12

12

1

min(0, )ij j

j

d u

if

i



1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

*

1 min ii S

Como

*

1 0 tem-se

S={1,5} C(S)= 768 + =768 -107=661

*

1

1min( , )j j ju u d

10

27

67

39

48

48

69

45

10

74

44

30

ju

Vamos ver novamente se, em termos de custo, há alguma vantagem em abrir mais um serviço, isto é, se a poupança em termos de custos de afetação compensa o custo de abertura de um novo serviço

Como S I



Para cada iS, isto é , para i ={2,3,4,6} calcular

1

min (0, )m

i i ij j

j

f d u

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 -57 0 0 0

4 0 0 0 0

5 0 0 0 0

6 0 0 0 -38

7 -21 -29 -11 0

8 0 0 -5 0

9 0 0 0 0

10 0 -54 -24 0

11 0 0 -14 0

12 0 0 -10 0

Matriz com

1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

min(0, )ij jd u

-78 -83 -64 -38

70 60 90 80

-8 -23 26 42

12

1

min(0, )ij j

j

d u

if

i



1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

*

3 min ii S

Como

*

3 0 tem-se

S={1, 3,5} C(S)= 661+ =661 -23=638

*

3

3min( , )j j ju u d

10

27

67

39

48

48

40

45

10

20

44

30

ju

Vamos ver novamente se, em termos de custo, há alguma vantagem em abrir mais um serviço, isto é, se a poupança em termos de custos de afetação compensa o custo de abertura de um novo serviço

Como S I



Para cada iS, isto é , para i ={1,2,3,4,6} calcular

1

min (0, )m

i i ij j

j

f d u

Matriz com min(0, )ij jd u

1 2 3 4 5 6

1 10 67 131 107 91 76

2 27 84 132 108 74 59

3 67 10 78 96 101 112

4 39 56 102 78 64 66

5 53 72 106 82 48 50

6 76 112 136 92 48 10

7 101 48 40 58 69 107

8 77 66 64 40 45 83

9 91 101 98 54 10 48

10 126 79 20 50 74 126

11 96 76 50 30 44 96

12 97 86 64 20 30 82

10

27

67

39

48

48

40

45

10

20

44

30

ju

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0

2 0 0 0

3 -57 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

6 0 0 -38

7 0 0 0

8 0 -5 0

9 0 0 0

10 0 0 0

11 0 -14 0

12 0 -10 0

-57 -29 -38

70 90 80

13 61 42

12

1

min(0, )ij j

j

d u

if

i



*

2 min ii S

*

2 0 Como TERMINA

A solução obtida pela heurística é instalar serviços nos locais 1, 3 e 5 A afetação dos clientes aos serviços é

12

6

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

11

1

5

4

3

2

Valor desta solução 768-107-23=638



Problema da p-mediana

Neste problema considera-se que o conjunto dos clientes e dos potenciais locais de instalação de serviços coincidem. Pretende-se determinar onde localizar exatamente p serviços de modo a garantir a satisfação da procura dos clientes. Considera-se que os custos fixos de instalação são nulos ou exatamente iguais para todos os potenciais locais de instalação de serviços. O objetivo é neste caso a minimização dos custos totais de afetação dos serviços aos clientes. Seja Variáveis de decisão

Como o conjunto dos potenciais locais de instalação coincide com as localizações dos clientes podemos considerar

1 se o cliente fica afeto ao serviço instalado em

0 caso contrario ij

j ix

0

1 se se localiza um serviço em

ii

ii

c i I

x i I

potenciais locais para instalar serviços clientesI

: custo de afetar o cliente j ao serviço localizado em iijc



Modelo Matemático

. . 1 (1)

(2)

, , (3)

0,1 , (4)

ij ij

i I j I

ij

i I

ii

i I

ij ii

ij

Min c x

s a x j I

x p

x x i j I i j

x i j I

As restrições (3) podem ser substituídas por

ij ii

j J

x I x

(formulação fraca)



Heurísticas para o problema da p-mediana

Processo de tipo greedy (adaptado da localização simples):

• localiza o 1º serviço na 1-mediana;

• iteração t (1< t ≤ p)

localiza o serviço t na comunidade que origina maior diminuição no valor da função objetivo.

Teitz e Bart, 1968 Parte de uma solução arbitrária Xp e tenta trocar um ponto não pertencente a Xp com um ponto de Xp por forma a melhorar o valor da função objetivo.


Transformações locais de tipo 1-optimal, 1988

Processo semelhante ao algoritmo de Teitz e Bart mas funcionando ao contrário dele. Parte de uma

solução qualquer Xp e tenta trocar um ponto de Xp com um ponto não pertencente a Xp por forma

a melhorar o valor da função objetivo. Faz apenas um ciclo de trocas.



Exemplo

5

4 1 6

2 3 2 2

1

2

2 2

2

Matriz com as distâncias (comprimento caminho mais curto)

Pretende-se instalar 2 serviços (p=2)


1 2 3 4 5 6

1 0 2 4 2 3 2

2 2 0 2 4 2 3

3 4 2 0 2 4 5

4 2 4 2 0 5 4

5 3 2 4 5 0 1

6 2 3 5 4 1 0

Inicialização.

Para cada i= 1, 2, ..., n calcular 1

n

i ij

j

z c

*

1mini i

i nz z




1 2 3 4 5 6

1 0 2 4 2 3 2

2 2 0 2 4 2 3

3 4 2 0 2 4 5

4 2 4 2 0 5 4

5 3 2 4 5 0 1

6 2 3 5 4 1 0

Fazer S {i*}

C(S)

S {1}

C(S) 13

uj = ci*j (i=1, 2, ..., n)

Como temos que abrir mais um serviço, vamos agora ver qual é o que dá maior vantagem, isto é, o que dá maior poupança nos custos de afectação.

Para cada iS calcular

1

min (0, )n

i ij j

j

c u


* mini ii S

Fazer

S S {i*}

C(S) C(S) +

S {1, 2}

C(S) 1358

13 13 17 17 15 15 iz

*

iz0

2

4

2

3

2

ju

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0 0

2 -2 0 0 0 0

3 -2 -4 -2 0 0

4 0 0 -2 0 0

5 -1 0 0 -3 -2

6 0 0 0 -1 -2

-5 -4 -4 -4 -4 i*

i



1 2 3 4 5 6

1 0 2 4 2 3 2

2 2 0 2 4 2 3

3 4 2 0 2 4 5

4 2 4 2 0 5 4

5 3 2 4 5 0 1

6 2 3 5 4 1 0

0

0

2

2

2

2

juS {1, 2}

C(S) 1358

uj min (uj , ci*j)

(i=1,2, ..., n)

c

c

Já temos 2 serviços instalados. TERMINA

5

4 6

2 3

1

2 2

2 2

A solução ótima é

5

4 6

2 3

1

1

2

2

2

Valor ótimo = 7 Valor da solução obtida pela heurística é 8.



Problema de localização de serviços com restrições de capacidade

Em muitas situações é necessário considerar que os serviços ou equipamentos têm uma capacidade máxima.

Notação

1,...,

1,...,

:

:

:

:

ij

i

j

i

I n

J m

c

f

proc

Cap



custo unitário de satisfazer a procura do cliente a partir do equipamento localizado em ,i I j J

Procura associada ao cliente

Capacidade do equipamento a localizar em

ij

Custo fixo de construir um serviço em i

j

i

Variáveis 1 se se localiza um equipamento em

0 caso contrario i

iy

:ijx Percentagem da procura do cliente que é satisfeita pelo equipamento localizado em

ji



Modelo Matemático

. . 1 (1)

(2)

0,1 (3)

0,1 , (4)

i i ij ij j

i I i I j J

ij

i I

j ij i i

j J

i

ij

Min f y c x proc

s a x j J

proc x Cap y i I

y i I

x i I j J

Restrições (1) Garantem que a procura de cada cliente é satisfeita (2) Garantem que a procura é satisfeita apenas por serviços que estão instalados e

que a capacidade de cada serviço não é excedida (3) e (4) definem o domínio de variação das variáveis de decisão



Exemplo

Viana

Ponte de Lima

Ruivães

Lindoso

Consideremos de novo o exemplo apresentado para o problema de localização simples.



Caminha

Viana do Castelo

Barcelos

Terras de

Bouro

Chaves

Melgaço

Monção 28 46 54 52.5 86 11.5

Lindoso 45 34.5 43 19.5 67.5 28.5

Ponte de Lima 25.5 15 24.5 23.5 79 39

Ruivães 67.5 56 35.5 19 39.5 82

Potenciais Locais

Clientes

Os custos de instalação Monção Lindoso Ponte de Lima Ruivães

100 180 165 60

Sendo I={potenciais locais} em que 1-Monção 2-Lindoso 3-Ponte de Lima e 4-Ruivães J={clientes} em que 1-Caminha 2-Viana do Castelo 3-Barcelos 4-Terras de Bouro 5-Chaves e 6-Melgaço

Onde os custos unitários de transporte são

Procura dos clientes

Caminha

Viana do Castelo

Barcelos

Terras de

Bouro

Chaves

Melgaço

10 20 13 5 10 15

Capacidade dos armazéns

Monção Lindoso Ponte de Lima Ruivães

30 15 35 10



1 2 3 4 100 180 165 60Min y y y y Custos de instalação dos armazéns

Custos de transporte

Modelo Matemático

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

15 25 35 45

16 26 36 46

+10 (28 45 25.5 67.5 )

20 (46 34.5 15 56 )

13 (54 43 24.5 35.5 )

5 (52.5 19.5 23.5 19 )

10 (86 67.5 79 39.5 )

15 (11.5 28.5 39 82 )

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x



Restrições

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

15 25 35 45

16 26 36 46

1

1

1

1

1

1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

A procura de cada cliente tem que ser satisfeita

11 12 13 14 15 16 1

21 22 23 24 25 26 2

31 32 33 34 35 36 3

41 42 43 44 45 46 4

10 20 13 5 10 15 30

10 20 13 5 10 15 15

10 20 13 5 10 15 35

10 20 13 5 10 15 10

x x x x x x y

x x x x x x y

x x x x x x y

x x x x x x y

Não se pode exceder a capacidade de cada armazém

Variáveis binárias iy

Variáveis 0,1ijx



A solução ótima para este problema é

Viana

Ponte de Lima

Ruivães

Lindoso

10

20

15

3 10

13

2

O valor ótimo é 1985.5



Nos problemas de localização de serviços com capacidade limitada pode fazer sentido considerar que a procura de um cliente é satisfeita na totalidade apenas por um serviço. Neste caso temos as variáveis

1

0ijx

se a totalidade da procura do cliente j é satisfeita pelo equipamento localizado em i

caso contrário

Em alguns problemas faz sentido abrir um serviço apenas se há um mínimo de serviço fornecido pelo serviço. Neste caso existem também restrições de capacidade mínima utilizada. Seja

:icapm capacidade mínima utilizada requerida para cada serviço i

Tem-se então as restrições

i i j ij i i

j J

capm y proc x Cap y i I

:ijx Quantidade transportada do equipamento i para o cliente j

Podem também definir-se as variáveis do seguinte modo ijx



Problemas de localização hierárquicos

Existe por vezes a necessidade de localizar simultaneamente serviços que pertencem a diferentes níveis no sistema logístico. Estes problemas designam-se habitualmente de problemas hierárquicos, multi-nível ou k-nível, em que k é o número de níveis considerados.

Fornecedores Fábricas Armazéns Clientes

Considere-se a seguinte rede logística de abastecimento



Existe um conjunto de fornecedores que fornece um conjunto de fábricas. A mercadoria produzida é transportada das fábricas para os armazéns e posteriormente destes para os clientes. Pretende determinar-se a localização ótima das fábricas e dos armazéns e as quantidades a serem transportadas com o objetivo de minimizar os custos totais (custos fixos + custos variáveis de transporte)

Notação

1,...,

1,...,

1,...,

1,...,

J m

K h

I n

G l


Conjunto de potenciais localizações para armazéns

Conjunto de potenciais localizações para fábricas

Conjunto de fornecedores



'

"

:

:

:

:

:

:

:

:

:

ik

kj

j

i

k

g

i

k

gi

proc

Cf

Ca

S

f

fa

c

c

c

Procura associada ao cliente j

Capacidade do armazém a localizar em k

Capacidade da fábrica a localizar em i

gQuantidade máxima disponível no fornecedor

Custo fixo de instalar uma fábrica em i

Custo fixo de instalar um armazém em k

Custo unitário de transporte de mercadoria do fornecedor para a fábrica localizada em

g

i

Custo unitário de transporte de mercadoria da fábrica para o armazém localizado em

i

k

Custo unitário de satisfazer a procura do cliente a partir do armazém localizado em

j

k



Variáveis de Decisão

1 se se localiza um fabrica em

0 caso contrario i

iy

'1 se se localiza um armazem em

0 caso contrario k

ky

gix

'

ikx

"

kjx

Quantidade transportada do fornecedor para a fábrica g i

Quantidade transportada da fábrica para o armazém ki

Quantidade transportada do armazém para o cliente k j



Modelo Matemático

' '

"

'

" '

'

'

"

. . (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

0,1 (7)

0,1 (8)

0 , (9)

0 , (10)

0 , (11)

ik

ik

ik

gi g

i I

gi i i

g G

k k

i I

kj j

k K

gi

k K g G

kj

j J i I

i

k

gi

ik

kj

s a x S g G

x Cf y i I

x Ca y k K

x proc j J

x x i I

x x k K

y i I

y k K

x g G i I

x i I k K

x k K j J

' ' ' " "

i i k k gi gi ik ik ik ik

i I k K g G i I i I k K k K j J

Min f y fa y c x c x c x

Custos de instalação

Custos de transporte

Não se excede a disponibilidade de mercadoria nos fornecedores

definem o domínio das variáveis

A capacidade de cada fábrica não é excedida e a mercadoria só é transportada para fábricas instaladas

A capacidade de cada armazém não é excedida e a mercadoria só é transportada para armazéns instalados

A procura dos clientes é satisfeita

garantem a coerência entre a quantidade transportada entre os níveis da cadeia logística.

Fornecedores Fábricas Armazéns Clientes



A função objetivo considera a minimização dos custos totais (fixos +variáveis)

Restrições

(1) Não se excede a disponibilidade de mercadoria nos fornecedores (2) A capacidade de cada fábrica não é excedida e a mercadoria só é

transportada para fábricas instaladas (3) A capacidade de cada armazém não é excedida e a mercadoria só é

transportada para armazéns instalados (4) A procura dos clientes é satisfeita (5) e (6) garantem a coerência entre a quantidade transportada entre os níveis

da cadeia logística. (7), (8), (9), (10), (11) definem o domínio das variáveis

Nota: pode haver situações em que a totalidade do que chega a um equipamento deve ser exatamente igual à totalidade do que sai desse equipamento. Nestes casos as restrições (5) e (6) são igualdades. Diz-se que existe conservação de fluxo nos nodos. Este modelo pode facilmente incorporar a possibilidade de transportar diretamente de uma fábrica para um cliente ou a hipótese de não satisfazer completamente a procura de um cliente mediante uma penalização.



Exemplo

Uma empresa de recolha de resíduos sólidos urbanos será responsável pela recolha dos resíduos em 5 freguesias do Concelho de Mafra. Esta empresa pretende desenhar uma rede logística que lhe permita a custo mínimo fazer o transporte dos resíduos para estações de transferência onde serão armazenados e compactados para serem posteriormente depositados nos aterros. Depois de um estudo que envolveu uma equipa de técnicos de várias áreas escolheram-se 5 potenciais locais para instalação das estações de transferência e 3 potenciais locais para a instalação dos aterros.

Os custos unitários (em unidades monetárias) de transporte entre as freguesias e as estações de transferência estão na tabela seguinte:

Freguesia 1 20 10 30 10 15

Freguesia 2 10 10 20 20 15

Freguesia 3 25 30 35 30 10

Freguesia 4 15 10 10 15 15

Freguesia 5 20 15 5 5 10

Estações de Transferência



Os custos unitários (em unidades monetárias) de transporte entre as estações de transferência e os aterros estão na tabela seguinte:

1 2 3

1 5 10 20

2 10 15 5

3 5 10 5

4 15 10 10

5 10 5 30

Estações de Transferência

Aterros

Os custos fixos (em unidades monetárias) de instalação e as capacidades máximas (em milhares de toneladas) estão na tabela seguinte:

1 2 3 4 5 1 2 3

Custos fixos

10 20 10 15 20 350 500 650

capacidade 1000 1000 1000 1000 1000 2000 3000 4000

Estações de transferência Aterros

A quantidade de resíduos em cada freguesia (em milhares de toneladas) é

Freguesias 1 2 3 4 5

Resíduos 500 250 500 300 500



Sistema Logístico

Freguesias Estações de Transferência Aterros



Solução ótima

Utilizando o Solver do Excel tem-se



Custo total = 29450

Desenho de uma rede Logística · 2016. 2. 23. · Tipos de Equipamentos Problemas em que se...

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