Desenvolvimento de técnicas para análise de Circuitos ... · 2 Programa 1. Introdução aos...

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1 A. Circuitos Desenvolvimento de técnicas para análise de Circuitos eléctricos/electrónicos lineares.

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1

A. Circuitos

Desenvolvimento de técnicas para análise deCircuitos eléctricos/electrónicos lineares.

2

Programa

1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares

3Low Distortion Power Amplifier

a bComponentes com 2 terminais

CaracterizadoPela corrente que o

atravessa e pela tensãoAos terminais

NODE

NODE

Circuito Eléctrico: Interligação entre componentes

+-

L

C

1R

2RSv −

+

Ov

Circuito linear típico

4

Um AMPERE DE CORRENTE transporta um COULOMB DE CARGA em cada segundo.

ELECTRÃO DO CARGA (e)(e) 106.28 COULOMB 1 18

=

×=

VOLT é uma medida da energia por unidade de carga. dois pontos têm uma tensão de 1 volt se 1 coulomb de carga ganha um joule de energia quando se desloca de um ponto para o outro.

OHM é uma medida de resistência à passagem da corrente. Existe um ohm de resist.se for necessário um volt de tensão para fazer fluir um ampere de corrente.

É necessário um WATT de potência para fazer fluir um ampere de correntecom uma tensão de um volt.

AVW 111 ×=

sCA 1/11 =

CmN

CJV

111

111 ×

==

AV

111 =Ω

dtdqi =

dqdwv =

IVR =

dtdw

dtdq

dqdwivp === .

5

+

++

)(tq

+

Qual o significado de um valor negativo para q(t)?

Se a carga “à esquerda da secção S” é conhecida ao longo do tempoentão a corrente em S pode ser calculada por diferenciação.

Se a corrente que passa em S é conhecida ao longo do tempoentão a carga pode ser calculada por integração.

Uma analogia física, é a identificação da corrente com o fluxo de águaE a carga com as partículas (moléculas)

A carga é quantidade elementar num circuito. A corrente decorre do movimento da carga.Podemos também encarar a corrente como a quantidade básica e calcular a carga.

6

1 2 3 4 5 610−

102030

Charge(pC)

Time(ms)

Carga q(t)“à esquerda de S”ao longo do tempo

)/(10100102

10101010 93

1212sC

sCm −

−−

×−=−××−×−

=

1 2 3 4 5 610−

102030

Time(ms)

) Current(nA40

20−

Objectivo:determinar a

corrente q(t) recta implica corrente = declive

7

CONVENÇÃO PARA CORRENTES

É absolutamente necessário indicar a direcção do movimento das cargas.

A CONVENÇÃO UNIVERSALMENTE ACEITE, É DEQUE A CORRRENTE REPRESENTA O FLUXO DECARGAS POSITIVAS, PELO QUE SE DEFINE A DIRECÇÃO DO FLUXO COMO

-DIRECÇÃO DE REFERÊNCIA-

um valor positivo paraa corrente indica fluxono sentido da seta

valor negativo indicafluxo no sentidocontrário.

8

CONVENÇÃO PARA TENSÃO ELÉCTRICA

UMA DEFINIÇÃO PARA VOLT2 pontos têm uma diferença de tensão de um voltse um coulomb de carga ganha (ou perde) um joulede energia quando se movimenta de um ponto para outro

+ a

b

C1

Se a carga ganha energiaao ir de a para b então b tem maior tensão (potencial)do que a. Se perde, então b tem menor tensãodo que a.

Dimensionalmente o volt deriva de outras grandezas

sAmN

COULOMBJOULE

qWVOLT

••

===

Tensão eléctrica é uma grandeza (relativa) entre 2 pontos. Para salientar esteaspecto alguns autores usam a terminologia “diferença de potencial”.

É fundamental que a notação esclareça qual dos pontos tem maiortensão eléctrica.

9

NOTAÇÃO DE DOIS INDÍCES

O primeiro índice indica a tensão positiva.

VVAB 2=

VVAB 5−= VVBA 5=BAAB VV −=

Qual a energia necessária para mover 120cde b para a (circuit_1)?

JVQWQWV 240==⇒=

cargas movem-se para um ponto demaior tensão logo ganham energia.

10

ENERGIA E POTÊNCIA

2[C/s] passampelo elemento

cada coulomb de carga perde 3[J]ou seja fornece 3[J] de energia ao elemento

Logo, o elemento recebe energia à taxa de 6[J/s]

Portanto, a potência absorvida pelo elemento é de 6[W]

COMO SE RECONHECE SE UM ELEMENTO ABSORVEOU FORNECE ENERGIA?

VIP =IN GENERAL ∫=

2

1

)(),( 12

t

tdxxpttw p

dtdw

dtdq

dqdwvi ===

11

Convenção passiva

Potência recebida é positiva, potênciafornecida é negativa.

UMA CONSEQUÊNCIA DA CONVENÇÃO É A DE

QUE A DIREÇÇÃO DA TENSÃO E CORRENTE NÃO

SÃO INDEPENDENTES (assumindo elementos passivos)

a b

−+ abV

abI

ababIVP =

Se tensão e correntesão ambas positivas acarga move-se da tensãomais alta para a maisbaixa e o elementorecebe energia.é um elemento passivo

a b

−+ abVAssim, dada a referência da polaridade…

a babI

Se a referência para a corrente é dada…

−+

… então esta é a referência para a polaridade

… determina-se a direcção da corrente.

a b

−+ abV

VVab 10−=

EXAMPLE

The element receives 20w of power.what is the current?

abI

Select reference direction based onpassive sign convention

ababab IVIVW )10(][20 −==][2 AIab −=

A2

12

ELEMENTOS DE CIRCUITO

1. ELEMENTOS PASSIVOS:Resistência, condensador e bobine

2. FONTES INDEPENDENTES:Tensão e corrente

3. FONTESDEPENDENTESDE TENSÃO

4. FONTESDEPENDENTESDE CORRENTE

R C L

13

Potência absorvida ou recebida por cada elemento

][48)4)(12(1 WAVP ==

][48)2)(24(2 WAVP ==

][56)2)(28(3 WAVP ==

][8)2)(4()2)(1( WAVAIP xDS −=−=−=

][144)4)(36(36 WAVP V −=−=

VERIFIQUE O EQUILIBRIO ENERGÉTICO

USE O EQUILIBRIO ENERG. PARA CALC. Io

W12−

))(6( OI )9)(12( −

)3)(10( −

)8)(4( − )11)(28( ×

EQUILIBRIO (POTÊNCIA)

][1 AIO =

14

CIRCUITOS RESISTIVOS

Leis fundamentais para análise de cirtuitos: Ohm KCL KVL

Tópicos seguintes:

• Topologia (grafos, árvores, ramos, galhos, ligações), Circuitos

•Leis de KIRCHHOFF – leis fundamentais de conservação- Kirchhoff Current (KCL) E Kirchhoff Voltage (KVL)

•Aprender a analisar circuitos simplesCircuito com 1 malha- Divisor de tensãoCircuito com 1 nó – Divisor de corrente

• Combinaçôes serie/parallelo – técnica de redução de complexidade emcircuitos.

• Circuitos com fontes dependentes - ligações adicionais nas equações

• WYE - DELTA TRANSFORMATION – Técnica de redução de circuitos que naosão nem série nem paralelos

• Lei de Ohm – define o elemento passivo mais simples, a resistência.

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Exemplos de resistências

16

R−

+v

i

ation Represent Circuit

Reparar naconvençãopassiva

Dois casos especiais

CircuitShort

CircuitOpen

−=

+0v

0=i

∞==

GR 0

0=∞=

GR

rel v-I verdadeira

Zona linear

v

i

Uma resistência linear obede à lei de OHM

)()( tRitv =

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Programa

1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares

– Grafos, árvores, ramos, galhos e ligações– Leis de Kirchhoff.– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton

3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares

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Nós, Ramos, Malhas

NÓ:junção entre 2 ou mais elementos(e.g., “big” nó 1)

MALHA:um caminho fechado que nunca passa2 vezes pelo mesmo nó.

BRANCH: Component connected between twonodes (e.g., component R4)

O caminho a vermelho NÃO é uma malha

UM NÓ LIGA VÁRIOS COMPONENTES MAS NÃOCONCENTRA NENHUMA CARGA.

A CORRENTE TOTAL QUE ENTRA NO NÓ ÉIGUAL À CORRENTE TOTAL QUE SAI.

(UM PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE CARGA)

19

20

21

LEI DAS CORRENTES KIRCHHOFF(KCL)

One of the fundamental conservation principlesin electrical engineering

“charge cannot be created nor destroyed”

22

SOMA DAS CORRENTES QUE ENTRAM NUM NÓÉ IGUAL À SOMA DAS CORRENTES QUE SAEMDO NÓ

SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE FLUEM PARA UM NÓ É ZERO.

SOMA ALGÉBRICA DAS CORRENTES QUE FLUEMDE UM NÓ É ZERO.

NÓ GENERALIZADO É QUALQUER PARTE DO CIRCUITO ONDE NÃO HÁ CONCENTRAÇÃO DECARGA. KCL É VALIDA EM ÁREAS.

... TAMBÉM CONHECIDO POR SUPERNÓ

0:3 de Sai0:2 de Sai

7542

461

=+−+−=−+

iiiiiii

0:3 & 2 somando 76521 =++−− iiiiiinterpretação:soma das correntes queSaiem de 2&3 é nula.

visualização: Nós 2&3 são englobadosDentro de uma superfície, vista comoum nó generalizado (OU SUPERNÓ)

LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (KCL)

23

KCL PERMITE CALCULAR AS CORRENTES DESCONHECIDAS…

EQ REDUNTANTE…SOMA DAS 4 ANTERIORES

24

QUAL VALOR DAS CORRENTES DESCONHECIDAS ?

KCL DEPENDE APENAS DAS LIGAÇÕES. O TIPO DECOMPONENTE É IRRELEVANTE, ISTO É …

KCL DEPENDE APENAS DA TOPOLOGIA DO CIRCUITO

25

QUAIS AS EQUAÇÕES KCL DO CIRCUITO ?

26

LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (KVL)

KVL É UM PRINCIPIO DE CONS. DE ENERGIA

+AV

BBV)( AB VVqW −=Δ

q

−+ abVa b

+q

abqVW =ΔPERDE

+− cdVc d

+q

cdqVW =ΔGANHA

+

AV

BBV

q

CV

+ABV −

+BC

V−+ CAV

ABqVW =Δ

BCqVW =Δ

CAqVW =Δ

IMAGINEM ….

SE A CARGA VOLTA AO PONTO DE PARTIDA, O GANHO DE ENERGIA DEVERÁ SERNULO (rede conservativa)

CASO CONTRÁRIO PODERIA ABSORVER OUFORNERCER ENERGIA INFINITA.

0)( =++ CDBCAB VVVq

KVL: A SOMA ALGÉBRICA DAS QUEDAS DETENSÃO NUMA MALHA SÃO ZERO.

A B+− V ≡

A B−−+ )( V

DROP NEGATIVEA IS RISE E A VOLTAG

27

VVR 181=

VVR 122=

LOOP abcdefa

THE LOOP DOES NOT HAVE TO BE PHYSICAL

+

beV

0][3031

=−++ VVVV RbeR

PROBLEM SOLVING TIP: KVL IS USEFULTO DETERMINE A VOLTAGE - FIND A LOOP INCLUDING THE UNKNOWN VOLTAGE

be

R3R1

V VOLTAGETHE DETERMINEKNOWN AREVV:EXAMPLE ,

28

NEM TODAS AS EQUAÇÕES KVL SÃO INDEPENDENTES (TAL COMO KCL).

A TERCEIRA EQUAÇÃO É A SOMA DAS OUTRAS DUAS!!

NUMERO DE EQUAÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES

BRANCHES OFNUMBER NODES OFNUMBER

DEFINE CIRCUIT THE IN

BN

TESINDEPENDEN ELINEARMENT KVL EQUAÇÕES )1(

TESINDEPENDEN ELINEARMENT KCL EQUAÇÕES 1

−−

NB

N

EXAMPLE: PARA ESTE CIRCUITO: N = 6, B = 7. SÓ HA 2 EQUACOES KVL INDEPENDENTES

29

+-

+-

Ωk10 Ωk5

+− xV

+V25 4

xV

+

1V

There are no loops with onlyone unknown!!!

30

Combinações serie paralelo

k9

kkk 69||18 =

kkk 1066 ++

AN EXAMPLE WITHOUT REDRAWING

kkk 612||12 =kkk 26||3 =

)24(||6 kkk +

RESISTORS ARE IN SERIES IF THEY CARRYEXACTLY THE SAME CURRENT

RESISTORS ARE IN PARALLEL IF THEY ARECONNECTED EXACTLY BETWEEN THE SAME TWONODES

12k

31

Divisores de tensão e de corrente

São exemplos de circuitos com 2 nós ou com 2 malhas

divisor corrente: uma eq. KCL + Ohm -> Ix=f(Is)

divisor tensão: uma eq. KVL + Ohm -> Vx=f(Vs)

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Programa

1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares

– Leis de Kirchhoff.– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton

3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares

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Método dos nós e das malhas

objectivos

Desenvolver técnicas sistemáticas de determinação das Tensões e correntes no circuito.

Análise nodalAnálise nas malhas

ANÁLISE NODAL

As variáveis utilizadas para descrever o circuito sãoAs “Tensões Nodais”.

-- A tensão de cada nó do circuitorelativamente a um nó de referência.

34

2 - “BACKTRACK” USANDO KVL, KCL OHM’S

kVI a62 = :SOHM' 0321 =−− III :KCL

3*3 IkVb = :SOHM' …OTHER OPTIONS...

4

34

*4124

12

IkV

II

b =+

=

5

345

*30

IkVIII

C ==−+

:SOHM' :KCL

1 - Reduzir o circuito a uma só malha.

k12

k6

kVI

1212

1 =)12(

933+

=aV

3I

35

A PERSPECTIVA DA ANÁLISE NODAL: exprimir tensões nasresist. função das tensões nodais 5 NÓS: 1 de ref. logo

sobram 4 tensões nodaispor determinar.

Nota: se as tensões dos nósrelativamente a um nó referência sãoconhecidas … pode saber-se tudosobre o circuito

01

1

=++−

−=

aS

aS

VVVVVV

03

3

=++−

−=

ba

ba

VVVVVV

REFERENCE

05

5

=+−−

−=

bc

cb

VVVVVV

Diferenças de tensões nodaisindicam as correntes pelalei de Ohm

−+ Rv

NmR vvv −=

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DEFINIR O NÓ DE REFERÊNCIA É VITAL

até que se defina o ponto de referência

Por convenção o símbolo de massaindica o ponto de referência (nó)

+V4

Todas as tensões nodais são relativas ao ponto de referência

+

−V2

Dizer que V1=4V é ambíguo. . . .

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ESTRATÉGIA PARA ANÁLISE NODAL

1. identificar todos os nós e escolher o de referência.

2. identificar tensões conhecidas

3. em cada nó c/ V desconhecidoescrever eq KCL(e.g.,soma correntes saem =0)

0:@ 321 =++− IIIVa

4. substituir correntes por tensõesdos nós através lei de Ohm.

0369

=−

++−

kVV

kV

kVV baasa

obtém-se conjunto de equaçõesalgébricas nas tensões dos nós... resolver usando qq. método!

REFERENCE

SV aV bV cV

0:@ 543 =++− IIIVb

0:@ 65 =+− IIVc

0943

=−

++−

kVV

kV

kVV cbbab

039

=+−

kV

kVV cbc

shortcut:shortcut: estas eqs. só precisamde existir no pensamento...

Treinar a escrever estas

directamente.

38

CIRCUITOS APENAS COM FONTES DE CORRENTE INDEPENDENTES.

CONSELHO:CONSELHO: A NOTAÇÃO FICA MAIS CLARA SE UTILIZARMOS CONDUTÂNCIAS EM VEZ DE RESISTÊNCIAS.

@ NODE 1

REORDERING TERMS

@ NODE 2

REORDERING TERMS

O MODELO PARA O CIRCUITO É UM CONJUNTO DE EQ. ALGÉBRICAS.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS SÃOEFICIENTEMENTE TRATADAS UTILIZANDOÁLGEBRA DE MATRIZES…

39

MANEIRA EXPEDITA DE ESCREVER EQ.

CIRCUITOS APENAS COM FONTES INDEPENDENTES A MATRIZ É SIMÉTRICA

ELEMENTOS DA DIAGONAL SÃO POSITIVOS

ELEMENTOS FORADA DIAGONAL SÃO NEGATIVS

Conductances connected to node 1

Conductances between 1 and 2

Conductances between 1 and 3

Conductances between 2 and 3

VÁLIDO PARA CIRCUITOSSEM FONTES DEPENDENTES

40

Circuitos com fontes dependentes não se pode usaro método expedito… a simetria é perdida.

ProcedimentoProcedimento•escrever as equações dos nós tratando

as fontes dependentes como se fossem independentes.•por cada fonte dependentes, escrever uma eq. extra coma equação de controlo da fonte em função das tensões nodais

CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES

41

CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE TENSÃO

A TÉCNICA DO SUPERNÓ

SÓ É NECESSÁRIO 1 KCL

42

WRITE THE NODE EQUATIONS

1@v

43

CIRCUITS WITH DEPENDENT SOURCESPRESENT NO SIGNIFICANT ADDITIONAL COMPLEXITY. THE DEPENDENT SOURCESARE TREATED AS REGULAR SOURCES

WE MUST ADD ONE EQUATION FOR EACHCONTROLLING VARIABLE

44

45

A segunda técnica sistemática de determinação de V’s e I’s...

- também a que permite criatividade

DUAL DA ANÁLISE NODAL – PRIMEIRO DETERMINA AS CORRENTESE DEPOIS USANDO LEI DE OHM DETERMINA AS TENSÕES

HÁ SITUAÇÕES EM QUE O MÉTODO DOS NÓS NÃO É EFICIENTE E O NÚMERO DEEQUAÇÕES GERADAS PELO MÉTODO DAS MALHAS É SIGNIFICATIVAMENTE MENOR

MÉTODO DAS MALHAS

46

PELO MÉTODO DOS NÓS . . .

5 NÓS

1 SUPERNÓ

1 fonte de tensão ligada a massa1 fonte de tensão não ligada à massa

MÉTODO DOS NÓS = 4 EQUAÇÕES

… mas só ha uma única corrente que flui por todos os componentes.se ficar determinada sabemos todas as tensões

aplicar KVL…

+-

+-

1R 2R

3RV18

V12

−+ 2RV−+ 1RV

−+ 3RV

3V2V1V

4V

47

1

2 3

4

56

7

A BASIC CIRCUIT

ab c

def

1I 2I

3 I

MALHA: CAMINHO FECHADO QUE NÃO PASSA2 VEZES PELO MESMO NÓ.MALHAS INTERIORES SÃO CIRCULAÇÕES SEM ELEMENTOS NO SEU INTERIOR

CORRENTE DE MALHA: CORRENTE FICTÍCIA QUEFLUI (À VOLTA) NUMA MALHA.

MALHA DE CORRENTES SÃO ,, 321 III

AFIRMAAFIRMAÇÇÃO ! ÃO ! NUM CIRCUITO AS CORRENTES PODEM SER EXPRESSAS ATRAVÉS DAS CORRENTES DE MALHA. - A SUA DIRECÇÃO É RELEVANTE -

48

B NÚMERO DE RAMOSN NÚMERO DE NÓS

NÚMERO MÍNIMO DE CORRENTES DEMALHA NECESSÁRIAS É:

)1( −−= NBLCORRENTES DAS MALHAS INTERIORES SÃOSEMPRE INDEPENDENTES.

EXEMPLO

2)16(767

=−−===

LNB

SÃO NECESSÁRIAS 2 CORRENTES DE MALHA.

KVL NAS MALHAS – 1 EQ P/MALHA

LEI DE OHM – SUBST. V P/ I MALHA

RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALG.

MÉTODO DAS MALHAS:

ESCOLHER MALHAS INTERIORES E SENTIDODAS CORRENTES DAS MALHAS todas c/mesmo sentido.

EXPLICAR MÉTODO EXPEDITO.

49

B NÚMERO DE RAMOSN NÚMERO DE NÓS

NÚMERO MÍNIMO DE CORRENTES DEMALHA NECESSÁRIAS É:

)1( −−= NBL

CORRENTES DAS MALHAS INTERIORES SÃOSEMPRE INDEPENDENTES.

EXEMPLO

2)16(767

=−−===

LNB

SÃO NECESSÁRIAS 2 CORRENTES DE MALHA.

KVL NA MALHA 1

SUBSTITUINDO E REARRANJANDO.

EQUAÇÕES DAS MALHAS PARA O CIRCUITO

DETERMINAÇÃO DAS CORRENTES DE MALHA

KVL NA MALHA 2

50

51

CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE

MALHA 1

MALHA 2

FONTES DE CORRENTE QUE NÃO SÃO PARTILHADASPOR OUTRAS MALHAS DEFINEM IMEDIATAMENTEO VALOR DA CORRENTE NA MALHA.

52

CIRCUITOS COM FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE

MESH 1 EQUATION mAI 21 =

MESH 2

VkIkI 282 21 =+−“BY INSPECTION”

][296

43

82)2(2

22 VkIVmAk

VmAkI O ==⇒=+×

=

FONTES DE CORRENTE QUE NÃO SÃO PARTILHADASPOR OUTRAS MALHAS DEFINEM IMEDIATAMENTEO VALOR DA CORRENTE NA MALHA.

TO OBTAIN V1 APPLY KVL TO ANY CLOSEDPATH THAT INCLUDES V1

53

FONTES DE CORRENTE PARTILHADA P/2 MALHAS – A SUPERMALHA!

1. ESCOLHER CORRENTES NAS MALHAS

2. ESCREVER A EQUAÇÃO DE PARTILHA DAFONTE PELAS DUAS CORRENTES.

mAII 432 =−

3. ESCREVER AS EQUAÇÕES DAS OUTRAS MALHAS

mAI 21 =

4. DEFINE A SUPERMALHASUPERMALHA REMOVENDO(MENTALMENTE) A FONTE DE CORRENTE.

SUPERMESH

5. ESCREVER KVL NA SUPERMALHA

0)(1)(2216 131223 =−+−+++− IIkIIkkIkI

3 EQUAÇÕES A 3 INCÓGNITAS…

MODELO COMPLETO

54

FONTES DE CORRENTE PARTILHADAS POR MALHAS – CIRCULAÇÃO ESPECIAL

ESTRATÉGIA – DEFINIR MALHAS QUE NÃOPARTILHAM FONTES DE CORRENTE.

MESMO QUE ISSO SIGNIFIQUE UTILIZARMALHAS NÃO-INTERIORES.

3I

mAImAI

4 - 2 MALHA2 - 1 MALHA

2

1

==

EQUAÇÕES SÃO:

EQUAÇÃO PARA A MALHA EXTERIOR.

0)(1)(2)(21][6 13123233 =−+−+++++− IIkIIIkIIkkIV

55

CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES

Trata-se a fonte dependentecomo se fosse independente.

Junta-se mais uma equação(eq. da fonte) que relacionao parâmetro de controlo com correntes das malhas.

kVI

mAI

X

2

4

2

1

=

= 0)(1)(21 4313 =−+−+− IIkIIkkI x :3MESH

012)(1)(1 2434 =+−+− VIIkIIk :4MESH

)(2CONTROLO DE VARIÁVEIS

1324 IIkVIII xx −=−=

56

57

Programa

1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares

– Leis de Kirchhoff.– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton.

3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares

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OUTRAS TÉCNICAS DE ANÁLISE(as mais importantes p/ pequenos circuitos)

OBJECTIVOS

Propriedade da Linearidade –

Aplicar sobreposiçãoUtilizar este princípio para resolver circuitos-

TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON Importantes teoremas que ajudam a esconder a complexidade e a Focar na parte do circtuito em que estamos interessados.

MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA

59

Exemplos de circuitosEquivalentes.

60

61

LINEARIDADE

OS MODELOS UTILIZADOS. MATEMATICAMENTESIGNIFICA QUE OBEDECEM AOPRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO

21

21

22112211

, possíveis escalares os todos e, possíveis entrada de pares os todos para

)(SSELINEAR É MODELO UM

αα

ααααuu

TuTuuuTTuy+=+

=

OU. . . ALTERNATIVAMENTE

adehomogeneid ,,)( 2.eaditividad ,, )(.1

SSELINEAR É MODELO O

212121

uTuuTuuTuTuuuT

Tuy

∀∀=∀+=+

=

ααα

Recorrendo ao método dos nós obtém-se umaEquação do tipo.

fAv =

v É UM VECTOR COM AS TENSÕES DOS NÓS Ef É UM VECTOR DEPENDENTED APENAS DASFONTES INDEPENDENTES.

62

USANDO A HOMOGENEIDADE

Assume that the answer is known. Can we Compute the input in a very easy way ?!!

+

1V

If Vo is given then V1 can be computed using an inverse voltage divider.

02

211 V

RRRV +

=

… And Vs using a second voltage divider

02

2141

4 VR

RRR

RRV

RRR

VEQ

EQ

EQ

EQS

++=

+=

Solve now for the variable Vo

The procedure can be made entirely algorithmic

1. Give to Vo any arbitrary value (e.g., V’o =1 )

2. Compute the resulting source value and call it V’_s

3. Use linearity. kkVkVVV SS ∀→⇒→ ,'0''

0'

4. The given value of the source (V_s) corresponds to

'S

S

VVk =

Hence the desired output value is

'0'

'00 V

VVkVV

S

S==

This is a nice little toolfor special problems.Normally when there isonly one source and when in our judgementsolving the problembackwards is actuallyeasier

EQR

63

UTILIZEMOS A HOMOGENEIDADE

][12 VVVout == ASSUME

1I

OV

NOW USE HOMOGENEITY

][2][12][1][6VVVV

VVVV

outO

outO

=→==→=

64

SOBREPOSIÇÃO DE FONTES

É uma aplicação directa da linearidade.

É util quando o circuito tem poucas fontes.

65

circuit

+ -VS

IS

+

VL

_

IL

Pela linearidade

V a V a IL S S= +1 2

V L1 Pode ser calculada anulando a fonte de corrente

V L2 Pode ser calculada anulando a fonte de tensão

Exemplo c/ 2 fontes

SVBY ONCONTRIBUTI1LV SIBY ONCONTRIBUTI

2LV

66

ANULAR FONTE DE CORRENTE(CIRCUITO ABERTO)

1LI

1LV

ANULAR FONTE DE TENSÃO(CURTO CIRCUITO)

2LI

2LV

SOBREPOSIÇÃO DE FONTES

= +

PELA LINEARIDADE DO CIRCUITO DEVEMOS TER2121

LLLLLL VVVIII +=+= Princípio da sobreposição

67

EXEMPLO 1 i

=

][6||33 kReq +=

eq

eq

Rvi

kR

2"2

][)3||3(6

=

+=

+

EQUAÇÕES DAS MALHAS

CONTRIBUIÇÃO DE v1

CONTRIBUIÇÃO DE V2

PRETENDE-SE CALCULAR A CORRENTE

CONHECIDOS OS CIRCUITOS PARCIAIS

DEVERÃO SER RESOLVIDOS COM EFICIÊNCIA, OUSEJA:

SABER MUITO BEM ASSOCIAR RESISTÊNCIAS ….☺

68

EXEMPLO

ANULAR FONTE DE TENSÃO

Divisor de corrte

Lei Ohm

Anular fonte de correnteDivisor de tensão

+-

V0"6k

3k

3V ][6"0

'00 VVVV =+=

][2 V=

FONTES DE ÃOSOBREPOSIÇ USANDO CALCULE 0V

69

1. Num circuito com múltiplas fontes independentes, cada fonte é aplicadaindependentemente anulando as outras fontes

2. Para anular uma fonte independente de tensão substituimo-la por um curto circuito e para anular uma de corrente por um circuito aberto.

3. Aplicar todas as técnicas e leis aprendidas (kvl,kcl,divisores V eI, nós, malhas) para calcular a variável de interesse.

4. Somar ALGEBRICAMENTE as contribuições de cada fonte para obter a solução final.

SUMÁRIO

70

UM DOS RESULTADOS MAIS IMPORTANTE NA ANÁLISE DE

CIRCUITOS.Permite esconder a complexidaderecorrendo a uma “sintese” de um

circuito.

TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON

71

http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html

Low distortion audio power amplifier

From PreAmp(voltage ) To speakers

Para ajustar os speakers ao amplificadorÉ muito mais simples se utilizar o modelosimplificado!

Para “calcular” o melhor altifalanteÉ necessário resolver o circuito.

+-

RTH

VTH

Substituir o amplif.Por um circuito equiv.

Courtesy of M.J. Renardson

72

a

b_Ov+

i

TEOREMA DE EQUIVALÊNCIA DE THEVENIN

Thevenin de eequivalent aResistenci Thevenin de eequivalent Fonte

TH

TH

Rv

LINEAR CIRCUIT

PART B

a

b_Ov+

i

−+

THR

THv

PART A

Circuito equivalente de Thevenin

Para a PARTE A

PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

PARTE BCIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

73

a

b_Ov+

i

TEOREMA DA EQUIVALÊNCIA NORTON

Norton de eEquivalent aResistenci Norton de eequivalent Fonte

N

N

Ri

LINEAR CIRCUIT

PART B

a

b_Ov+

i

NRNi

PART A

Circuito Equivalente de Norton

Para a PARTE A

PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

PARTE BCIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

74

Examples de Partições Válidas e Inválidas

75

COMO ???? - version 1

Se o circuito A não é alterado a corrente é a mesma qualquer que seja Vo

TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO

SCi+

ANULAR FONTESINDEPENDENTES EM A

Oi

=

⇒−=O

OTH i

vR SE-DEFINE

SCO iii +=

OSCTH

O viRvi ∀+−= ;

SCTH

OCOCO i

Rvvv

i

+−=⇒=

=

0

)0(ABERTOCIRCUITO :ESPECIALCASO

SC

OCTH i

vR =⇒TH

OCSC R

vi =⇒

iRvviRvi THOCOSCTH

O −=⇒+−= COMO SE INTERPRETA O RESULTADO ?

76

OUTLINE OF PROOF - version 2

2. O resultado é verdadeiro para qualquer circ. B que se imagine

1. POR SEREM CIRCUITOS LINEARES, QUALQUER QUE SEJA A FORMADO CIRCTUI B, V0 E I RELACIONAM-SE POR: nimvO += *

3. SE B for um circuito aberto, então i=0 , e OCvn =4. Se B for um curto-circuito, V0=0. Então …

OCTHO viRv +−=

OCSC vim += *0 THSC

OC Rivm −=−=⇒

a

b_Ov+

iPARTE A

CIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

PARTE AbCIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

77

EQUIVALENTE DE THEVENIN PARA APARTE A DO CIRCTUITO

OCTHO viRv +−= Qualquer que seja o circuito B

A fonte de tensão chama-se FONTE EQUIVALENTE DE THEVENIN

A resistência chama-se a RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE THEVENIN

RTH

i +

_OvOCv +

_

QualquerPARTE B

a

b_Ov+

i

EQUIVALENTE DE THEVENIN

PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

78

Equivalente Norton

SCi THR−

+

Ov

a

b

i

Norton

TH

O

TH

OCTHOCO R

vRviiRvv −=⇒−=

QUALQUER

PARTE B

a

b_Ov+

i

SCTH

OC iRv

=

Norton de eequivalent Fonte SCi

Acirc. o para çãoRepresentaNortondeeEquivalent

PARTE ACIRCUITO LINEARPode ter fontes

independentes e dependentes

englobando as variáveis de

controlo

79

RTH

i +

_OvOCv +

_

Thevenin

TH

OCSC R

vi =

A equivalência pode ser vista como um modo de transformar fontes:Uma fonte de tensão em série com uma resistência, numa fonte de corrente com uma resistência em paralelo

SCi THR−

+

Ov

a

b

i

Norton

OUTRO PONTO DE VISTA SOBRE OS TEOREMAS THEVENIN E NORTON

Equivalentes são ferramentas importantes para reduzir complexidade

80

EXEMPLO: RESOLUÇÃO UTILIZANDO TRANSF. FONTES

81

+- SV

VR

SI

IRa

b

a

bSS

IV

RIVRRR

=

==:ESQUANDOEQUIVALENT SÃO MODELOS OS

RESUMO: TRANSF. DE FONTES

82

PROCEDIMENTO GERAL PARA DETERMINAR EQUIV. THEVENIN

1. Determinar a Tensão de THEVENIN

Retirar a parte Be calcular a tensãoCIRC. ABERTO abV

2. Determinar aCORRENTE DECURTO-CIRCUITO

Retirar o circ B e calcularA CORRENTE DE CURTOCIRCUITO abI

SC

OCTHOCTH i

vRvv == ,

LINEAR CIRCUITMay contain

independent anddependent sources

with their controllingvariablesPART A

a

b_

0=+v

SCi

abI

OUTRO CIRC. A RESOLVER

Thevenin de eequivalent aResistênci

circuito-curto umpor B substitui se quando b - a em corrente

circuito -curto de orrenteC B parte a retirando b-a em tensão

aberto-circuito de Tensão

SC

THTH

SC

TH

ivR

i

v

= UM CIRC. A RESOLVER

_abV+

LINEAR CIRCUITMay contain

independent anddependent sources

with their controllingvariablesPART A

a

b_

OCv+

0=i

83

EQUIVALENTE DE THEVENIN , SÓ COM FONTES INDEPENDENTES

Vth = V CIRCUITO ABERTO

RESISTÊNCIA DE THEVENIN É A RESISTÊNCIA EM a-b ANULANDO TODAS AS FONTES …….

+-

a

b

To Part BVS

R1

R2IS

a

b

RTHR2R1

“Part B”

Ω= kRTH 3

“Part B”

Ω= kRTH 4

84

V6

Ωk5

“PART B”

][1)6(51

1 VVkk

kVO =+

=

LEARNING BY DOING

85

Ω= kRTH 4

][8][1263

6 VVVTH =+

=

Ω= kR TH 41

+1

THVVOC – UTILIZA-SE KVL

VVmAkVTH 1682*41 =+=

VVV 8][1688

80 =

+=

DETERMINAR Vo

86

CIRCUITOS SÓ COM FONTES DEPENDENTES

Só tem resistência equivalente !!!

Só que … isc=0, voc=0 => Rth é indeterminado.

87

CIRC. SÓ COM FONTES DEPENDENTESUTILIZA-SE TENSÃO DE “TESTE”...

)( PV

)( PVP

PTH I

VR =

1RaIVII XP

XP−

+=2R

VI PX =

PP VRRa

RRI ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

2112

11

P

PTH

VRRa

RR

VR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

2112

11

O valor da fonte de teste é irrelevante.Por exemplo 1V .

…E CALCULA-SE A CORRENTE FORNECIDA AOCIRCUITO

88

USANDO FONTE AUXILIAR DE CORRENTE

)( PI

)( PI

P

PTH I

VR =

É NECESSÁRIO CALC. TENSÃO NÓ V_p

012

=−−

+ PXPP I

RaIV

RVKCL

2RVI P

X =

PP IVRRa

RR=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

2112

11

O valor da corrente de teste também é irrelevante

89

a) Obter o equivalente de Thévenin em função do parâmetro α.

b) Comentar o valor obtido para a resistência equivalente quando α=-2R.

CIRC. SÓ COM FONTES DEPENDENTESUTILIZAR FONTE DE TESTE

aa

Exemplo 1

90

Exemplo 2

Pomos uma fonte de corrente ou de tensão?

PV1V

PV

PI

Usando o método dos nós, o nó de V1 pode ser resolvido rapidamente…

P

PTH I

VR = Ω= k1514

91

LINEAR CIRCUITMay contain

independent anddependent sources

with their controllingvariablesPART A

a

b_Ov+

i

Equivalente de Thevenincircuitos com fontes dependentes e independentes

+-

THR

THV

a

b

OCTH VV =

SC

OCTH I

VR =

Há que calcular a corrente de c.c. e tensão c. a.

Para cada equivalente há que resolver 2 circuitos !!!

Utiliza-se a “artilharia” toda : KVL, KCL, NÓS, MALHAS, ASS. RES.SOBREPOSIÇÃO, HOMOGENEIDADE … ETC

92

EXAMPLE Use Thevenin to determine Vo

“Part B”

TENSÃO EM ABERTO1V

CORRENTE C. C.AV

02

" ==k

VI AX

SOLUÇÃO

OCV

)2( kaRTH =

THTH

VRkk

kV++

=111

0

93

MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA

From PreAmp(voltage ) To speakers

+-

RTH

VTH

The simplest model for aspeaker is a resistance...

+-

RTH

VTH SPEAKERMODEL

BASIC MODEL FOR THE ANALYSIS OF POWER TRANSFER

http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html

Courtesy of M.J. Renardson

94

MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA

The simplest model for aspeaker is a resistance...

+-

RTH

VTH SPEAKERMODEL

BASIC MODEL FOR THE ANALYSIS OF POWER TRANSFER

Qual a potência na carga (altifalante) quando:

-resistência da carga é nula?

-resistência na carga é infinita?

95

TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA

+-

SOURCE

(LOAD)

RTH

VTH

RL

+

LV

THLTH

LL

L

LL V

RRRV

RVP

+== ;

2

( )2

2 THLTH

LL V

RRRP+

=

( ) ( )( ) 02

4

22 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−+=

LTH

LTHLLTHTH

L

L

RRRRRRRV

dRdP

3

⇒=−+ 02 LLTH RRR THL RR =*

A CARGA QUE MAXIMIZA A TRANSF. DE POTÊNCIA ÉIGUAL À RESIST. EQUIVALENTE DE THEVENIN.

TH

THL R

VP4

(max)2

=

96

Teorema de Tellegen

[in notas teo. Tellegen por João Costa Freire]

97[in notas teo. Tellegen por João Costa Freire]

98

Programa

1. Introdução aos circuitos eléctricos2. Grafos e circuitos resistivos lineares

– Leis de Kirchhoff– Métodos nodal e das malhas.– Teoremas: Sobreposição e Equivalência; Thévenin e Norton.– Circuitos lineares com AMPOPs

3. Circuitos dinâmicos lineares4. Regime forçado sinusoidal5. Análise no domínio da frequência complexa6. Circuitos resistivos não-lineares

99

CIRCUITOS COM AMPOPS (Amp. Operacional)

1. AmPops são elementos muito úteis !

2. Já conhecemos todas as ferramentas necessárias paraFazer a análise de circuitos com AmPops

3. O modelo do ampop inclui fontes dependentes

100

OP-AMP ASSEMBLED ON PRINTED CIRCUIT BOARD

LMC 6294 DIP

PIN OUT FOR LM324

DIMENSIONAL DIAGRAM LM 324

101

SÍMBOLO DOAMPOP

MODELO LINEAR RESISTÊNCIA DE SAÍDA

RESIST. ENTRADA

GANHO

75

125

1010:

501:1010:

Ω−ΩΩ−Ω

A

RR

O

i

VALORES TÍPICOS

102

CIRCUITO COM UM AMPOP

CIRCUITO “FONTE”

CARGA

AMP-OP

MANUFACTURER PART No A Ri[MOhm] Ro[Ohm]National LM324 100,000 1 20National LMC6492 50,000 10 150Maxim MAX4240 20,000 45 160

AMPOPS COMERCIAIS E ALGUNS VALORES DAS VARIÁVEIS

103

SEGUIDOR DE TENSÃO: CIRCUITO E MODELO

0=+++− inOOis VAIRIRV :KVL

0=++ inOO VAIRoutV- :KVL

IRV iin = :CONTROLO DE VARIÁVEL

iOO

is

out

RARRV

V

++

=1

1RESOLVENDO

1→⇒∞→S

outO V

VA

PORQUÊ O SEGUIDOR?

GANHO

PERFORMANCE OF REAL OP-AMPS

Op-Amp BUFFER GAINLM324 0.99999LMC6492 0.9998MAX4240 0.99995

104

⇒∞=A

)(0 −+ −=⇒= vvAvR OO

O AMPOP IDEAL

⇒∞=iR

∞=∞==⇒ ARR iO ,,0IDEAL

+i

−i

105

SEGUIDOR DE TENSÃO – (UNITY GAIN BUFFER)

svv =+

+− = vv

−= vvO

SO vv =

SEM SEGUIDOR COM SEGUIDOR

SO vv =

A FONTE FORNECE POTÊNCIA

NÃO HÁ FORNECIMENTO DE POT.

SEGUIDOR DE TENSÃO ISOLA OS DOIS CIRCUITOS.MUITO ÚTIL PARA FONTES DE MUITO BAIXAPOTÊNCIA.

106

EXEMPLO:USANDO AMPOP IDEAL

s

out

VVG = GANHO OCALCULAR

0=+v

0=−v

0=−i

107

EXEMPLO:USANDO AMPOP IDEAL

s

out

VVG = GANHO OCALCULAR

0=+v

0=∴=⇒∞= −−+ vvvAo

0=−v

0==⇒∞= +− iiRi

00021

=−

+−

RV

RV outs

-v@KCL

0=−i

1

2

RR

VVG

s

out −==

108

MODELO LINEAR DO AMPOP – “MODELO REAL”

MODELO LINEAR :

LIGANDO OS OUTROS COMPONENTES.

FAZENDO “REFRESH” AO DESENHO!!!!!!

2R

109

AMPLIFICADOR INVERSOR: ANÁLISE C/ MODELO REAL

MÉTODO DOS NÓS

VARIÁVEL DE CONTROLO FUNÇÃO DAS TENSÕESNOS NÓS:

RECORRENDO À ALGEBRA…

Ω=Ω=

=

10,10,10

8

5

Oi RRA

9996994.45,1 21 −=⇒Ω=Ω=S

O

vvkRkR 000.5−=⇒∞=

S

O

vvA

110

0=−i

0==⇒∞= +− iiRi

−+ =⇒∞= vvA

0=+v

0=−v

KCL @ TERMINAL INVERSOR

000

21=

−+

−R

vR

v OS

1

2

RR

vv

s

O −=⇒

O AMPOP IDEAL É UMA EXCELENTE APROXIMAÇÃO.EXCEPTO QUANDO INDICADO UTILIZAREMOS SEMPRE O MODELO IDEAL

EM RESUMO: O AMPLIFICADOR INVERSOR USANDO AMPOP IDEAL VERSUS O LINEAR …

AMPOP IDEAL

111

1v

2v

av

CIRCUITO EQUIVALENTE

EXEMPLO USANDO AMPOP IDEAL

112

EXAMPLO USANDO AMPOP IDEAL

Ov DETERM.

2v

TENSÕES CONHECIDAS? 2211 , vvvv == ++Ganho infinito

1v

2v

Resist. Ent. infinita

0=−i

HÁ CORRENTE A “SAIR”DOS AMPOPS

1v

2v

av

CIRCUITO EQUIVALENTE

KCL@v1

KCL@v2

RESOLVENDO P/ vo

113

RESUMO (MUITO IMPORTANTE): AMPOP IDEAL

1 – GANHO INFINITO => V+-V- = 02 – RESISTÊNCIA DE ENTRADA INFINITA => i-=0 e i+=0

i-

i+ V+

V-

114

11 vvvv =⇒= −+GANHO INFINITO

0=−i

“DIVISOR DE TENSÃO INVERSO”

ii vR

RRvvRR

Rv1

2100

21

1 +=⇒

+=

RESIST. ENTRADA INF.

AMPLIFICADOR NÃO INVERSOR

TENSÕES CONHECIDAS1vv =+

R2

R1

ivv =−

0vMAIS EXEMPLOS

115

AINDA MAIS… IDEAL AMPOP ASSUMINDO .I CALULE O

Vv 12=+

VvAO 12=⇒∞= −

0=⇒∞= −iRi

Vv 12=−

0212

1212: =+

−− kk

Vv o KCL@ VVo 84=⇒

mAk

VI oO 4.8

10==∴

116

=SV

OV E GANHOCALCULAR

SVv =+SVv =_

0=−i

“DIVISOR DE TENSÃO INVERSO”OV

SV2R

1R

SO Vk

kkV1

1100 +=

101==S

O

VVG

VVmVV OS 101.01 =⇒=

AMPLIFICADOR NÃO INVERSOR

117

CIRCUITOS COMPARADORES

ALGUNS AMPOPS REAIS NECESSITAMUM “pull up resistor.”

DETECTOR DE ZERO-CROSSING

118

APLICAÇÃO: AMPERÍMETRO

APLIFICADOR NÃO INVERSOR

1

21RRG +=

IRV II =

IRRRGVV IIO ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

1

21

1191000 DEFACTOR UMPOR APMLIFICAR

A MODO DE , DETERMINE 12 RR

NÃO “CARREGA” PHONOGRAPH

)1)(1(1

2

1 RR

VVO +=

120

TERMÓMETRO COM LUZINHAS !!!!

UNITY GAINBUFFER

COMPARADORES

TT eR 0227.045.57 −=

ONLY ONE LEDIS ON AT ANYGIVEN TIME

121

RESUMO (MUITO IMPORTANTE): AMPOP IDEAL

1 – GANHO INFINITO => V+-V- = 02 – RESISTÊNCIA DE ENTRADA INFINITA => i-= 0 e i+= 03 – RESOLVER O RESTO DO CIRCTUITO USANDO KVL, KCL ETC

i-

i+ V+

V-