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DESENVOLVIMENTO DE UM COMBINADOR LINEAR DE FOURIER PARA DETECÇÃO DE
SINAIS DE TENSÃO
ODAIR DE BARROS JR, LUCAS F. ENCARNAÇÃO, ANSELMO F. NETO
Laboratório de Eletrônica de Potência e Acionamentos Elétricos, Departamento de Engenharia Elétrica,
Universidade Federal do Espírito Santo
Caixa Postal 9011, 29075-910, Vitória, ES, BRASIL
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]
AbstractThis paper proposes a new method for detection of phase, frequency and amplitude of a signal from the power grid.The
Fourier Linear Combiner is the basis of this new method, commonly used in bioengineering systems for estimation and elimination
of human tremor.The Fourier linear combiner employs the concept of Fourier series to perform the estimation. During this work, it develops an adaptation of this algorithm to the area of power systems.
KeywordsPhase Locked Loop (PLL), Fourier Linear Combiner (FLC), phase detection, estimation of signals, estimation of
power systems.
ResumoEste artigo apresenta uma proposta de um novo método para detecção de fase, frequência e amplitude de um sinal
proveniente da rede elétrica. O Combinador Linear de Fourier é a base deste novo método, habitualmente utilizado em sistemas de
bioengenharia para estimação e eliminação de tremores humanos. O Combinador Linear de Fourier utiliza o conceito das séries de Fourier para realizar a estimação do sinal de entrada. Durante este trabalho, será desenvolvida uma adaptação deste algoritmo para
a área de sistemas de energia.
Palavras-chaveSincronizador de rede elétrica, Combinador Linear de Fourier (FLC), detecção de fase, estimação de sinais,
estimação de sistemas de energia.
1 Introdução
O avanço das técnicas computacionais e de con-
trole têm beneficiado a diversas áreas da engenharia.
Notadamente, na Eletrônica de Potência, a capacidade
de análise e velocidade de resposta tem garantido o
desenvolvimento de sistemas mais robustos e confiá-
veis.
Com o crescimento das técnicas de processa-
mento de energia, aumenta-se a necessidade de cons-
trução de códigos de detectores de tensão ou PLLs
(Phased Locked Loop) que atendam as mais diversas
características e necessidades da rede elétrica, man-
tendo a robustez e confiabilidade citadas.
UmPLL consiste em um algoritmo que a partir de
uma amostra da tensão da rede elétrica, pode determi-
nar a amplitude, fase e frequência da componente fun-
damental da tensão.
Diversas são as aplicações que podem ser atribu-
ídas à PLLs, como aplicações de microrredes para a
sincronização e acoplamento dos diversos pontos de
geração e consumo. Em filtros ativos, o PLL é essen-
cial para eliminação de harmônicos.
Diversas técnicas de detectores estão estabeleci-
das na literatura, tais os baseados em Teoria pq ou
EPLL (Rolim, 2006), os baseados em notchs adaptati-
vos ou qPLL (Karimi,2004) em SOGIs (Second Order
Generalized Integrators) (Rodríguez, 2008) e outras,
como Costa (2012). Porém, sempre é importante o de-
senvolvimento de novas formas de detecção da rede
elétrica, a fim de atender as crescentes necessidades
do processamento de energia.
Paralelamente, na área de processamento de si-
nais, é possível observar o algoritmo deVaz (1994)que
é capaz de determinar eficientemente a amplitude e
fase do sinal de entrada. Esta técnica, o FLC (Fourier
Linear Combiner) é embasada nos conceitos matemá-
ticos da série de Fourier para reconstrução de sinais
(Widrow, 1960). Há ainda o WFLC (Weighted-Fre-
quency Fourier Linear Combiner), proposto por Rivi-
ere (1995) que apresenta uma variação do FLC que
acumula a função de detecção de frequência às anteri-
ores citadas.
Nesse contexto, a proposta deste artigo é desen-
volver um algoritmode detecção de fase, frequência e
amplitude monofásico baseado na estrutura do
WFLC/FLC, buscando uma nova aplicação para um
método já consagrado em outras áreas.Os resultados
de simulação foram obtidos com o auxílio do sof-
twarePSCAD/EMTDC.
2 Algoritmos de Sincronização de Rede
Elétrica
Neste capítulo serão abordados os detectores de
tensão mais difundidos na literatura, notadamente o
EPLL, o qPLL e o SOGI.
2.1 Detectores de tensão baseado em teoria pq(EPLL)
O EPLLproposto por Rolim (2006) consiste na
utilização da teoria pq para determinação do erro entre
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o sinal de tensão real e o estimado. Para utilização da
teoria pq, é necessária uma conversão das coordena-
das trifásicas para coordenadas de Clarke (Clarke,
1950). A Figura 1 apresenta o diagrama de blocos do
EPLL. O erro é definido por um balanço de potência
reativa dado por Vα, Iβ e Vβ, Iα. Para aplicação deste
detector em um sistema monofásico, é necessária uma
adaptação da transformada de Clarke. Uma possível
estrutura foi desenvolvida por (Miranda, 2004) e seu
diagrama de blocos é apresentado naFigura 2.
Este PLLé utilizado em aplicações mais simples,
aonde necessita-se simplesmente de informações do
componente fundamental do sinal de entrada.
2.2 Detectores de tensão baseado na teoria SOGI
(SOGI)
O detector baseado na teoria SOGI utiliza um
controlador proporcional-ressonante que introduz um
ganho infinito na frequência de ressonância (Rodrí-
guez, 2008). Este controlador proporcional-resso-
nante, é construído utilizando um integrador de se-
gunda ordem, que origina o nome deste PLL.
Porém, esta estrutura é dependente da determina-
ção prévia da frequência do sinal que se quer estimar.
Para que o PLL não perca sua eficiência junto às osci-
lações de frequência da rede, uma estrutura FLL (Fre-
quency-Locked Loop) é necessária. A estrutura com-
pleta do SOGI-FLL apresentada por (Rodríguez,
2008) encontra-se apresentada naFigura 3.
O SOGI demonstrou sua importância na literatura
por não necessitar de funções trigonométricas em usa
implementação. Com isso, é esperado uma redução do
custo computacional.
Figura 1. Diagrama de Blocos do EPLL Trifásico (Rolim, 2006)
Figura 2. Diagrama de Blocos do EPLL Monofásico (Miranda, 2004)
Este PLL não detecta a presença de harmônicos
no sinal de entrada. Para conseguir a detecção dos har-
mônicos desejados, é necessário a inserção de outras
estruturas idênticas em paralelo.
2.3 Detectores de tensão baseado em notchs adaptati-
vos (qPLL)
O qPLL opera com uma estrutura derivada do mé-
todo gradiente-descendente (Karimi, 2011). O sinal de
entrada é composto de duas componentes em quadra-
tura. Um erro calculado entre o sinal de entrada e o
sinal estimado realimenta o sistema, conforme pode-
se observar na Figura 4.
O qPLL atua derivando estas variáveis em qua-
dratura e então utiliza integrais para determinar a fre-
quência do sinal de entrada. O comportamento do
qPLL até alcançar o valor desejado é determinado por
três ganhos, μs, μc e μf que correspondem às amplitu-
des em quadratura Ks, Kc e ω.
3 O Algoritmo WFLC/FLC
O Combinador Linear de Fourier é um algoritmo
proposto por Vaz (1994)para estimação de sinais pe-
riódicos com o objetivo de eliminar tremores huma-
nos. Ele utiliza o conceito de séries de Fourier para
reconstrução e determinação da amplitude e fase de
um sinal de frequência conhecida e seus harmônicos
(Widrow, 1960).
Para estimar a frequência do sinal desejado, Rivi-
ere (1995) propôs uma estrutura diferenciada, o
WFLC.
O WFLC soma a capacidade de determinar a fre-
quência do sinal de maior energia de forma adaptativa,
às já mencionadas do FLC.
Figura 3. Diagrama de Blocos do SOGI-FLL. (Rodríguez, 2008)
Figura 4. Diagrama de blocos do qPLL. (Karimi, 2004)
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Tanto o FLC quanto o WFLC são comumente uti-
lizados em aplicações biomédicas, como, por exem-
plo, para eliminação de tremores em pacientes com
Alzheimer ou estimação da cadência da marcha para
pacientes que utilizam andadores robóticos.
Ambos algoritmos funcionam estimando ganhos
para a componente fundamental e cada harmônica do
sinal de entrada simultaneamente. O erro ε entre o si-
nal real e o estimado é o responsável, junto a um ganho
μ, pela determinação da variação dos ganhos adaptati-
vos. A Figura 5 e a Figura 6 ilustram a estrutura básica
do FLC e WFLC.
Devido à sua simplicidade matemática, o esforço
computacional é pequeno, o que é uma grande vanta-
gem destes métodos de estimação. Outro fator para di-
minuição do esforço para utilização deste método é a
determinação simultânea da componente fundamental
e seus harmônicos.
O ganho μ é definido como a metade da largura
da banda de frequência desejada. Dessa forma, quanto
maior o valor de μ, maior será o espectro de frequência
detectado.
Um dos destaques do FLC e do WFLC é a sua
possibilidade de estimar paralelamente todos os har-
mônicos desejados e a fundamental, sem a necessi-
dade de outras estruturas em série ou em paralelo.
3.1 FLC
A série de Fourier é a representação de um sinal
periódico em termos das funções seno e cosseno (ou
seu equivalente complexo) multiplicadas por um de-
terminado ganho. Sua estrutura em forma complexa,
pode ser observado na equação (1):
𝑓(𝑡) = ∑ [𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝜋𝑡
𝐿 ]
∞
𝑛=−∞
(1)
O ganho μ, responsável pelo incremento dado
àmatriz de amplitudes W, deve ser sintonizado de
forma a ter o melhor ganho para a frequência base de-
finida. Vaz (1994) explora a sintonia e determina μ ≤
1/M, onde M é o número de harmônicos que se deseja
estimar do sinal de entrada.
Foi utilizado o algoritmo LMS (Least Mean
Square) indicado na Figura 5 que contempla as equa-
ções (2) a (4). Este algoritmo é normalmente utilizado
quando se faz necessário algum algoritmo adaptativo
(Vaz, 1994). E é comumente utilizado na literatura so-
bre FLC. As componentes X identificam a parte trigo-
nométrica e as componentesWidentificam a parte
constante do algoritmo. Os itens denotados em negrito
identificam vetores.
A cada iteração, o algoritmo LMS estima novos valo-
res para as amplitudes denotadas por W para cada
Figura 5. Diagrama de blocos do FLC. (Vaz, 1994)
componente da Série de Fourier que compõe o sinal
paralelamente. Assim, todas as componentes podem
ser estimadas paralelamente.
𝑿𝑟𝑘 = {sin(𝑟𝑤0𝑘), 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑀
𝑐𝑜𝑠((𝑟 − 𝑀)𝑤0𝑘), 𝑀 + 1 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑀
(2)
𝜀𝑘 = 𝑠𝑘 − 𝑾𝒌𝑻𝑿𝒌 (3)
𝑾𝒌+𝟏 = 𝑾𝒌 + 2μ𝑿𝑘𝜀𝑘 (4)
Onde, Xrk identifica a parte trigonométrica do si-
nal estimado, Wk a amplitude do mesmo e ε representa
o erro entre o sinal original e estimado. A marcação
em negrito indica que o termo representa um vetor.
3.2 WFLC
O WFLC possui uma estrutura semelhante ao
FLC, agregando, porém, um algoritmo para estimação
da frequência da componente de maior energia presen-
teno sinal de entrada.
A equação (5) apresenta a estrutura do estimador
de frequência. O termo μ0 identifica o ganho de fre-
quência e W0 a frequência da fundamental. A sintonia
de μ0 é realizada de forma semelhante à do FLC.
A Figura 6 apresenta o diagrama de blocos do
WFLC.
𝑊0𝑘+1 = 𝑊0𝑘 + 2𝜇0𝜀𝑘 ∑(𝑊𝑟𝑘𝑋𝑀+𝑟𝑘
𝑀
𝑟=1
− 𝑊𝑀+𝑟𝑘𝑋𝑟𝑘)
(5)
3.3 A estrutura WFLC/FLC
Devido à dificuldade de uma sintonia eficiente dos ga-
nhos μ e μ0 para determinação da amplitude e da fre-
quência fundamental do sinal de entrada dentro de um
intervalo de tempo pré-estabelecido, é proposto uma
estrutura que combina um FLC para estimação do si-
nal de entrada e um WFLC para estimação do sinal de
frequência (Riviere, 1996).
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Figura 6. Diagrama de blocos do WFLC. (Riviere, 1996).
Esta estrutura, apresentada na Figura 7, permite
uma sintonia mais simples para ambos os algoritmos,
poisos valores de amplitude e frequência do sinal esti-
mado estão mais desacoplados, quando comparados
ao WFLC como estrutura única (Frizera, 2010). Tal al-
goritmo poderia facilmente ser aplicado em DSPs con-
vencionais devido a simplicidade de seu código e
baixo esforço computacional exigido.
4 Resultados
Para implementação do WFLC/FLC, utilizou-se o
simulador PSCAD/EMTDC da Manitoba HVDC Re-
search Centre.
A aplicação foi realizada utilizando-se programa-
ção em linguagem C e respeitou todos os diagramas
de blocos e equações apresentadas para implementa-
ção do algoritmo proposto.
A frequência da amostragem foi definida em
20kHz. O ganho μ foi definido empiricamente de
acordo com a Tabela 1em 0,03 e μ0 e μ1 do WFLC fo-
ram definidos empiricamente em 10-6 e 0,001, con-
forme Tabela 2. Tais ganhos foram estimados para de-
tecção de até 25 harmônicos.
Primeiramente, verificou-se o funcionamento do
algoritmo implementado, inserindo-se apenas a funda-
mental e verificando a resposta do WFLC/FLC. A Fi-
gura 8representa este resultado. O erro se manteve
dentro da faixa menor que 1%.
De forma a comprovar o desempenho do
WFLC/FLC, foram realizados os seguintes testes:
Distorção Harmônica
Degrau de amplitude
Degrau de frequência
Degrau de fase
Como parâmetros de comparação foram utiliza-
dos os padrões para sistemas de energia definidos pelo
PRODIST (ANEEL, 2012). A fonte principal possui
amplitude de 1,0 pu e frequência de 60 Hz.
Figura 7. Estrutura WFLC/FLC
Tabela 1. Relação entre ganho do FLC e Tempo de Acomodação
do sinal estimado
μ Tempo de Acomodação (ms)
0,040 -
0,035 76,01
0,030 70,07
0,025 71,43
0,020 72,01
Tabela 2. Relação entre os ganhos do WFLC e o erro e tempo de
resposta do sinal estimado
μ0 μ1 Tempo de Acomodação (ms)
10-6 0,01 925,90
10-6 0,001 300,02
10-6 0,0005 385,71
10-7 0,001 549,74
4.1 Distorção Harmônica
Utilizando os valores determinados pelo
PRODIST foi gerado no simulador um sinal de tensão
composto pelo sinal fundamental, somado às distor-
ções harmônicas individuais ímpares de 3º a 25º har-
mônico respeitando os limites individuais e totais de-
finidas pela ANEEL (2012).
A Figura 8 apresenta os níveis de harmônicos da
onda original e detectada. Pode-se observar que a
forma de onda estimada alcança a onda medida em
cerca de 30 ms.
Figura 8. Resposta do WFLC/FLC à um sinal de tensão.
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A Figura 9, Figura 10 e Figura 11 apresentam os
sinais originais e estimados do 3º, 11º e 21º harmôni-
cos. Esses sinais foram estimados simultaneamente. O
3º harmônico foi o que apresentou maior atraso na res-
posta, com cerca de 45ms para estimar com erro de
cerca de 0,1%. A estimação do 11º e 21º harmônico
ocorreu em 25ms e 40ms respectivamente. Importante
lembrar que o atraso na medição dos harmônicos não
implica em atraso na reconstituição do sinal original,
pois os ganhos adaptativos do FLC compensam possí-
veis erros transitórios.
Essa compensação pode ser observada na Figura
12 que demonstra o sinal de entrada com a inserção
dos harmônicos em 1,5s e a respectiva onda do sinal
estimado permanecendo menor que 0,01% mesmo
após a inserção dos harmônicos.
A Figura 13apresenta o erro de amplitude para a
inserção dos harmônicos supracitados em 1,5s.
Mesmo após a inserção dos harmônicos, o erro man-
teve-se menor que 0,5%.
Tabela 3. Comparação entres os harmônicos originais e estimados.
Harmô-nico
Sinal Origi-nal (pu)
Sinal Estimado (pu)
Erro (%)
1 0,045 0,0449498 0,1115555
3 0,045 0,0449543 0,1015555
5 0,045 0,0449798 0,0448888
7 0,025 0,0249537 0,1852000
9 0,025 0,0249956 0,0176000
11 0,0249999 0,0250642 -0,2572010
13 0,0099999 0,0099582 0,4170041
15 0,0099999 0,010017 -0,1710017
17 0,0099999 0,0100824 -0,8250082
19 0,0099999 0,0101217 -1,2180121
21 0,0049999 0,0050089 -0,1800036
23 0,0049999 0,0051152 -2,3060461
25 0,045 0,0449498 0,1115555
Figura 9. Resposta do WFLC/FLC ao 3º harmônico
Figura 10. Resposta do WFLC/FLC ao 11º harmônico
Figura 11. Resposta do WFLC/FLC ao 21º harmônico
Figura 12. Resposta de tensão quando aplicado uma distorção har-mônica
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Figura 13. Erro de amplitude quando aplicado uma distorção har-mônica
4.2 Degrau de Amplitude
As definições do PRODIST, indicam um limite
para elevação de tensão superior a 0,1 pu e para afun-
damento de tensão superior 0,1 pu e inferior a 0,9 pu.
Definiu-se portanto uma elevação de tensão 0,3
pu acima do valor nominal e um afundamento de ten-
são 0,3 pu.
A Figura 14 e a Figura 16 apresentam o sinal da
tensão estimado comparado ao original. Para ambos
os casos, o WFLC/FLC conseguiu reconstituir o sinal
de entrada em um tempo inferior a 50 ms.
A Figura 15 e a Figura 17 apresentam o erro sob
a condição de afundamento e elevação respectiva-
mente. Pode-se perceber novamente que o erro estabi-
liza em um valor inferior a 1% de erro.
Figura 14. Resposta de tensão quando aplicado um afundamento de tensão
Figura 15. Erro de amplitude quando aplicado um afundamento de tensão
Figura 16. Resposta da tensão quando aplicada uma elevação da
tensão
Figura 17. Erro de amplitude quando aplicado uma elevação de tensão
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4.3 Degrau de frequência
Conforme o PRODIST dentro de um período de
30s a frequência da rede elétrica pode oscilar entre
60,5 e 59,5Hz.
Em caso de perda do gerador, é esperado que a
frequência sofra uma queda. Desta forma, o teste da
resposta em frequência considera um degrau de -
0,5Hz sobre a frequência fundamental. A Figura 18
apresenta a resposta a este degrau de frequência.
O tempo de acomodação do degrau de frequência
foi 200ms.
Vale ressaltar que o funcionamento do WFLC é
parcialmente desacoplado do funcionamento do FLC.
Isso implica em um ajuste de ganhos para detecção da
frequência do sinal de maior energia independente da
detecção da amplitude do sinal.
4.4 Degrau de fase
Apesar de não ter nenhum termo estabelecido no
PRODIST a respeito de desvios de fase, foi implemen-
tado um teste de desvio de fase.
Para este teste, estabeleceu-se o valor arbitrário
de 45º de desvio em avanço e em atraso, semelhante
ao adotado por Karimi (2004).
A Figura 19 e Figura 21 apresentam a resposta da
tensão detectada frente ao desvio de fase de -45º e +
45º respectivamente. Pode-se verificar que apesar de
uma pequena oscilação, o algoritmo não perde o sin-
cronismo com o sinal de entrada.
A Figura 20 e a Figura 22 apresentam o erro para
o avanço e atraso de fase respectivamente. Percebe-se
um pico de 0,7 pu em módulo somente no instante da
transição. Importante notar que a estabilização do si-
nal se fez em um tempo inferior a 50 ms.
Figura 18. Resposta da frequência estimada com a variação da fre-quência da fundamental para 59,5 Hz
Figura 19. Resposta da tensão com uma variação da fase da tensão de entrada em -45º
Figura 20. Erro de amplitude da tensão com uma variação de fase da tensão de entrada em -45ª
Figura 21. Resposta de tensão com uma variação da fase da tensão de entrada em 45º
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Figura 22. Erro de amplitude da tensão com uma variação de fase da tensão de entrada em 45º
5 Conclusão
Neste trabalho abordou-se o desenvolvimento da
estrutura WFLC/FLC para implementação em siste-
mas de energia.
Para alcançar este objetivo, foram primeiramente
estudados alguns algoritmos PLL já amplamente utili-
zados. Posteriormente, abordou-se a estrutura do
WFLC/FLC tal qual é utilizada em engenharia biomé-
dica e outras aplicações de sinais e sistemas. Por fim,
propôs-se parâmetros para utilização deste em um sis-
tema de energia monofásico e analisou-se os resulta-
dos perante múltiplos cenários.
O WFLC/FLC apresentou um bom desempenho
para estimação da amplitude do sinal de tensão ao
longo do tempo e um desempenho razoável para esti-
mação da frequência. Nota-se, porém, que devido à
sua estrutura ser oriunda das Séries de Fourier, o FLC
consegue recompor o sinal, mesmo com o erro de fre-
quência do WFLC, compensando o erro deste.
Uma das maiores vantagens do WFLC/FLC é a
sua capacidade de estimar paralelamente a amplitude,
fase e frequência de todos os harmônicos necessários.
E isso se mostrou eficiente nos testes realizados.
Portanto, pode-se concluir que a estrutura
WFLC/FLC pode ser implementada para estimação de
sinais de tensão da rede elétrica, necessitando, poste-
riormente alguma comparação com PLLs atualmente
utilizados.
Agradecimentos
Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro
fornecido por meio da concessão de bolsas de estudo
e pesquisa.
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