Desig a Plica Coes
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DESIGUALDADES E APLICAÇÕES
Prof. Ms Paulo Sérgio C. Lino
http://fatosmatematicos.blogspot.com/
Maio de 2011
Sumário
1 Desigualdades Entre as Médias Aritmética, Geométrica e Harmônica 4
1.1 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso n = 2) . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Demonstração Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso Geral) . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Mínimos Locais Através da Desigualdade AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 O Ângulo Ótimo de Visualização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 A Desigualdade de Padoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Fatos da Média Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Construção da Média Harmônica de Dois Números . . . . . . . . . . . 13
1.6.2 Resolução Geométrica do Problema das Torneiras . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Desigualdade Triangular e Algumas Consequências . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1 Desigualdades Entre as Medianas e o Perímetro de um Triângulo . . . . 16
1.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
Prefácio
Todo homem deveria ler apenas aquilo a que é levado pelas suas inclinações; pois o que lê
como obrigação pouco lhe aproveitará.
Samuel Johnson
As desigualdades desempenham um papel muito importante e profundo na Matemática.
Elas aparecem em vários problemas de olimpíadas matemáticas, nos problemas de máximos e
mínimos e também é essencial no desenvolvimento da Análise Matemática. Neste trabalho,
pretendo apresentar de forma sucinto algumas desigualdades elementares.
Direitos Autorais
O objetivo destas notas é divulgar este
assunto de forma ampla, buscando
deste modo melhorar a Educação do
país. Peço a compreensão de todos
vocês, no caso de copiar qualquer as-
sunto, que seja educado fazendo as
devidas referências bibliográ�cas.
As sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para [email protected]
Atenciosamente,
Prof. Ms. Paulo Sérgio Costa Lino
3
Capítulo 1
Desigualdades Entre as Médias
Aritmética, Geométrica e Harmônica
A média aritmética (MA) e a média geométrica (MG) tem um papel importante em muitos
assuntos da Matemática. Inicialmente, vejamos essas médias com dois termos. Deste modo,
sejam a e b reais positivos. Assim,
MA =a+ b
2e MG =
√ab
Geometricamente, podemos visualizá-las na semi-circunferência abaixo, apesar que elas
surgem em outras �guras planas, tais como no trapézio (S = hMA), onde MA é a média
aritmética das bases e a média geométrica aparece no cálculo da altura relativa a hipotenusa
(h =√mn), onde m e n são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa conforme a �gura
abaixo.
Sendo 2R = a+b, segue que R = MA. Para mostrar que CD = MG, note que o △ACD
é retângulo em C, pois está inscrito numa semi-circunferência. Além disso, △ACD ∼ △BCD,
pois ADC = BDC = 90◦ e , de modo que
CD
a=
b
CD⇒ CD =
√ab
4
Desigualdades e Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
1.1 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso n = 2)
Na �gura acima, nota-se que MG ≤ MA e a prova desta propriedade baseia simplesmente no
fato que o quadrado de qualquer número real é não-negativo, ou seja, x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. De
fato, sendo√a−
√b um número real, então
(√a−
√b)2 ≥ 0 ⇒ a− 2
√a√b+ b ≥ 0 ⇒ MG ≤ MA
e a igualdade é válida se e somente se, a = b (Exercício).
1.1.1 Demonstração Geométrica
Outra forma de provar esta desigualdade é analisando a �gura abaixo.
Exemplo 1.1 Entre todos os retângulos de área S = 9, o perímetro P é maior ou igual a 12.
De fato, sejam a e b os lados desse retângulo. Assim, ab = 9, donde segue que
P = 2(a+ b) = 4 · a+ b
2≥ 4
√ab = 4
√9 = 12
Exemplo 1.2 Determine o valor mínimo da função f(x) = x+ 1/x, para x > 0.
Aplicando a desigualdade aritmética-geométrica, temos
f(x) = x+1
x≥ 2
√1
x· x = 2
para todo x maior que zero e para determinar a abscissa correspondente a esse valor mínimo
ocorre se e somente se x = 1/x, ou seja, x = 1.
5
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1.2 A Desigualdade Aritmética-Geométrica (Caso Geral)
Designaremos por Pn a seguinte desigualdade:
Pn :a1 + a2 + . . .+ an
n≥ n
√a1a2 . . . an
Vimos anteriormente a demonstração para n = 2. A desigualdade é verdadeira também para
n = 4, devido o seguinte argumento. Note que
a1 + a22
≥√a1a2 e
a3 + a42
≥√a3a4
Assim,
a1 + a2 + a3 + a44
=1
2
(a1 + a2
2+
a3 + a42
)≥ 1
2(√a1a2 +
√a3a4)
ou seja,a1 + a2 + a3 + a4
4≥ 4
√a1a2a3a4
O caso n = 3 é consequência do caso anterior, fazendo a4 = 3√a1a2a3 . De fato,
a1 + a2 + a3 + 3√a1a2a3
4≥ 4
√a1a2a3(a1a2a3)1/3 = [(a1a2a3)
4/3]1/4 = 3√a1a2a3
donde segue o resultado.
Proposição 1.1 Se a proposição Pn é válida para qualquer inteiro n ≥ 3, então Pn−1 também
é válida.
Demonstração: Por hipótese, sabemos que é válida a desigualdade
a1 + a2 + . . .+ ann
≥ n√a1a2 . . . an (1.1)
Tomando an = (a1a2 . . . an−1)1/(n−1) e substituindo em (1.1), temos:
a1 + a2 + . . .+ ann
=a1 + a2 + . . .+ an−1 + (a1a2 . . . an)
1/(n−1)
n
ou
a1 + a2 + . . .+ an−1 + (a1a2 . . . an−1)1/(n−1)
n≥ n
√(a1a2 . . . an−1)(a1a2 . . . an−1)1/(n−1)
ou seja,
a1 + a2 + . . .+ an−1 + (a1a2 . . . an−1)1/(n−1) ≥ n(a1a2 . . . an−1)
n−1
donde segue o resultado.
�
Proposição 1.2 Se a proposição Pn é válida para qualquer inteiro n ≥ 2, então P2n também
é válida.
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Demonstração: Note que
a1 + a2 ≥ 2√a1a2, . . . , a2n−1 + a2n ≥ 2
√a2n−1a2n
Somando essas desigualdades membro a membro, temos:
a1 + a2 + . . .+ a2n−1 + a2n ≥ 2(√a1a2 + . . .+
√a2n−1a2n)
Usando a hipótese, segue que
a1 + a2 + . . .+ a2n−1 + a2n ≥ 2n n
√√a1a2 . . .
√a2n−1a2n
Logo,a1 + a2 + . . .+ a2n−1 + a2n
2n≥ 2n
√a1 . . . a2n
�Com estas duas Proposições segue o caso geral. Por exemplo, se quisermos estabelecer
a veracidade para P60, começamos com o resultado para n = 64 que é verdadeiro devido a
Proposição 2 e aplicando a Proposição 1 segue o resultado.
1.3 Mínimos Locais Através da Desigualdade AG
É interessante observar que alguns problemas de minimização podem ser resolvidos através
desta desigualdade. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1.3 Um Galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m2 (Veja
a �gura abaixo). A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás
e 12 m de cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa
ser construído este galpão.
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Resolução: Sejam x e y a largura e comprimento do galpão respectivamente. Assim, xy =
12100 e a área do terreno é dada por S = (x+ 24)(y + 45). Sendo y = 12100/x, segue que
S(x) = (x+ 24)
(12100
x+ 45
)= 45x+
290400
x+ 13180 ≥ 2
√45x · 290400
x+ 13180
= 1320√2 + 13180
ou seja, pela desigualdade aritmética-geométrica, a área do galpão S(x) é maior ou igual a uma
constante. Portanto, a área mínima é atingida se
45x =290400
x⇒ x2 =
290400
45⇒ x = 44
√10
3≃ 80, 3 m
de modo que y =12100
44√
10/3= 55
√15
2≃ 150, 6 m.
Exemplo 1.4 Um galinheiro na forma retangular de área 18 m2 deve ser construído de tela
de arame. O galinheiro será disposto no terreno de tal forma que um dos lados seja um muro,
conforme a �gura abaixo. Determine suas dimensões de modo que seu perímetro seja mínimo.
Resolução: A área do galinheiro é S = xy = 18 e seu perímetro é P = x + 2y. Isolando y
da primeira equação e substituindo na segunda, temos:
P (x) = x+36
x≥ 2
√x · 36
x≥ 12 m
Logo, o mínimo é atingido se x =36
x⇒ x2 = 36 x = 6 m e y = 18/6 = 3 m.
Exemplo 1.5 Determine o paralelepípedo retângulo de volume constante, cuja área super�cial
seja a menor possível.
Resolução:
Observe que este problema é apresentado nos livros de Cálculo de Funções de Várias Var-
iáveis e resolvido através de derivadas parciais. Vejamos a solução através da desigualdade
aritmética-geométrica.
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Para isso, note que V = xyz ⇒ z = V/xy. A área total do paralelepípedo retângulo
é dada por S = 2xy + 2xz + 2yz. Substituindo z, nesta expressão, temos:
S = 2xy + 2xz + 2yz = 2xy +2xV
xy+
2yV
xy= 2
(xy +
V
y+
V
x
)Assim, a área mínima é atingida se
xy =V
y=
V
x⇒ x = y e xy2 = V
donde segue que
y3 = V ⇒ y =3√V ⇒ x =
3√V e z =
V3√V 2
=3√V
ou seja, o paralelepípedo é um cubo de aresta 3√V .
1.4 O Ângulo Ótimo de Visualização
Uma aplicação interessante da desigualdade aritmética-
geométrica é a determinação do ângulo ótimo de visualização
de uma estátua ou de outdoor. A forma que iremos resolver
este problema é através da Álgebra e da Trigonometria, mas
para os alunos que estão familiarizados com o Cálculo Diferen-
cial, poderá encontrar o ângulo ótimo através das técnicas de
derivação para máximos e mínimos. Nesta resolução através da
Matemática Elementar é necessário a fórmula trigonométrica:
tan(x+ y) =tanx+ tan y
1− tanx tan y(1.2)
Considere a �gura abaixo, representando uma visão de per�l de um outdoor de altura DE = l
sobre um pedestal de altura CD = h e perpendicular ao solo. O problema consiste em
determinar o maior ângulo de visualização θ deste outdoor.
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Para achar uma relação matemática do problema, seja BC = x, de modo que
tanα =h
x(1.3)
e
tan(α+ θ) =l + h
x(1.4)
Usando a fórmula (1.2) em (1.3), segue que
l
x+
h
x=
tanα+ tan θ
1− tanα tan θ=
h
x+ tan θ
1− h
xtan θ
Isolando tan θ em função de x, temos
tan θ =l
x+h(h+ l)
x
(1.5)
Sendo a tangente uma função crescente, o ângulo θ é máximo se sua tangente é. Mas
a expressão (1.5) irá maximizar a tangente se o denominador do segundo membro é mínimo.
Pela desigualdade aritmética-geométrica,
x+h(h+ l)
x= 2
[x
2+
h(h+ l)
2x
]≥ 2
√h(h+ l)
e a igualdade ocorre se e somente se x = h(h + l)/x ⇒ x =√
h(h+ l), ou seja, se a
distância do olho do observador ao pé do pedestal é igual a média geométrica de h com h+ l.
Um modo de determinar geometricamente esta distância é a seguinte: Traça-se por O uma
semi-circunferência de raio r = (2h+ l)/2. Por D traça-se uma reta paralela interceptando a
semi-circunferência em G. O segmento CA paralelo a DG é a distância procurada.
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1.5 A Desigualdade de Padoa
Apresentaremos nesta seção uma desigualdade geométrica descoberta por Alessandro Padoa
(1868− 1937), cujo enunciado é dado por
Proposição 1.3 Se a, b e c são os lados de um triângulo, então
abc ≥ (a+ b− c)(a− b+ c)(b+ c− a)
Demonstração: A prova desta desigualdade, segue da análise das �guras abaixo. Este tipo
de demonstração é conhecido por "provas sem palavras".
�
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1.6 Fatos da Média Harmônica
De�nição 1.1 Sejam x1, x2, . . . , xn, n números reais positivos. De�nimos a média harmônica
desses números, denotada por MH(x1, . . . , xn) como sendo a razão entre o número de termos
pela soma dos inversos dos termos, ou seja:
MH(x1, . . . , xn) =n
1
x1+
1
x2. . .
1
xn
Para o caso em que há 2 termos, temos
MH(x1, x2) =2
1
x1+
1
x2
=2x1x2x1 + x2
Vejamos algumas propriedades interessantes da média harmônica.
Proposição 1.4 Se a, b e c são três números reais positivos tal quea− b
b− c=
a
c. Então, b é a
média harmônica de a e c.
Demonstração: De fato, isolando b nesta equação, temos
(a− b)c = a(b− c) ⇒ 2ac = (a+ c)b ⇒ b =2ac
a+ c=
21
a+
1
c
�
Proposição 1.5 A média harmônica de dois números x1 e x2 satisfaz a relação MG2 =
MA · MH, onde MA e MG são respectivamente as médias aritmética e geométrica desses
números.
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Demonstração: De fato,
MH =2x1x2x1 + x2
=(√x1x2)
2
x1 + x22
=MG2
MA
�
Proposição 1.6 A média harmônica é a menor ou igual a média geométrica que é menor ou
igual a média aritmética, ou seja, MH ≤ MG ≤ MA.
Demonstração: Veremos o caso n = 2. O caso geral também é válido.(1
√x1
− 1√x2
)≥ 0 ⇒ 1
x1+
1
x2≥ 2
MG⇒ MH =
21
x1+
1
x2
≤ MG
A outra desigualdade foi apresentada na seção (1.1).
�
Proposição 1.7 Todo termo na série harmônica 1+1/2+1/3+ . . . é a média harmônica entre
o termo precedente e o termo seguinte.
Demonstração: De fato, sejam os termos 1/(n− 1), 1/n e 1/(n+ 1). Assim,
MH
(1
n− 1,
1
n+ 1
)=
21
1/(n− 1)+
1
1/(n+ 1)
=2
n− 1 + n+ 1=
1
n
�
Observação 1.1 É devido a este fato, que esta série recebeu esse nome.
1.6.1 Construção da Média Harmônica de Dois Números
Dados os números a e b, podemos construir a média harmônica desses números do seguinte
modo. Construimos um semi-círculo de hipotenusa AB = MA (média aritmética desses
números). Com um compasso de abertura igual a média geométrica desses números e com a
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ponta em A, construímos o segmento AC = MG, conforme a �gura acima. Segue que AD
é a média harmônica de a e b, sendo D o pé da perpendicular baixada por C. De fato, sendo
△ADC ∼ △ABC, segue que
AD
AC=
AC
AB⇒ AD =
AC2
AB=
MG2
MA= MH
pela Prop. (1.5).
1.6.2 Resolução Geométrica do Problema das Torneiras
Uma torneira T1 enche um tanque de volume V em t1 horas e a torneira T2, enche o mesmo
tanque em t2 horas. Em quanto tempo as duas torneiras enchem o tanque?
Vejamos inicialmente a solução algébrica. Seja Q1 a vazão da torneira T1, ou seja, Q1 =
V/t1. Analogamente, para a torneira T2, Q2 = V/t2. Abrindo ao mesmo tempo as duas
torneiras, segue que
Q = Q1 +Q2 ⇒ V
t=
1
t1+
1
t2⇒ t =
11
t1+
1
t2
=1
2·MH(t1, t2)
No caso particular, em que t1 = 12 h e t2 = 6 h, temos t = 1/(1/12 + 1/6) = 4 h.
Podemos resolver este mesmo problema geometricamente conforme a �gura acima em que
AB = 12 h, CD = 8 h e a solução é o comprimento de EF = 4 h. Deixo o desa�o para o
leitor, provar este curioso resultado.
1.7 Desigualdade Triangular e Algumas Consequências
Neste seção, iremos apresentar a desigualdade triangular e algumas de suas consequências.
Lema 1.1 (Teorema do ângulo externo) Um ângulo externo de um triângulo é maior que
qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração: Seja M o ponto médio de AC e P pertencente ao prolongamento de BM
tal que BM = MP . Pelo caso LAL, △BAM ≃ △PCM . Assim, BAM = PCM . Logo,
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α > A. Analogamente, tomando o ponto médio de BC e usando o ângulo oposto pelo vértice,
temos α > B.
�
Lema 1.2 Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles
não são congruentes e o maior dos ângulos está oposto ao maior lado.
Demonstração: Provaremos que se A > B, então a > b. Temos três possibilidades: Ou
a < b ou a = b ou a > b.
• Se a < b, pelo lema anterior, A < B. Absurdo!
• Se a = b, então pelo teorema do triângulo isósceles, segue que A = B. Absurdo!
Logo, a > b.
�
Proposição 1.8 (Desigualdade Triangular) Num triângulo, cada lado é menor que a soma
dos outros dois.
Demonstração: Provaremos que BC < AC + AB. Consideremos um ponto D no pro-
longamento de AC de modo que AD = AB. Assim, DA = AC + AD = AC + AB. Como
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o triângulo ABD é isósceles, ADB = ABD e como A é interno ao ângulo CBD, temos que
CBD > ABD. Logo, CBD > ADB. Do lema (1.2), segue que BC < AC +AB.
�
Corolário 1.1 Num triângulo ABC, o módulo da diferença entre dois lados é menor que o
terceiro lado.
Demonstração: Sendo b < a + c e c < a + b, segue que b − c < a e c − b < a, ou seja,
|b− c| < a.
�
1.7.1 Desigualdades Entre as Medianas e o Perímetro de um Triângulo
Proposição 1.9 Designando por mA, mB, mC o comprimento das medianas em relação aos
vértices A, B e C de um triângulo e p o seu semi-perímetro, ou seja, p = (a+ b+ c)/2, então
vale as desigualdades:3p
2≤ mA +mB +mC ≤ 2p
Demonstração: Na �gura acima, AB = c, AC = b, BC = a, AE = mA, BF = mB e
CD = mC . Observe que
AG =2
3AE =
2
3mA BG =
2
3BF =
2
3mB e CG =
2
3CD =
2
3mC
Usando a desigualdade triangular nos triângulos AGB, AGC e BGC, temos
△AGB : AG+GB > AB ⇒ 2
3mA +
2
3mB > c (1.6)
△AGC : AG+GC > AC ⇒ 2
3mA +
2
3mC > b (1.7)
△BGC : BG+GC > BC ⇒ 2
3mB +
2
3mC > a (1.8)
Fazendo (1.6) + (1.7) + (1.8), segue que
4
3mA +
4
3mB +
4
3mC > a+ b+ c = 2p ⇒ mA +mB +mC >
3
4· 2p =
3p
2(1.9)
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Para provar a outra desigualdade, prolongamos AE até o ponto F tal que AE = EF = mA,
conforme a �gura abaixo:
Sendo CE = EB, segue que △AEB ≃ CEF e △AEC ≃ △BEF . Assim, AB = CF =
c e AC = BF = b. Usando a desigualdade triangular no △ACF , segue que
AF < AC + CF ⇒ 2AE < b+AB ⇒ 2mA < b+ c (1.10)
Analogamente, 2mb < a + c e 2mc < a + b. Adicionando essas desigualdades membro a
membro, segue que
2mA + 2mB + 2mC < b+ c+ a+ c+ a+ b ⇒
mA +mB +mC < a+ b+ c = 2p (1.11)
Das expressões, (1.9) e (1.11), obtemos o resultado desejado. Um outro modo de provar a
desigualdade (??) é através da desigualdade de Ptolomeu-Euler. Esta desigualdade a�rma que
se ABCD é um quadrilátero não-cíclico, então
AB · CD +AD ·BC > AC ·BD
Assim, considere Ma, Mb e Mc os pontos médios dos lados a, b e c respectivamente. Aplicando
a desigualdade de Ptolomeu-Euler no quadrilátero AMcBC, temos
AMc ·BC +AC ·BMc > CMc ·AB ⇒ c
2· a+ b · c
2> mc · c ⇒ a
2+
b
2> mc
Do mesmo modo, provamos que
b
2+
c
2> ma e
a
2+
c
2> mb
Adicionando estas três desigualdades, temos a expressão (1.11).
1.8 Exercícios Propostos
Exercício 1.1 Uma lata cilíndrica de alumínio (sem tampa) tem volume V . Determine suas
dimensões se a quantidade de alumínio para fabricação da lata deve ser mínima.
Resposta: r = h = 3√
V/π.
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Exercício 1.2 Determine três números positivos, cujo produto é 27 e a soma seja a menor
possível.
Resposta: x = y = z = 3.
Exercício 1.3 Dado o ponto M(x0, y0) no primeiro quadrante, considere a reta que passa
por esse ponto de modo que ela forme um triângulo retângulo com os semi-eixos positivos.
Determine as dimensões dos catetos deste triângulo para que sua área seja mínima.
Resposta: a = 2x0 e b = 2y0.
Exercício 1.4 Sejam a e b números reais positivos. Prove que se a+b = 2, então a2+b2 ≥ 2.
Exercício 1.5 Entre todos os retângulos de área igual a 20 cm2, determine aquele que possui
perímetro mínimo.
Exercício 1.6 Resolva o desa�o sobre o problema das torneiras.
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Referências Bibliográ�cas
[1] Roger B. Nielsen. Proof without words, Lewis e Clark College. 2006.
[2] Neto, A.C.M., Desigualdades elementares, Eureka! n◦ 5, OBM, 1999.
[3] Pimentel, Elaine. Notas de Aula de Geometria Plana, Dept. de Matemática, UFMG,
2008.
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