Determinação de Vazões Extremas

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PROF. BENEDITO C. SILVA

Determinação de Vazões Extremas

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Conteúdo

Conceitos básicos Funções de probabilidadeFunção de distribuição empíricaDistribuições teóricas de probabilidadeProcedimento geral de ajuste

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Conceitos básicosProbabilidade: A probabilidade é a chance de

ocorrência de uma variável. Esta probabilidade pode ser individual ou cumulativa. Ex. No lançamento de um dado, a probabilidade de sair o número 3 é de 1/6 (individual); a chance de que ocorra um número maior que 3 é de 3/6 ou ½ (cumulativa)

O objetivo da análise de frequência ou probabilidades é obter a relação entre a variável estudada e a probabilidade de ocorrerem valores maiores ou iguais, quando se examinam valores extremos superiores, e menores ou iguais em caso contrário. Ou seja, obter a Função de Probabilidade

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Conceitos básicos

A série de dados (amostra) utilizada na análise de probabilidade deve possuir as seguintes características:

Série de valores independentes entre siA série deve ser estacionária, ou homogênea,

no tempoA série deve ser uma amostra representativa

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Conceitos básicos• Valores independentes: Os eventos são

considerados independentes quando não existe correlação entre os valores da série

Ex.: Vazões máximas:i. Valores máximos diários de cada anoii. Um valor para cada ano hidrológicoiii. O ano hidrológico corresponde ao

período de 12 meses, começando no início do período chuvoso e terminando ao final da estação seca. Para o Sudeste do Brasil inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte

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Conceitos básicosVazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

31/12/94 31/12/95 31/12/96 31/12/97

Vaz

ão (m

3 /s)

Ano civil

Ano hidrológico

Máx. de 1995

Máx. de 1996

Máx. de 1995/96

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Conceitos básicos• Série estacionária: as estatísticas

da série não podem se alterar ao longo do tempo

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Vaz

ão (m

3/s)

Vazões do rio Paraná em Concórdia

80

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Dez/62 Dez/64 Dez/66 Dez/68 Dez/70 Dez/72 Dez/74 Dez/76 Dez/78 Dez/80 Dez/82

Vazã

o m

édia

men

sal (

m3/

s)

0

500

1000

1500

2000

2500

jul-69 jul-71 jul-73 jul-75 jul-77 jul-79 jul-81 jul-83

Vazã

o (m

3/s)

Conceitos básicos• Séries não-estacionárias

Vazões do rio Taquari (MT)

Vazões do rio Paraguai

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Conceitos básicosAmostra representativa: as

estatísticas da amostras devem ser representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é importante, mas não significa tudo

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Seja uma amostra com n valores da variável aleatória X, dividida em classes com largura igual a ∆xO número de observações no intervalo i é ni , cobrindo os valores [xi - ∆x, xi]. A função de freqüência relativa será:

nnxf i

i f(x)

x

Graficamente:

Histograma

Funções de probabilidade

11

1

1f (xi)

x0

F(xi)

0 x

F(xi)

0 x

f (xi)

0 x

F(xi)

F(xi-1)

xi-1 xi

F(xi)

xi

dxdF(x)

xi

Amostra População

(a) Função de frequência relativa

(b) Função de frequência acumulada

(c) Função distribuição de probabilidade

(d) Função densidade de probabilidade

dx

xdFxf

i

1jji xfxF

xFxF sxn 0,lim

xi

xxidxxfxif

x

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Funções de probabilidade

Para uma variável aleatório contínua X, a função densidade de probabilidade é uma função tal que

1)

2)

3)

0ixf

b

adxxfbXaP área sob f(x) de a a b, para qualquer a e b

f (x)

xa b

1

dxxf

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xXPxF

Função distribuição de probabilidade acumulada

Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x

Probabilidade de não-excedência

Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x

Probabilidade de excedência

xFxXP 1

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• O tempo de retorno (TR) em hidrologia é utilizado para caracterizar a freqüência de repetição de um evento. É dado por:

• Ex. Uma inundação que tem a chance de ser maior ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos.Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada 20 anosNão significa repetição cíclica.

Tempo de retorno

xXPTR

1

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O risco hidrológico (R) é a probabilidade de que um evento com determinada magnitude será igualado ou superado ao menos uma vez em um dado período de anos (N). É calculado por:

Onde, P é a probabilidade anual de excedência.

Risco hidrológico

NPR 11

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Exemplo:

O vertedor de uma barragem foi dimensionado para uma vazão com TR de 50 anos. Qual o risco de sua capacidade seja excedida nos próximos 20 anos? E nos próximos 50 anos?

• Solução:

Risco hidrológico

636.002.01111

50332.002.01111

20

02.050111

50

20

N

N

PR

anosPR

anosTR

PP

TR

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Função de distribuição empírica

• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:

1)(

nmqQP m

Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostran é o tamanho da amostra.

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Exemplo de ajuste empírico

Para o segundo valor:

Ordem Vazão Máxima

1 289.5 2 263.3 3 240.0 4 227.3 5 210.8 6 184.5 7 183.8 8 170.3 9 167.3

10 157.5 11 145.5 12 131.3 13 104.3

Ano Vazão Máxima

1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5

Probabilidade empírica 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286

Tempo Retorno

14.0 7.0 4.7 3.5 2.8 2.3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1

0.71429.01

)(1

qQP

TR

1429.0113

21

n

mqQP

19

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Probabilidade acumulada

Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)


20


0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0

Tempo de retorno, TR (ano)

Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)

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Distribuições teóricas de probabilidade

• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias)

• Log-Normal (vazões máximas)• Gumbel (extremo tipo I) (vazões

máximas)• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões

mínimas)• Log Pearson Tipo III (vazões máximas)

adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros

Distribuições usuais em hidrologia

22


23


24

Distribuição de Gumbel (Extremos I)

yeeqQP

A função densidade de probabilidade acumulada é

Ou, passando para probabilidade de excedência

yeeqQP 1

qy

Onde,

5772,0

78,0

x

s s - desvio padrão da série

- média da sériex

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yeeqQP 1

yeeTR

11

TRe

ye 11

Passando o logaritmo 2 vezes

TRy 11lnln

TR

q 11lnln

TRTRq 11lnln

Distribuição de Gumbel (Extremos I)

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Distribuição Log-Pearson Tipo III

Função densidade de probabilidade:

Fórmula alternativa:A vazão para um tempo de retorno TR é

calculada por,QTR KSQQ logloglog

QSlog= Desvio padrão dos logaritmos da

vazões

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Distribuição Log-Pearson Tipo III

O parâmetro K é calculado por:

11

662

3

1GGk

GK

Com,

32

2

1 001308,0189269,0432788,11010328,0802853,0515517,2

ttttttk

Tt ln2

G é o coeficiente de assimetria

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Exemplo de ajuste de função teórica

Distribuição Normal

Ano Vazão Máxima

1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5

Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s

Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Normal

100 0.010 314.990 0.011 312.880 0.013 310.470 0.014 307.660 0.017 304.350 0.020 300.340 0.025 295.330 0.033 288.620 0.050 278.514 0.071 268.810 0.100 259.09 0.111 255.78 0.125 252.07 0.143 247.56 0.167 242.25 0.200 235.44 0.250 226.53 0.333 213.42 0.500 190.4

1.01 0.990 65.6

29

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0


Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)

EmpíricaNormal


Distribuição Normal

30


Distribuição Gumbel

Ano Vazão Máxima

1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5

Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s

Alfa 41.76223Mi 166.2795

Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Gumbel

100 0.010 358.3990 0.011 353.9780 0.013 349.0270 0.014 343.4160 0.017 336.9250 0.020 329.2340 0.025 319.8130 0.033 307.6220 0.050 290.3214 0.071 274.9510 0.100 260.269 0.111 255.618 0.125 250.367 0.143 244.376 0.167 237.365 0.200 228.924 0.250 218.313 0.333 203.982 0.500 181.59

1.01 0.990 102.41

TRTRq 11lnln

31


Distribuição Gumbel

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0


Vaz

ão m

áxim

a (m

3 /s)

EmpíricaNormalGumbel

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Procedimento geral para ajuste de distribuição teórica

• Verificar se a série de dados atende às condições básicas de ajuste

• Escolher as distribuições mais prováveis, em função do tipo de variável a ser ajustada

• Ajustar a distribuição empírica• Determinar os valores dos

parâmetros das distribuições teóricas

• Verificar o ajuste por:Inspeção visualTeste de aderência

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Cálculo de Vazões Mínimas (Q7/10)

• Vazão Q7/10 significa a vazão mínima média de 7 dias com 10 anos de tempo de retorno

• Calcula-se a média móvel de 7 dias das vazões diárias, para toda a série de dados

• Escolhe-se o menor valor de cada ano. Para a região Sudeste deve-se usar o ano civil

• Para o calculo das probabilidades acumuladas e tempos de retorno os dados devem ser organizados em ordem crescente

• O valor da Q7/10 pode ser estimado com a distribuição empírica, por interpolação dos valores

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Vazão máxima para locais sem dados observados: método racional

Área < 2 km2

Qp=0,278 C I A

Qp: vazão máxima (m3/s)C: coeficiente de run-offI: intensidade em mm/hA: área em km2

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Sequência de cálculo

• Delimitar a bacia hidrográfica;• Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2, C3, etc.);• Cálculo do C (média ponderada)

• Determinação do comprimento do curso principal L e a sua declividade S (ou H, queé o desnível entre o ponto mais afastado dabacia e o exutório);

37

Sequência de cálculo

38

Exemplo

41

Solução

42

Solução

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