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DETERMINACION DE LA TEMPERATURA DE CONTACTO DE GEOMETRIACIRCULAR Y/O PUNTUAL.

Cruz Rafael Cabrera y Héctor Julio Franco

INTEVEP, S.A.Apartado 76343, Caracas l070A, Venezuela.

ResumenEvidencias experimentales muestran que la temperatura del aceite, medida cerca de la zona de contacto

entre dos superficies, se incrementan considerablemente a altas cargas mecánicas. En la mayoría de los casosprácticos, se conoce el papel que juega la temperatura en los procesos físico-químicos establecidos en lainterfase entre dos superficies en contacto y en movimiento relativo. Debido al trabajo realizado por lasfuerzas externas en la interfase de deslizamiento, se origina un incremento de temperatura, porla acumulacióndel calor producto del proceso de fricción en el sistema tribológico. Entre los efectos de este incremento sepueden citar: la alteración de las superficies en contacto, modificación de las propiedades físicas del lubricantey la activación de la acción química de los aditivos. Como consecuencia, la temperatura tiene una considerableinfluencia sobre la fricción y el desgaste de superficies tribológicas. Por otro lado, los intentos para medir lamáxima temperatura. o temperatura flash , que se pueda alcanzar en el área de contacto real, debido a la juntao fusión de las asperezas, han sido muy difíciles por la corta duración de la misma, buscándose por lo generaluna aproximación teórica de ésta.

En este trabajo, se estima el incremento de temperatura en un área de contacto circular definida por lacarga. Para ello, se ha partido de la teoría desarrollada por Jaeger, para fuentes de generación de caloruniforme planas, en movimiento con velocidad constante, de un medio semi-infinito sin ninguna pérdida decalor desde la superficie. En términos generales, los resultados obtenidos a través del modelo, se ajustanmejor a los resultados experimentales a bajas velocidades relativas. Así mismo, en la medida que la diferenciaen la dureza de los materiales en contacto, es mayor, también lo es la diferencia entre las temperaturas real yestimada.

INTRODUCCIQN

Cuando dos superficies están en contactobajo movimiento relativo, las fuerzas externasrealizan un trabajo en la interfase de deslizamientoque dan origen a un incremento de la temperaturapor la acumulación del calor, producto de lafricción [1, 2]. Este puede alterar las superficies encontacto, modificar las propiedades físicas dellubricante, y activar la acción química de losaditivos, influenciando considerablemente losprocesos de fricción y desgaste.

Desde un punto experimental, ha resultadodifícil medir la máxima temperatura que puedaocurrir en el área de contacto real por junta o fusiónde dos asperezas, debido a su corta duración,buscándose por lo general, una estimación teóricade ésta. Este problema ha sido tratado por H.Blok[3], J.c.Jaeger [4], R.Holm [5] y J.A.Archard [6]anteriormente.

En el presente trabajo, se calcula elincremento de temperatura, para el caso en donde

se establece el contacto puntual y/o circular, cuyaárea es definida por la carga mecánica. Con estefin, se ha revisado la teoría desarrollada por Jaeger[4], para fuentes planas de generación de calor enmovimiento con velocidad constante de un mediosemi-infinito sin ninguna 'pérdida de calor desde lasuperficie.

En lo que sigue, se hará una brevedescripción de la teoría de Jaeger y se calculará elincremento para el caso del contacto puntual.Luego, aplicaremos la teoría estudiada a los casosde cuerpos en movimiento relativo y en superficiesdonde el área de contacto esté determinada por lacarga. Finalmente, se compararán los resultadosarrojados por la teoría estudiada, con resultadosexperimentales reportados 'en la literatura.

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BREVE DESCRIPCION DE LA TEORIADESARROLLADA POR JAEGER

El calor generado por la -fricción, estransmitido mayormente por conducción a través delas superficies que están en contacto. Elincremento de temperatura resultante es función dela carga, velocidad, topografía de la superficie,propiedades del material, el ambiente y elcoeficiente de fricción.

La mayoría de los sistemas que involucrandos superficies en frotamiento, una de ellasdeslizante, la cual deja una huella impresa sobreotra plana o contracuerpo, pueden ser consideradasequivalentes a la traslación de una fuente a lo largode la huella. La superficie deslizante recibe calorgenerado por una fuente estacionaria y la superficieinmóvil recibe el calor generado por la fuente enmovimiento. En consecuencia, debemos analizarpor separado cada caso en el cálculo de latemperatura de interfase. Para una fuente enmovimiento, la temperatura promedio en el área decontacto será determinada por la tasa a la cual elcalor fluye dentro del contracuerpo semi-infinito.Puesto que la fuente se mueve en cierta dirección,digamos en la dirección de x , ésta encuentramaterial en la huella que ha sido calentado por elcalor conducido desde aquellos puntos donde hubocontacto anteriormente. El estado de equilibrio seráen el cual, la tasa generada por el área fuente seequilibre con la tasa de calor perdido porconducción. El caso de una fuente estacionaria esmucho más simple, puesto que no involucra lavelocidad a la cual la fuente es trasladada. El calordesarrollado es distribuido entre ambas superficiesde manera que la temperatura media Bm. , en lainterfase o área de contacto sea la misma paraambos sólidos y, satisfaga sim ultáneamente lasecuaciones dinámicas para las fuentes enmovimiento y estacionaria sobre el área comúninterfacial.

De la teoría de la conducción del calor enmedios continuos, la ecuación diferencial básicapara la conducción de calor en sólidos homogéneose isotrópicos puede ser escrita bajo la forma [7],

donde e es la temperatura en grados Celcius, "C,(x,y,z ) son las coordenadas cartesianas, k es ladifusividad térmica igual KJp e, t es el tiempo, y

W es la tasa de calor generada dentro del sólido porunidad de volumen. K es la conductividad térmicaen Cal/oC--s-m y p e es el calor específico porunidad de volumen en Cal / °C-m3.

Cuando el sólido sufre deformaciónplástica, el trabajo W para deformarlo serátransformado en energía térmica. Este trabajo seráigual a la variación temporal del producto delesfuerzo efectivo ay la variación de la deformaciónde . En el presente trabajo se supondrá que W esigual a cero.

La Ec. (1) se satisface por la relación [4],

e _ e = Qk ex [_ (x - X')2 + (y - y')2 + (z - Z')2 -I 8K(nkt)3/2 p 4kt

(2)

que permite conocer la temperatura en el punto(x,y,z ) al tiempo t en un sólido infinito,inicialmente a una temperatura Sj, la cual podemossuponer nula puesto que sólo nos interesa elincremento de temperatura debido a la cantidad decalor Q instantáneamente liberada en el punto(x',y'z' ) en el instante t = O. Esta temperatura esllamada, temperatura debida a una fuente puntualinstantánea [4]. Para un sólido semi-infinito,limitado por el plano z = O, el calor es distribuidosolamente en la mitad del material; por lo tanto,

Qk [e= ex4K(nkt)~~2 p(x - X')2 + (y - y')2 + (z - Z')2]

4kt(3)

Consideremos el caso de una fuente de áreacircular plana de radio 1 , como se ilustra en lafig. 1. El estado estacionario se obtiene haciendot = 00; el centro de la fuente térmica en este tiempose escoge como el origen de coordenadas. Comose puede observar en la fig. 1. en algún tiempoprevio el centro de la fuente estaba en (-Vt,O,O ),siendo V la velocidad de traslación. Para encontrarla temperatura al tiempo t=oo en un punto dado(x,y,z ) dentro del área limitada por el círculo, sedebe calcular el total de las contribuciones de calorde cada elemento de área dx'dy' dentro de estaárea desde t = O a t = C::O. Sea q, la tasa de calorgenerado por unidad de tiempo por unidad de áreasobre el área limitada por el círculo. Esta esconsiderada constante, debido a que el coeficiente

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de fricción después de alcanzar el estadoestacionario, permanece prácticamente invariablecon el tiempo, siendo el área de contacto

relativamente pequeña. De las consideracionesanteriores, se tiene de la Ec. (3),

II _ qkdx' dy' dt' [(X - x' + V(t - t'»2 + (y - y')2 + Z2]u - 3/2 exp

4K[ nk(t - t')] 4k(t - t')(4)

~~;~~:~~,r ,-,l:-,!,., '~~:;':::':':""":'J"::'!:"1~~I ,

I II II II II I V1 1--'I I1 1

Des!i.mdor

FIGURA 1. El deslizador sobre el contracuerpo como fuente de calor en la interfase.

La expresión para el estado estacionario, esobtenida integrando la Ec.(4) respecto al tiempo.Integrando la expresión anterior, encontramos latemperatura (J en estado estacionario en el punto(x.y.z.) al tiempo t.

e qk f~ dt'= 4K(nk)3/Z o (t - t')3/ZX

fl fb dx' d r ex [_ (x - x' + V(t - t,»)2 + (y - y,)2 + Z2]Y P 4k(t - t')

-l-b(5)

donde 1 es el radio del círculo y b = --J 12- X'2 •

Si, en lugar de considerar un área circular sehubiera supuesto un rectángulo o un cuadrado, bsería una constante igual a la dimensión

perpendicular al movimiento [4].

Para simplificar, expresemos la Ec. (5) enfunción de los siguientes parámetrosadimensionales:

x = Vx y = Vy Z = Vz L = VI B = Vb (6)2k' 2k' 2k' 2k' 2k

De lo anterior, la expresión de temperaturaal t = 00 es,

donde u =X-X' y w =Y-Y'

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En el plano Z=O, la temperatura sólodepende de las variables X e Y; la temperatura semaximiza en puntos sobre el eje X. Por lo tanto,haciendo Y=2=0 tenemos:

nKV _ X+L Bexp[-(u2 +W2),12]-- 8 - J exp[ -u}1u J 2 2 1/2 dw2kq X-L o ,(u + W )

(8)

o de otra manera:

nKV X+L

--8 = Jexp[-u]Ko(u)du2kq X-L

X+L cc exp] -tu' + w2 t2]- J exp[ -u]du * J 112 dw

( 2 2) -X-L B U + W

La EC.(9), permite encontrar la temperaturaestacionaria en el punto (x,y,z) , debido a lospuntos restantes de la huella, para la fuente de calorque esté en consideración.

CALCULO DEL INCREMENTO ENTEMPERATURA PARA UNA FUENTEDE AREA CIRCULAR.

Un problema similar fue tratado porJ.F.Archard [6] quien. a partir de consideracionesfísicas y sin resolverlo analíticamente, sólo trata loscasos a velocidades muy pequeñas y grandes. Paravelocidades pequeñas, utiliza la solución de unaisoterrna de forma circular en un medio semi-infinito, y para altas velocidades. el problema estratado como un flujo lineal de calor. También, enlugar de usar la equipartición de la energía paradeterminar la fracción de calor generado en lainterfase que es repartido entre las superficies decontacto como se usa en el presente trabajo. suponeque todo el calor generado en la interfase pasa, através del cuerpo que está estacionario Ó, a travésdel que está en movimiento relativo. y luego.considera que la inversa del incremento detemperatura promedio es igual a la suma de losinversos de incrementos de temperatura de cadasuperficie en contacto dependiendo del L específicoque le corresponda. En la región intermedia, utilizalos resultados encontrados por J.C. Jaeger [4],para una fuente cuadrada o rectangular, basado enque el cambio de longitud en la dirección

(9)

perpendicular a la velocidad, no afectaapreciablemente la temperatura. En el presentetrabajo, se intenta calcular esta temperatura para elestado estacionario.

La temperatura en estado estacionario, debido aun círculo de diámetro 2l, moviéndose convelocidad V en el plano 2=0. sobre un sólido semi-infinito 2<0, sin ninguna pérdida de calor desde elplano Z=O, puede ser obtenida partiendo de la Ec.(9), resolviendo cada una de las integrales. Sea 11(X) la primera integral de la Ec. (9), o sea:

X+L

/1 (x) = Jexp[ -u]Ko(u)duX-L

(10)

Usando las tablas de Abramowitz [8], seencuentra la siguiente expresión,

¡I(X) = (L - X)[ Ko(X - L) - KI (X - L)]exp[-(X - L)]+

(X + L)[ K¿(X + L) - KI (X + L) ]exp[ -(X + L)](11)

donde Kj (X), es la función de Bessel modificadade segunda clase de orden uno. El máximo de lafunción se encuentra en X=O, esto es:

11max (O) = 2L[ x, (L)cosh(L) + KI (L)senh(L)](12)

Ahora, sea 12 (X), la segunda integral de laEc. (9), entonces:

X+L ~ exp[-(u2 + W2)112]/2 (X) = J exp[ -u]du J 2 2 1/2 dw. X-L B (u + w )

(13)

Haciendo A = (u2 + w2)112 • se tiene,

Desarrollando en sene a la raíz deldenominador de la Ec.(14), y haciendo el cambio A.= A.lt , donde Al = (L2 + 2Xu - X2_)1/2 , se tiene:

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- e-ÁdA. - e-Á11dt[ 1( U)1 3( u)4 1= 1+- - +- - +f eA} - U2)1I2 ~ t 2 A¡t 8 A.¡t ...

(15)

en donde pueden identificarse integralesexponenciales [8], del tipo,

- -z,t

En(z) = f~dt;n = 0,l,2, ... ;9tz > O (16)tn

¡

Introduciendo la EC.(16), en la Ec.(15) yfinalmente en la Ec.(13), tendremos;

X+L

/2 (X) = f e-uduX-L

.[ EP,¡)+I(;J' E3(Á¡)+~(;¡ )'E5(Á¡)+..-](17)

Esta última ecuación es muy sencilla decalcular si se evalúa el máximo, el cual correspondea X=O, que hace Al =L, lo que lleva a la siguienteexpresión,

/2rmx (O) = 2senh(L)E¡ (L) +1 E (L) ] (18)

+2-t-[(2L2 + 4)senh(L) - 4Lcosh(L)

En consecuencia, la temperatura máximaserá:

1rKV-- 8max = I,max (O) - /2 max (O) =2~ J

2L[ Ko(L)cosh(L) + K¡senh(L)] - 2senh(L)E¡ (L)-

1 E (L)___ 3_[(2L2 + 4)senh(L) - 4Lcosh(L)]2 ~

(19)

Para calcular el incremento de latemperatura promedio en la región de contacto,resulta demasiado complicado evaluarladirectamente. Jaeger encontró que el incremento dela temperatura promedio era aproximadamente dos

tercios del valor máximo alcanzado en la región decontacto [4], [7] esto es,

(20)

para la mayor parte del intervalo de valores delparámetro L, cumpliéndose la igualdad cuando L,es grande. Esta afirmación era válida tanto para lafuente cuadrada como la banda. En consecuencia,se puede utilizar esta aproximación para estimar elincremento de temperatura media en el caso de lafuente limitada por un círculo, cuando L < 0.1 ó, L> 5. Si el parámetro L < 0.1,

(j = 4(ln2+1)ql =0 7186ql (21)31r K ' K

En esta ecuación, 1 es el radio del círculo, yse aproxima al resultado que esperamos en el casoestacionario. Si comparamos la Ec.(21) conaquellas, obtenidas por Holm [5] y Archard [6], elprimero suponiendo analogías eléctricas, y cuyaconstante es 0.7854, observamos que nuestraaproximación es bastante buena, mejorándose siconsideramos terminos superiores de la serie en laEc. (15). En el caso en que L > 5, hmax(O)""Osobreviviendo el término correspondiente a Ilmax(O). En consecuencia,

(22)

Esta expresión tiene la misma tendenciafuncional a la encontrada por los autores antesmencionados cuya constante es 0.689, mayor anuestro resultado. Es posible que esta diferencia sedeba, a que suponen que el flujo de calor a travésdel sólido semi-infinito, es unidireccional, porqueel tiempo requerido para que el calor penetre unamisma distancia es grande, comparado con eltiempo que la fuente de calor es aplicada en el área,y no consíderan posibles efectos de bordes en lasfuentes, implícitos en las ecuaciones.

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EQUIPARTICION DE ENERGIA YAPLICACION DE LA TEORIA ASUPERFICIES EN SUPERFICIESTRIBOLOGICAS

El problema de la temperatura en la interfasede frotamiento puede ser visto como la satisfacciónsimultánea de la solución para una fuente enmovimiento y otra estacionaria sobre un área decontacto común. De manera razonable, se puedesuponer que el calor es 'generado a una tasauniforme por unidad de área sobre la superficiecomún, y que no hay pérdidas de calor desdeaquellas porciones de la superficie que no están encontacto, de manera que el modelo expuesto en lassecciones precedentes en la cual, una fuente semueve en la superficie de un medio semi-infinitosuministra una primera aproximación.

El concepto de partición de la energía fuedesarrollado por Blok [3], para determinar lafracción de calor en la interfase de deslizamientoque se pierde en cada uno de los cuerposdeslizantes. Se supone, que cuando el estadoestacionario es obtenido, una fracción a del calor qpor unidad de tiempo por unidad de área generadosobre el área de contacto, pasa a través de lasuperficie que esta en reposo y la fracción restante(l-a), a través del cuerpo que está en movimiento.También se requiere que la temperatura mediacalculada, deba ser la misma para ambos cuerpos.Estos criterios son necesarios porque las dosdistribuciones de temperatura sobre el área decontacto son diferentes para cada cuerpo. Seescoge la temperatura media porque es la cantidadexperimental observada. La fracción a depende dela velocidad, el área de contacto y las constantestérmicas de las superficies en contacto.

Aplicando el concepto de equipartición deenergía de una fuente puntual y/o circular,tendremos para valores pequeños de L, esto es L< 0.1, según Ec. (21):

aO, 7l86~ = 0,7l86~(1- a) (23)KA KB

donde los subíndices A y B se refieren al cuerpo enmovimiento y aquél en reposo, respectivamente.De esta relación se deduce quea=KA/(KA+KB), y

(j = 0,7186 qlKA +KB

(24)

Cuando L es grande, L > 5, la EC.(22) esusada para el caso de una fuente en movimiento:

a 0,7l86ql = 0,53l9ql (1- a) (25)K L 1/2K

A B B

de donde a = KA / (KA + 1,351KB,L/2) •• lo cuallleva a:

Para valores intermedios de L, 0.1 < L < 5,la temperatura promedio debe ser obtenida a partirde la siguiente expresión:

donde G=2/3 * (Ilmax(O) - 12max(O», deducida dela Ec.(19).

APLICACION DE LAS FORMULASPARA LA TEMPERATURAINTERF ACIAL A SUPERFICIES ENFROTAMIENTO CUY A AREA DECONTACTO ESTE DETERMINADA PORLA CARGA

Para calcular el incremento de temperatura,se requiere del conocimiento de q , y éste requiere asu vez del conocimiento del tamaño y el número depuntos de contactos si tuviéramos en cuenta larigurosidad de la superficie. El área de contactodebida a la aplicación de una carga mecánica, esproducto de la deformación elástica que sufren lassuperficies en contacto. Cabe mencionar, que porlo general existen casos excepcionales en que elárea de contacto real es mayor que el cociente de lacarga N, a la dureza H, [9]. Esto es cierto ensuperficies pulidas, en cuyas circunstancias-nopodría haber deformación plástica entre ambassuperficies, sino más bien deformación elástica.

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También es cierto, en casos en donde la fuerza decorte actúa conjuntamente con la fuerza normal,trayendo como consecuencia un aumento del áreade contacto. En el caso del contacto puntual, si ladefonnaci6n es elástica el radio del área de contactoy la presión media Hertziana 'serán:

1= ,[3NR E'y¡ e

- NPHerrz = ne

(28)

en donde N es la carga, Re es el radio de la esferaen el contacto bola-plano o Re = R¡R¡, / (R¡ + R2)

para el caso de esferas en contacto de radios Rj yR2 respectivamente, y E' es el módulo de Youngreducido,

(29)

donde (J es la razón de Poisson y E el módulo deyoung de cada superficie.

Conocida el área del círculo Ac= 1t12, la tasade calor generado por unidad de área por unidad detiempo, debido a la fricción vendrá dada por,

(30)

donde ~ es el coeficiente de roce ó fricción y J esel equivalente mecánico del calor, todos enunidades consistentes. El introducir la Ec.(30), enlas Ecs.(24), (26) y (27), nos permite obtener

expresiones que relacionan el incremento detemperatura con la fricción. Si la deformación esplástica, el radio del área de contacto de la durezadel material más blando H,

1= (IV~;¡¡ (31)

De aquí, que el calor generado por unidadde área por unidad de tiempo en el caso plásticosea,

JiVHq=-J

(32)

Como podemos observar, la Ec.(32) nodepende de la carga aplicada sino de la dureza delmaterial más. blando. Al introducir la Ec.(32), enlas Ecs.(24 )-(27), nos permite obtener elincremento de temperatura para el caso en que hayadeformación plástica.

APLICACION DE LA TEORIA ARESUL TADOS EXPERIMENTALES

Como una aplicación directa de la teoríadesarrollada anteriormente, usaremos el casoestudiado por R. Holm [5], en el cual una barrametálica desliza sobre un plano base generando unárea de contacto circular con una posición constantesobre el deslizador. La sensibilidad de latermocupla constituida por el deslizador, fuecalibrada por medio de otras termocuplasconsistiendo de los mismos materiales, con unajunta sumergida en nieve fundida, y la otra en aguaa temperatura ambiente. En la tabla 1, se muestranlas constantes físicas utilizadas para realizar loscálculos.

TABLA 1. Constantes físicas utilizadas en los cálculos

Elemento E(kglcm2) ptg/cm'') H(Kglcm2) c(cal/g oC) k(cm2/s)Ni 2.12 8.9 16.6 0.106 0.228Sn 0.449 6.52 0.5 0.054 0.435

Latón 1.223 8.32 8.3 0.092 0.340

El módulo de Young va simplificado por un factor de 106 Y la dureza por un factor de 103.

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Los resultados obtenidos a partir de la teoríaanteriormente descrita son comparados conaquellos obtenidos a partir de las ecuaciones deJaeger [4], Holm [5], y mediciones experimentalesreportadas pOI este último autor. Puesto que el paren contacto difiere notablemente en la dureza H, sehan tomado aquellos resultados en donde seconsidere deformación plástica. Estos resultadosson presentados en la fig. 2. Como se puedeobservar, se encuentra una tendencia hacia la pocadiferencia relativa entre los resultadosexperimentales, y los predichos por las Ecs.(24)-(27), indicando que la aproximación hecha en elcaso circular, arroja excelentes cifras a velocidadespequeñas, en comparación a los del estudiopresentado por Holm. Los resultados para el casodel par Ni-latón, se desvían más de los resultadosexperimentales a altas velocidades, pero podríanser mejorados si se toma en cuenta el crecimientopor junta (The junction growth). También podríaexistir una mejora si en nuestro tratamientohubiéramos considerado la posible radiación decalor desde la barra deslizad ora.. En las suposiciones, no se hizo mención delos efectos que podrían ocasionar la formación depelículas sobre la superficie, las cuales puedentener una considerable importancia. Por ejemplo,una película de óxido [4], de baja conductividadtérmica, elevaría la temperatura de la superficie siésta fuera gruesa comparada con las dimensionesmoleculares. Un cambio en las propiedadestérmicas de la capa delgada sobre la superficiepuede ocasionar un gran cambio en la temperaturasuperficial. Si la conductividad de la película eselevada, la temperatura de la superficie seráreducida y viceversa. Archard [6], con analogíaseléctricas, estima la resistencia térmica del contacto,en presencia de una película de baja conductividadtérmica, muy delgada comparada con el área decontacto, concluyendo que a altas y bajasvelocidades, y en las mismas condicionesexperimentales, el efecto de la película seria elevaro reducir la temperatura de la superficie quedandoinafectada del metal base. Por estas razones, elmodelo desarrollado puede ser extendido acondiciones donde exista lubricación límite o no.No sólo una sensible reducción en la conductividadtérmica de alguna de las partes en contacto,incrementaría la temperatura. Si incrementamos ladureza de uno de los materiales en contacto nosllevaría también, a un incremento de ésta. De aquí,podemos notar la importancia de conocer lasconstantes físicas con una gran precisión.

La teoría desarrollada ha sido -aplicada alcaso más sencillo en la cual hay un contactosimple, dicho de otra manera, existe un número decontactos muy alejados unos de otros en donde elcalentamiento de uno no afecta el de los demás. Silos contactos estuvieran más cercanos, la situaciónsería mucho más complicada. El incremento de latemperatura sería el resultado del incremento detemperatura debido a un contacto individual,independiente de los otros contactos, y aqueldebido a la interacción térmica con las otrasasperezas [10].

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FIGURA 2. Comparación de los resultadosinferidos a partir de la teoría expuesta, conaquellos de otros autores y, los resultadosexperimentales obtenidos por Holm [5]. Elcoeficiente de fricción ¡..t.=O.7

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CONCLUSIONES

Entre los aspectos más resaltantes podemosmencionar:

1. El presente modelo reproduce con bastanteprecisión los resultados experimentales a bajasvelocidades, en materiales donde la dureza del paren contacto difiera en dos ordenes de magnitud,como en el caso del par Ni-Sn. Sin embargo, ensituaciones donde existe altas velocidades y una.diferencia en dureza de las superficies menor queun orden de magnitud, los resultados arrojados porel modelo, podrían ser mejorados al considerar elJunction Growth.

2. La descripción para altas velocidades, esto es L> 5, a pesar de la desviación, con respecto a losresultados experimentales, arroja una mejoraproximación debido a, que están implícitos losefectos de borde dentro de las ecuaciones, loscuales no son considerados por otros autores.

AGRADECIMIENTOS)

Los autores desean expresar su agradecimiento alos Licenciados Carmen Cabello y Miguel Cuevas,por sus observaciones y sugerencias durante laelaboración del trabajo, y al Instituto VenezolanoTecnológico del Petróleo, INTEVEP S.A. porpermitir la publicación de este artículo.

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