Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.

Símbolos e determinantes de segunda ordem| Topo pág | Fim pág |

Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por

det(A) #1.1#.

O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2,

A seguir, os símbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz.

#A.1#

O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz.

Determinantes de ordens superiores| Topo pág | Fim pág |

Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3:

Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que passam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par.

Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.

Algumas propriedades dos determinantes| Topo pág | Fim pág |

#A.1# Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.

#B.1# Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.

#C.1# Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer).

#D.1# Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.

#E.1# Um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

#F.1# det(A B) = det(A) det(B)

#G.1# det(kIn) = kn. Portanto,

det(kA) = kn det(A), onde A é uma matriz n×n

#H.1# det(A−1) = [ det(A) ]−1

#I.1# det(AT) = det(A)

Determinantes e equações lineares| Topo pág | Fim pág |

Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:

Em termos de matrizes, ele pode ser escrito como A X = B. Ou na forma expandida:

A: matriz dos coeficientes.

X: matriz das incógnitas.

B: matriz dos termos independentes.

As matrizes A1, A2 e A3 são formadas pela substituição, na matriz A, da primeira, segunda e terceira colunas pela coluna da matriz B.

E a solução do sistema é:

x1 = det(A1) #A.1

#det(A)

x2 = det(A2) #A.2

#det(A)

x3 = det(A3) #A.3

#det(A)

Naturalmente, para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz A não pode ser nulo, isto é, det(A) ≠ 0.