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DETERMINANTE Aulas 01 a 05

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário DETERMINANTE ........................................................... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1

Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 1


TEOREMA DE LAPLACE ................................................. 2

I) COFATOR .......................................................................................................................................................... 2

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 2

II) O TEOREMA DE LAPLACE ................................................................................................................................ 2

Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 2


Propriedades ................................................................ 3

Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em todos os casos a seguir. ................................................... 3

FILA NULA ............................................................................................................................................................ 3

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 3

FILAS PARALELAS ................................................................................................................................................. 3

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 3

Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 3

COMBINAÇÃO LINEAR ......................................................................................................................................... 3

Exemplo 4 ............................................................................................................................................................ 3

Exemplo 5 ............................................................................................................................................................ 3

TROCA DE FILAS PARALELAS ............................................................................................................................... 3

Exemplo 6 ............................................................................................................................................................ 3

MATRIZ TRANSPOSTA ......................................................................................................................................... 3

Exemplo 6 ............................................................................................................................................................ 3

MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL ................................................................................... 4

Exemplo 7 ............................................................................................................................................................ 4

TEOREMA DE JACOBI .......................................................................................................................................... 4

MATRIZ TRIANGULAR .......................................................................................................................................... 4

Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭𝑨 é o produto dos elementos da diagonal principal. ......................... 4

Exemplo 8 ............................................................................................................................................................ 4


TEOREMA DE BINET ............................................................................................................................................ 4

Elson Rodrigues e Gabriel Carvalho Página 1


Regra de Chió ............................................................... 5

REGRA DE CHIÓ ................................................................................................................................................... 5

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 5


MATRIZ DE VANDERMONDE ............................................................................................................................... 5


Matriz Inversa .............................................................. 5

Matriz dos cofatores ........................................................................................................................................... 5

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 6

Matriz adjunta ..................................................................................................................................................... 6

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 6

Matriz Inversa ..................................................................................................................................................... 6

Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 6


QUESTÕES EXTRAS ....................................................... 7

CAIU NO VEST .............................................................. 8

GABARITO .................................................................... 8

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................... 8

QUESTÕES EXTRAS .................................................................................................................................................... 8

CAIU NO VEST............................................................................................................................................................ 9

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01 DETERMINANTE

A toda matriz quadrada pode ser associado um

número real, chamado de determinante.

Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. O

determinante de 𝐴, representado por 𝐝𝐞𝐭 𝑨 ou |𝑨|, é

calculado por diferentes técnicas que variam de

acordo com a ordem da matriz.

• ORDEM 𝟏

O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao

único elemento que compõe essa matriz.

Exemplo 1

• 𝐴 = [−2], então det 𝐴 = −2.

• 𝐴 = [𝜋], então det 𝐴 = 𝜋.

• 𝐴 = [0], então det 𝐴 = 0.

• ORDEM 𝟐

O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao

produto dos elementos da diagonal principal menos o

produto dos elementos da diagonal secundária.

Se 𝐴 = (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22), então

det 𝐴 = |𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

Exemplo 2

Se 𝐴 = (1 32 7

), então det 𝐴 = |1 32 7

| = 7 − 6 = 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule os determinantes a seguir.

a) | − 7|

b) |2 93 7

|

c) |1 −13 −2

|

d) |5 4

−2 −1|

e) |𝑠𝑒𝑛 𝑎 − cos 𝑎cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎

|

1.2. Resolva, em ℝ, a equação |2𝑥 3𝑥 − 21 𝑥

| = 1.

• ORDEM 𝟑

O determinante da matriz de ordem 3 é calculado

utilizando a Regra de Sarrus.

Observe o passo-a-passo no exemplo a seguir.

Exemplo 3

Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [1 0 20 3 1

−1 2 3].

1) Copie ao lado da matriz 𝑨 as suas duas primeiras

colunas.

|1 0 20 3 1

−1 2 3|

1 00 3

−1 2

2) Multiplique os elementos da diagonal principal.

Faça o mesmo, separadamente, para cada

“diagonal paralela”.

|1 0 20 3 1

−1 2 3|

1 00 3

−1 2

3) Multiplique os elementos da diagonal

secundária, trocando o sinal do produto obtido.

Faça o mesmo, separadamente com as suas

“diagonais paralelas”.

|1 0 20 3 1

−1 2 3|

1 00 3

−1 2

4) Some os valores obtidos.

det 𝐴 = 9 + 0 + 0 + 6 − 2 + 0 = 13

6 − 2 0

9 0 0

3 ⋅ 2 1 ⋅ 7

𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21


EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.3. Calcule

A) |3 2 11 2 51 −1 0

|

B) |1 −1 25 7 −44 0 1

|

AULA 02 TEOREMA DE LAPLACE

I) COFATOR Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 e seja

𝑎𝑖𝑗 um elemento de 𝐴. A cada elemento da matriz 𝑎𝑖𝑗

está associado um número real chamado de cofator.

O cofator de 𝑎𝑖𝑗, denotado por Δ𝑖𝑗, é tal que

𝚫𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 ⋅ 𝑫𝒊𝒋,

em que 𝐷𝑖𝑗 é o determinante da matriz que se obtém

de 𝐴, eliminando a 𝑖-ésima linha e 𝑗-ésima coluna.

Exemplo 1

Na matriz 𝑨 = [𝟎 𝟏 −𝟏𝟐 𝟑 𝟏

−𝟐 𝟎 𝟒], qual o cofator do

elemento 𝒂𝟏𝟑?

Para determinar o cofator de 𝒂𝟏𝟑 precisamos calcular

𝑫𝟏𝟑 que é obtido eliminando a primeira linha e

terceira coluna.

[𝟎 𝟏 −𝟏𝟐 𝟑 𝟏

−𝟐 𝟎 𝟒] ⇒ 𝐃𝟏𝟑 = |

𝟐 𝟑−𝟐 𝟎

| = 𝟎 + 𝟔 = 𝟔

E assim,

Δ13 = (−1)1+3 ⋅ 𝐷13 = (−1)4 ⋅ 6 = 6.

II) O TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada de ordem

𝑛 ≥ 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de

uma fila com os seus respectivos cofatores.

Exemplo 3

Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [

1 2 1 12 1 4 33 0 0 24 3 2 5

].

1º) Utilizando o teorema de Laplace na linha 3

det 𝐴 = 𝑎31 ⋅ Δ31 + 𝑎32 ⋅ Δ32 + 𝑎33 ⋅ Δ33 + 𝑎34 ⋅ Δ34

det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 0 ⋅ Δ32 + 0 ⋅ Δ33 + 2 ⋅ Δ34

det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 2 ⋅ Δ34

Perceba que ao escolher a linha 3 só será necessário

calcular dois cofatores, pois ela possui dois termos

nulos.

2º) Calculando o cofator 𝚫𝟑𝟏

Δ31 = (−1)3+1 ⋅ |2 1 11 4 33 2 5

| = 1 ⋅ 22 = 22

3º) Calculando o cofator 𝚫𝟑𝟒

Δ34 = (−1)3+4 ⋅ |1 2 12 1 44 3 2

| = (−1) ⋅ 16 = −16

4º) Voltando ao determinante

det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 2 ⋅ Δ34

det 𝐴 = 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ (−16)

det 𝐴 = 34

Obs.2: O termo fila se refere a uma linha ou coluna da

matriz.

TAREFA 1 – Unid. 10, Cap. 39, PSA 1 (a até f), 2 e 4.

Teorema de Laplace

Observe que no teorema de Laplace cada cofator é

multiplicado pelo seu respectivo elemento, com isso

caso o elemento seja nulo não é necessário calcular

seu cofator.

Logo, escolha sempre a fila com a maior quantidade

de elementos nulos para simplificar o cálculo.



a) |

3 15 0

−2 1 1 2

4 02 1

1 −10 3

|

b)

1 4 1 1

2 0 4 3

5 0 2 1

3 0 7 1− −

AULA 03

Propriedades

Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em

todos os casos a seguir.

FILA NULA

Se 𝐴 possui uma fila na qual todos os elementos são

nulos, então det 𝐴 = 0.

Exemplo 1

O determinante |2 3 10 0 0

−1 2 7| é nulo, pois a segunda

linha é nula.

FILAS PARALELAS

Se 𝐴 possui filas paralelas iguais ou proporcionais,

então det 𝐴 = 0.

Exemplo 2

O determinante |2 1 45 −1 22 1 4

| é nulo, pois a linha 1 é

igual a linha 3.

Exemplo 3

O determinante |1 1 22 5 43 6 6

| é nulo, pois a coluna 3 é o

dobro da coluna 1

COMBINAÇÃO LINEAR

Se os elementos de uma fila de uma matriz são

combinações lineares dos elementos correspondentes

de filas paralelas, então seu determinante é nulo

Exemplo 4


−1 2 1| é nulo, pois a coluna 3 é

a soma da coluna 1 e 2.

Exemplo 5


−1 2 4| é nulo, pois a coluna 3

é a igual a coluna 1 vezes 2 mais a coluna 2 vezes 3.

TROCA DE FILAS PARALELAS

Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de 𝐴,

obtendo uma matriz 𝐴′, então

det 𝐴′ = − det 𝐴.

Exemplo 6

Se o determinante |3 2 11 2 51 −1 0

| é igual a 22, então o

determinante |1 2 53 2 11 −1 0

| é igual a −22, pois a linha

1 foi trocada com a linha 2.

MATRIZ TRANSPOSTA

Seja 𝐴𝑡 a transposta da matriz 𝐴, então

det 𝐴 = det 𝐴𝑡

Exemplo 6



determinante da matriz |3 1 12 2 −11 5 0

| será igual a 22,

pois ela é a sua transposta.

TAREFA 2 – Unid. 10, Cap. 39, PSA 1(g, h, i).


MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM

NÚMERO REAL

Quando todos os elementos de uma fila de 𝐴 são

multiplicados por um número 𝑘 obtendo uma matriz

𝐴′, então det 𝐴′ = 𝑘 ∙ det 𝐴.

Exemplo 7



determinante |6 2 12 2 52 −1 0

| é igual a 44, pois a coluna

1 foi multiplicada por 2.

TEOREMA DE JACOBI

Seja A' a matriz obtida pela substituição de uma fila de

uma matriz A pela soma dessa fila com um múltiplo

de outra fila paralela a ela não altera o determinante,

ou seja, det 𝐴 = det 𝐴′

MATRIZ TRIANGULAR

Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 é o produto

dos elementos da diagonal principal.

Exemplo 8

|

3 50 1

1 0 2 3

0 00 0

2 10 4

| = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 24.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Calcule.

a) |7 8 90 0 0

−1 2 −3|

b) |

1 12 2

0 40 6

3 14 2

0 70 8

|

c) |2 3 14 5 −22 3 1

|

3.2. Sabendo que |𝑥 𝑦𝑧 𝑤

| = 7, calcule os

determinantes.

a) |𝑧 𝑤𝑥 𝑦 |

b) |5𝑥 5𝑦𝑧 𝑤

|

c) |5𝑥 5𝑦5𝑧 5𝑤

|

3.3. Se 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 2 e

det 𝐴 = 7, qual o valor de det 3𝐴?

3.4. Em cada determinante a seguir, justifique por

meio de uma propriedade o porquê do determinante

ser igual a zero.

a) ||

2 3 4 0 −11 2 0 0 20 3 0 0 51 1 2 0 31 4 −1 0 2

|| = 0

b) |

3 1 2 −10 4 2 53 1 2 −15 6 9 10

| = 0

c) |

2 3 −1 91 2 3 64 5 2 150 −4 1 −12

| = 0

d) ||

1

2

1

21 3

2 3 5 017 10 27 8−4 0 −4 5

|| = 0

e) |

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 𝑦 𝑧 𝑤1 1 1 1

2𝑎 + 3𝑥 2𝑏 + 3𝑦 2𝑐 + 3𝑧 2𝑑 + 3𝑤

|

TEOREMA DE BINET

Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem,

então

det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.5. Prove que uma matriz invertível possui

determinante diferente de zero.

3.6. (AFA – 2012) Considere as matrizes 𝐴 e 𝐵,

inversíveis e de ordem 𝑛, bem como a matriz

identidade 𝐼. Sabendo que det(𝐴) = 5 e det(𝐼 ⋅ 𝐵−1 ⋅

𝐴) =1

3, então o det[3 ⋅ (𝐵−1 ⋅ 𝐴−1)] é igual a

(A) 5 ⋅ 3𝑛. (B) 3𝑛−1

52 . (C) 3𝑛

15. (D) 3𝑛−1.

TAREFA 3 – Unid. 10, Cap. 39, PSA 3, 5, 6, 7 e 8


AULA 04

Regra de Chió

REGRA DE CHIÓ A regra de Chió nos permite calcular o determinante

de uma matriz de ordem 𝑛, utilizando uma matriz de

ordem menor.

Obs.3: Para utilizar a regra de Chió o elemento 𝒂𝟏𝟏

deve ser igual a 𝟏.

(1 ⋯ 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

)

PASSO A PASSO

1. Destaque os elementos da primeira linha e

da primeira coluna das demais.

Fazendo o que será orientado à partir do

passo 2, você irá obter uma matriz de ordem

𝑛 – 1, da qual irá obter o determinante (igual

ao da matriz original).

2. Cada elemento restante, pode ser associado

a dois elementos – um da primeira linha

(mesmo i) e outro da primeira coluna

(mesmo j). Subtraia o produto desses

elementos associados de cada um dos

elementos restantes.

Ao final desse passo você terá uma nova

matriz, cujo determinante é igual ao da matriz

original, porém de ordem 𝑛 – 1.

Obs.4: O novo determinante poderá ser calculado por

qualquer regra ou método já aprendido.

Exemplo 2

|

𝟏 23 7

4 2 5 6

1 103 8

−4 52 3

| = |7 − 2 ⋅ 3 5 − 4 ⋅ 3 6 − 3 ⋅ 2

10 − 2 ⋅ 1 −4 − 4 ⋅ 1 5 − 1 ⋅ 28 − 2 ⋅ 3 2 − 4 ⋅ 3 3 − 3 ⋅ 2

|

= |1 −7 08 −8 32 −10 −3

|

= |−8 − (−7) ⋅ 8 3 − 8 ⋅ 0

−10 − (−7) ⋅ 2 −3 − 2 ⋅ 0|

= |48 34 −3

| = −144 − 12 = −156


a) |

1 22 −3

0 4 5 1

1 63 2

3 −11 4

|

b) |

4 13 1

2 00 2

5 31 0

2 22 1

|

MATRIZ DE VANDERMONDE A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é

uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 do tipo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

2 2 2 2

1 2 3

1 2 3

1 1 1 1

n

n

n n n n

n n x n

a a a a

a a a aA

a a a a

=

Obs.5: Os elementos da segunda linha da matriz de

Vandermonde são chamados de elementos

característicos.

O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao

produto de todas as diferenças entre os seus

elementos característicos (𝑎2𝑝 − 𝑎2𝑞), com 𝑝 > 𝑞.


a)|

1 12 3

1 15 7

4 98 27

25 49125 343

|

b) |

1 11 −2

1 15 3

1 41 −8

25 9125 27

|

AULA 05

Matriz Inversa Matriz dos cofatores Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz dos

cofatores de 𝐴, 𝐴′, é a matriz em que cada elemento

Δ𝑖𝑗 é o cofator de cada elemento 𝑎𝑖𝑗 de 𝐴.


Em outras palavras, a matriz 𝐴′ é a matriz que se

obtém a partir de 𝐴, substituindo cada elemento de 𝐴

pelo seu cofator.

Exemplo 1

Sendo 𝐴 = [2 3

−1 1] temos que os cofatores dos

elementos da matriz 𝐴 são iguais a

Δ11 = (−1)1+1 ⋅ 1 = 1

Δ12 = (−1)1+2 ⋅ (−1) = 1

Δ21 = (−1)2+1 ⋅ 3 = −3

Δ22 = (−1)2+2 ⋅ 2 = 2

Assim, a matriz dos cofatores será igual a

𝐴′ = [1 1

−3 2]

Matriz adjunta Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz

adjunta de 𝐴, denotada por �̅� é igual a transposta da

matriz dos cofatores, ou seja

�̅� = (𝐴′)𝑡

Exemplo 2

Sendo 𝐴 = [2 3

−1 1] temos que a matriz dos cofatores

é igual a

𝐴′ = [1 1

−3 2]

Assim, a matriz adjunta de 𝐴 é igual a

�̅� = [1 −31 2

]

Com a matriz adjunta temos uma segunda forma de

se obter a matriz inversa de 𝐴.

Matriz Inversa Seja 𝐴 uma matriz invertível quadrada de ordem 𝑛. A

matriz inversa de 𝐴 é igual a

𝐴−1 =1

det 𝐴⋅ �̅�

em que �̅� é a matriz adjunta de 𝐴.

Para obter a matriz inversa de 𝐴 basta seguir o

seguinte passo-a-passo

1º) Calcule o determinante de 𝐴. Lembre-se que se ele

for diferente de zero a matriz é inversível.

2º) Obtenha a matriz dos cofatores de 𝐴.

3º) Obtenha a matriz adjunta de 𝐴.

4º) Divida os elementos da matriz ajunta pelo

determinante de 𝐴.

Exemplo 3

Sendo 𝐴 = [2 3

−1 1] temos que

I. det(𝐴) = 5

II. 𝐴′ = [1 1

−3 2]

III. �̅� = [1 −31 2

]

IV. 𝐴−1 =1

det 𝐴⋅ �̅� =

1

5⋅ [

1 −31 2

] = [

1

5−

3

51

5

2

5

]

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

5.1. Considere a matriz 𝐴 = [

2

3−

1

31

20

].

a) Calcule det 𝐴.

b) Obtenha a matriz, 𝐴′, dos cofatores de 𝐴.

c) Obtenha a matriz �̅�, adjunta de 𝐴.

d) Obtenha a matriz 𝐴−1, inversa de 𝐴

5.2. Considere as matrizes 𝐴 = [3 0 01 2 0

−1 1 𝑥].

a) Para que valores de 𝑥 a matriz 𝐴 é invertível?

b) Determine o elemento 𝑎21 da matriz inversa

de 𝐴.

Matriz Inversa de ordem 2

No caso da matriz quadrada de ordem 2 a matriz

inversa seguirá um padrão especial. Observe a

seguinte matriz de ordem 2

𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

A matriz dos cofatores e a matriz adjunta de 𝐴 são

dadas por

𝐴′ = [𝑑 −𝑐

−𝑏 𝑎] ⇔ �̅� = [

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

]

Assim, a inversa de 𝐴 é igual a

𝐴−′=

1

det 𝑎⋅ [

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

]

Ou seja, para determinar a inversa da matriz de

ordem 2 basta

I. Permutar os elementos da diagonal principal

II. Mudar o sinal dos elementos da diagonal

secundária

III. Dividir todos os elementos pelo

determinante


EXTRA

QUESTÕES EXTRAS 1. O valor de

𝐴 = | −3 1−2 1

| + | 2 3 −1

4 5 √2−4 −6 2

| −

(A) √2 − 1 .

(B) −5.

(C) 5.

(D) −3.

(E) 3 .

2. O valor do determinante

é igual a

(A) −720.

(B) 720.

(C) −2160.

(D) 2160.

(E) −240 .

3. Considere a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)4𝑥4

em que

det 𝐵 = 5. É correto afirmar que

(A) det 2𝐵 = 2 ∙ det 𝐵 .

(B) det (−𝐵 ) = det 𝐵 .

(C) det 3𝐵 < 400 .

(D) det 𝐵2 = 10 .

(E) det 𝐵𝑡 = − det 𝐵 , em que 𝐵𝑡 é a matriz

transposta de 𝐵.

4. Considere a matriz 𝐴 = [2 3 −10 2 01 2 1

] e julgue os

itens a seguir.

1. det(2𝐴) = 8 ⋅ det (𝐴).

2. Seja 𝐵 = [4 6 −20 2 01 2 1

]. Então, é correto

afirmar que det(𝐵) = 2 ⋅ det (𝐴).

3. Sendo 𝐴𝑡 a matriz transposta da matriz 𝐴,

tem-se que det(𝐴𝑡) = det (𝐴).

4. Sendo 𝐴−1 a inversa da matriz 𝐴, tem-se que

det(𝐴−1) =1

6.

5. A matriz 𝐴 é inversível.

5. Resolva a equação |1 2 𝑥

−1 𝑥 (𝑥 + 1)3 2 𝑥

| = 6 e

determine, em ℝ, o seu conjunto-solução.

6. Considere a matriz 𝐴 = (

1 20 0

2 22 2

2 22 2

3 22 4

). Calcule o

determinante da matriz inversa de 𝐴.

7. O conjunto-solução, em ℝ, da equação

|1 𝑥 12 13 𝑥1 3 0

| = |3 02 𝑥

| é

(A) 𝑆 = {−2; 3}.

(B) 𝑆 = {2; −3}.

(C) 𝑆 = {7}.

(D) 𝑆 = {−1;7}.

(E) 𝑆 = {1;-7}.

8. Dada a matriz 𝐴 = [𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝𝑥 𝑦 𝑧

], em que

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são números reais, é

correto afirmar que

(A) det(5𝐴) = 5 ⋅ det(𝐴).

(B) |

𝑥 𝑦 5𝑧2𝑎 2𝑏 10𝑐𝑚 𝑛 5𝑝

| = −10 ⋅ det 𝐴.

(C) |

𝑎 𝑥 𝑚𝑏 𝑦 𝑛𝑐 𝑧 𝑝

| = det 𝐴.

(D) |2𝑎 2𝑏 2𝑐3𝑥 3𝑦 3𝑧𝑚 𝑛 𝑝

| = 6 ⋅ det 𝐴.

(E) | 𝑎 𝑐 𝑏𝑚 𝑝 𝑛

𝑥 + 2𝑚 𝑧 + 2𝑝 𝑦 + 2𝑛| = − det 𝐴.

9. O determinante da matriz 𝐴 = [

0 11 −1

1 02 1

2 00 0

1 03 0

] é

igual a

(A) -6.

(B) -4.

1 -2 4 -3

0 -1 2 √2

0 0 2 5

0 0 0 2

3 3 3 3

2 -2 4 -1

4 4 16 1

8 -8 64 -1


(C) 0.

(D) 4.

(E) 6.

CAIU NO VEST 1. Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 −

𝑗. Calcule det(𝐴 ⋅ 𝐴𝑡).

2. Calcule |𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 |.

3. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3

em que 𝑎𝑖𝑗 = {1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗

.

Calcule det 𝐴.

4. Sabendo-se que 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de

ordem 2, det 𝐴 = 12 e det 𝐵𝑡 = −6, qual é o valor de

det (𝐴 ⋅ 𝐵)?

5. Resolva, em ℝ, a equação|

𝑥 00 0

1 2−1 1

−3 −11 2

2 01 3

| =

−31

6. Calcule o valor da expressão

|2 56 15

| + 2 |

4 −11 3

2 57 9

0 −12 6

4 514 18

| + |3 −2 35 0 5

1 √3 1|

7. (UnB – 2012) Dada uma matriz quadrada 𝐴, define-

se o traço de 𝐴, simbolizado por 𝑡𝑟(𝐴), como a soma

dos elementos de sua diagonal principal. A partir

dessas informações e considerando as matrizes

𝑃 = (0,7 0,20,3 0,8

) ; 𝑄 = (2 −13 1

)

e

𝑅 = 100𝑄−1𝑃𝑄,

Determine o valor do quociente det(𝑅)

𝑡𝑟(𝑅), em que det (𝑅)

é o determinante da matriz 𝑅. Despreze, caso exista, a

parte fracionária do resultado final obtido, após ter

efetuado todos os cálculos solicitados.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. a) −7 b) −13 c) 1 d) 3 e) 1

1.2. 𝑆 = {1

2; 1}

1.3. a) 22 b) −28

2.1. a) −31 b) −452

3.1. a) 0 b) 0 c) 0

3.2. a) −7 b) 35 c) 175

3.3. 63

3.4. a) Coluna 4 nula (fila nula)

b) Linha 1 igual a linha 3 (filas paralelas iguais)

c) Coluna 1 proporcional a coluna 4 (filas

paralelas proporcionais)

d) Coluna 3 é combinação linear da coluna 1 e 2

(combinação linear de filas paralelas)

e) Linha 4 é combinação linear da linha 1 e linha 2

(combinação linear de filas paralelas)

3.5. Demonstração

3.6. B

4.1. a) 281 b) 30

4.2. a) 240 b) 1 680

5.1. a) 1

6

b) 𝐴′ = [0 −

1

21

3

2

3

]

c) �̅� = [0

1

3

−1

2

2

3

]

d) 𝐴−1 = [0 2

−3 4]

5.2. a) 𝑥 ≠ 0

b) −1

6

QUESTÕES EXTRAS

1. E

2. C

3. B

4. CCCCC

5. {1}

6. 1/12

7. 𝐷

8. E

9. A


CAIU NO VEST

1. 0

2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦)

3. 1

4. −72

5. {2}

6. 0

7. 033

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