Determinantes
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equações matematicas de determinantes
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MATEMTICA PARA QUMICOS
Prof.Ms.Carlos Henrique Email: [email protected]
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DETERMINANTES um nmero real que se associa a uma matriz quadrada.
AouAdet
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2 ORDEM
Dada a Matriz 222221
1211
xaa
aaA
=
Clculo do Determinante 2 x 2 :
==
2221
1211detaa
aaA
21122211 ..det aaaaA =
OBS.: Dada a matriz ( )jiaA = , de ordem 1, define-se como Determinante de A o seu prprio elemento: jiji aaA =det .
Exemplo: ( ) 4det4 == AA
EXEMPLOS:
01) Achar o valor do determinante da matriz 2216
34
x
A
=.
Resoluo:
141846).3()1.(41634
det =+=
=A
+
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02) Resolver a equao 05123
=
+
x
x
.
Resoluo:
( )( )
==
=
=+
=++
=+
=
+
317
317173
0173022155
0)1.(2)3.(5
05123
Sx
x
x
xx
xx
x
x
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 3 ORDEM Regra de Sarrus:
Dada a Matriz 33333231
232221
131211
xaaa
aaa
aaa
A
=
Clculo do Determinante 3 x 3:
3231
2221
1211
333231
232221
131211
detaa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
AM
M
M
=
312213322311332112322113312312332211 ............det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++=
+ + +
-
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EXEMPLO:
Achar o valor do determinante da matriz
33532410321
x
A
= .
Resoluo:
27det
612165det)2.(1).3()3.(4).1(5.0).2()3.(0.3)2.(4.25.1).1(det
321021
532410321
det
=
+=
++=
=
A
AA
AM
M
M
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n 2
MENOR COMPLEMENTAR Definio:
Consideremos uma matriz M de ordem n 2, seja jia um elemento de M. Definimos
Menor Complementar do elemento jia , e indicamos por jiD , como sendo o determinante
da matriz que se obtm, eliminando-se a linha i e a coluna j que contm o elemento jia considerado.
33333231
232221
131211
xaaa
aaa
aaa
A
=
3332
232211
aa
aaD =
3332
131221
aa
aaD =
2321
131132
aa
aaD =
MATRIZ 3x3 EXEMPLOS DE MENOR COMPLEMENTAR DA MATRIZ A
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COFATOR Definio:
Chama-se cofator de jia o nmero que se obtm multiplicando-se ji+
)1( pelo menor complementar de jia e que representado por jiA .
jiji
ji DA .)1( += TEOREMA DE LAPLACE Definio: O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n 2, a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
EXEMPLO:
Achar o valor do determinante da matriz
33532410321
x
A
=.
Resoluo: Clculo do Determinante pelo Teorema de Laplace:
33532410321
x
A
=
232322222121 ...det AaAaAaA ++=
2332
232222
222112
21 .)1.(.)1.(.)1.(det DaDaDaA +++ ++=
3221
.)1.(45231
.)1.(15332
.)1.(0det 543
+
+
=A
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)43).(1.(4)65).(1.(10det ++++++=A
281det =A
27det =A
OU (escolhendo outra linha ou coluna qualquer)
Clculo do Determinante pelo Teorema de Laplace:
33532410321
x
A
=
323222221212 ...det AaAaAaA ++=
3223
322222
221221
12 .)1.(.)1.(.)1.(det DaDaDaA +++ ++=
4031
.)1.(35231
.)1.(15240
.)1.(2det 543
+
=A
)04).(1.(3)65).(1.(1)80).(1.(2det ++++=A
12116det +=A
27det =A
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ATIVIDADES PRTICAS
Calcular os Determinantes:
1) 2
1213
S={1/2} 2) 511713
S={-12} 3) 4
12
1loglog ba
=
baS
4log
4) 1.2.2
3
42
mm
mmm S={-m} 5)
63513121179
S={121} 6)4532012
nm
S={4m+8n-26}
Determinar x tal que:
1) 01232
=
+
x
xx
S={-1/2;2} 2) 11135422
=
+
xx
xx
S={-1,1/2}
3) 0113122
1=
+x
x
xx
S={1/2} 4) 011
1111
=
x
x
x
S={0;1}
5) 031
4221
=
x
x
x
S={-2;0} 6) xxx
xxx
xx
=
+
423
213110
21
= 3
3S
7) x
x
x
x
+
=
213132
321
292
S={0;3} 8) 120
114312
=
nn
n S={-2;6}
9) 09432
111
2
>
x
x S={-3
