Determinantes Aluno
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DETERMINANTES
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CAP. 5 – DETERMINANTES
5.1 DEFINIÇÕES
DETERMINANTE DE ORDEM 2
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação:
122122112221
1211
2221
1211
22
det
:det
aaaaaa
aaA
aa
aaA
IKIKM
EXEMPLO
1325152
31)det(A
DETERMINANTES
2
DETERMINANTE DE ORDEM 3
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por definição a aplicação:
A
aaa
aaa
aaa
A
IKIKM
det
:det
333231
232221
131211
33
em que det(A) = 3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
= )det()det()det( 131312121111 AaAaAa
onde jA1 é a matriz de ordem 2 que se obtém eliminando a linha 1 e a coluna j, j = 1, 2, 3
DETERMINANTES
3
EXEMPLO
14347)1(3)2(2)81(1
41
103
11
20)2(
14
211
141
210
321
DETERMINANTES
4
DETERMINANTE DE ORDEM N
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por definição a aplicação
nnn
nn
AaAaAaAA
IKIKM
111
12121111 det1detdetdet
:det
onde ijA é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
EXEMPLO
4114102304
21
1011
32
1111
43
0111
321
110
101
1
431
010
011
1
4321
0110
0101
1010
DETERMINANTES
5
PROPRIEDADES
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
1) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
2) TAA detdet .
3) Se A tiver uma linha ou coluna nula, então det(A) = 0.
4) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0.
5) O determinante de A não se altera quando se adiciona a uma linha (ou coluna) de A
uma combinação linear das outras linhas (ou colunas).
DETERMINANTES
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6) det(AB) = det(A) det(B).
7) Se B é uma matriz obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas)
entre si, então AB detdet .
8) Seja A = [A1 ... Aj+Bj ... An ] uma representação de A indicando as suas colunas.
Então:
det(A) = det([A1 ... Aj ... An ]) + det([A1 ... Bj ... An ])
A mesma propriedade aplica-se às linhas.
9) Seja A = [A1 ... Aj ... An ] uma representação de A indicando as suas colunas.
Então:
det(A) = det([A1 ... Aj ... An ])
A mesma propriedade aplica-se às linhas.
DETERMINANTES
7
10) As linhas (ou colunas) de uma matriz A são linearmente dependentes se e só se
det(A) = 0. Logo,
A invertível A é não singular det (A) 0
11) Se A é invertível então )det(
1det 1
AA .
NOTA
Em geral:
BABA detdetdet
AA detdet . De facto, AA n detdet
DETERMINANTES
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5.2 TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE DETERMINANTES
REGRA DE SARRUS (só para matrizes de ordem 3)
Os "termos positivos" de uma matriz A de ordem 3 obtêm-se do produto dos elementos
da diagonal principal e dos produtos dos vértices dos triângulos que têm um dos lados
paralelo à diagonal principal:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Assim, os "termos positivos" são:
a11a22a33, a12a23a31, a21a13a32
DETERMINANTES
9
Os "termos negativos" da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos da diagonal
secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que têm um dos lados paralelo à
diagonal secundária:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Assim, os "termos negativos" são:
a13a22a31, a21a12a33, a11a23a32
Então:
det(A) = + a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 a13a22a31 a21a12a33 a11a23a32
DETERMINANTES
10
EXEMPLO
6210210
)1(1211)1(102)1(2)1(111102
111
101
212
2-1-0210
DETERMINANTES
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ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz triangular
aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente.
EXEMPLO
1321 4
654
320
321
3
1
654
320
13
23
1
654
13
23
1
320
LLLL
12
321
3
1
2300
320
321
3
1
630
320
321
3
1
232
3LL
DETERMINANTES
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FÓRMULA DE LAPLACE
Na definição, o determinante é calculado usando o desenvolvimento segundo a primeira
linha. Este, no entanto, pode ser calculado usando o desenvolvimento segundo qualquer
linha i ou qualquer coluna j do seguinte modo:
Fórmula de Laplace segundo a linha i
inni
inii
iii
i AaAaAaA det1det1det1det 22
211
1
n
jij
jiij Aa
1
det1
Fórmula de Laplace segundo a coluna j
njjn
njjj
jjj
j AaAaAaA det1det1det1det 22
211
1
n
iij
jiij Aa
1
det1
onde ijA é a matriz de ordem 1n obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j.
DETERMINANTES
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Chama-se a ijA o menor-ij da matriz A e chama-se a ijji
Adet1 o cofactor-ij ou
complemento algébrico ij de A.
Os sinais ji
1 podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais: .
EXERCÍCIO
Calcule
0100
1010
0101
0010
usando a fórmula de Laplace, desenvolvendo segundo a 3ª coluna.
DETERMINANTES
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5.3 APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES
CÁLCULO DA INVERSA
Dada uma matriz A de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e denota-se por adj A, à
matriz de ordem n
adj A = ijji
Adet1
onde ijA é o menor-ij da matriz A, ou seja, os elementos de adj A são os complementos
algébricos de A.
Se A for invertível, det(A) 0 e a inversa de A é dada por
TT
AAA
AA adj
det
1
det
adj1
DETERMINANTES
15
EXEMPLO
213
102
211
A 2)det(A
121
10det 11A 1
23
12det 12A 2
13
02det 13A
021
21det 21A 4
23
21det 22A 2
13
11det 23A
110
21det 31A 3
12
21det 32A 2
02
11det 33A
231
240
211
detdetdet
detdetdet
detdetdet
adj
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
111
2/322/1
2/102/1
222
341
101
2
1
231
240
211
2
11
T
A
DETERMINANTES
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REGRA DE CRAMER
Seja A uma matriz não singular, isto é, car(A) = n det(A) 0
A solução do sistema de equações lineares Ax = b, com T
nxxxx 21 , é dada
por
A
Cx
j
jdet
det
onde Cj é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j de A pela coluna b.
DETERMINANTES
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EXEMPLO
23
12
2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
A matriz dos coeficientes do sistema é:
113
112
111
A
det(A) = 6 0 A é não singular
A solução do sistema é:
16
6
6
112
111
112
1x , 26
12
6
123
112
121
2x , 36
18
6
213
112
211
3x