BOXER, Charles R. O império marítimo português, 1415-1825 ...
DFII 1415 TCamadaLimite 3
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Dinâmica dos Fluidos II Teoria da camada limite
Camada limite turbulenta
1 - Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds.
Estrutura da camada limite turbulenta.
2 - Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.
3 - Camada limite turbulenta sobre superfícies rugosas.
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
Osborne Reynolds (1842-1912) distinguiu pela 1ª vez regime laminar e regime turbulento na sua célebre e simples experiência com uma linha de emissão de tinta no interior de um tubo .
Num escoamento permanente:
- Em regime laminar, a velocidade em cada ponto é constante no tempo. - Em regime turbulento, a velocidade tem flutuações instantâneas e aleatórias em torno do valor médio pontual, o qual é constante no tempo. - No regime de transição, entre laminar e turbulento, a velocidade ora estabiliza durante alguns instantes, ora flutua em torno do valor médio pontual.
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
A amostra u(t), representada, é obtida normalmente com equipamento de aquisição de sinal com elevada frequência.
ò+
=Tt
tdttu
Tu
0
0
)(1
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
( ) ( )
u
dtuT
uu
Tt
t
212
20
0
1
Iúûù
êëé ¢
=¢
=ò
+
( )ò+
¢Tt
tdtu
T0
0
21
Definição de Intensidade de turbulência,
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
No perfil laminar, a difusão da quantidade de movimento está limitada pela proximidade molecular. Os perfis de velocidade turbulentos são muito mais cheios que os laminares, devido à elevada difusão turbulenta da quantidade de movimento promovida pelos vórtices.
Tensão de corte laminar, no plano A-A, provocada pela interação próxima de moléculas
Tensão de corte turbulenta, no plano A-A, provocada por vórtices tridimensionais aleatórios.
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
434210
turbulentolaminartotal>
¢¢-=+= vudyud rmttt
Distribuição típica, num escoamento turbulento próximo da parede, de: (a) – tensão total (lam. + turb.) ; (b) – valor médio temporal da componente u.
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
Estrutura da camada limite turbulenta em placa plana lisa: 1 - Subcamada viscosa - (ocupa apenas 2% do perfil) a viscosidade molecular domina:
em que u* designa-se como velocidade de atrito. A velocidade varia linearmente com y. 2 - Subcamada intermédia - de transição, ambos os tipos de tensão são importantes e faz a ligação entre as duas outras regiões. A velocidade varia logaritmicamente com y.
3 - Subcamada exterior - domina a tensão turbulenta e Prandtl demonstrou que os perfis podem ser aproximados por uma lei de potência:
71
÷øö
çèæ@
¥ dy
Uu
rt
npucomuy
uuyu ==Û= ++ *
*
*
0.541.01 *
* +÷÷ø
öççè
æ=
nuyln
uu
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
Estrutura da c. limite:
1 - Subcamada viscosa;
2 - Subcamada intermédia;
3 - Subcamada exterior
Nota: Atenção à desproporção
gráfica devida à escala logarítmica
do eixo das abcissas.
Ex: a subcamada 3 é muito mais
extensa do que a 1, facto que o
gráfico não evidencia.
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
11
11
*
0
1*
+=Þ
+=
úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ-= ò nn
dyy n
ddd
dd
d
Embora sem ligação à física do escoamento, uma lei de potência representa razoavelmente bem todo o perfil, simplificando o estudo quando se pretendem os parâmetros integrais.
Por exemplo, de acordo com as definições:
nyUu
1
÷øö
çèæ@
¥ d
( )( )211
1
0
1
++=Þ
úúû
ù
êêë
é-÷
øö
çèæ= ò nn
ndyyy nn
dq
ddq
d
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
Prandtl demonstrou que a
conhecida lei de potência 1/7
reproduz razoavelmente bem todo
o perfil turbulento sobre placa
plana lisa, simplificando a análise
integral da camada limite.
71
÷øö
çèæ@
¥ dy
Uu
71
÷øö
çèæ@
¥ dy
Uu
Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.
Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.
Análise integral da c. l. turbulenta
Recorrendo à relação integral de von Karman para a q. de movimento: Como, por definição, , vem: Aproximando toda a camada limite pela lei logarítmica: Das definições de cf e u*, o 1º membro da lei logarítmica, para y = d e u=U, vem:
dxdUxp
qrt 2)( =
dxdc f
q2=
r
t
npucomuyln
uu
=+÷÷ø
öççè
æ= *
*
* 0.541.01
21
*
2÷÷ø
öççè
æ=
fcuU
2
2Uc p
f r
t=
Por outro lado: Então, aplicando a lei logarítmica em δ, verifica-se que se trata duma lei de atrito, cf = f(Re), para escoamento turbulento: Apesar de ser uma lei complicada, a tabela abaixo mostra alguns valores:
21
*
2 ÷÷ø
öççè
æ×=×=
*fc
ReUuUu
dnd
nd
0.52
44.22 212
1
+úú
û
ù
êê
ë
é÷÷ø
öççè
æ×=÷
÷ø
öççè
æ f
f
cReln
c d
Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.
Análise integral da c. l. turbulenta
Segundo Prandtl, podemos ajustar estes valores por uma lei bem mais simples: Use-se esta lei como o lado esquerdo da expressão Use-se agora a lei de potência 1/7 e a definição de q para obter o lado direito. Portanto, substituindo, vem:
61
02.0 -×= dRec f
dxdc f
q2=
dqdd
qdd
72711
71
0
71
0
=Ûúúû
ù
êêë
é-÷
øö
çèæ=÷
øö
çèæ -= òò dyyydy
Uu
Uu
dxd
dxdRe ddd 72
14727202.0 6
1=÷
øö
çèæ=× -
Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.
Análise integral da c. l. turbulenta
donde: obtendo-se finalmente a relação: isto é, δ cresce com x6/7 , mais rápido que em laminar com x1/2. Pode-se concluir sobre os restantes parâmetros integrais:
76
67
61
16.06
772.972.972.9 xx
x
ReReReRedRedRe
dxdRe ×=®=®=×=-
ddd
dd
71
xRex16.0
=d
71
61
76
61 027.016.002.002.0
xfxf
RecReRec @Þ÷
øöç
èæ ×=×=
--
d
Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.
Análise integral da c. l. turbulenta
CA é apenas 16% maior que cf (L) enquanto que em laminar CA é o dobro de cf (L). A espessura de deslocamento é obtida pela definição:
e o factor de forma é:
( ) ( )
( )LcCRe
C
ReLL
LLbU
LUbC
fAL
A
LA
67031.0
16.07214
72722
21
71
71
2
2
»Þ@
Þ×=×=== -dqr
qr
811 *
0
71
0
* ddd
ddd
=Ûúú
û
ù
êê
ë
é÷øö
çèæ-=÷
øö
çèæ -= òò dyydy
Uu
Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.
Análise integral da c. l. turbulenta
3.1*
@=qdH
Camada limite turbulenta sobre superfícies rugosas.
O CA está representado no gráfico ao lado para superfícies rugosas e também para superfícies lisas (laminar e turbulento).
O parâmetro de rugosidade nas placas é L/ε , por analogia com ε/D nos tubos rugosos.
Uma curva que ajusta bem CA, em regime completamente rugoso, é:
5.2
62.189.1-
÷øö
çèæ +=
eLlogCA