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Diagrama de BodeFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Diagrama de Bode

Função resposta de frequência

Análise dos factores elementaresGanho KFactores derivativo e integralFactores de 1ª ordemFactores de 2ª ordem

Sistemas de fase mínima/não mínima

Relação entre resposta ao escalão e resposta de frequência

Identificação de sistemas a partir da resposta de frequência



Função resposta de frequência thjH TF

)(sH tutAtx 1sin ?)( tyest

jHarg

tutjHAtyest 1sin)(

w t



Diagrama de Bode Representação gráfica de

jωs

sHjH

Característica de amplitude

jHjHdB

log20

Característica de fase

jHarg

escala linear

0 escala logarítmica



Diagrama de Bode Representação gráfica de

jωs

sHjH

n

ii sHsH

1

Função de transferência

n

ii jHjH

1

Resposta de frequência

n

idBi

n

iidB

jHjHjH11

log20

n

ii jHjH

1

argarg soma das contribuições dos factores elementares jH i

Factores elementares:

Ganho K Factores integral (polo na origem) ou derivativo (zero na origem) Factores de 1ª ordem (polo ou zero real) Factores de 2ª ordem (par de polos ou par de zeros complexos conjugados)



Análise dos factores elementares Ganho K

KjHKsH

KjH

KjH

dBlog20

0;0;0arg

KKjH

Exemplo: 100sH



Análise dos factores elementares Factor derivativo

jjHssH

log20

dBjH

jjH

2

arg jH

01 dB

jH

sRe

sIm



Análise dos factores elementares Factor integral

j

jHs

sH11

log20

11

dBjH

jjH

2

arg jH

01 dB

jH sRe

sIm



Análise dos factores elementares


Ganho:

Polo na origem:

100K

s

1

Exemplo

s

sH100



Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: polo real

Tj

jHsT

TsTsH

1

1

1

11

1

sRe

sIm

T/1

22

1log201

1TjH

TjH

dB

Caracteristica de amplitude:

Baixa frequência: T1

dB 0dB

jH

Alta frequência: T1

TTjHdB

log20log20 2

dB

jH

0

T1

dB/década 20

frequência de corteganho estático unitário




Tj

jHsT

TsTsH

1

1

1

11

1

sRe

sIm

T/1

TTjjH arctan1argarg

Caracteristica de fase:


rad 0arg jH


rad 2

arg jH

jHarg

0

2

T10

T101

T1

4

rad 4

1arctan1

arg1

TjH

T




Tj

jHsT

TsTsH

1

1

1

11

1

sRe

sIm

T/1



Análise dos factores elementaresExemplo

101.0

10

sssH


Ganho:

Polo real:

Polo real:

100 K

1.0

1.0

s

10

10

s



Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: zero real

22 1log201 TjHTjHdB



dB 0dB

jH


TTjHdB

log20log20 2

dB

jH

0

T1

dB/década 20

ganho estático unitário

TjjHsT

T

TssH

11

1

1

sRe

sIm

T/1




TTjjH arctan1argarg



rad 0arg jH


rad 2

arg jH

jHarg

0

2

T10

T101 T

1

4

rad 4

1arctan1

arg1

TjH

T

Factor 1ª ordem: zero real

TjjHsT

T

TssH

11

1

1

sRe

sIm

T/1



Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: zero real

TjjHsT

T

TssH

11

1

1

sRe

sIm

T/1




1.0

101.0

s

ssH


Ganho:

Polo real:

Zero real:

100 K

1.0

1.0

s

10

10s



Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: polos complexos conjugados

sRe

sIm

n

21 nj

21 nj

n

nj

nj

n

nnnn

nn

n

j

jHssss

sH

21

1

21

1

2 2222

2

10

222

222

21log20

21

1

nndB

nn

jH

jH





222

21log20

nndB

jH


Baixa frequência: n

dB 0dB

jH

Alta frequência: n

nndB

jH

log40log20

4

dB

jH

0 n


dB/década 40




nnnn

nn

n

j

jHssss

sH

21

1

21

1

2 2222

2

10

2

1

2

arctanarg

n

njH



rad 0arg jH

Alta frequência: n

rad arg jH

jHarg

0

n1010n n

2

rad 2

arg nn jH




22

2

2 nn

n

sssH

10

frequência de ressonância:

2

2

12

1

21

ξjH r

nr

frequência de natural:

2

1 nn jH



Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: zeros complexos conjugados

nnnnn

nn jjHssss

sH

21212

22

2

22

10

222

222

21log20

21

nndB

nn

jH

jH


sRe

sIm

n

21 nj

21 nj

n

nj

nj

n




222

21log20

nndB

jH



dB 0dB

jH

Alta frequência: n

nndB

jH

log40log20

4

dB

jH

0n


dB/década 40




2

1

2

arctanarg

n

njH



rad 0arg jH

Alta frequência: n

rad arg jH

jHarg

0

n1010n n

2

rad 2

arg nn jH

nnnnn

nn jjHssss

sH

21212

22

2

22

10

Factor 2ª ordem: zeros complexos conjugados




2

22 2

n

nnsssH

10

frequência de ressonância:

2

2

12

21

r

nr

jH

frequência de natural:

2 nn jH




42

24

1020

12.010

sss

sssH


Polo na origem:

Polos complexos:

Zeros complexos:

s

1

42

4

1020

10

ss

1

12.02 ss




jHjH 22

22

11

10

1

101

s

ssH

sRe

sIm

10 1

1

102

s

ssH

sRe

sIm

101




1

101

s

ssH

sRe

sIm

10 1

1

102

s

ssH

sRe

sIm

101

arctan10

arctanarg 1

jH arctan

10arctanarg 2

jH



Resposta ao escalão vs. resposta de frequência

21

1

s

sHganho estático = ganho de baixa frequência

1rad argedB 0 0dB0 yKK

ganho de alta frequência

00dB limdB

yjH




21

s

ssHganho estático = ganho de baixa frequência

0dB dB0 yK


00dB limdB

yjH




2

20

s

ssHganho estático = ganho de baixa frequência

10rad 0argedB 20 0dB0 yKK


10

rad 0arglim

dB 0limdB

yjH

jH



Largura de banda a 3 dB

A largura de banda (LB) a 3 dB é a dimensão da banda de frequências para a qual o módulo da função resposta de frequência não cai mais de 3 dB em relação ao ganho de baixa frequência



Largura de banda vs. rapidez de resposta

1

11 )(

s

sH2

22 )(

s

sH12

Quanto maior for a largura de banda, maior é a rapidez de resposta do sistema



Polos dominantes/não dominantes

sRe

sIm

21 nj

pn

21 nj



Polos dominantes/não dominantes

sRe

sIm

1p2p

z



Identificação de sistemas Exemplo I

2.0rad 0argdB 14

00

dB0

KK

K

1 polo em

1 zero em

1 polo em

1s

40s

200s

200

200

40

40

1

12.0

s

s

ssH

2001

40

ss

ssH



Identificação de sistemas Exemplo II

5rad argdB 14

00

dB0

KK

K

1 zero em

1 polo em

1s

20s

20

20

1

15

s

ssH

20

1100

s

ssH



Identificação de sistemas Exemplo III

década/dB 20 declive

Baixa frequência:

1 polo na origem




Polo na origem

Sistema original




Sistema sem o polo na origem




2

40

80

1 2

ss

ssH

10rad 0argdB 20

00

dB0

KK

K

1 polo em

2 zeros em

2s40s

2

2

40

40

2

2110

s

sssH

Com o polo na origem

Sem o efeito do polo na origem



Identificação de sistemas Exemplo IV


Baixa frequência:

1 zero na origem




Sistema original

Zero na origem

Sistema original




Sistema sem o zero na origem





1 par de polos complexos conjugados com

1 polo real em 10s

rad/s 10n

Sem o efeito do zero na origem

10rad 0argdB 20

00

dB0

KK

K

Baixa frequência:

Alta frequência:

rad/s 10 paradécada/dB 60 declive






Polo real




Sistema sem o zero na origeme o polo real




1 par de polos complexos conjugados com rad/s 10n

Sem o efeito do zero na origem e do polo real

10rad 0argdB 20

00

dB0

KK

K

Baixa frequência:

Alta frequência:


14 dB

pico de ressonância:

1.02

15dB 14




Resumo:

1 zero na origem

polo real em

1 par de polos complexos conjugados com

10Ganho

10s

1.0 rad/s, 10 n

22

2

102

10

10

1010

sssssH

22

4

10210

10

sss

ssH



Identificação de sistemas Exemplo V

10rad argdB 20

00

dB0

KK

K

100

100

10

1010

s

ssH

10

100

s

ssH

1 polo com

1 zero com

rad/s 10rad/s 100

Mas polo no SPCE porque

fase diminui ( )zero no SPCD porque

fase diminui ( )

10s

100s



Identificação de sistemas Exemplo VI

Fase diminui:

1 polo real duplo em 10sMas polo no SPCE porque

fase diminui ( )zero no SPCD porque

fase diminui ( )

10s

100s

10rad 0argdB 20

00

dB0

KK

K

Baixa frequência:

Alta frequência:

rad/s 10 paradécada/dB 40 declive

Fase diminui em vez de :

par polo (SPCE)/zero (SPCD)

2



Identificação de sistemas Exemplo VI

Fase sem o efeito do polo real duplo em 10s

polo (SPCE):

zero (SPCD):

100s100s

Resumo:

polo real duplo em

1 polo em

1 zero em

10Ganho

10s

100s

100s

100

100

100

100

10

1010 2

2

s

sssH

10010

1001000 2

ss

ssH

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