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Diagrama de Nyquist

Paulo R. Brero de Campos

UTFPR

June 24, 2022

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IntroducaoA analise de Nyquist e um metodo de resposta em frequencia

essencialmente grafico para determinar a estabilidade relativa e absolutade um sistema de controle em malha fechada.

Figure 1: Percurso fechado no plano s

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Definicoes

Um contorno fechado em um plano complexo e uma curva contınuacomecando e terminando no mesmo ponto.

Figure 2: Contorno fechado

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Todos os pontos a direita de um contorno enquanto ele percorre umadeterminada direcao sao ditos serem envolvidos por ele.

Figure 3: Envolvimento do contorno

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Um contorno no sentido dos ponteiros do relogio e definido como sendopositivo.

Figure 4: Direcao do contorno

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Circundado e envolvidoE necessario diferenciar circundado e envolvido.

Um ponto e circundado por um contorno fechado se ele se situar dentro docontorno.Tudo que estiver a direita do contorno e dito ser envolvido por estecontorno.

Figure 5: Circundado e envolvido

O ponto A e circundado e envolvido pelo contorno. O ponto B ecircundado, mas nao e envolvido. O ponto C nao e circundado, mas eenvolvido.Paulo R. Brero de Campos (UTFPR) Diagrama de Nyquist June 24, 2022 6 / 31

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Mapeamento

Dado um ponto no plano s, ele e representado por s = σ + jω. Dadauma funcao de transferencia P(s), nao e possıvel representar esta funcaono plano s.Mas e possıvel representa-la em outro plano denominado plano P(s). Acorrespondencia entre pontos nestes planos e chamado mapeamento outransformacao. Isto e mostrado na figura 6:

Figure 6: Mapeamento

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Qual o objetivo do metodo de Nyquist?

O objetivo do diagrama de Nyquist e fazer uma varredura nosemiplano direito do plano s, utilizando um contorno fechado, paraverificar se ha polos em malha fechada no semiplano direito.Para fazer a varredura escolhe-se um percurso fechado, como mostrado nafigura 7:

Figure 7: Percurso fechado no plano s

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Percurso fechado no Plano S

1 O percurso comeca no ponto a e vai para o ponto b, no eixo s = jω.Isto e, variacao de jω = 0 ate jω =∞.

2 O percurso do ponto b para o ponto c e para o ponto d, e feitacom um cırculo de raio infinito: s = lim

R→∞Re(jθ), −900 ≤ θ ≤ 900.

3 O percurso final vai do ponto d para o ponto e, no eixo s = jω. Istoe, variacao de jω = −∞ ate jω = 0.

Estes valores da variavel S sao substituıdos na funcao de transferenciaG (s)H(s), gerando um percurso fechado no plano G (s)H(s).

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Exemplo

Dada a funcao de transferencia GH(s) = 1s+1 , o mapeamento do

semiplano direito do plano S resulta no percurso mostrado na figura 8.Note que a regiao de limR→∞ Re jθ e mapeada no ponto b′, c ′, d ′.

Figure 8: Percurso fechado no plano GH(s)

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Se houver alguma singularidade (polo ou zero) no trajeto, ela deve serevitada. Faz-se um desvio contornando a singularidade com um raiotendendo a zero, como mostrado na figura 9.

Figure 9: Percurso fechado no plano s

O percurso fechado no plano s resulta em um percurso fechado equivalenteno plano GH(s), isto e, o percurso no plano s e mapeado no plano GH(s).

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Um contorno fechado no plano P(s) e dito fazer N envolvimentospositivos da origem se uma linha radial, tracada da origem a um pontosobre a curva P(s), esta no sentido dos ponteiros do relogio (SP) por 360N graus, percorrendo completamente o percurso fechado, como mostradona figura 10. Se o percurso e percorrido no sentido contrario dos ponteirosdo relogio(SI), e obtido um envolvimento negativo.

Figure 10: Um envolvimento da origem no Plano P(s)

O numero total de envolvimentos N e igual aos envolvimentos SP menosos envolvimentos Si.Se a origem estiver envolvida: N > 0.Se a origem nao estiver envolvida: N ≤ 0.Paulo R. Brero de Campos (UTFPR) Diagrama de Nyquist June 24, 2022 12 / 31

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No que se baseia o criterio de Nyquist?Veja o seguinte exemplo, na figura 11:

Figure 11: a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no planoF(s)=GH(s)

Sera feito um percurso fechado no plano S ao redor do polo s=1, mostradoem (a) na figura 11. Atraves desta trajetoria no plano s, obtem-se atrajetoria no plano F(s), mostrado em (b) na figura 11. Note que opercurso F(s) circunda mas nao envolve a origem dos eixos, assim N=-1.

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Diferenca entre os planos GH(s) e 1 + GH(s)O desenho do grafico no plano (1 + GH(s)) e o mesmo que o desenho

do grafico de GH(s), apenas deslocado de 1.

A analise no plano GH(s) verifica se ha envolvimento da origem.

No plano (1 + GH(s)), verifica se ha envolvimento do ponto (−1, 0j). Poisa origem do plano (1 + GH(s)) equivale ao ponto (−1, 0j) no plano G (s).

Figure 12: Comparando GH(s) e (1+GH(s))Paulo R. Brero de Campos (UTFPR) Diagrama de Nyquist June 24, 2022 14 / 31

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Comparacao plano G(s) e plano (1+G(s))

Figure 13: Comparando GH(s) e (1+GH(s))

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Dada uma funcao 1 + GH(s), ao percorrer um contorno fechado no planos, os polos e zeros externos a este contorno terao defasamento zero.Os polos zeros dentro do contorno terao defasamento ±2π, comomostrado na figura 14.

Figure 14: Fase dentro e fora do contorno C

Este contorno fechado no plano s corresponde a um contorno fechado noplano 1 + GH(s). Quando o contorno de 1 + GH(s) engloba a origem,como mostrado em (b) da figura 11, significa que o contorno no plano senvolveu um polo.

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Figure 15: Plano G(s)

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Figure 16: Plano 1 + G(s)

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Figure 17: Comparacao Plano G(s) e Plano 1 + G(s)

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Princıpio do argumento ou teorema de Cauchy

Seja P o numero de polos e Z o numero de zeros de 1 + GH(s) envolvidospor Γ.

Como para cada zero envolvido, o vetor 1 + GH(s) sofre uma rotacao de(−2π) em torno da origem do plano 1 + GH(s) (sentido dos ponteiros dorelogio).

Como para cada polo envolvido, o vetor 1 + GH(s) sofre uma rotacao de(+2π) em torno da origem do plano 1 + GH(s) (sentido contrario dosponteiros do relogio).

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Conclui-se que a variacao de fase resultante ∠1 + GH(s), ou seja, onumero de vezes que a origem do plano 1 + GH(s) e envolvida indica adiferenca entre o numero de polos (P) e o numero de zeros (Z) envolvidospelo contorno Γ.

∠(1 + GH(s)) = 2π(Z − P)

N = Z − P

onde, N = e o numero de envolvimentos da origem; e Z e P sao osnumeros de zeros e polos envolvidos pelo contorno no plano S, que sao ospolos e zeros da funcao 1 + GH(s).

Lembrando que F (s) = G1+GH , entao os zeros de 1 + GH(s) sao os polos

da funcao de transferencia em malha fechada. E os polos de 1 + GH(s)sao conhecidos, pois sao os polos de GH(s).

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Criterio de estabilidade de Nyquist

Os diagramas de 1 + GH(s) e GH(s) sao iguais, apenas deslocados deuma unidade. Entao em vez de verificar se o ponto 0 no plano 1 + GH(s)foi envolvido pelo contorno, verifica-se o ponto −1 no plano GH(s).Assim, o criterio de Nyquist ja e enunciado para o plano GH(s).

Criterio de Nyquist: Uma condicao necessaria e suficiente para aestabilidade em malha fechada de um sistema definido por GH(s) e que:

Z = N + P = 0

Ou seja, que N = −P ≤ 0, onde N e igual ao numero de envolvimento doponto -1 no plano GH(s) e P corresponde ao numero de polos instaveis deGH(s).

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Exemplo

Z = N + P

N = Z − P

N= numero de envolvimentos

Z=numero de raizes da equacao 1+GH(s) envolvidos (zeros)

P=numero de polos envolvidos (polos instaveis que estao no Semi-planodireito)

Se a funcao de transferencia nao tiver polos instaveis: P=0.

Entao: N=Z.

Dada a funcao G (s) = Ks(s+1)(s+5) , os diagramas de Nyquist para K=1 e

K=40 sao mostrados:

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Figure 18: Exemplo

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Exemplos

Considere o sistema G (s) = 1s(s+1) . O percurso a ser seguido no plano S e

mostrado na figura 9.Inicia-se pelo caminho ab: faz-se s = jω para 0 < w <∞. A funcao detransferencia pode ser escrita como:

GH(jω) =1

jω(jω + 1)=

1

ω√ω2 + 1

∠−900 − tan−1ω (1)

Para os valores extremos, tem-se:

lims→0

GH(jω) =∞∠−900 lims→∞

GH(jω) = 0∠−1800 (2)

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Na medida que ω cresce no intervalo 0 < ω <∞, a magnitude de GHdecresce de ∞ a 0 e a fase decresce de −90 a −180.O caminho de e o espelho de ab.O caminho bcd e mapeado na origem.Para o caminho efa, busca-se evitar o polo, fazendo um cırculo de raiotendendo a zero: s = limρ→0 ρe

jθ para −90 ≤ θ ≤ 90

limρ→0

GH(ρe jθ) = limρ→0

1

ρe jθ(ρe jθ+1)= lim

ρ→0

1

ρe jθ=∞e−jθ =∞∠−θ (3)

O caminho efa e mapeado em um semicırculo de raio infinito.

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Figure 19: Contorno fechado no plano GH

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Resumo

Um sistema linear em malha fechada e absolutamente estavel se as raızesda equacao caracterıstica tem partes real negativa.

De forma equivalente, os polos da funcao de transferencia em malhafechada, que sao os zeros do denominador de 1 + GH(s), devem estar nosemi plano esquerdo.

O criterio de Nyquist determina o numero de zeros da equacaocaracterıstica 1 + GH(s) no lado direito do plano s, diretamente dodesenho no plano GH(s).

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Equacao em malha fechada

MF = G(1+GH)

1 + GH e a equacao caracterıstica.

Ela determina os polos em malha fechada, pois esta no denominador.

Os polos da funcao de transferencia em malha fechada equivalem aoszeros da equacao caracterıstica.

No criterio de Nyquista avaliamos os zeros da equacao caracterıstica(1 + GH).

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Figure 20: Resumo

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Duvidas?

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