FUNDAÇÃO MUNICIPAL DE ENSINO DE PIRACICABA

ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA

ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA

ESTÁTICA II MECÂNICA GERAL II DIAGRAMAS DE ESFORÇOS Prof. Otavio José Menegali

1

ESTÁTICA ELEMENTAR APLICADA

Consideremos um elemento estrutural sob a ação de várias forças aplicadas ao longo dele. Imaginemos passar um corte pelo elemento com o objetivo de estudarmos determinada seção. Antes de cortarmos, as ações eram equilibradas pelas reações; depois de feito o corte, o equilíbrio só continuará se considerarmos esforços atuando na seção cortada que a mantinha unida ao restante da estrutura. Este esforço é resultante da ação distribuída em cada ponto da seção e atua num ponto qualquer da seção. Transladando-o ao Centro de Gravidade da seção (pois com isso haverá simplificação no equacionamento futuro), surgirá a ação do esforço Momento. Assim sendo, teremos no CG, uma Força e um Momento, que mantêm o equilíbrio da seção cortada. No caso geral, estes esforços atuam em direções quaisquer. Para melhor entendimento destes esforços, iremos decompo-los em três direções. A componente da força sobre o eixo x que é perpendicular à seção, portanto normal a ela, será chamada de Esforço Normal e identificada pela letra N . As componentes da força sobre a seção (eixos y e z) tendem a cortar a mesma, por isso serão chamadas de Esforços Cortantes e serão identificadas pela letra Q . Temos portanto Q y e Q z . Raciocínio análogo será aplicado ao vetor Momento, decompondo-o sobre os três eixos : A componente sobre o eixo x chamada de M x causa giro em torno do eixo x provocando Torção no elemento . Razão pela qual é chamada de Momento Torsor e identificada por M t .

2

As componentes sobre os eixos y e z chamadas de M y e M z causam giro em torno dos eixos y e z respectivamente, o que é chamado de Flexão e estes momentos são chamados Momentos Fletores. O dimensionamento de elementos estruturais será feito a partir dos valores destes seis esforços solicitantes, que podem variar ao longo do comprimento destes elementos. Com a finalidade de conhecermos estes valores, construiremos os Diagramas de Esforços

Simplificação no caso plano Estudaremos inicialmente estruturas planas, considerando os esforços que produzem efeito no plano xy. Desta forma apenas três dos seis esforços produzirão tal efeito: o Normal ( N ), o Cortante ( Q y ) e o Momento Fletor ( M z ) .

Vinculação dos Sistemas Planos Consideremos os seguintes elementos estruturais : Barra – Elemento estrutural que apresenta uma dimensão bem maior que as outras duas e que resiste apenas a esforços aplicados na direção de seu eixo. Será representada por um traço fino . . Chapa – Elemento estrutural que resiste a qualquer um dos seis esforços solicitantes. Será representada por um traço cheio . Nó – Articulação em que são unidas duas ou mais barras entre si, exclusivamente. Será representado por uma circunferência . Vínculos – Apoios ou articulações pelas quais são unidas as chapas entre si ou as chapas com a "chapa-terra". Têm diversas representações que estão detalhadas a seguir : 1 ) Apoio Fixo – Retira da estrutura dois graus de mobilidade, impe- dindo deslocamento em duas direções, pela ação de duas forças chamadas de reações de apoio. É representado por

3

2 ) Apoio Móvel – Retira da estrutura um grau de mobilidade, impedindo deslocamento em uma direção, pela ação de uma força, chamada reação de apoio. É representado por 3 ) Engaste Móvel – Retira da estrutura dois graus de mobilidade impedindo deslocamento em uma direção e giro pela ação de uma força e um momento. É representado por 4 ) Engaste Fixo – Retira da estrutura três graus de mobilidade impedindo deslocamento em duas direções e giro pela ação de duas forças e um momento. É representado por 5 ) “Rótula” – Nome dado ao vinculo no qual duas ou mais chapas são unidas entre si . É representado por Exemplos:

Como objetivo de classificar as estruturas, devemos ainda fazer um estudo dos vínculos quanto à sua substituição pelas barras vinculares, isto é, a cada vínculo será associado um número de barras vinculares igual ao número de graus de mobilidade que retiram da estrutura . Estudando cada vínculo isoladamente temos:

4

1 ) Apoio Fixo – É equivalente a duas barras vinculares, pois retira da estrutura, dois graus de mobilidade pela ação de duas forças. 2 ) Apoio Móvel – É equivalente a uma barra vincular, pois retira da estrutura, um grau de mobilidade pela ação de uma força. 3 ) Engaste Móvel – É equivalente a duas barras vinculares, pois retira da estrutura, dois graus de mobilidade pela ação de uma força e de um momento. 4 ) Engaste Fixo – É equivalente a três barras vinculares, pois retira da estrutura, três graus de mobilidade pela ação de duas forças e de um momento. 5 ) “Rótula” – O número de graus de mobilidade depende do número de chapas que concorrem na união, sendo dado pela expressão: b v = número do barras vinculares c = número de chapas que concor- rem na união Veremos que, para a classificação importará o número de barras total da estrutura, que será dado pela soma da barras vinculares com as barras reais.

Classificação das Estruturas Considerando numa estrutura: b , o número de barras ( reais + vinculares ) c , o número de chapas n , o número de nós iremos classificá-la de acordo com as expressões

5

1 ) Se b < 3c + 2n – Estrutura Hipostática , Indeterminada ou Móvel . São estruturas que não são estáveis para qualquer tipo de carregamento. Não devem ser construídas. 2 ) Se b = 3c + 2n – Estrutura Isostática ou Determinada. São estruturas que são estáveis para qualquer tipo de carregamento e podem ser resolvidas apenas com as equações de equilíbrio da Estática. 3 ) Se b > 3c + 2n – Estrutura Hiperestática ou Superdeterminada. São estruturas estáveis para qualquer tipo de carregamento, porém, para serem resolvidas necessitam de um processo auxiliar, pois apenas as três equações de equilíbrio da Estática são insuficientes. Há ainda uma quarta classificação denominada "Caso Excepcional" que será estudada mais adiante. Exemplos:

Estudo dos Esforços Solicitantes

Os elementos estruturais suportam os diversos tipos de carregamento, tais como : a) Carga Concentrada – Carga de efeito local, isto é, seu efeito se dá no ponto de aplicação. Representa a ação de uma viga que descarrega em outra viga, a

6

ação da correia e polia num eixo de máquina, etc. Esquematicamente representamos por uma seta b) Carga Distribuída – Carga que atua ao longo do elemento estrutural e cujo efeito é gradativo. Como exemplo, temos o peso próprio de vigas e eixos, carga de parede , de laje , de cobertura sobre viga, etc. Esquematicamente representamos como está ilustrado abaixo Além destes dois , mais freqüentes , há outros, como Momento Aplicado que serão vistos oportunamente. O efeito destes carregamentos sobre a estrutura geram os Esforços Solicitantes que são : 1) Esforço Cortante – Componente da força resultante perpendicular ao eixo da estrutura, agindo portanto, no plano da seção estudada. Decompondo-o nas direções vertical e horizontal deste plano temos o Cortante na direção de y ( Q y ) e na direção de z temos ( Q z ) . Como estamos no caso plano só existirá o Cortante Q y , que será designado apenas por Q . Convenção de Sinais No diagrama de esforços, Cortante Positivo será desenhado acima da linha que representa o eixo da estrutura e Cortante Negativo será desenhado abaixo da linha que representa o eixo da estrutura. 2) Esforço Normal – Componente da força resultante na direção do eixo da estrutura ( eixo x ). Há dois sentidos possíveis : tração e compressão.

7

Convenção de Sinais No diagrama de esforços, Normal Positivo será desenhado acima da linha que representa o eixo da estrutura e Normal Negativo será desenhado abaixo da linha que representa o eixo da estrutura. 3) Momento Fletor – Componente do vetor Momento, decomposto na direção do eixo z ( as componentes sobre x e sobre y não estão sendo estudadas pois seus efeitos não atuam no plano xy ) . Este esforço causa simultaneamente, tração e compressão nas duas regiões separadas pelo eixo z. Convenção de Sinais No diagrama de esforços, Momento Positivo será desenhado ABAIXO da linha que representa o eixo da estrutura e Momento Negativo será desenhado ACIMA da linha que representa o eixo da estrutura. Observar que a maneira de se desenhar os diagramas é feita por Convenção, sendo que as descritas são adotadas pela maioria dos autores.

Traçado dos Diagramas de Esforços

Uma estrutura carregada sofrerá a ação dos Esforços Solicitantes que são variáveis ao longo dela. O objetivo do traçado dos Diagramas é determinar os valores deles em cada ponto da estrutura para futuro dimensionamento, isto é, dar as dimensões necessárias à seção para que não haja erro nem por falta, nem por excesso. Com objetivo de agilizar este traçado, analisaremos isoladamente cada carregamento. 1) Carga Uniformemente Distribuída Para resolver este problema, precisa-remos substituir a carga distribuída por uma única força, que seja equivalente a este carregamento. Esta carga equivalente será igual à ÁREA da figura que representa o carregamento e estará localizada no CENTRO DE GRAVIDADE da figura que representa o carregamento. Consideremos o exemplo ilustrado A primeira etapa consiste no cálculo das reações de apoio. Como se trata de estrutura

8

isostática, podemos calculá-las apenas com as três equações de equilíbrio da Estática. F H = 0 H = 0 F V = 0 V 1 – q + V 2 = 0 V 1 + V 2 = q q M A = 0 q . ----- – V 2 . = 0 V 2 = ------- 2 2 Substituindo em V 1 + V 2 = q temos: q q q V 1 + ------- = q V 1 = q – ------- V 1 = ------- 2 2 2 No traçado do Diagrama de Cortante, adotemos os pontos A (no apoio à esquerda), B (no apoio à direita) e S (ponto móvel), identificado pela distância genérica x . Sabemos que Cortante é o esforço perpendicular ao eixo da estrutura e para extremos de estrutura, a resultante das forças ali aplicadas já é igual ao Cortante no ponto. Portanto em A, o Cortante vale Q A = +V 1 , de acordo com a convenção de sinais. q Q A = ------- 2 Já em B, também temos extremo de estrutura e a resultante das forças perpendiculares ao eixo da estrutura é V2. Pela convenção de sinais este Cortante é negativo. Portanto em B –q Q B = ------- 2 Na seção genérica S teremos q Q S = ------- – q x 2 De onde tiramos que para x = 0 q Q S = Q A = ------ e para x = , 2

9

–q Q S = Q B = -------- coincidindo com os valores já calculados . Portanto a ex- 2 pressão de Q S é a expressão geral do Cortante para este tipo de carregamento. Esta expressão tem como gráfico, uma reta inclinada. Dai podemos afirmar: "Carga Uniformemente Distribuída apresenta como gráfico de Cortante, uma reta inclinada"

Traçado do Diagrama de Momento

Analogamente calcularemos o Momento em A , B e S. No cálculo do Momento, devemos sempre nos fixar no ponto onde se quer o Momento e tomar apenas a porção da estrutura à esquerda OU a porção da estrutura à direita. Em seguida tomamos cada uma das forças e a multiplicamos pela respectiva distância de sua linha de ação até o ponto considerado, respeitando a convenção de sinais. Calculando o Momento em A, teremos : M A = –q . ----- + V 2 . 2 Substituindo V 2 , temos: q M A = –q . ----- + ------- . M A = 0 2 2 Calculando o Momento em B, temos : M B = –q . ------ + V 1 . 2 Substituindo V 1 , temos: q M B = –q . ------ + ------- . M B = 0 2 2 Calculando o Momento em S, temos : x M S = –q x . ----- + V1 . x 2 Substituindo V 1 , temos: x q M S = –q x . ----- + ------ . x 2 2

10

–q q M S = ----- x 2 + ------- . x 2 2 que é a equação de uma parábola do 2º grau. Como o coeficiente que acompanha x 2 é negativo, teremos o vértice voltado para cima. Contudo devido à nossa convenção de sinais, na qual Momento Fletor positivo é desenhado abaixo, o desenho da parábola será com o vértice voltado para baixo. Terá importância fundamental no dimensionamento, o valor do Momento Fletor Máximo, pois este será o valor utilizado. No caso em análise percebemos que este valor ocorrerá no ponto médio entre os apoios, pela análise da parábola. Contudo no caso geral, haverá outra maneira de encontrarmos o ponto onde ocorre o Momento Fletor Máximo e o seu valor. Para isto, derivemos a função Momento Fletor : d M d –q q -------- = ------ ( ------ x 2 + ------- . x ) d x d x 2 2 d M q -------- = -------- – q x = Q d x 2 d M Portanto ------- = Q d x Sabemos que, quando a derivada de uma função se anula, teremos para este ponto, o valor de máximo ou de mínimo (neste caso teremos máximo) da função principal. Portanto: “O momento máximo ocorrerá na abscissa de Cortante nulo” d M q ------- = ------- – q x = Q = 0 d x 2 q ------- = q x x = ------ 2 2 –q q M S = ------ x 2 + ------- . x 2 2 –q 2 q –q 2 q 2 q 2 M máx = ------ ----- + ------ . ---- = -------- + -------- M máx = -------- 2 4 2 2 8 4 8 Colocando tudo o que vimos num único desenho teremos :

11

12

2) Carga Concentrada De forma semelhante ao que fizemos com o carregamento distribuído, resolveremos literalmente uma estrutura com carga concentrada na busca de conclusões que facilitem o traçado para estruturas mais complexas. Consideremos a estrutura abaixo: Inicialmente, devemos encontrar as reações de apoio, o que se faz através das equações de equilíbrio F H = 0 H = 0 F V = 0 V 1 – P + V 2 = 0 V 1 + V 2 = P M A = 0 P . a – V 2 . = 0 P . a = V 2 . P a P a V 2 = ------- V 1 + V 2 = P V 1 + ------- = P P a P – P a P b V 1 = P – ------- V 1 = -------------- V 1 = -------

13

Para traçarmos o Diagrama de Cortante, chamemos o apoio à esquerda de ponto A , o apoio à direita de ponto B e o ponto de aplicação da carga P de ponto C. Já sabemos que o Cortante em A vale V 1 e que o Cortante em B vale –V 2 pela nossa convenção de sinais. P b P a Q A = +V 1 = -------- Q B = –V 2 = – -------- Porém, se utilizarmos o mesmo raciocínio do exemplo anterior, imaginando uma seção S, variável com x, observamos que não há variação de Cortante desde o ponto A até uma seção bem próxima de C, à esquerda. Da mesma maneira não haverá variação se começarmos pelo ponto B onde o Cortante vale –V 2 e caminharmos até bem próximo do ponto C, à direita. Desta forma o Diagrama de Cortante apresenta dois trechos constantes com uma descontinuidade igual ao valor da carga concentrada P. No traçado do Diagrama de Momento Fletor, podemos verificar, de forma semelhante ao exemplo anterior que os valores em A e em B são iguais a zero. Considerando a seção S, distando x do ponto A, teremos: M A = 0 M B = 0 P b M S = V 1 . x = --------- . x Equação de uma reta inclinada pois varia linearmente com x . Para x = 0 , isto é, S coincidindo com A, teremos M S = M A = 0. Para x = a, temos : P b P b P a b M S = M C = ------- . x = ------- . a M C = ---------- Analisando o segundo trecho teremos M S = V 1 . x – P (x – a)

14

P b P b M S = ------- . x – P (x – a) = ------- . x – P x + P a

b b – M S = P x ( ----- – 1) + P a = P x ( ----------- ) + P a – ( + b) – P a M S = P x ( -------------- ) + P a = ---------- x + P a P a M S = P a – -------- x Equação de uma reta inclinada pois varia linearmente com x . Para x = a, isto é, S coincidindo com C, teremos P a M S = M C = P a – -------- x P a M S = M C = P a – -------- a a M S = M C = P a (1 – ----- )

– a M S = M C = P a ( ----------- )

Como – a = b , teremos : P b a M C = ----------- o que mostra que existe continuidade no traçado do Momento, porém há um ponto de inflexão, caracterizado pela mudança de direção no diagrama. Colocando o que vimos num único desenho, teremos:

15

16

Exemplo Resolvido – Traçar os diagramas de Cortante, Momento Fletor e Normal Resolução A primeira etapa da resolução consiste em substituir as cargas distribuídas pelas cargas equivalentes e a retirada dos vínculos com a colocação das reações que eles aplicam. O valor da carga equivalente é igual ao produto do valor da carga distribuída, cuja unidade é a de força por comprimento, pelo comprimento no qual ela se distribui, ou seja, é igual à ÁREA da figura que representa o carregamento e sua linha de ação contém o CENTRO DE GRAVIDADE da figura que representa o carregamento . As reações nos vínculos dependem de como são estes vínculos. a ) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 3 = 0 H = 3 Tf F V = 0 V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 23 M A = 0 6 x 1,5 + 9 x 4,5 + 4 x 7 + 2 x 8 + 2 x 9 – V 2 x 10 = 0 V 2 = 11,15 Tf V 1 + V 2 = 23 V 1 + 11,15 = 23 V 1 = 11,85 Tf

17

b) Diagrama de Cortante Cortante no ponto A ( Q A )

Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido F V = 0 V 1 – Q A = 0 11,85 – Q A = 0 Q A = +11,85 Tf Destaquemos F V = 0 +V1 – Q A = 0 Q A = +V 1 = +11,85 Cortante no ponto B ( Q B )

18

Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido F V = 0 V 1 – 6 – Q B = 0 11,85 – 6 – Q B = 0 Q B = +5,85 Tf Destaquemos F V = 0 +11,85 – 6 – Q B = 0 Q B = +11,85 – 6 = +5,85 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos A e B, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas. Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto ligamos os valores obtidos por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho AB Cortante no ponto C ( Q C )

Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido F V = 0 V 1 – 6 – 9 – Q C = 0 11,85 – 6 – 9 – Q C = 0 Q C = –3,15 Tf Destaquemos F V = 0 +11,85 – 6 – 9 – Q C = 0 Q C = +11,85 – 6 – 9 = –3,15 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos B e C, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas. Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto ligamos os valores obtidos por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho BC Cortante no ponto D ( Q D antes ) Devemos calcular dois valores : bem próximo de D, porém antes dele e em seguida bem próximo dele também, porém depois dele .

19

Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido F V = 0 V 1 – 6 – 9 – 4 – Q D antes = 0 11,85 – 6 – 9 – 4 – Q D antes = 0 Q D antes = –7,15 Tf Destaquemos F V = 0 +11,85 – 6 – 9 – 4 – Q D antes = 0 Q D antes = +11,85 – 6 – 9 – 4 = –7,15 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos C e D antes , devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas . Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto ligamos os valores obtidos por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho CD antes .

20

Cortante no ponto D ( Q D depois ) F V = 0 V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – Q D depois = 0 11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – Q D depois = 0 Q D depois = –9,15 Tf Destaquemos F V = 0 +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – Q D depois = 0 Q D depois = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 = –9,15 Já o Cortante entre os pontos D antes e D depois , de acordo com as conclusões obtidas, apresenta uma descontinuidade, ou seja, os dois valores pertencem, praticamente à mesma reta vertical: temos o Diagrama entre os pontos D antes e D depois . Cortante no ponto E ( Q E ) Equilíbrio na vertical do trecho de viga escolhido F V = 0 V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 – Q E = 0 11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 – Q E = 0 Q E = –11,15 Tf que é igual a V 2 Destaquemos F V = 0 V 1 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 – Q E = 0

Q E = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 = –11,15 Para sabermos como varia o Cortante entre os pontos D depois e E, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas . Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Cortante como Reta Inclinada. Portanto ligamos os valores obtidos por uma Reta Inclinada e temos o Diagrama no trecho D depois e E.

21

c) Diagrama de Momento Fletor Momento Fletor no ponto A ( M A )

Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido M A = 0 V 1 x 0 – M A = 0 11,85 x 0 – M A = 0 M A = 0,0 Tf x m Momento Fletor no ponto B ( M B ) Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido M B = 0 V 1 x 3 – 6 x 1,5 – M B = 0 11,85 x 3 – 6 x 1,5 – M B = 0 M B = +26,55 Tf x m Destaquemos M B = 0 V 1 x 3 – 6 x 1,5 – M B = 0 M B = 11,85 x 3 – 6 x 1,5 M B = +26,55 Tf x m Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos A e B, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas . Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau, com a concavidade voltada para o carregamento . Portanto ligamos os valores obtidos por uma Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho AB .

22

Momento Fletor no ponto C ( M C )

Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido M C = 0 V 1 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 – M C = 0 11,85 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 – M C = 0 M C = +30,6 Tf x m Destaquemos M C = 0 V 1 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 – M C = 0 M C = 11,85 x 6 – 6 x 4,5 – 9 x 1,5 M C = +30,6 Tf x m Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos B e C, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas . Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau , com a concavidade voltada para o carregamento . Portanto ligamos os valores obtidos por uma Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho BC . Momento Fletor no ponto D ( M D )

23

Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido M D = 0 V 1 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 – M D = 0 11,85 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 – M C = 0 M D = +20,3 Tf x m Destaquemos M D = 0 V 1 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 – M D = 0 M D = 11,85 x 8 – 6 x 6,5 – 9 x 3,5 – 4 x 1 M D = +20,3 Tf x m Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos C e D, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas . Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau , com a concavidade voltada para o carregamento. Portanto ligamos os valores obtidos por uma Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho CD . Momento Fletor no ponto E ( M E ) Equilíbrio de momento no trecho de viga escolhido M E = 0 V 1 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 – M E = 0 11,85 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 – M E = 0 M E = 0,0 Tf x m Destaquemos M E = 0 V 1 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 – M E = 0 M E = 11,85 x 10 – 6 x 8,5 – 9 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 – 2 x 1 M E = 0,0 Tf x m Para sabermos como varia o Momento Fletor entre os pontos D e E, devemos observar o carregamento e lembrarmos das conclusões obtidas . Carga Uniformemente Distribuída apresenta Diagrama de Momento Fletor como Parábola do 2º grau , com a concavidade voltada para o carregamento . Portanto ligamos os valores obtidos por uma Parábola do 2º grau e temos o Diagrama no trecho DE .

24

Cálculo do Momento Máximo O Momento Máximo sempre ocorre na seção onde o Cortante se anula. Analisando o Diagrama de Cortante podemos calcular a distância x através da tangente do ângulo . 5,85 3,15 tg = --------- = ---------- x = 1,95 m x (3 – x) x M máx = 11,85 . (3 + x) – 6 . (1,5 + x) – 3 . x . ------ 2 1,95 M máx = 11,85 . (3 + 1,95) – 6 . (1,5 + 1,95) – 3 . 1,95 . --------- 2 M máx = 32,25 Tf x m d) Diagrama de Normal Normal no ponto A ( N A )

25

Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido F H = 0 H + N A = 0 3 + N A = 0 N A = –3 Tf

Normal no ponto B ( N B ) Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido F H = 0 H + N B = 0 3 + N B = 0 N B = –3 Tf Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. Normal no ponto C ( N C ) Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido F H = 0 H + N C = 0 3 + N C = 0 N C = –3 Tf Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. Normal no ponto D ( N D ) Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido F H = 0 H + N D = 0 3 + N D = 0 N D = –3 Tf Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura.

26

Normal no ponto E ( N E )

Equilíbrio na Horizontal do trecho de viga escolhido F H = 0 H – N E = 0 3 – N E = 0 N E = –3 Tf

27

Ligamos os pontos por uma Reta Paralela ao eixo da estrutura. Com o objetivo de agilizar o traçado dos diagramas observemos as expressões: Q A = +V 1 = +11,85 Q B = +11,85 – 6 = +5,85 Q C = +11,85 – 6 – 9 = +5,85 – 9 = –3,15 Q D antes = +11,85 – 6 – 9 – 4 = –3,15 – 4 = –7,15 Q D depois = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 = –7,15 – 2 = –9,15 Q E = +11,85 – 6 – 9 – 4 – 2 – 2 = –9,15 – 2 = –11,15 Isto é, podemos escrever Q NUM PONTO = Q ANTERIOR VARIAÇÃO Para o Normal também vale N NUM PONTO = N ANTERIOR VARIAÇÃO Já para o Momento Fletor isto não é válido Os Diagramas de Esforços mostram como o carregamento externo ( peso próprio, revestimento das lajes, paredes , cobertura, móveis , no caso de habitações e cargas diversas no caso de depósitos ) solicita o elemento estrutural. Para que este resista a esta solicitação é necessário dimensioná-lo . No caso do Concreto Armado por exemplo , além das dimensões da seção transversal da estrutura, utilizamos barras longitudinais de Aço para resistir aos esforços Momentos e Normal e Estribos para esforços Cortantes e Torção .

28

Exercício Traçar os diagramas de Cortante, Momento Fletor e Normal

29

a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 F V = 0 V 1 – 4 – 8 + V 2 – 4 = 0 V 1 + V 2 = 16 M A = 0 4 x 2 + 8 x 4 – V 2 x 6 + 4 x 7 = 0 V 2 = 11,33 Tf V 1 + V 2 = 16 V 1 + 11,33 = 16 V 1 = 4,67 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = +V 1 = +4,67 Q B antes = +4,67 0 = +4,67 Q B depois = +4,67 – 4 = +0,67 Q C antes = +0,67 – 8 = –7,33 Q C depois = –7,33 + 11,33 = +4,0 Q D = +4,0 – 4 = 0,0

30

c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = +4,67 x 2 = +9,34 ou M B = –4 x 5 + 11,33 x 4 – 8 x 2 = +9,32 M C = –4 x 1 = –4,0 ou M C = +4,67 x 6 – 4 x 4 – 8 x 2 = –3,98 M D = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D = 0,0 0,0 = 0,0

31

Cálculo do Momento Máximo 0,67 7,33 tg = ---------- = ---------- x = 0,33 m x 4 – x 0,33 M máx = +4,67 x 2,33 – 4 x 0,33 – 2 x 0,33 x ---------- = +9,45 2

32

Se desejarmos um traçado mais perfeito do diagrama de Momento Fletor para a carga uniformemente distribuída, podemos aplicar os conceitos abaixo: 1 ) Linha Auxiliar – Reta que une dois pontos de Momentos conhe-cidos. 2 ) Cálculo do Momento num ponto qualquer.

a M S = +V 1 x a – q a x ------ 2 q a M S = + ------- x a – q a x ------ 2 2 q a M S = + ------- x ( – a) 2 Como – a = b q a b M S = + ---------- 2

Observar que conhecemos os Momentos em A e em B ( no caso, nulos ) . Para um caso qualquer, por exemplo o 1º problema resolvido teremos :

Cálculo dos valores dos Momentos Fletores q . a . b Aplicação da expressão M = -------------- para diversos a e b 2 q . a . b 2 x 1 x 3 a = 1 m ; b = 3 m M = -------------- = ------------------ = 3 Tf . m 2 2 q . a . b 2 x 2 x 2 a = 2 m ; b = 2 m M = -------------- = ------------------ = 4 Tf . m 2 2 q . a . b 2 x 3 x 1 a = 3 m ; b = 1 m M = -------------- = ------------------ = 3 Tf . m 2 2

33

q . a . b 2 x 0,5 x 3,5 a = 0,5 m ; b = 3,5 m M = -------------- = ------------------ = 1,75 Tf . m 2 2 q . a . b 2 x 1,5 x 2,5 a = 1,5 m ; b = 2,5 m M = -------------- = ------------------ = 3,75 Tf . m 2 2 q . a . b 2 x 0,33 x 3,67 a = 0,33 m ; b = 3,67 m M = ------------- = --------------------- = 1,22 Tf . m 2 2 Nas estruturas mais complexas, esta análise se toma por demais trabalhosa, por isso, a partir dos exemplos anteriores tiraremos algumas conclusões para facilitar o nosso trabalho: a ) Carga Uniformemente Distribuída apresenta o Diagrama de Cortante em forma de reta inclinada e Diagrama de Momento em forma de parábola do 2 o grau, com a concavidade voltada para o carregamento. b ) Carga Concentrada apresenta como Diagrama de Cortante trechos de retas paralelas ao eixo da estrutura, com descontinuidade nos pontos de aplicação das cargas e Diagrama de Momento Fletor em forma de reta inclinada com ponto de inflexão nos locais de aplicação das cargas. Quando os dois carregamentos ocorrem simultaneamente, prevalece a forma da função de maior grau. Em qualquer caso, a derivada do Momento resulta no Cortante e a derivada do Cortante resulta no carregamento com o sinal trocado. Desta forma temos Carregamento, Cortante e Momento Fletor em ordem crescente de grau de função. No primeiro caso, o carregamento era constante, isto é, função de grau zero, o Cortante foi função de grau um e o Momento Fletor , função de grau dois.

34

No segundo caso, o carregamento não apresentava grau, ou seja não havia função que o representasse, o Cortante foi de grau zero e o Momento de grau um. Estruturas com engaste. Carregamento linearmente distribuído Traçar os diagramas de esforços

Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 3 = 0 H = 3 Tf F V = 0 V 1 – 2 – 2 – 3 = 0 V 1 = 7 Tf M A = 0 M – 2 x 1 – 2 x 2 – 3 x 3,5 = 0 M = 16,5 Tf x m b) Diagrama de Cortante

Q A = +V 1 = 7 Q B antes = +7 – 2 = +5 Q B depois = +5 – 2 = +3 Q C = +3 – 3 = 0 c) Diagrama de Momento Fletor

35

M A = –M = –16,5 (Extremo com Momento Aplicado) M B = –16,5 + 7 x 2 – 2 x 1 = –4,5 M C = 0,0 (Extremo sem Momento Aplicado) d) Diagrama de Normal

N A = –3,0 N B antes = –3,0

N B depois = –3,0 N C = –3,0 3) Carga Linearmente Distribuída

36

Este tipo de carregamento apresenta a carga distribuída com valor variável ao longo do comprimento da chapa. F H = 0 H = 0 q q F H = 0 V 1 – ------ + V 2 = 0 V 1 + V 2 = -------- 2 q 2 M A = 0 ------- . ------- – V 2 . = 0 2 3 q . q ---------- = V 2 . V 2 = ------- 3 3 q Substituindo em V 1 + V 2 = ------- 2 q q q q 3 q – 2 q V 1 + ------- = ------- V 1 = ------- – ------- = --------------------- 3 2 2 3 6 q q V 1 = ------- e V 2 = ------- 6 3 De modo semelhante ao que fizemos com o carregamento uniforme-mente distribuído, encontraremos a carga equivalente e a localizaremos. Colo-caremos também as reações de apoio.

37

Para obter a função que descreve o Cortante, calcularemos o valor dele numa seção genérica S distando x do apoio A. Neste caso, é necessário obter o valor de q' , uma vez que o carregamento é variável com x. Calculando o cortante na seção S temos: q q ‘ x Q S = -------- – --------- 6 2

q q ’ x ----- = ------ q ‘ = q . ------ x q q . x . x Q S = ------- – -------------- 6 2 q q . x 2 Q S = ------- – ----------- 6 2 que é a equação de uma parábola do 2º grau.

Diagrama de Momento Fletor De modo análogo aos carregamento anteriores, o cálculo dos momentos em A e em B, resultarão iguais a zero. Já o momento na seção S fica : x q . x 3 M B = q . ------ – ---------- 6 6 Equação de uma Parábola do 3º grau Vale observar que continua a relação de que a derivada do Momento resulta na função Cortante e que a derivada do Cortante é igual ao carregamento com o sinal trocado. Traçando os diagramas, teremos :

38

39

Exemplo – Traçar os diagramas de esforços

40

Resolução O carregamento distribuído com valores diferentes de zero nos extremos (em forma de trapézio pode ser entendido como a soma de um uniformemente distribuído com um linearmente distribuído). a ) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 4 – 1 = 0 H = 5 Tf F V = 0 – 4 + V 1 – 6 – 3 – 5 – 3 – 6 + V 2 – 4 – 1 = 0 V 1 + V 2 = 32 M A = 0 – 4 x 1 + 6 x 1,5 + 3 x 2 + 5 x 4,5 + 3 x 6 + 6 x 7 – V 2 x 8 + + 4 x 9 + 1 x 10 + 4 x 1 + 1 x 2 = 0 V 2 = 18,1875 Tf V 1 + V 2 = 32 V 1 + 18,1875 = 32 V 1 = 13,8125 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = 0,0 Q B antes = 0,0 – 4 = –4,0 Q B depois = –4,0 + 13,81 = +9,81 Q C = +9,81 – 6 – 3 = +0,81 Q D antes = +0,81 0 = +0,81 Q D depois = +0,81 – 5 = –4,19 Q E antes = –4,19 – 0 = –4,19 Q E depois = –4,19 – 3 = –7,19 Q F antes = –7,19 – 6 = –13,19 Q F depois = –13,19 + 18,19 = +5 Q G horizontal = +5 – 4 = +1 Q G vertical = +H = +5 Q H = +5 – 4 = +1 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –4 x 1 = –4,0 M C = –4 x 4 + 13,81 x 3 – 6 x 1,5 – 3 x 1 = +13,43 M D = –4 x 5,5 + 13,81 x 4,5 – 6 x 3 – 3 x 2,5 = +14,645

41

M E = +18,19 x 2 – 6 x 1 – 4 x 3 – 1 x 4 – 4 x 1 – 1 x 2 = +8,38 M F = –4 x 1 – 1 x 2 – 4 x 1 – 1 x 2 = –12,0 M G = –4 x 1 – 1 x 2 = –6,0 M H = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d ) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 + 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 – 5 = –5,0 N C = –5,0 0 = –5,0 N D antes = –5,0 0 = –5,0 N D depois = –5,0 0 = –5,0 N E antes = –5,0 0 = –5,0 N E depois = –5,0 0 = –5,0 N F antes = –5,0 0 = –5,0 N F depois = –5,0 0 = –5,0 N G antes = –5,0 0 = –5,0 N H = 0,0 N G abaixo = 0,0 0 = 0,0

42

43

44

Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H + 2 – 4 = 0 H = 2 Tf F V = 0 –4 + V 1 – 9 – 4 – 3 – 4 – 4 – 4 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 32 M A = 0 –4 x 1 + 9 x 1,5 + 4 x 3 + 3 x 5 + 4 x 6 + 4 x 7 + 4 x 8 + + 2 x 1,5 + H x 3 – V 2 x 9 = 0 V 2 = 14,39 Tf V 1 + V 2 = 32 V 1 + 14,39 = 32 V 1 = 17,61Tf Decompondo as forças do trecho inclinado tg = 3/4 = 0,75 = 36,87º sen = 0,6 e cos = 0,8 2,39 x sen = 2,39 x 0,6 = 1,434 Tf 2,39 x cos = 2,39 x 0,8 = 1,912 Tf 4 x sen = 4 x 0,6 = 2,4 Tf 4 x cos = 4 x 0,8 = 3,2 Tf 2 x sen = 2 x 0,6 = 1,2 Tf 2 x cos = 2 x 0,8 = 1,6 Tf 14,39 x sen = 14,5 x 0,6 = 8,634 Tf 14,39 x cos = 14,5 x 0,8 = 11,512 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = 0,0 Q B antes = 0,0 – 4 = –4,0 Q B depois = –4,0 + 17,61 = +13,61 Q C antes = +13,61 – 9 = +4,61 Q C depois = +4,61 – 4 = +0,61 Q D antes = +0,61 0 = +0,61 O cálculo de Q D depois é feito com a resultante das forças à esquerda, decomposta na direção perpendicular ao eixo da estrutura. A resultante é igual a – 4 + V 1 – 9 – 4 – 3 = –2,39 Q D depois = 4 x sen – 2,39 x cos = 2,4 – 2,39 x 0,8 = +0,488 Q E antes = +0,488 – 3,2 = –2,712 Q E depois = –2,712 – 3,2 – 1,2 = –7,112 Q F = –7,112 – 3,2 = –10,312 ou Q F = –14,39 x cos + 2 x sen = –11,512 + 1,2 = –10,312 c) Diagrama de Momento Fletor

45

M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = – 4 x 1 = –4,0 M C = – 4 x 4 + 17,61 x 3 – 9 x 1,5 = +23,33 M D = – 4 x 6 + 17,61 x 5 – 9 x 3,5 – 4 x 2 = +24,55 ou M D = +14,39 x 4 – 4 x 3 – 4 x 2 – 4 x 1 – 2 x 1,5 – 2 x 3 = +24,56 M E = +14,39 x 2 – 4 x 1 – 2 x 1,5 = +21,78 M F = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 + 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 + 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 + 0,0 = 0,0 N C depois = 0,0 + 0,0 = 0,0 N D antes = 0,0 + 0,0 = 0,0 O cálculo de N D depois é feito com a resultante das forças à esquerda, decomposta na direção do eixo da estrutura. A resultante é igual a – 4 + V 1 – 9 – 4 – 3 = – 2,39 N D depois = – 4 x cos – 2,39 x sen = –3,2 – 2,39 x 0,6 = –4,634 N E antes = –4,634 – 2,4 = –7,034 N E depois = –7,034 – 2,4 + 1,6 = –7,834 N F = –7,834 – 2,4 = –10,234 ou N F = –14,39 x sen – 2 x cos = –8,634 – 1,6 = –10,234

46

47

1) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 F V = 0 V 1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 2 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 16 M A = 0 3 x 1,5 + 3 x 3 + 4 x 5 + 4 x 6 + 2 x 8 – V 2 x 9 = 0 V 2 = 8,17 Tf V 1 + V 2 = 16 V 1 + 8,17 = 16 V 1 = 7,83 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = + V 1 = +7,83 Q B antes = +7,83 – 3 = +4,83 Q B depois = +4,83 – 3 = +1,83 Q C antes = +1,83 0 = +1,83 Q C depois = +1,83 – 4 = –2,17 Q D = –2,17 – 4 = –6,17 Q E = –6,17 – 2 = –8,17 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = +7,83 x 3 – 3 x 1,5 = +19,0 ou M B = +8,17 x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 4 x 2 = +19,0 M C = +7,83 x 5 – 3 x 3,5 – 3 x 2 = +22,67 ou M C = +8,17 x 4 – 2 x 3 – 4 x 1 = +22,67 M D = +7,83 x 7 – 3 x 5,5 – 3 x 4 – 4 x 2 – 4 x 1 = +14,33 ou M D = +8,17 x 2 – 2 x 1 = +14,33 M E = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal NA = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D depois = 0,0 0,0 = 0,0 N E = 0,0

48

49

2) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 F V = 0 V 1 – 3 – 3 – 4 – 4 – 3 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 17 M A = 0 3 x 1,5 + 3 x 4 + 4 x 7 – V 2 x 8 + 4 x 9 + 3 x 10 = 0 V 2 = 13,81Tf V 1 + V 2 = 17 V 1 + 13,81 = 17 V 1 = 3,19 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = +3,19 Q B = +3,19 – 3 = +0,19 Q C antes = +0,19 0 = +0,19 Q C depois = +0,19 – 3 = –2,81 Q D = –2,81 0 = –2,81 Q E antes = –2,81 – 4 = –6,81 Q E depois = –6,81 + 13,81 = +7,0 Q F = +7,0 – 4 = +3,0 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = +3,19 x 3 – 3 x 1,5 = +5,06 M C = +3,19 x 4 – 3 x 2,5 = +5,25 M D = +3,19 x 6 – 3 x 4,5 – 3 x 2 = –0,375 ou M D = +13,81 x 2 – 4 x 1 – 4 x 3 – 3 x 4 = –0,375 M E = –4 x 1 – 3 x 2 = –10,0 M F = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 N C depois = 0,0 0,0 = 0,0 N D = 0,0 0,0 = 0,0 N E antes = 0,0 0,0 = 0,0 N E depois = 0,0 0,0 = 0,0 N F = 0,0

50

51

3) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 F V = 0 –2 + V 1 – 10 – 4 – 3 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 19 M A = 0 –2 x 1 + 10 x 2,5 + 4 x 5 + 3 x 6,5 – V 2 x 8 = 0 V 2 = 7,81 Tf V 1 + V 2 = 19 V 1 + 7,81 = 19 V 1 = 11,19 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = 0,0 Q B antes = 0,0 – 2 = –2,0 Q B depois = –2,0 + 11,19 = +9,19 Q C antes = +9,19 – 10 = –0,81 Q C depois = –0,81 – 4 = –4,81 Q D = –4,81 – 3 = –7,81 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –2 x 1 = –2,0 M C = –2 x 6 + 11,19 x 5 – 10 x 2,5 = +18,95 ou M C = +7,81 x 3 – 3 x 1,5 = +18,93 M D = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) Cálculo do Momento Máximo 9,19 0,81 tg = --------- = ---------- x = 4,595 m x 5 – x 4,595 M máx = –2 x 5,595 + 11,19 x 4,595 – 2 x 4,595 x ---------- = +19,11 2 d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D = 0,0 0,0 = 0,0

52

53

4) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 F V = 0 –3 – 4 + V 1 – 6 – 4 + V 2 – 4 = 0 V 1 + V 2 = 21 M A = 0 –3 x 2 – 4 x 1 + 6 x 1,5 + 4 x 3 – V 2 x 6 + 4 x 7 = 0 V 2 = 6,5 Tf V 1 + V 2 = 21 V 1 + 6,5 = 21 V 1 = 14,5 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = –3 Q B antes = –3 – 4 = –7 Q B depois = –7 + 14,5 = +7,5 Q C antes = +7,5 – 6 = +1,5 Q C depois = +1,5 – 4 = –2,5 Q D antes = –2,5 – 0 = –2,5 Q D depois = –2,5 + 6,5 = +4 Q E = +4 – 4 = 0 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –3 x 2 – 4 x 1 = –10,0 M C = –3 x 5 – 4 x 4 + 14,5 x 3 – 6 x 1,5 = +3,5 ou M C = +6,5 x 3 – 4 x 4 = +3,5 M D = –4 x 1 = –4 M E = 0,0 (Extremo sem Momento Aplicado) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D = 0,0 0,0 = 0,0

54

55

5) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 5 = 0 H = 5 Tf F V = 0 – 4 – 4 + V 1 – 9 – 3 – 6 – 4 – 6 + V 2 – 6 = 0 V 1 + V 2 = 42 M A = 0 –4 x 2 – 4 x 1 + 9 x 1,5 + 3 x 3 + 6 x 4,5 + 4 x 6 + 6 x 7 – V 2 x 8 – 6 x 9,5 = 0 V 2 = 20,06Tf V 1 + V 2 = 42 V 1 + 20,06 = 42 V 1 = 21,94 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = –4,0 Q B antes = –4,0 – 4 = –8,0 Q B depois = –8,0 + 21,94 = +13,94 Q C antes = +13,94 – 9 = 4,94 Q C depois = 4,94 – 3 = 1,94 Q D antes = 1,94 – 6 = –4,06 Q D depois = –4,06 – 4 = –8,06 Q E antes = –8,06 – 6 = –14,06 Q E depois = –14,06 + 20,06 = 6,0 Q F = 6,0 – 6 = 0,0 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –4 x 2 – 4 x 1 = –12,0 M C = –4 x 5 – 4 x 4 + 21,94 x 3 – 9 x 1,5 = +16,31 M D = –4 x 8 – 4 x 7 + 21,94 x 6 – 9 x 4,5 – 3 x 3 – 6 x 1,5 = +13,13 ou M D = +20,06 x 2 – 6 x 1 – 6 x 3,5 = +13,13 M E = –6 x 1,5 = –9,0 M F = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) Cálculo do Momento Máximo 1,94 4,06 tg = -------- = --------- x = 0,97 m x 3 – x 0,97 M máx = –4 x 5,97 – 4 x 4,97 + 21,94 x 3,97 – 9 x 2,47 – 3 x 0,97 – 2 x 0,97 x --------- 2 M máx = +17,25

56

d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D antes = 0,0 0,0 = 0,0 N D depois = 0,0 0,0 = 0,0 N E antes = 0,0 0,0 = 0,0 N E depois = 0,0 – 5,0 = –5,0 N E antes = –5,0

57

58

6) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 1 – H = 0 H = 1 Tf F V = 0 –2 + V 1 – 3 – 4 – 3 – 3 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 15 M A = 0 –1 x 2 – 2 x 2 + 3 x 1,5 + 4 x 4 + 3 x 5 + 3 x 5,75 – V 2 x 8,5 = 0 V 2 = 5,5 Tf V 1 + V 2 = 15 V 1 + 5,5 = 15 V 1 = 9,5 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = –1,0 Q B abaixo = –1,0 0 = –1,0 Q B horizontal = –2,0 Q C antes = –2,0 0 = –2,0 Q C depois = –2,0 + 9,5 = +7,5 Q D = +7,5 – 3 = +4,5 Q E antes = +4,5 – 4 = +0,5 Q E depois = +0,5 – 3 = –2,5 Q F = –2,5 – 3 = –5,5 Q G = –5,5 – 0 = –5,5 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –1 x 2 = –2,0 M C = –1 x 2 – 2 x 2 = –6,0 M D = –1 x 2 – 2 x 5 + 9,5 x 3 – 3 x 1,5 = +12,0 ou M D = +5,5 x 5,5 – 4 x 1 – 3 x 2 – 3 x 2,75 = +12,0 M E = +5,5 x 3,5 – 3 x 0,75 = +17,0 M F = +5,5 x 2 = +11,0 M G = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B abaixo = 0,0 0,0 = 0,0 N B horizontal = –1,0 N C = –1,0 0,0 = 0,0 N D = –1,0 0,0 = 0,0 N E = –1,0 0,0 = 0,0 N F = –1,0 0,0 = 0,0 N G = –1,0 0,0 = 0,0

59

60

7) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 H = 0 Tf F V = 0 –2 – 2 + V 1 – 3 – 3 – 3 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 13 M A = 0 –2 x 2 – 2 x 1 + 3 x 1,5 + 3 x 2 + 3 x 5 – V 2 x 7 = 0 V 2 = 2,79 Tf V 1 + V 2 = 13 V 1 + 2,79 = 13 V 1 = 10,21 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = –2,0 Q B antes = –2,0 – 2,0 = –4,0 Q B depois = –4,0 + 10,21 = +6,21 Q C = +6,21 – 3 – 3 = +0,21 Q D antes = +0,21 – 0 = +0,21 Q D depois = +0,21 – 3 = –2,79 Q E = –2,79 – 0 = –2,79 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –2 x 2 – 2 x 1 = –6,0 M C = –2 x 5 – 2 x 4 + 10,21 x 3 – 3 x 1,5 – 3 x 1 = +5,13 ou M C = +2,79 x 4 – 3 x 2 = +5,16 M D = +2,79 x 2 = +5,58 M E = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C = = 0,0 0,0 = 0,0 N D antes = = 0,0 0,0 = 0,0 N D depois = = 0,0 0,0 = 0,0 N E = = 0,0 0,0 = 0,0

61

62

8) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 4 – H = 0 H = 4 Tf F V = 0 V 1 – 3 – 6 – 9 + V 2 – 6 – 2 = 0 V 1 + V 2 = 26 M A = 0 4 x 1 + 6 x 3,5 + 9 x 6,5 – V 2 x 8 + 6 x 9,5 + 2 x 11 – 4 x 2 = 0 V 2 = 19,3125 Tf V 1 + V 2 = 26 V 1 + 19,3125 = 26 V 1 = 6,6875 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = 0 Q B abaixo = 0 – 4,0 = –4,0 Q B horizontal = 6,6875 – 3,0 = +3,6875 = +3,69 Q C = +3,69 + 0 = +3,69 Q D = +3,69 – 6 = –2,31 Q E antes = –2,31 – 9 = –11,31 Q E depois = –11,31 + 19,31 = +8,0 Q F = +8,0 – 6 = +2,0 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –4 x 1 = –4,0 M C = +6,69 x 2 – 4 x 1 – 3 x 2 = +3,38 M D = +6,69 x 5 – 4 x 1 – 3 x 5 – 6 x 1,5 = +5,45 ou M D = +19,31 x 3 – 9 x 1,5 – 6 x 4,5 – 2 x 6 = +5,43 M E = – 6 x 1,5 – 2 x 3 = –15,0 M F = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = –6,69 N B abaixo = –6,69 0 = –6,69 N B horizontal = –4,0 N C antes = –4,0 0 = –4,0 N C depois = –4,0 0 = –4,0 N D antes = –4,0 0 = –4,0 N D depois = –4,0 0 = –4,0 N E antes = –4,0 0 = –4,0 N E depois = –4,0 + 4,0 = 0,0 N F = 0,0 0 = 0,0

63

64

9) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 5 = 0 H = 5 Tf F V = 0 V 1 – 12 – 2 – 6 = 0 V 1 = 20 Tf M A = 0 12 x 2 + 2 x 4 + 6 x 5,5 – M = 0 M = 65 Tf x m b) Diagrama de Cortante Q A = +V 1 = +20,0 Q B antes = +20,0 – 12,0 = +8,0 Q B depois = +8,0 – 2 = +6,0 Q C = +6,0 – 6,0 = 0,0 c) Diagrama de Momento Fletor M A = –M = – 65,0 ( Extremo com Momento Aplicado ) M B = –65,0 + 20 x 4 – 12 x 2 = –9,0 M C = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = –H = –5,0 N B antes = –5,0 0,0 = –5,0 N B depois –5,0 0,0 = –5,0 N C –5,0 0,0 = –5,0

65

66

10) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 3 = 0 H = 3 Tf F V = 0 –2 – 8 – 3 + V 1 = 0 V 1 = 13 Tf M A = 0 2 x 8 + 8 x 6 + 3 x 4 – M = 0 M = 76 Tf x m b) Diagrama de Cortante Q A = –2 Q B antes = –2 – 8 = –10 Q B depois = –10 – 3 = –13 Q C = –13 – 0 = –13 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –2 x 4 – 8 x 2 = –24 M C = –2 x 8 – 8 x 6 – 3 x 4 = –76 ou M C = – M = –76 ( Extremo com Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = +3,0 N B antes = +3,0 0,0 = +3,0 N B depois = +3,0 0,0 = +3,0 N C = +H = +3,0

67

68

11) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 H = 0 Tf F V = 0 –3 – 3 + V 1 – 10 = 0 V 1 = 16 Tf M A = 0 –3 x 3 – 3 x 1,5 – M + 10 x 2,5 = 0 M = 11,5 Tf x m b) Diagrama de Cortante Q A = –3 Q B antes = –3 – 3 = –6 Q B depois = –6 + 16 = +10 Q C = +10 – 10 = 0 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B antes = –3 x 3 – 3 x 1,5 = –13,5 M B depois = –3 x 3 – 3 x 1,5 – 11,5 = –25 ou M B depois = –10 x 2,5 = –25 M C = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C = 0,0 0,0 = 0,0

69

70

12) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H = 0 F V = 0 +V 1 – 8 – 3 – 4 – 2 – 4 + V 2 = 0 V 1 + V 2 = 21 M A = 0 8 x 2 + 3 x 4 + 4 x 5 + 2 x 6 + 4 x 7 – V 2 x 8 = 0 V 2 = 11Tf V 1 + V 2 = 21 V 1 + 11 = 21 V 1 = 10 Tf Decompondo as forças do trecho inclinado tg = 3/4 = 0,75 = 36,87º sen = 0,6 e cos = 0,8 1 x sen = 1 x 0,6 = 0,6 Tf 1 x cos = 1 x 0,8 = 0,8 Tf 4 x sen = 4 x 0,6 = 2,4 Tf 4 x cos = 4 x 0,8 = 3,2 Tf 2 x sen = 2 x 0,6 = 1,2 Tf 2 x cos = 2 x 0,8 = 1,6 Tf 11 x sen = 11 x 0,6 = 6,6 Tf 11 x cos = 11 x 0,8 = 8,8 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = +V 1 = +10,0 Q B antes = +10,0 – 8,0 = +2,0 O cálculo de Q B depois é feito com a resultante das forças à esquerda, decomposta na direção perpendicular ao eixo da estrutura. A resultante é igual a +V 1 – 8,0 – 3,0 = +10,0 – 8,0 – 3,0 = –1,0 Q B depois = –1 x cos = –1 x 0,8 = –0,8 Q C antes = –0,8 – 3,2 = –4,0 Q C depois = –4,0 – 1,6 = –5,6 Q D = –5,6 – 3,2 = –8,8 ou Q D = –11 x cos = –11 x 0,8 = –8,8 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = +10 x 4 – 8 x 2 = +24,0 M C = +11 x 2 – 4 x 1 = +18,0 M D = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado )

71

d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 O cálculo de N B depois é feito com a resultante das forças à esquerda, decomposta na direção do eixo da estrutura. A resultante é igual a +V 1 – 8,0 – 3,0 = +10,0 – 8,0 – 3,0 = –1,0 N B depois = –1 x sen = –1 x 0,6 = –0,6 N C antes = –0,6 – 2,4 = –3,0 N C depois = –3,0 – 1,2 = –4,2 N D = –4,2 – 2,4 = –6,6 ou N D = –11 x sen = –11 x 0,6 = –6,6

72

73

13) Resolução a) Cálculo das reações de apoio F H = 0 H – 5 = 0 H = 5 Tf F V = 0 –4 + V 1 – 12 – 4 – 5 – 4 – 12 + V 2 – 4 – 4 = 0 V 1 + V 2 = 49 M A = 0 –4 x 1 + 12 x 2 + 4 x 5 + 5 x 6 + 4 x 7 + 12 x 10 – V 2 x 12 + + 4 x 13 + 4 x 14 = 0 V 2 = 27,17 Tf V 1 + V 2 = 49 V 1 + 27,17 = 49 V 1 = 21,83 Tf b) Diagrama de Cortante Q A = 0,0 Q B antes = 0,0 – 4 = –4,0 Q B depois = –4,0 + 21,83 = +17,83 Q C antes = +17,83 – 12 = +5,83 O cálculo de Q C depois é feito com a resultante das forças à esquerda, decomposta na direção perpendicular ao eixo da estrutura. A resultante é igual a –4 + V 1 – 12 = –4 + 21,83 – 12 = +5,83 Decompondo as forças do trecho inclinado tg = 3/4 = 0,75 = 36,87º sen = 0,6 e cos = 0,8 5,83 x sen = 5,83 x 0,6 = 3,498 Tf 5,83 x cos = 5,83 x 0,8 = 4,664 Tf 4 x sen = 4 x 0,6 = 2,4 Tf 4 x cos = 4 x 0,8 = 3,2 Tf 5 x sen = 5 x 0,6 = 3 Tf 5 x cos = 5 x 0,8 = 4 Tf Q C depois = 5,83 x cos = 5,83 x 0,8 = 4,664 = 4,66 Q D antes = +4,66 – 3,2 = +1,46 Q D depois = +1,46 – 4 = –2,54 Q E antes = –2,54 – 3,2 = –5,74 Q E depois = +5,83 – 13 = –7,17 Q F antes = –7,17 – 12 = –19,17 Q F depois = –19,17 + 27,17 = 8 Q G = 8 – 4 = +4 c) Diagrama de Momento Fletor M A = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado ) M B = –4 x 1 = –4,0 M C = –4 x 5 + 21,83 x 4 – 12 x 2 = +43,32 M D = –4 x 7 + 21,83 x 6 – 12 x 4 – 4 x 1 = +50,98 ou M D = –4 x 8 – 4 x 7 + 27,17 x 6 – 12 x 4 – 4 x 1 = +51,02 M E = –4 x 6 – 4 x 5 + 27,17 x 4 – 12 x 2 = +40,68 M F = –4 x 2 – 4 x 1 = –12,0 M G = 0,0 ( Extremo sem Momento Aplicado )

74

d) Diagrama de Normal N A = 0,0 N B antes = 0,0 0,0 = 0,0 N B depois = 0,0 0,0 = 0,0 N C antes = 0,0 0,0 = 0,0 O cálculo de N C depois é feito com a resultante das forças à esquerda, decomposta na direção do eixo da estrutura. A resultante é igual a –4 + V 1 – 12 = –4 + 21,83 – 12 = +5,83 N C depois = +5,83 x sen = +5,83 x 0,6 = +3,50 N D antes = +3,50 – 2,4 = +1,10 N D depois = +1,10 – 3 = –1,90 N E antes = –1,90 – 2,4 = –4,30 N E depois = –5 + 5 = 0,0 N F antes = 0,0 0,0 = 0,0 N F depois = 0,0 0,0 = 0,0 N G = 0,0 0,0 = 0,0