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DiamagnetismoDiamagnetismo e e paramagnetismoparamagnetismo

Kittel 7ª edição Cap 14Kittel 8ª edição Cap 11

Aschcroft Cap 31

2

IntroduIntroduççãoão

Histórico

Conceitos básicosCampo magnéticoIndução magnéticaMagnetizaçãoMomento magnético

Classes de materiais magnéticosDiamagnetosParamagnetosFerromagnetosAntiferromagnetos

3

FATO:Rocha Rica em magnetita (Fe3O4)Lodestone: "lead stone“ indicar o caminho”Rocha magnetizada por relâmpagos

(1.000.000 A)História: (Grécia)

Tales (636-546AC) : pedra possuía “alma”Aristóteles (384-322AC) : ação à distância.

Lenda:Magnes: criador de ovelhas de Creta

Pregos da botas presos a uma lodestone enquanto levava suas ovelhas para o Monte Ida.

Arquimedes: magnetita para soltar os pregos dos navios inimigos.

Mito:Sob o travesseiro de uma “esposa infiel”

levaria à confissão do crime durante o sono.Sobre a cabeça: ouvia-se a voz dos deuses!Poder de curar e anticoncepcionalEfeito interrompido por alho ou cebola

Magnetismo: primeiros registrosMagnetismo: primeiros registros

4

Magnetismo e navegaMagnetismo e navegaççãoão

Lodestone: chineses e europeus 800AC

Chineses: direção em terra (indicador de SUL 100DC)

Europeus: navegação, início da ciência moderna do magnetismo.

1263 Pierre de Maricourt

existência dos polos Norte e Sul.

1269 Petrus Peregrinus: Origem celestial polos e Moto contínuo (patentes americanas até 1970)

1727 As viagens de

Gulliver

5

De De MagneteMagnete

1600 De Magnete, de William Gilbert:

Primeiro tratado científico de magnetismo.

Observação do campo de dipolo para diferentes formas de ímã.

A terra é um grande ímã

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RevoluRevoluçção eletromagnão eletromagnééticatica1820 Hans Christian Oersted: efeito magnético das correntes

1820-21 André Marie Ampère: atribui o magnetismo da matéria a “correntes moleculares”

1831 Michael Faraday: indução eletromagnética campo variável induz corrente elétrica em um circuito

1864 James Clerk Maxwell cria a teoria eletromagnética:

1885-1889 Heinrich Hertz detecta ondas de radio e identifica seu caráter eletromagnético

1895, 1896 descoberta dos raios-x e da radioatividade

1895 Pierre Curie descobre a lei da dependência da magnetização com a temperatura

1897 descoberta do elétron

7

SSééculo XX: Relatividade e Mecânica Quânticaculo XX: Relatividade e Mecânica Quântica

Se correntes Amperianas de 1.76MA/m circulamem uma barra de Ferro, por quê ela não funde?

Esta corrente persiste indefinidamentesem dissipar calor??

1900 Max Planck introduz o quantum

1905-1910 Langevin: dependência do paramagnetismocom a temperatura

1907 Weiss: postula o “campo molecular” para explicar o ferromagnetismo

1907 Pierre Weiss: propõe a existência de domínios

1913 O átomo de Bohr: correntes elétricas internas

1926 Heisenberg e Dirac: explicação o quântica paracampo molecular (interação de troca)

1926 A equação de Schrödinger

1927 Pauli: paramagnetismo de metais

1928 Paul Dirac introduz o conceito de spin

1946 Ressonância magnética

1960s Magnetismo amorfo

8

AvanAvançços Tecnolos Tecnolóógicos gicos

9

Conceitos BConceitos Báásicos: B, H e Msicos: B, H e MGrandezas magnéticas:

Campo Magnético ⇒ H

Indução magnética ⇒ B (campo magnético)

Magnetização ⇒ M

Como gerar um campo?

Campo Magnético: campo de forças produzido por cargas em movimentoCorrentes macroscópicas em um fio condutorCorrentes microscópicas associadas a elétrons em orbitais atômicos

Duas grandezas: H, BVetor intensidade de campo magnético ⇒ H (corrente elétrica em um condutor)

Fio percorrido por uma corrente I gera campo dado por (Biot-Savart):

34

I ldH

rπ×

=d r

H independe do meio

[H]=[Am2/m3]

=[A/m]

SI CGS

[H]=[Oe]

1Oe =103/4π A/m

10

Campo e InduCampo e InduççãoãoVetor indução magnética ⇒ B (resposta do meio)

Diferença entre B e H

Aceleração de cargas em movimentoTorque em um dipolo magnéticoForça sobre um condutor

0µ=B H

Aparecimento de campo↓

variação de energia↓

FORÇA

B: resposta do meio

depende do meio

µ0= 4πx10-7 Hm-1

Permeabilidade do vácuo

F=q v × B ���� força de Lorentz

Sempre que H for gerado por correnteMeio responde com o aparecimento de uma força

SI CGS

[N]=[C][m/s][B] [B]=[G]

[B]=[N][C]-1[m/s]-1 1G=10-4T

[B]=[N][Am]=[T]

}

11

InduInduçção e Magnetizaão e Magnetizaççãoão

Meio magnéticoAumento de B (Para e Ferromagnético)Diminuição de B (Diamagnéticos)

Momento Magnético

m=momento de dipolo magnético p=“força do polo”φ=fluxo que emana de “um polo” λ =comprimento

Magnetização: definição

⇒

Material contribui para a indução do meio

0 0 0

B

V V A

φ φµ µ µ

= = = =m

Ml l

l0µ=B M

N

S

= ×τ m B

m p= l

0

pφµ

= 0

mφµ

=l}

12

Fontes de Campo MagnFontes de Campo Magnééticotico

Fio Condutor: Biot-Savart

0

24C

I l

r

µπ

∧

×= ∫

d rB �

i

r

0B2

I

r

µπ

=

Fio Infinito

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ÍÍmã Permanentemã PermanenteBarra de material magnético magnetizada Formação de polos N e SLinhas de CAMPO B: contínuas →→→→Linhas de CAMPO H: N →→→→ S

^^^

^ ^^

^ ^ ^

N

S

^ ^

Dentro do Material

µ0M µ0Hd B

d dH N M=

Fator Geométrico

CampoDesmagnetizante

14

Material magnético pode:Aumentar B (para e ferromagnetos)Diminuir B (diamagnetos).

Jogando com a equação:

Substituindo:

RelaRelaçção entre B, H e Mão entre B, H e M2 contribuições para a indução

Decorrentes do campo HDecorrente da magnetização do meio

0 ( )µ= +B H M

0 1µ = +

B M

H H

µ=B

H

χ=M

H

( )0 1µ µ χ= +

Permeabilidade

Susceptibilidade

( )0

1r

µµ χ

µ= = + Permeabilidade

relativa

15

RelaRelaçção entre B, H e Mão entre B, H e M

B

M=χ

Susceptibilidade Magnética

χ : descreve o comportamento

M x H

Usado para classificar os materiais magnéticos:

DiamagnéticosParamagnéticosFerromagnéticos

Duros Doces ou permeáveisIntermediários

Susceptibilidade

B

M0µχ =

CGS MKS

16

SusceptibilidadeSusceptibilidade

17

Origem do Momento MagnOrigem do Momento Magnééticotico

Origem do momento magnético atômico:movimento orbital do elétron em torno do núcleomovimento de spin do elétronvariação do momento angular (diamagnetismo)

Clássico: µµµµ → corrente fluindo em um circuito fechado

µµµµ = I = I = I = I ···· AAAA

L : valores discretos → L = n � ħ, onde n = 1, 2, 3, 4, ...

Logo µ orb é quantizado

{- correntes convencionais

- elétron em órbita

µ orb = h · e / 4π · me

µµµµB = 9.27 · 10−−−−24242424 Am2

magneton de Bohrunidade fundamental do magnetismo

Modelo de Bohr

elétron em órbita circular

com momento angular orbital:

Momento magnético orbital será:

I = q. t -1 = -e·ω/2π

µ orb =I · A= -½ · e · ω · r 2

me

L =me v x r → L = meω·r 2

A = π r2

ν = ω/2π

µµµµ orb = – (e / 2me) · L

antiparalelosrazão

giromagnética

18

Movimento de spin do elétron → momento magnético de spin µµµµS

µS = -(e/m)S onde S=ħ.s e s=+1/2

Note: contribuição de spin 2X maior do que contribuição angular

Origem do Momento MagnOrigem do Momento Magnééticotico

{g = 1 somente orbital

g = 2 somente spin

Momento magnético total:

g : fator de Landé

1 < g < 2

µµµµT = -g (e/2m) J

µT = µorb + µS

µT = -(e/2m)L -(e/2m)2S

{J = momento ang. total

g = fator giromagnético

Podemos escrever:

onde j é sempre semi-inteiro

µT = -g (e/2m) J

= -g (eh/4πm)(2π/h) J

= -g µB j

µT = -g µB j

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Origem dos momentos magnéticosTipo de interação entre os momentos

Magnetismo FracoDiamagnetosParamagnetos

Magnetismo ForteMateriais Ordenados:

FerromagnetosAntiferromagnetos

Ferrimagnetos

ClassificaClassificaçção magnão magnéética dos materiaistica dos materiais

20

ClassificaClassificaçção magnão magnéética dos materiaistica dos materiais

Diamagnéticos

Não possuem momento permanenteOrigem: variação do momento orbital dos elétrons

induzida pela ação de um campo magnético

Resposta se opõe ao campo → (≈-10-6 MUITO PEQUENO)

(Lei de Lenz)

0M

Hχ = <

µµµµ

Todo material apresenta diamagnetismoResulta do efeito de um campo VARIÁVEL sobre os elétrons

21

DiamagnetismoDiamagnetismo ““ClCláássicossico””

Átomos camadas completas

Campo VARIÁVEL↓

Precessão em torno do campo

Susceptibilidade

densidade de átomos

Distribuição esfericamente simétrica:

<ρ2> = 2/3 <r2>2

eB

mω =

Freqüência de Larmor

Corrente total

Momento magnético (induzido)

2q

t 2 4

( ) ( )B

Ze Ze

mI

ω

π π− −= = =

2

2( )

4

.Ze B

I Amπ

µ ρ−

= = < >

220

06

NZeMr

B m

µχ µ= = − < >

χ NÃO depende de T

<ρ2>=<x2>+<y2>

0 ondeM

M NB V

µχ µ µ= = == = =

22

Valores experimentais tValores experimentais tíípicospicos

23

ParamagnetismoParamagnetismo

Possuem momento magnético permanenteNão há interação entre momentos

χ>0 porém pequena (10-5 - 10-3) (tende a alinhar com o campo)

Langevin (Clássica): momentos idênticos que não interagem e apontam em qualquer direção

H=0, M=0 H≠0

TemperaturaX

Campo Magnético

H

Mθ

24

ParamagnetismoParamagnetismo eletrônicoeletrônico(contribui(contribuiçção positiva para ão positiva para χχ))

Átomos, moléculas e defeitos que possuam um número ímpar de elétrons: sódio, radicais orgânicos, centros F em alkali halides

Átomos e íons com uma camada interna parcialmente preenchida: metais de transição, terras raras, actinídeos

Poucos compostos com número par de elétrons:oxigênio molecular e bi-radicais orgâncos

Metais

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ParamagnetismoParamagnetismoLangevin (Clássica): momentos idênticos que não interagem e apontam em qualquer direção

E= - µµµµ • B

= -µ cosθ B{

Campo

Magnético

Emin: momentos alinhados com B

Competição com agitação térmica

Projeção do momento na direção de B

Resposta magnética para uma dada temperatura T será:

(campo na direção z )cosz

TTN NM µ µ θ= =

26

ParamagnetismoParamagnetismo de de LangevinLangevin: Cl: Cláássicossico

1cothz

TN NM x

xµ µ= =

−

com, Bg Bx

kT

µ=

L(x)

{

O problema consiste em calcular a média térmica <cosθ>T :

M0

27

Expansão em série da Função de Langevin:

Para x pequeno: L(x) ≈ x/3

3 52( )

3 45 945

x x xx = − + −LL

ParamagnetismoParamagnetismo de de LangevinLangevin: Cl: Cláássicossico

2 2

.

3 3

3

B B

B

Ng g BN xM

kT

Ng B

kT

µ µµ

µ

= =

= ⇒C

Tχ =

Lei de

Curie

28

ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico

B=0 B≠0

B

θ contínuo

< cosθ >= 0 < cosθ >≠ 0

- µ B

+ µ B

E

B=0 B≠0

B

θ discreto

N↑

N↓

E

Campo Magnético

X

Temperatura

N : alta densidade de mom. mag.

µ : momento orbitalmomento de spin

Clássico Quântico

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Quantização do mom. angular:

Caso particular: J=1/2 e g=2

População dos níveis:

ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico

µµµµ = -g µB J

µ

J

BE= - µµµµ • B

= g µB JZ B

- µB B

+ µB B

1

2

Jz =±1/2E = ±µB N↑

N↓

1 1 2

1 1 / ( )E E E

kT kT kTTn N N e e e

− − −

= = +2 1 2

2 2 / ( )E E E

kT kT kTTn N N e e e

− − −

= = +

1 2TN N N= +

JZ : J, J-1, J-2, ... -J

Magnetização resultante:

tanh(x)

( )1 2 /x x

x x

e eM N N V N

e eµ µ

−

−

−= − =

+{Bx

kT

µ=

B=0

B≠0

30

ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico

( )B JM g JNB xµ=

Função de Brillouin

� Para um átomo com momento angular J:

� 2J+1 níveis de energia

1 ( 1) 12 2( ) coth coth

2 2 2 2J

x xJ JB x

J J J J

+ + = −

31

1 ( 1) 12 2( ) coth coth

2 2 2 2J

x xJ JB x

J J J J

+ + = −

Para temos:

Logo:

2 2( 1)

3

BNJ J g B CM B

kT T

µ+= =

1B

xkT

µ= <<

1coth

3

xx

x= + L

1

2

( 1)( )

3

x

J

J JB x x

J

<< +→

2 2

0 2

( 1)

3

BNg J JM

H J kT

µχ µ

+= =

No limite de J muito grande:

Limite Clássico!!

( ) ( )J

JB x L x→∞→

ParamagnetismoParamagnetismo QuânticoQuântico

32

NNúúmero efetivo de mero efetivo de magnetonsmagnetons de Bohrde Bohr

2 2( 1)

3

BNJ J g B CM B

kT T

µ+= =

2 2

0 2

( 1)

3

BNg J JM

H J kT

µχ µ

+= =

[ ] 2/1)1( +≡ JJgp

C �constante de Curie

33

34

Terras raras Terras raras -- eleléétrons 4ftrons 4f

Regras de HundOs elétrons ocuparão orbitais de modo que o estado fundamental fique caracterizado por:

O valor máximo do spin total S permitido pelo princípio de exclusão de Pauli;O valor máximo do momento angular orbital L consistente com o valor de S;O valor do momento angular total J=|L-S| quando a camada estiver menos do que metade completa e J=L+S quando a camada estiver mais do que metade completa. Quando a camada estiver semi-preenchida L=0 e J=S.

35

36

ParamagnetismoParamagnetismo de de VanVan VleckVleck –– Independente Independente da temperaturada temperatura

Átomo ou molécula que não possui momento magnético no estado fundamental

Estado fundamental E0 e estado excitado ES: ∆=ES-E0

Teoria de perturbação na presença de um campo B

37

∆<< kBT

∆>> kBT

Curie

Van Vleck

38

ElEléétrons de condutrons de conduççãoão

Teoria clássica: prevê paramagnetismo de Curie

FB

B

Tk

BNM

2µ=

Pauli: estatítisca de Fermi-Dirac

Tk

BNM

B

B

2µ=

39

ParamagnetismoParamagnetismo dos dos eleléétronstrons de de conduconduççãoão

Como se comportam os elétrons livres nos metais?

Deslocamento as bandas

Elétrons com spin↑: menor energia

40

( )2 ( )

logo:

B

B F

M N N

D E B

µ

µ↑ ↓= −

=

2

Pauli 0

2

0Pauli

( )

( ) 3 / 2

3

2

B F

F B F

B

B F

D E

onde D E N k T

N

k T

χ µ µ

µ µχ

=

=

=

FB

B

Tk

BNM

2µ=

kBT << EF

41

ParamagnetismoParamagnetismo dos dos eleléétronstrons de de conduconduççãoão

Como se comportam os elétrons livres nos metais?

2µB B

EF

E

D(E)

2

Pauli 0

2

0Pauli

( )

( ) 3 / 2

3

2

B F

F B F

B

B F

D E

onde D E N k T

N

k T

χ µ µ

µ µχ

=

=

=

{ } 1( ) exp[( ) / ] 1Ff E E E kT

−= − +

EF

f

Independe de T

2 fatores opostos:

↑T ⇒ ↑spins promovidos

↑T ⇒ ↑ desordem térmica

Deslocamento as bandas

Elétrons com spin↑: menor energia( )2 ( )

logo:

B

B F

M N N

D E B

µ

µ↑ ↓= −

=