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AFA 2011/2012 RESUMO TERICO MATEMTICA

1

APOSTILA DE REVISO MATEMTICA FRENTE 1

CONJUNTOS

1 - Noes Bsicas Conjunto: uma coleo de elementos.

a) vazio: no possui elementos b) unitrio: possui um nico elemento c) universo: conjunto que possui todos os elementos

Relao de pertinncia: se x um elemento do conjunto A Ax . Caso contrrio, Ax . Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B ento A subconjunto de B, ou seja, BA (A est contido em B). Operaes com conjuntos:

a) unio: }BxouAx,x{BA = b) interseco: }BxeAx,x{BA = c) diferena: }BxeAx,x{BA =

Complementar: se BA ento o complementar de A com relao B o conjunto ABCBA = . O nmero de elementos da unio de dois conjuntos pode ser obtido pela seguinte relao: )BA(n)B(n)A(n)BA(n += Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, P(A), o conjunto de todos os possveis subconjuntos de A. Se A possui n elementos, ento P(A) possui 2n elementos. 2 Conjuntos Numricos Nmeros naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} Nmeros inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Nmeros racionais: Q = {a/b, com a,b Z e b 0} Obs: o conjunto dos nmeros racionais formado por todas as fraes e por dzimas peridicas. Nmeros irracionais: so todos os nmeros que no podem ser escritos como uma frao de dois nmeros inteiros. o conjunto I. Obs: todas as dzimas no-peridicas so irracionais. Nmeros reais: R = {x, x racional ou x irracional}.

TEORIA BSICA DE FUNES Definio: dados dois conjuntos A e B, uma relao f: AB chamada funo quando associa a cada elemento de A um nico elemento de B. O domnio de f o conjunto A, o contra-domnio de f o conjunto B e a imagem de f o subconjunto de B formado por todos os elementos que esto em correspondncia com os elementos de A. Classificaes a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomnio. b) injetora: se x1,x2 A, com x1x2, ento f(x1)f(x2). c) bijetora: funo injetora e sobrejetora d) funo par: f(x) = f(-x) e) funo mpar: f(x) = -f(-x) obs: existem funes que no so nem pares nem mpares. Funo composta: chama-se funo composta, ou funo de uma funo, funo obtida substituindo-se a varivel independente x por uma outra funo.

Funo inversa: se f:AB uma funo bijetora, ento existe uma funo f-1:BA tal que se f(x)=y f-1(y)=x. Obs: para determinar a funo inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se x por y e y por x na expresso. Isolando-se y obtemos ento a expresso da funo inversa de f. Exemplo:Sendo f(x) 3x 6= + e = g(x) log(x) 1encontre as inversas.

1

y 3x 6x 3y 63y x 6

1y x 23

1f (x) x 23

= += += =

=

x 1

1 x 1

y log(x) 1x log(y) 1log(y) x 1y 10g (x) 10

+

+

= =

= +=

=

Funo composta com a inversa: se f uma funo inversvel ento

1f f (x) x. =D



2

FUNES E EQUAES 1- Funo do 1o grau Definio: f(x) = a.x + b, com a 0. Seu grfico sempre uma reta.

Funo decrescente

Funo crescente

Zero da funo do 1o grau: valores onde f(x) = 0.

abx0bax ==+

2- Funo do 2o grau Definio: 2f(x) ax bx c= + + , com a 0. Seu grfico uma parbola.

Zeros da funo do 2o grau: ax2+bx+c=0

a.2bx

c.a.4b2

==

Aqui, temos: a) se >0: duas razes reais (o grfico de f corta o eixo x em dois pontos distintos). b) se =0: uma raiz real (o grfico de f tangencia o eixo x) c) se x1 y2>y1 Imagem = IR+

b) 0 0, a 1 e b > 0 ento baxblog xa == . Conseqncia lgica: = =alog b baa log a b Definio: f(x) = loga x. a) a>1:

f crescente Imagem = IR Domnio = IR+

b) 0



3

INEQUAES

Inequao do 2 grau: 2f(x) ax bx c= + + , com a 0

a < 0 f(x) < 0, x \ < 0 a > 0 f(x) > 0, x \ a < 0 f(x) 0, x \ = 0 a > 0 f(x) 0, x \

f(x) < 0, x 1[ ,x ] U 2[x , ]+ a < 0 f(x) > 0, x [x1,x2]

f(x) > 0, x 1[ ,x ] U 2[x , ]+ > 0

a > 0 f(x) < 0, x [x1,x2]

< 0

a > 0

a < 0 +

_

+ +

= 0

_

a > 0 a > 0

_

a < 0

a > 0

_

+ + +

> 0

x1 x2 x1 x2 _ _

Obs: generalizando para uma equao polinomial de grau n, ao percorremos os valores possveis de x, temos que em toda raiz de multiplicidade mpar h alterao do sinal da funo, enquanto em razes de multiplicidade par no h alterao do sinal. Inequao modular: se a x \ se a 0 : f(x) a a f(x) a< < <

f(x) a f(x) a> < ou f(x) a>

Inequaes produto e quociente: so inequaes que envolvem o produto e/ou quociente de funes. preciso montar um quadro de estudo de sinais das funes envolvidas. Ex: Sejam 1 2 3 4a,b,c,x ,x ,x ,x ;\ a,b > 0; c 0;< 1 2 3 4x x x x ;< < <

1f(x) a.(x x )= , 2 3g(x) b.(x x ).(x x )= , 1 4h(x) c.(x x ).(x x )= e f(x).g(x)q(x)

h(x)=

- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - -

x1

x1

x2 x3

x4

\

\

\

\

f ( x )

g(x )

h(x )

f ( x ).g(x )q(x )h(x )

=

- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - + + + + + + - - - - - -x1 x2 x3 x4

Pelo quadro de sinais acima, sabemos que:

1 1 2x ( ,x ) (x ,x ) q(x) 0 > 3 4x (x ,x ) q(x) 0 < 2 3x {x ,x } q(x) 0 = q(x) no est definida em x1 e x4

Inequaes exponenciais e logartmicas: se a > 1: x na a x n> >

> > >a alog f(x) log g(x) f(x) g(x) 0 k

alog f(x) k f(x) a> > e kalog f(x) k 0 f(x) a< < < se 0 < a < 1: x na a x n> <

a alog f(x) log g(x) 0 f(x) g(x)> < < k

alog f(x) k 0 f(x) a> < < e kalog f(x) k f(x) a< >

SEQNCIAS 1- Progresso aritmtica Definio: seqncia na qual a diferena entre dois termos consecutivos sempre constante. Termo geral: r).1n(aa 1n += Soma dos n primeiros termos:

2n).aa(S n1n

+= 2- Progresso geomtrica Definio: seqncia na qual o quociente entre dois termos consecutivos sempre constante. Termo geral: 1n1n qaa

=

Soma dos n primeiros termos: q1

)q1(aS

n1

n =

Soma de uma PG infinita: 1aS1 q

= , onde, |q| < 1 Dica: representar os termos de uma PA como ..., x r,x,x r + ,... ou ..., rx

2 , rx

2+ ,... e de uma PG como ..., x ,x,xq

q,... ou

..., 2x. qq

x. qq

, x. q , x. q.q ,... pode facilitar a resoluo de questes

de geometria e polinmios onde alguns dados formam seqncias. Somatrio e Produtrio:

n

i 1 2 3 ni 1

a a a a ... a=

= + + + + n i 1 2 3 ni 1

a a .a .a .....a=

=



4

MATRIZES Definio: Uma matriz m x n uma tabela de m.n nmeros dispostos em m linhas e n colunas. Se m = n, a matriz dita matriz quadrada de ordem n. Um elemento na i-sima linha e na j-sima coluna indicado por ija . Assim, uma matriz m x nA apresentada como:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

=

""

# # % #"

Exemplo: As matrizes A, B e C abaixo tm tamanhos respectivamente, 3 x 2, 3 x 1 e 1 x 4.

4 0500!37

1A

i

= ,

2

1523B

e

= ,

32 1 17 2 62

C i = +

Matriz Transposta: Dada uma matriz A, de tamanho m x n, definimos a matriz transposta de A, representada por AT, como a matriz de tamanho n x m, obtida de A transformando suas m linhas em colunas, ou de modo equivalente, suas n colunas em linhas.

Exemplo: 4 0

4 137500!37 0 500!1

T iA Ai

= =

Igualdade entre matrizes: Duas matrizes so iguais quando tm o mesmo nmero de linhas, o mesmo nmero de colunas, e seus termos correspondentes so iguais. Assim:

m x n p x q

m = np = q

, ,ij ij

A Ba b i j

= =

Exemplo: As matrizes P e Q abaixo, ambas quadradas de ordem 3, so iguais para todo valor real de x.

2 2

3

11 cos2

3! |1 2 | 11 52 | 5 |

2x

sen x x

P

+ =

e

0 192 log 3 1

6 2 1 458 2 5x

Q tg

=

Adio de matrizes: Dadas duas matrizes A e B, de mesmo tamanho m x n, definimos a soma A B+ como sendo outra matriz, tambm de tamanho m x n, cujos termos so a soma dos termos correspondentes das matrizes A e B. Assim:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

m m mn m m mn

a a a b b ba a a b b b

A B

a a a b b b

+ = + =

" "" "

# # % # # # % #" "

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

+ + + + + + = + + +

""

# # % #"

Exemplo: Sejam 1

2 5A

= ,

7 5

4 20B

= .Ento,

8 5

6 3 5A B

+ =

Multiplicao de uma matriz por um nmero: Dados um nmero e uma matriz A, de tamanho m x n, definimos o produto .A como sendo outra matriz, tambm de tamanho m x n, onde cada termo o produto do nmero pelo elemento correspondente da matriz A. Assim:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a aa a a a a a

A A

a a a a a a

= =

" "" "

# # % # # # % #" "

Em particular, a matriz (1).A dita matriz oposta a A e representada por A.

Exemplo: Se 1

2 5A

= , ento

4 44

8 4 5A

= e a matriz

oposta a A a matriz 1

2 5A

= .

Produto de duas matrizes: Dadas duas matrizes A e B, sendo A de tamanho m x n, e B de tamanho n x p (ou seja, o nmero de colunas de A deve ser igual ao nmero de linhas de B), definimos o produto A.B como sendo uma matriz de tamanho m x p (ou seja, com o nmero de linhas de A e o nmero de colunas de B), onde cada elemento do produto C = A.B dado por:

1 1 2 21

n

ij ik kj i j i j in njk

c a b a b a b a b=

= = + + + " Em outras palavras, o elemento da matriz produto C, na i-sima linha e na j-sima coluna, obtido multiplicando-se os elementos correspondentes na i-sima linha da matriz A e na j-sima coluna da matriz B, e depois somando esses n produtos.

Exemplo: Se 2 03 21 4

A =

e 7 32 1

B =

, ento:

2 0 2 7 0 2 2 ( 3) 0 17 3

3 2 3 7 ( 2) 2 3 ( 3) ( 2) 12 1

1 4 ( 1) 7 4 2 ( 1) ( 3) 4 1A B

+ + = = + + = + +

14 617 111 7

Por outro lado, o produto B A no est definido, uma vez que o nmero de colunas de B no igual ao nmero de linhas de A.

Matriz Nula: A matriz nula de tamanho m x n a matriz que tem zeros em todas as suas entradas.

Exemplo: A matriz nula 2 x 3 0 0 00 0 0

.

Matriz Identidade: A matriz identidade de ordem n a matriz quadrada n x n que tem o nmero um em sua diagonal principal e zero em todas as outras entradas.

Exemplo: A matriz identidade de ordem 3 1 0 00 1 00 0 1

.

Matriz Inversa: Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, admite inversa, ou inversvel, quando existe uma outra matriz B, tambm quadrada de ordem n, tal que nA B B A I = = , onde In denota a matriz identidade de ordem n. Quando tal matriz B existe, ela dita matriz inversa de A e denotada por B = A1.

Exemplo: As matrizes

1 3 02 23 1 0

2 20 0 3

=

A e

1 3 02 2

3 1 02 2

10 03

B

=

so inversas uma da outra, pois 3

1 0 00 1 00 0 1

A B B A I = = =

.



5

DETERMINANTES Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante Dij , de ordem n - 1, associado matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.

Cofator ou complemento algbrico: nmero relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j .Dij.

Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem n2, a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Clculo do determinante para ordens 1 e 2 ( )bcad

dcba

Adcba

A

aaAaA

==

=

===det

det

Clculo do determinante para ordem 3 (Regra de Sarrus) I - Repetem-se as duas primeiras colunas (ou linhas); II - Multiplicam-se os elementos com direes iguais da diagonal principal, atribuindo a estes produtos sinais positivos; III - Multiplicam-se os elementos com direes iguais da diagonal secundria, atribuindo a estes produtos sinais negativos; IV - A soma algbrica de todos os produtos obtidos corresponde ao determinante procurado.

A =

a b cd e fg h i

a b cd e fg h i

adg

beh

;

+ + + det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg Propriedades 1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

2) det(A) = det(At).

3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, nulo.

4) se trocarmos de posio duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais nulo.

6) det(A-1) = 1/det A.

7) det(A.B) = det A.det B

8) se A matriz quadrada de ordem n e k real ento det(k.A) = kn. det A

Existncia da matriz inversa: Uma matriz A possui inversa se e somente se tem determinante no-nulo.

SISTEMAS LINEARES

Sistemas lineares: so sistemas de equaes onde o maior expoente 1:

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

......

2211

22222121

11212111

#####

A soluo de um sistema linear uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz as m equaes acima.

Forma matricial

=

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

###%##2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Sistema Homogneo: o sistema chamado homogneo quando b1=b2=...=bn=0.

Classificao de sistemas lineares a) possvel e determinado: s possui 1 soluo; b) possvel e indeterminado: possui infinitas solues; c) impossvel: no possui solues. Obs: se mn, o sistema jamais ser possvel e determinado. Sistema de Cramer (ou Normal) todo aquele em que a matriz incompleta dos coeficientes A quadrada (m = n) e tambm det A 0 (D 0) Regra de Cramer: Todo sistema normal possvel admitindo uma e s uma soluo,

dada por: DDi

i = , onde Di o determinante da matriz obtida pela substituio da i-sima coluna pela coluna dos termos constantes. Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto-soluo.

Propriedades: 1) trocando de posio as equaes de um sistema, obtemos outro sistema equivalente; 2) multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmero real K0 obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Escalonamento: mtodo para resolver sistemas lineares de qualquer ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1 equao uma das que possuem o coeficiente da 1 incgnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita das demais equaes. c) Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o sistema se torne escalonado.

Exemplo de sistema escalonado possvel e determinado: a x a x ... a x b a x ... a x b ................................ a x b

11 1 12 2 1n n 1

22 2 2n n 2

mn n n

+ + + =+ + =

=

em que aii 0 , i , 1 i n Observa-se que a matriz incompleta A tal que:

det A = det

a a ... a 0 a ... a ......................... 0 0 ... a

11 12 1n

22 2n

mn

= a a ann11 22 0. .....

Logo o sistema normal e pela regra de Cramer, (S) possvel e determinado.



6


MATEMTICA BSICA 1- Potenciao

Definio: seja n um nmero inteiro diferente de zero. Assim, dado um nmero real a, temos

vezesn

n a...aaa = .

Propriedades 1) se 1a0a 0 = 2) n

n

a1a =

3) nnn b.a)b.a( =

4) nnn

ba

ba =

5) mnmn aa.a += 6) mnm

na

aa =

7) m.nmn a)a( =

2- Radiciao

Definio: radiciao a operao inversa da potenciao. Assim, se n um inteiro tal que n > 1, temos: nn abab ==

Propriedades

1) nn1

aa = 2) n mp.n p.m aa = 3) nnn b.ab.a = 4) nmm n a = a

Racionalizao de denominadores: a racionalizao de denominadores consiste em transformar um denominador irracional, indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua frao.

aa

a

a.a

1

a

11)n pn

n pn

n pn

n pn p

==

( ) ( ) ba b a = b - a b a = b a b a b - a 1 = b- a 1 2) 22 ++++

( ) ( ) ba b - a = b - a b - a = b - a b - a b + a 1 = b+ a 1 3) 22

3- Produtos Notveis

)baba)(ba(ba

)baba)(ba(ba

bb.a.3b.a.3a)ba(

bb.a.3b.a.3a)ba(

bb.a.2a)ba(

bb.a.2a)ba(

)ba)(ba(ba

2233

2233

32233

32233

222

222

22

++=+++=

+=+++=+

+=++=+

+=

4- Aritmtica

Teorema fundamental da aritmtica: todo nmero inteiro pode ser decomposto como produto de seus fatores primos.

Mximo divisor comum: maior nmero inteiro que divide simultaneamente uma srie de nmeros dados. Mnimo mltiplo comum: menor nmero que mltiplo simultaneamente de uma srie de nmeros dados.

Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a =

5- Regra de Trs

Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporo.

KYX =

Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporo, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporo.

KY.X =

Regra de trs simples direta: uma regra de trs simples direta uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

ZWK

YX ==

ZW.YX

ZW

YX ==

Regra de trs simples inversa: uma regra de trs simples inversa uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais.

D.CKB.A == BC

DAD.CB.A ==

Regra de trs composta: regra de trs composta um processo que relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situaes

Situao Grandeza 1 Grandeza

2 ........... Grandeza

n 1 A1 B1 ........... X1 2 A2 B2 ........... X2

Aqui, temos dois casos: 1) se todas as grandezas so diretamente proporcionais grandeza n, basta resolvermos a proporo:

.....2D.2C.2B.2A.....1D.1C.1B.1A

2X1X =

2) se algumas das grandezas so inversamente proporcionais grandeza n, basta invertermos a posio dessa grandeza. Suponha, por exemplo, que a grandeza 2 inversamente proporcional grandeza n:

.....2D.2C.1B.2A.....1D.1C.2B.1A

2X1X =

6- Matemtica financeira Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t o tempo, C o capital aplicado e M o montante final (capital + juros).

Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros.

jCt.i.cCMt.i.Cj

+=+==

Juros Compostos: aps cada perodo, os juros so incorporados ao capital, proporcionando juros sobre juros.

CMj)i1.(CM t

=+=

BINMIO DE NEWTON Fatorial: Define-se o fatorial de um nmero natural n de maneira recursiva:

0! 1! ( 1)!, 1n n n n= =

Assim, ! ( 1) 3 2 1n n n= " .

Exemplo: 5! 5 4 3 2 1 120= = .

Nmero binomial: Dados dois nmeros naturais n e k, definimos o

nmero binomial ! , se

!( )!0, se

n n knk n k

kn k

=



7

Tringulo de Pascal: Colocando-se os nmeros binomiais no-nulos de maneira organizada, segundo a qual os binomiais de mesmo termo superior esto na mesma linha, e os binomiais de mesmo termo inferior esto na mesma coluna, formamos o tringulo de Pascal.

%####14641

1331121

111

Relao de Stifel: Se somarmos dois termos consecutivos numa mesma linha do tringulo de Pascal, o resultado dessa adio o nmero binomial imediatamente abaixo da segunda parcela, ou seja,

11 1

n n np p p

+ + = + +

Esta relao nos d um mtodo extremamente rpido e eficiente para construir o tringulo de Pascal at a linha desejada.

Propriedade: A soma dos elementos da n-sima linha do tringulo igual a 2n, ou seja, vale a identidade:

02

0 1

nn

k

n n n nk n= = + + + = "

Binmios de Newton: so todas as potncias da forma ( )na b+ , com n natural.

0( )

nn n k k

k

na b a b

k

=

+ =

Exemplo: 3 3 0 2 1 1 2 0 33 3 3 3

( )0 0 0 0

a b a b a b a b a b + = + + + =

3 2 2 33 3a a b ab b+ + +

Termo geral do binmio: 1n k k

k

nT a b

k

+ =

Exemplo: Se queremos o terceiro termo do desenvolvimento de 4( )a b+ , fazemos k = 2 nessa frmula para obter

4 2 2 2 23

46

2T a b a b

= =

ANLISE COMBINATRIA Permutaes:

!nP n=

Exemplo: O nmero de anagramas da palavra UNICAMP 7! = 5040.

Permutaes circulares: ( 1)!nP n=

Exemplo: O nmero de maneiras distintas de dispor sete pessoas numa mesa circular (7 1)! = 720

Permutaes com elementos repetidos: , , !

! !a b

nnP

a b=" "

Exemplo: O nmero de anagramas da palavra MACACA : 3,2

66! 60

3!2!P = =

Arranjos: Faz distino tanto em relao ordem quanto em relao natureza dos elementos do conjunto.

,!

( )!n knA

n k=

Exemplo: A quantidade de nmeros de trs algarismos que podemos

formar com os elementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9} 5! 60

(5 3)!=

Combinaes: Faz distino apenas em relao natureza dos elementos, mas no leva em conta a ordem em que os mesmos so dispostos no problema.

,!

!( )!n kn nCk k n k = =

Exemplo: O nmero de maneiras de escolher 2 alunos dentre os 40

presentes em uma sala de aula dado por 40

7802

=

PROBABILIDADE

Definio: A probabilidade de um evento E ocorrer a razo entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis.

( ) FP

Np EN

= Como 0 F PN N , temos que 0 ( ) 1p E .

Exemplo: Ao lanarmos um dado com seis faces, vamos denotar os seguintes eventos: A sair o nmero 2; B sair um nmero mpar; C sair o nmero 7; D sair um nmero menor que 10.

Ento: 1( )6

p A = , 1( )2

p B = , ( ) 0p C = e ( ) 1p D =

Evento Unio: A probabilidade do evento unio de dois eventos, A e B, dada por ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B = + .

A B

S

Quando ( ) 0p A B = , temos que ( ) ( ) ( )p A B p A p B = + , e nesse caso dizemos que os eventos A e B so disjuntos ou mutuamente exclusivos.

Exemplo: No lanamento de um dado de seis faces, seja A o evento nmero primo e B o evento nmero par. Temos que {2,3,5}A = e

{2,4,6}B = , de modo que {2}A B = . Assim, a probabilidade do evento unio 1 1 1 5( ) ( ) ( ) ( )

2 2 6 6p A B p A p B p A B = + = + = .

Probabilidade do Evento Complementar: Se um evento E tem probabilidade ( )p E de ocorrer, ento seu evento complementar, denotado por CE , ocorre com probabilidade ( ) 1 ( )Cp E p E= .

Exemplo: Refazendo o exemplo anterior de outro modo, considere o evento E em que o nmero que sai no dado no nem primo nem par. Temos que {1}E = , e CA B E = , logo:

1 5( ) ( ) 1 ( ) 16 6

Cp A B p E p E = = = =

Probabilidade Condicional: a probabilidade de ocorrer um certo evento A, sabendo j ter ocorrido um outro evento B, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que ocorreu B.



8

Essa probabilidade denotada por ( | )p A B , e vale: ( )( | )

( )p A Bp A Bp B=

Exemplo: Ao lanarmos um dado de seis faces, a probabilidade de obtermos o nmero 2 (evento A), sabendo que saiu um nmero par (evento B) :

1( ) 16( | ) 1( ) 3

2

p A Bp A Bp B= = = .

Olhando esse resultado sob outro aspecto, isso quer dizer que se j sabemos que saiu um nmero par, nosso espao amostral no mais o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mas sim o conjunto B = {2, 4, 6}, ou seja, o espao amostral foi reduzido, e a probabilidade condicional nos indica a chance de obter a face com o nmero 2 no mais no espao todo, mas no novo espao amostral B.

Exemplo: Tenho trs moedas honestas e uma moeda com duas caras. Sorteio, ao acaso, uma dessas quatro moedas e verifico que o resultado cara. Qual a probabilidade de eu ter sorteado uma das moedas honestas? Chamemos de A o evento sortear uma moeda honesta, e B o evento obter cara no lanamento de uma das moedas. Ento:

3 1( ) 34 2( | ) 3 1 1( ) 51

4 2 4

p A Bp A Bp B

= = = +

Independncia de Eventos: Quando o evento A independe da ocorrncia do evento B, dizemos que A e B so eventos independentes. Nesse caso, temos ( | ) ( )p A B p A= , e portanto

( ) ( ) ( )p A B p A p B = .

Ensaios de Bernoulli: Se um evento E tem probabilidade p de acontecer num determinado experimento, ento ao realizarmos n experimentos idnticos, todos nas mesmas condies, a probabilidade de que o evento E ocorra exatamente k vezes dada por:

(1 )k n kn

p pk

Exemplo: Ao lanar um dado de seis faces trs vezes seguidas, a probabilidade de que o nmero 6 saia exatamente uma vez dada por

1 23 1 5 251 6 6 72 =

Exemplo: Ao lanarmos um dado de seis faces trs vezes seguidas, a probabilidade de que o nmero 6 saia pelo menos uma vez pode ser calculada de duas maneiras. A primeira pensar que o nmero 6 sai pelo menos uma vez quando ele sai exatamente em uma das trs vezes, ou quando ele sai exatamente em duas das trs vezes, ou quando ele sai nos trs lanamentos. Assim teramos:

1 2 2 1 3 03 3 31 5 1 5 1 5 911 2 36 6 6 6 6 6 216 + + =

A segunda maneira pensar no evento complementar. O evento complementar de sair o nmero 6 pelo menos uma vez o evento no sair o nmero 6 nenhuma vez. A probabilidade deste ltimo

dada por 0 33 1 5 125

0 6 6 216 =

. Logo, a probabilidade do evento

complementar vale 125 911216 216

=

GEOMETRIA ANALTICA Distncia de dois pontos

x

y

Ay

Ax Bx

B Ax x

B Ay yBy

B

Ad

( ) ( )= + 2 2B A B Ad x x y y( ) ( )= ++ +2 2d x you

Ponto mdio

x

y

Ay

Ax Bx

ByB

AM

My

Mx

( ) + + = = , ,2 2B A B AM Mx x y yM x y

Equaes da reta

( )+ + = = = += + = +

0.

.A A

A

A

ax by cy y m x xy m x qx x ty y t

x

y

Ay

Ax Bx

ByB

A

q

( ) = = =B AB Ay y m tg x x

(eq. geral) (eq. reduzida)

(eq. paramtrica)

m: coeficiente angular q: coeficiente linear

Distncia de Ponto a Reta

.

( )0 0,P x y ( )0r ax by c+ + =

0 0, 2 2P r

ax by cd

a b

+ += +

Posio relativa entre retas: - Retas paralelas:

r s// r s

r s

r s

r s m mm m

r sq q

=== =

( ) ( )r s =

( ) ( )r s r s = =

- Retas concorrentes (no perpendiculares)

( ) ( ) { }( )

1 .r s

r s

r s Pm mtg

m m =

= +r

s

- Retas (concorrentes) perpendiculares rs

. ( ) ( ) { }. 1r s

r s Pr s m m

= =



9

rea do tringulo y

B

A

C

Ay

Cy

By

Ax Bx Cxx

11 12

1ABC

A A

B B

C C

x yS x y

x y=+

Condio de alinhamento de trs pontos

A, B e C esto alinhados se, e somente se =11 01

A A

B B

C C

x yx yx y

rea de polgonos (triangularizao de polgonos) Dado um polgono P qualquer, uma triangularizao de P uma diviso de P em n tringulos T1, T2, ..., Tn , desde que: - a unio de todos os tringulos igual ao polgono; e - a interseco deles, dois a dois, seja vazia, uma reta ou um ponto.

= + + + +1 2 3 ...P T T T TnS S S S S Exemplo:

1A

2A3A

4A

5A6A

8A

7A

1T2T

3T

4T

5T

6T

= + + + + +1 2 3 4 5 6P T T T T T TS S S S S S S

Equao Da Circunferncia y

Cy

Cxx

r ( ) ( )2 2 2C Cx x y y r + =

Obs: uma equao na forma + + + + + =2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F representa uma circunferncia de centro ,2 2

D EA A

e raio

+ =2 2D E 4AFr

2A, desde que = 0,A C = 0B e + >2 2D E 4AF 0

CNICAS

ELIPSE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma elipse de focos em F1 e F2 o conjunto dos pontos P(x,y) cuja soma das distncias a F1 e F2 constante e igual a 2a, com 2a > 2c.

( )1A a,0 ( )2A a,0( )1F c,0 ( )2F c,0

( )1B b,0

( )2B b,0

y

x

a a

O

= +2 2 2a b c

= 0, k2>0 e k1>k2 Elipse de eixo maior horizontal

k1>0, k2>0 e k10 e k2



10

NMEROS COMPLEXOS Definio: so todos os nmeros na forma z = a + b.i, com a,b IR e i a unidade imaginria, com i2 = -1. Tambm so representados na forma z = (a, b), como um par ordenado de nmeros reais. Obs: se b = 0, o nmero z um nmero real; se a = 0 e b 0, o nmero z chamado imaginrio puro. Conjugado: i.baz =

Mdulo: 22 ba|z| += Forma trigonomtrica:

)sen.i.(coszz += Obs: o ngulo chamado argumento do nmero complexo, e medido a partir do eixo real no sentido anti-horrio.

0

Im(z)

b P (z a bi)= +

a Re(z)

|z|

Forma exponencial: = ie.zz Operaes com nmeros complexos Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i:

21

21

i).db()ca(zzi).db()ca(zz

+=+++=+

22

21

2

1

21

z.zz.z

zz

i)bcad()bdac(zz

=++=

dica: use a propriedade distributiva na multiplicao Multiplicao e diviso na forma trigonomtrica

)sen.i(coszz

)sen.i(coszz

+=+=

22

11

)](sen.i).[cos(z

zzz

)](sen.i).[cos(z.zz.z

+=

+++=

2

1

2

1

2121

Potenciao e radiciao: se z = |z|.(cos + i. sen ) e n um nmero inteiro ento:

+= )]n(sen.i)n[cos(zz nn

++

+=n

ksen.in

kcos.zz nn 22

Obs: encontrar a raiz n-sima de um nmero complexo z resolver a equao rn = z. Essa equao de grau n, logo, possui n razes. Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equao acima, encontramos, para cada k, uma raiz diferente, formando um polgono regular de n lados no plano de Gauss. Exemplos:

( ) ( )33

z 27 27. cos i.sen

2k 2k 2k 2kz 27 cos i.sen 3 cos i.sen3 3 3 3

= = +

+ + + + = + = + Com k = 0, 1, 2

Im(z)

-3

23

23

23

3

Re(z)

[ ]66

z 1 1. cos( ) i.sen( )

2k 2kz 1. cos i.sen6 6

k kz cos i.sen6 3 6 3

= = + + + = + = + + +

Com k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Im(z)

Re(z)

3

3

3 3

3

3

6

1

-1

POLINMIOS E EQUAES ALGBRICAS

Definio de polinmio: seja n um nmero natural. Um polinmio de grau n toda expresso do tipo

nnxaxaxaaxP ++++= ...)( 2210 ,

onde os valores a0, a1, ..., an so constantes. Exemplos:

12

23 2

32

42

5

22 3 12 12 24 16

2 22 1

= = += + = +=

P ( x ) x

P ( x ) x xP ( x ) x x x

P ( x ) x x

P ( x ) x ix

Polinmios idnticos: dois polinmios so idnticos quando seus termos correspondentes so iguais.

Exemplo: a

ax bx cx d x x bc d

=+ + + = = = =3 2 3 2

11

0

Polinmio identicamente nulo: um polinmio identicamente nulo quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os coeficientes de P so nulos. Exemplo: 10 0 0 0= + + + =n nP( x ) x x ... Equao polinomial ou algbrica: uma equao algbrica um polinmio igualado a zero, ou seja:

0...2210 =++++ nn xaxaxaa . Assim, resolver uma equao algbrica o mesmo que encontrar as razes de um polinmio. Teorema fundamental da lgebra: se P(x) um polinmio de grau n ento ele possui n razes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em:

))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP = onde r1, ..., rn so as n razes desse polinmio. Exemplos:

22

3 2 33

12 3 1 2 1 22 12 24 16 2 2

= + = = + =

P ( x ) x x ( x )( x )

P ( x ) x x x ( x )



11

Teorema das razes complexas: se P(x) um polinmio com coeficientes reais e o nmero complexo a + bi raiz de P(x) ento seu conjugado, a bi, tambm raiz. Exemplo: Relembrando o teorema fundamental da lgebra temos:

( )( ) ( )( )P ( x ) x x x i x i= + = + 24 2 2 1 1 Note que o polinmio P ( x ) x ix= 25 2 1 admite x i= como raiz, mas no admite seu conjugado, ( P ( i ) = 5 4 ). O Teorema das razes complexas s vlido para polinmios com coeficientes reais. Diviso de polinmios: dividir um polinmio P(x) por um polinmio D(x) significa encontrar dois polinmios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) que satisfaam a condio P(x) = Q(x).D(x) + R(x).

)( R(x)

D(x) )(

xQ

xP

Nota: Sendo n, d, r e q o grau dos polinmios P(x), D(x), R(x) e Q(x), respectivamente. Temos que r d= 1 e n d q= + . Dispositivo prtico de Briot-Ruffini: receita de bolo para a diviso de P(x) por (x-a):

..... 1011

+ nnn

nn

aaaaaaaaa "

Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o esquema acima; Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente; Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o segundo coeficiente; Passo 4: faz-se a mesma coisa com o nmero obtido no passo anterior, at o ltimo coeficiente; Passo 5: o ltimo nmero obtido o resto da diviso, enquanto os outros so os coeficientes do polinmio Q(x). Exemplos: Encontre Q(x) e R(x) da diviso de: a) 3P (x) ( )3 22x 12x 24x 16= + por 1P (x) ( )x 2= .

2 2 -12 24 -16 2 -8 8 0

23 2 2Q(x) 2x 8x 8 2x 12x 24x 16 (2x 8x 8).(x 2) 0

R(x) 0= + + = + +=

b) 4P (x) ( )2x 2x 2= + por (x 1)

1 1 -2 2 1 -1 1

2Q(x) x 1 x 2x 2 (x 1).(x 1) 1

R(x) 1= + = +=

Teorema do resto: o resto da diviso de P(x) por (x-a) igual a P(a). De fato, 3P (2) 0= e 4P (1) 1= . Generalizando: Na diviso de P(x) por um polinmio D(x) de grau n podemos obter R(x), de grau n 1, utilizando as razes de D(x) na equao P( x ) D( x ).Q( x ) R( x )= + . Assim, para o obter os coeficientes

0 1 n-1a ,a ,..., a do polinmio n

nR( x ) a a x ... a x

= + + + 10 1 1 basta resolver

o sistema linear:

n n

R( x ) P( x )R( x ) P( x )

R( x ) P( x )

= = =

1 1

2 2

# onde 1 2 nx ,x ,...,x so razes de D(x)

Exemplo: Da diviso do polinmio P ( x )3 por ( )2 3 2 +x x , de razes 1 e 2, temos :

( )23 3 2= + +P ( x ) x x .Q( x ) R( x )x P ( ) .Q( ) R( ) a b

R( x ) xx P ( ) .Q( ) R( ) a b= = + + = = = = + + =

3

3

1 1 0 1 1 22 4

2 2 0 2 2 2 0

Teorema das razes racionais: seja P(x) um polinmio de grau n com coeficientes inteiros. Se P admite uma raiz racional p/q, com p e q primos entre si, ento p divisor de a0 e q divisor de an. Exemplos: As razes de 22 2 3 1= +P ( x ) x x so 1/2 e 1, pertencem a { }1, 1 2,1 2,1 . J em 24 2 2= +P ( x ) x x , nenhum dos valores possveis (-2, -1, 1 e 2) zeram o polinmio, pois suas razes (1 i,1 i)+ no so racionais. Relaes de Girard a) 2ax bx c 0+ + =

1 2cx .xa

=1 2 bx x a+ = b) 3 2ax bx cx d 0+ + + =

1 2 3bx x xa

+ + = 1 2 1 3 2 3 cx .x x .x x .x a+ + = 1 2 3dx .x .xa

=

c) n n 1n n 1 1 Oa x a x ... a x a 0

+ + + + =

Sendo Sp a soma de todos os possveis produtos das n razes p a p. n 1

1n

aSa= n 22

n

aSa= ( )p n pp

n

aS 1 .

a= ( )n On

n

aS 1a

= ... ...



12


GEOMETRIA PLANA

Retas paralelas cortadas por uma transversal

a b

c d

f

h

e

g

r

s

t

//a d e h

r sb c f g= = = = = =

Teorema de Tales

2 3 1 31 2

1 2 2 3 1 3

A A A AA AkB B B B B B

= = =

ba

3r

2r

1r

2B

3B

1B1A

2A

3A

1 2 3r // r // r

k: constante de proporcionalidade

ngulos na circunferncia

A

B

D

C

pp

p p

p p

2

2

2

AB

AB

AB CD

AB CD

=

= =

-=

+=

: ngulo inscrito : ngulo central : ngulo do segmento : ngulo excntrico externo : ngulo excntrico interno Potncia de pontos

G

F

ED

C

B

A

H

2

AB AC

AB AD.AE

==

AD.AE AF.AG

HC.HG HD.HE

==

Polgonos Soma dos ngulos internos: aiS 180.(n 2)= Soma dos ngulos externos: aeS 360= (polgonos convexos) Nmero de diagonais: n(n 3)nd

2=

ngulos internos de um polgono regular: ai 180.(n 2) n= Obs: Todo polgono regular inscritvel e circunscritvel.

Tringulo Pontos notveis

- Ortocentro(O): encontro das alturas(h).

A

CAH

BHCH

AhBhCh

O

a

bc.

.

.B

- Incentro(I): encontro das bissetrizes(b) e centro do crculo inscrita no tringulo

.

.

.

A

B C

c b

a

Ab

Bb CbI

- Circuncentro(Ci): encontro das mediatrizes(m) e centro do crculo circunscrito ao tringulo

.

.

.

A

C

c b

a

Am

BmCm

CiB

- Baricentro (Ba): encontro das medianas(M) que se dividem na razo 2:1. Tambm conhecido por centro de gravidade do tringulo.

A

C

c b

aAM

BMCM

B

Ba

Semelhana de Tringulos 1A

2B1C

1c 1b

1a

1h

2A

2C

1B

2a2b

2c

2h

.

.

Se 1 A A ,= 1 B B= e 1 C C= ,ento os tringulos ABC e A1B1C1 so semelhantes de razo 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

a b c h a b ck ...a b c h a b c

+ += = = = = =+ + (k: razo entre linha homlogas)

Teorema fundamental e Base do tringulo mdio

A

CB

PO

A

CB

NM

OP//BC ABC ~ AOP HJJG HJJG MN//BCAM MBBCAN NC MN2

= = =

HJJG HJJG



13

Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo A

C

c b

a

h

B. nm

2 2 2

2

2

2

a b cb a.nc a.mb.c a.hh m.n

= + = = = =

.

rea do Tringulo

( ) ( ) ( )

( )

a.hS2

a.c.sen()S2

S p. p a . p b . p c

a.b.cS4Ra b c .r

S p.r2

=

== =

+ += =

a b cp2

+ +=A

C

c b

a

h

B .

R

r

rea do tringulo eqiltero: 23S4

= A Quadrilteros Trapezide: quadriltero que no possui lados paralelos. Paralelogramo: quadriltero que possui lados opostos paralelos.

AB CD,AC BDAB // CD A D,B C,A B 180AC//BD AM MD,CM MB

= = = = + = = =

HJJG HJJGHJJG HJJG

S b.h=

C D

A B

M

b

h

.

Retngulo: paralelogramo que possui os quatro ngulos congruentes. .

. .

.A B

C D

Mh

b

S b.h A B C D 90

AM BM CM DM

== = = == = =

Losango: paralelogramo que possui os quatro lados congruentes.

.

.

A B

C D

MDd

M

h

A

A

A

A

MD .dS .h2

AB AC BD CD

AD BC

= == = = =

AAHJJG HJJG

Quadrado: paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro ngulos congruentes (Retngulo e Losango).

. .

. .

.

A B

C D

M

A

A

A A

2SAB AC BD CD

A B C D 90

AD BC d 2.AD BC

2AM BM CM DM .2

== = = =

= = = == = == = = =

AA

A

A

Trapzio: quadriltero que possui um par de lados paralelo.

Escaleno: AD BC Issceles: ,AD BC= A B= e C D= Retngulo: 90A C= = ou 90B D= =

Base Mdia: AM MCBM MD

==

// //

2

AB MN CDAB CDMN +=

A B

C D

M N

Circunferncia, crculo e suas partes:

r2.S r=

2C r=

C: comprimento da circunferncia Coroa Circular:

Rr

( )2 2.S R r= -

Setor Circular:

L r= 2

2rS = ou

2. ;360

S r = em graus

r

r L

L: comprimento do arco reas de Figuras Semelhantes: Se, em duas figuras semelhantes, a razo entre as linhas homlogas igual a k, a razo entre as reas igual a k2.

TRIGONOMETRIA Trigonometria no tringulo retngulo:

opostocatetosenohipotenusa

= ,

cos cateto adjacentesenohipotenusa

=

oposto

catetotagentecateto adjascente

=

Trigonometria em um tringulo qualquer:

Lei dos Senos

2a b c Rsen A senB senC

= = = Lei dos Cossenos

a2 = b2 + c2 2bc . cos A

b2 = a2 + c2 2ac . cos B

c2 = a2 + b2 2ab . cos C



14

Principais relaes trigonomtricas + =2 2cos 1sen

cossentg = ,

1 coscotgtg sen

= = 1cossec

sen = ,

1seccos

= ( ) cos cos .sen sen sen = ( ) cos cos .cos sen sen =

( )1

tg tgtgtg tg =

2 cos2 2

p q p qsen p senq sen =

2 cos cos2 2

p q p qcos p cosq + + =

cos cos 22 2

p q p qp q sen sen+ =

Arcos e ngulos: Considerando a circunferncia abaixo de centro O e raio R e os pontos A e B, temos:

O

B

A

A

R = A .

Ciclo trigonomtrico (centro na origem e raio 1):

O

P

P1

P2

sen(x)

A

A

B

B

x

cos(x)

Funes trigonomtricas: As funes trigonomtricas so todas peridicas. As funes bsicas, y=sen(x), y=cos(x), y=sec(x) e y=cosec(x) tm perodo 2 , enquanto as funes bsicas y=tg(x) e y=cotg(x) tm perodo . Esboo: y = sen(x)

2

23

2 2

23

- 2

5 3 2

7

42

9

-1

+1 x

x

y

x x

Esboo: y = cos(x)

2

2

-2

25

3

27

4

233

2

-1

+1 x

x

y

0 x

-

2

Esboo: y = tg(x)

23

25

23

2

2

y

x X X XXX- 0

2

GEOMETRIA ESPACIAL Prismas Cubo

a

aa

d

====

2L

2T

3

d a 3S 4a

S 6a

V a

SL: rea lateral ST: rea total V: volume Paraleleppedo reto retngulo

a

bc

d ( )= + += += + +=

2 2 2

L

T

d a b cS 2a b cS 2(ab ac bc)V abc

SL: rea lateral ST: rea total V: volume Prisma qualquer

( )= Lh a .sen LaLa

La

( )== += =

L Base L

T L Base

Base Base L

S P .aS S 2SV S .h S .a .sen

SL: rea lateral ST: rea total V: volume PBase: permetro da base aL: aresta lateral h: altura : ngulo entre aL e Base

Prisma reto: == =

L

L Base

h a 90

S P .h



15

Prisma regular: prisma reto, cujas bases so polgonos regulares. Cilindro

gh

R ( )( )

== + = +==

L

T L B

2

S 2RgS S S 2R R g

V R hh g.sen

( )== = = +

L

T

S 2Rh 90 h g

S 2R R h

cilindro reto:

g: geratriz R: raio da base h: altura : ngulo entre geratriz e base Cilindro eqiltero: =h 2R Piramides

A

aO.

h

= +=

T B L

B

S S SS .hV

3

Pirmide regular: = +=

2 2 2

L

A h aS p.A

h: altura O: centro da base A: aptema da pirmide = altura da face a: aptema da base SB, SL e ST: rea da base, lateral e total p: semipermetro da base Pirmide regular: a base um polgono regular e a projeo ortogonal do vrtice sobre a base o centro da mesma. Tetraedros notveis

...

Tetraedro tri-retngulo Tetraedro regular

Cone Cone reto

( )= +== +=

2 2 2

L

T

2

g h RS RgS R R g

R hV3

gh

R.

g: geratriz h: altura R: raio da base Cone qualquer: em um cone no reto ( ou oblquo) no faz sentido falar em geratriz, temos, portanto, apenas a frmula do volume.

=2R hV

3

Esfera

==

2E

3E

S 4r4V r3

Slidos semelhantes So slidos que possuem lados homlogos (correspondentes) proporcionais. A razo de semelhana k entre esses slidos a razo entre dois elementos lineares homlogos. Assim:

2 31 1

2 2

A Vh k k kH A V= = =

Onde: h, A1, V1 altura, rea, volume do menor slido; H, A2, V2 altura, rea, volume do maior slido. Relao de Euler: V A + F = 2


AFA 2011/2012 RESUMO TERICO FSICA

1

APOSTILA DE REVISO FSICA PARTE 1

CINEMTICA

PREFIXOS DE GRANDEZAS MATEMTICAS

Diminutivos Aumentativos Nome: Smbolo: Valor: Nome: Smbolo: Valor:

deci d 10-1 deca da 101 centi c 10-2 hecto h 102 mili m 10-3 quilo k 103

micro 10-6 mega M 106 nano n 10-9 giga G 109 pico p 10-12 tera T 1012

femto f 10-15 peta P 1015 atto a 10-18 exa E 1018

CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FSICA

Nome: Smbolo: Valor:

Velocidade da Luz no vcuo c 3,0.108 m/s Carga Elementar e 1,6.10-19C

Constante Gravitacional G 6,67.10-11m3/s2kg Constante Universal dos Gases R 8,31 J/mol.K

Nmero de Avogadro NA 6,02.1023mol-1 Acelerao da Gravidade na

Superfcie Terrestre g 9,8 m/s2

UNIDADE DE GRANDEZAS NO SI

Referncia: Nome: Smbolo: Comprimento metro m

Massa quilograma kg Tempo segundo s Fora Newton N

Presso Pascal Pa Energia Joule J

Temperatura Kelvin K Carga Coulomb C

Corrente Ampre A ngulo radianos rad

Potncia Watt W Resistncia Ohm

Potencial Eltrico Volt V Capacitncia Farad F Freqncia Hertz Hz

CONVERSO DE UNIDADES PARA O SI

Nome da unidade: Smbolo: Valor no SI

centmetro quadrado cm2 10-4 m2 centmetro cbico cm3 10-6 m3

litro L ou l 10-3 m3 grau /180 rad

grama g 10-3 kg tonelada ton 103 kg

grama por centmetro cbico g/cm3 103 kg/m3 kilometros por hora km/h 1/3,6 m/s

kilograma-fora kgf || gG . N 9,8 N atmosfera atm 1,0.105 Pa

centmetro de mercrio cmHg 1333 Pa caloria cal 4,186 J

quilowatt-hora kW.h 3,6.106 J eltron-volt eV 1,6.10-19 J

cavalos (Horse Power) HP 745,7 W

NOTAO CIENTFICA

Para se escrever um numero N em notao cientifica este deve estar num intervalo tal que: 1 N < 10 e estar acompanhado de uma potncia de dez. Exemplos: 75 7,5 . 101 910 9,10 . 102 10 1,0 . 101

SISTEMA REFERENCIAL Movimento e repouso: Movimento e repouso so conceitos relativos, pois dependem do referencial adotado. Um sistema referencial bem definido, com uma, duas ou trs dimenses, importante no apenas para se observar o movimento ou repouso de um corpo, mas principalmente para orientar e organizar as grandezas envolvidas. Uma grandeza positiva quando o vetor ao qual ela se refere (ou sua componente) aponta no sentido crescente do eixo referencial e negativa quando aponta no sentido oposto. Assim, temos movimento: Progressivo: 0v > Retrgrado: 0v < Acelerado: . 0v a > (o | v | aumenta) Retardado: . 0v a < (o | v | diminui) Exemplos de Sistemas Referenciais:

CINEMTICA ESCALAR

a) Movimento Retilneo Uniforme - M.R.U. O que caracteriza o M.R.U. o corpo apresentar: v =Constante 0

0a = m

Sv vt

= = Converso de velocidade:

1 0 0 0 113 6 0 0 3 , 6

1 3 , 6

k m m mh s s

m k ms h

= =

=

Equao Horria do MRU:

0 0.( )Sv S S v t tt

= = + b) Movimento Retilneo Uniformemente Variado M.R.U.V. Apresentam MRUV corpos sujeitos a uma acelerao constante e no nula na direo do movimento:

a =Constante 0 ; 00

mv vva a

t t t= = =

Equaes do MRUV: 0 0.( )v v a t t= + (V x t)

20

0 0 0.( ).( )

2a t tS S v t t = + + (S x t)

2 20 2. .v v a S= + (V x S)

Para obter dados a partir dos grficos use: Obtm-se: Mtodo: Grfico: Mtodo: Obtm-se:

sG x t tg

Velocidade Instantnea

Variao do Espao REA

vG x t tg

Acelerao instantnea

20Variao da

Velocidade REA

aG x t

c) Grfico do MRU e MRUV:

g

x

Vy Vy positivo g positivo Vx nulo

Vy

Vy positivo Vx positivo g negativo

Vx

Vx y

y



2

M.R.U. M.R.U.V.

t

t

t

t

t

t

a

v

s s

v

a

VETORES Adio de dois ou mais vetores: Graficamente podemos usar a Regra do paralelogramo ou o Mtodo Poligonal para visualizarmos o Vetor soma:

Regra do Paralelogramo Mtodo Poligonal Para calcular o mdulo desta soma devemos observar o valor do ngulo . Se: = 0 S A B= +G G G = 180 S A B= G G G = 90 222 |B||A||S|

GGG += 0, 90 ou 180 2 2 2| | | | | | 2. | | . | | .cosS A B A B= + +G G G G G OBS: Neste ltimo caso atente mudana no sinal do termo que acompanha o cosseno. Cuidado para no usar o sinal negativo como se faz em tringulos na LEI DOS COSSENOS. Caso especial: Se = 120 e |B||A|

GG = , ento: |B||A||S| GGG ==

MOVIMENTO EM DUAS DIMENSES Princpio de Galileu: Quando um corpo realiza um movimento em vrias direes simultaneamente podemos estudar o movimento de cada direo separadamente como se os demais no existissem.

yVG

xVG

VG

.cos

.x

y

V V

V V sen

==

G GG G

Velocidade Relativa Seja AV

G a velocidade de um corpo A em relao a um referencial

qualquer e BVG

a velocidade de um corpo B em relao ao mesmo

referencial. Ento a velocidade de A em relao a B ABVG

pode ser

descrita como: AB A BV V V= G G G

, ou A AB BV V V= +G G G

Exemplo: barco com velocidade relativa em relao ao rio:

LANAMENTOS

Vertical: No lanamento vertical deve-se dar ateno ao referencial adotado. Temos duas situaes possveis: Lanamento Vertical para cima: Onde V0y e g apresentam, obrigatoriamente sinais opostos. No caso abaixo:

Lanamento Vertical para baixo: V0y e g apresentam, obrigatoriamente mesmos sinais. No caso a seguir:

Horizontal: Trata-se de um lanamento em duas dimenses onde a velocidade inicial do corpo apresenta componente no nula apenas na direo horizontal e ainda, o movimento na direo vertical ser acelerado enquanto o horizontal uniforme. Desta forma:

Lanamento Obliquo: Assim como o lanamento horizontal, uma composio de M.R.U.V na direo vertical e M.R.U., na horizontal com 0 0V em ambas as direes. A trajetria, sem resistncia do ar, deve ser parablica.

20vA sen 2

g=

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

BARCO-RIOVG

BARCO-TERRAVG

RIOVG

Trajetria do barco em relao Terra

0 0xV =constante 0 0yV = (M.R.U.V.)

V0 > 0 g > 0

V0 > 0 g < 0

sG

aG

bG

cG



3

Trata-se de um movimento com velocidade vG

constante em mdulo, mas que apresenta uma acelerao cpa

G de mdulo constante e

direo perpendicular a esta velocidade. Assim, em um Movimento Circular, temos:

cpaG

cpaG 1 1T f

f T= =

22 fT = =

0 .t = + 2

2| | | | .cpVa RR

= =GG G

.S R = .v R=

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Ocorre quando a acelerao vetorial no perpendicular nem paralela ao vetor velocidade tangencial do mvel. Assim, esta pode ser decomposta nestas componentes tangencial e radial, de tal forma que a soma destas aceleraes se definem:

MOVIMENTO RETILNEO X MOVIMENTO CIRCULAR As equaes destes movimentos so anlogas e esto resumidas na tabela abaixo:

Movimento Retilneo Movimento Circular 0 .S S V t= + 0 .t = +

20 0. 2

aS S V t t= + + 20 0. 2tat t = + +G

0 .V V a t= + 0 .ta t = + G 2 2

0 2. .V V a S= + 2 20 2. .ta = + G

MOVIMENTO CIRCULAR: POLIAS E ENGRENAGENS 1 CASO: VELOCIDADES ESCALARES IGUAIS

R1

R2 A

B

1 2 R1

A 1

R2

B2

Sistemas de polias compartilhando correias ou engrenagens conectadas devem apresentar mesma velocidade tangencial. Assim:

2. . . 2. . .

. ou .

A B A A B B

B AA B A B

A B

V V R f R fR Rf f T TR R

= == =

Duas engrenagens A e B quaisquer, com nmero total NA e NB de dentes (proporcional ao comprimento) pode ter seu movimento observado contando o respectivo Nx em uma volta completa (2..Rx). Assim, teremos:

( ) ( )2. . . 2. . .. . . ou .

A B A A B B

B AA A B B A B A B

A B

V V R f R f

N NN f N f f f T TN N

= == = =

2 CASO: FREQNCIAS IGUAIS

1

2

R1 R2

Discos compartilhando o mesmo eixo central para rotao devem apresentar mesma velocidade angular. Desta forma:

.A B AA B A BA B B

V V RV VR R R

= = =

MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES O M.H.S. pode ser definido como um sistema que apresenta uma fora resultante diretamente proporcional distncia em relao a um ponto, em torno do qual ocorre oscilao. As equaes do M.H.S. so: ( )t.cos.AX += 0 ( )t.sen..AV += 0

( )2 20. .cos . .a A t x = + = Assim, temos que 2 2. . . .R

CF m a C x m xm

= = = , com C a constante de proporcionalidade entre a distncia em relao ao ponto de oscilao e a fora resultante. Oscilador massa-mola: dado por um corpo oscilando exclusivamente devido fora de restituio elstica.

km

=

2. . mTk

= .F k X=

2 2 2. . .2 2 2M elst cin

k X m v k AE E E= + = + = Pndulo Simples: Um corpo oscilando no ar (sem resistncia) caracteriza um pndulo simples. Para pequenos ngulos ( 5 )o< 1 , tem-se um M.H.S. e as equaes podem ser escritas como:

gl

=

2. . lTg

=

DINMICA

Leis de Newton: Primeira Lei Inrcia: A lei da inrcia prev que todo corpo que apresenta Resultante de Foras Externas nula deve preservar sua velocidade vetorial constante, seja esta nula (V=0) ou no (MRU). Segunda Lei Princpio Fundamental da Dinmica: Um ponto material submetido ao de foras cuja resultante no nula adquire uma acelerao de mesma direo e sentido da resultante sendo seu mdulo diretamente proporcional ao mdulo da fora resultante. A segunda lei mostra que a resultante das foras externas aplicada sobre um corpo pode ser nula ou, quando existe acelerao: FR=m.a. Terceira Lei Ao e Reao: Declara que para toda fora aplicada (ao) por um corpo A sobre um corpo B, surgir uma outra fora (reao) de mesma intensidade, na mesma direo, mas em sentido oposto ao da ao, e esta ltima aplicada por B em A. Por estarem aplicadas em corpos diferentes, uma ao no anula sua reao correspondente.

-A A



4

Tipos de Fora: So conhecidos quatro tipos de fora na natureza dos quais estudaremos apenas dois (as outras so a Fora Forte e a Fora Fraca, tipos de fora que esto relacionadas Fsica Nuclear): a) Foras de Campo: So foras que podem ser aplicadas mesmo quando no existe contato direto entre os corpos do sistema. Exemplo: fora peso, fora eltrica, fora magntica. b) Foras de Contato: Quando existe contato entre corpos. Podem sempre ser decompostas em uma componente normal e outra tangencial. Usualmente so particularizadas estas decomposies: Normal: Fora de reao ao contato entre superfcies, sempre perpendicular ao plano tangente s superfcies. Fora de Atrito: A fora de atrito se ope localmente (na regio de contato entre as duas superfcies) ao movimento ou tendncia do movimento de cada corpo. O mximo mdulo da fora de atrito esttico pode ser calculado por .eFat N= , onde e o coeficiente de atrito esttico, e N o mdulo da fora normal entre os corpos em contato. O mdulo da fora de atrito dinmica sempre calculado por

.dFat N= , onde d o coeficiente de atrito dinmico.

0 F

Fat

e.N d.N

Grfico de um corpo sujeito a uma fora externa F e o comportamento da fora de atrito (crescente at uma fora de atrito esttico mximo, quando inicia-se o movimento, com uma fora de atrito dinmico constante)

Trao: a fora existente nos fios e cordas quando estes so esticados/tracionados/tensionados. Fora Elstica: A fora elstica uma fora de restituio, isto , ela sempre oposta a deformao x causada no corpo em questo. Esta fora respeita a lei de Hooke: .F k x= onde k a constante elstica da mola (ou elstico) e deve ser medido em N/m, no SI. Obs.: Associao de Molas: Molas associadas iro distribuir ou transimitir as foras de entre elas. Para encontrar a constante de um mola equivalente com keq usamos:

Srie: ...kkkeq

++=21

111

Paralelo: ...kkkeq ++= 21

PLANO INCLINADO Plano inclinado: O eixo X e Y saem de seu padro horizontal e vertical, respectivamente, para acompanhar a inclinao do plano (conservando a perpendicularidade entre ambos). Assim, pode-se realizar a decomposio da fora Peso em duas componentes:

.xP P sen= .cosyP P =

Onde o ngulo de inclinao do plano.

No caso mais simples, ocorre movimento apenas na nova direo X. Devemos atentar que nesta situao a Fora Normal deve ser aplicada na nova direo do eixo Y, tornando, no caso mais simples,

| | | |yN P=G G

. Assim, sempre que precisarmos do mdulo da Normal (para calcular Fat, por exemplo), deveremos tomar o valor correto.

BLOCOS

Para resolver exerccios envolvendo blocos com sucesso devemos seguir os seguintes passos: 1: Desenhe todos os corpos envolvidos separadamente, para melhor visualizar as Foras externas atuantes; 2: Faa o diagrama de Foras para cada corpo identificando todas elas; 3: Aplique a 2 Lei de Newton em cada corpo separadamente obtendo uma equao para cada um deles; 4: Resolva o sistema de equaes obtido de forma a encontrar as variveis desejadas.

DINMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR

Sempre em um Movimento Circular Uniforme, deve existir uma Fora Resultante Centrpeta responsvel pelo surgimento da acelerao centrpeta, que apresenta mdulo dado por:

22.. . .Tcp cp

m vF m a m R

R= = =

A direo radial, no sentido do centro da curva de raio R. Devemos nos lembrar do fato desta fora ser uma resultante de foras, isto , no existe uma fora efetivamente centrpeta e sim resultado da soma de foras atuando no corpo. Desta forma, todas as foras estudadas (Foras de Campo e de Contato) sero utilizadas para resolver estes exerccios. No caso do Movimento Circular Uniformemente Variado, a fora resultante pode ser decomposta em uma componente radial (Fcp) e outra tangencial (Ft). Ainda assim, a equao acima vlida para Fcp, embora o valor de vT varie com o tempo. Observe que, nesse caso, o mdulo de Fcp tambm varia com o tempo.

GRAVITAO Leis de Kepler Lei de rbitas: Todos os planetas se movem em rbitas elpticas em torno do Sol, o qual ocupa um dos focos da elipse.

Sol

Planeta2

Planeta1

F2 F1

Lei das reas: O vetor raio que une o sol a um planeta varre reas iguais no plano da rbita em tempos iguais.

Portanto: rea varrida A proporcional ao tempo t , ou seja:

1,2 1,2

3,4 3,4

A tA t

=

Lei dos Perodos: Os quadrados dos perodos de revoluo dos planetas em torno do Sol so proporcionais aos cubos dos raios mdios de suas rbitas.

2 3.T k R= ou 2

3

T kR

=

Onde:2

mx mnR RR += , e 24.

.k

G M= (utilizando gravitao de Newton)



5

Sol

acelerado

retardado

Rmin Rmx

Vmin Vmx

Observao: A constante K uma constante caracterstica de cada sistema solar.

Gravitao Universal de Newton: Qualquer partcula no universo atrai outra partcula segundo a equao:

2

. .G

G M mFR

= Campo gravitacional: uma propriedade do espao em torno de um corpo de massa M que provoca uma fora de atrao (peso) em qualquer outro corpo de massa m prximo. A acelerao gravitacional g

G depende inversamente da distncia

entre os centros de massa dos corpos: sempre comum relacionar a fora de atrao universal de Newton com Peso ou com uma Resultante centrpeta. Nestes casos temos:

h

Gravitao e Peso:

2

.G MgR

=

Gravitao e Resultante Centrpeta:

RM.Gv =

Onde: TerraR R h= +

ESTTICA 1) Equilbrio do ponto material A condio necessria e suficiente para o equilbrio dinmico de um ponto material que a fora resultante sobre ele seja nula:

1F

2F3F

0FFFR 321 =++= 1F

2F

3F

Sendo a fora resultante nula, o polgono de foras fechado. Nesse caso, temos o estado de repouso ou de M.R.U. Se a velocidade resultante tambm nula, o corpo est em equilbrio esttico. 2) Momento de uma fora F em relao a um ponto O Momento (ou Torque) de uma Fora: o efeito de rotao causado por uma Fora:

0| | | | | | senM F d F = = G G G

A , que o produto da fora F pelo brao d de aplicao.

0 d

F

M = F d A

O sinal do Momento depende de uma conveno arbitrria. Por exemplo: Quando a fora F

Gtende a girar o corpo no sentido anti-

horrio o momento considerado positivo. 3) Equilbrio de um corpo extenso Para o equilbrio esttico de um corpo extenso temos trs condies:

a) Fora resultante nula 0extF =G

; b) A soma dos momentos, em relao a qualquer ponto, deve ser nula

0 0M =G

; c) As velocidades de rotao e de translao devem ser nulas.

HIDROSTTICA

Densidade: a razo entre a massa e o volume de um corpo:

mV

=

Presso: Quando aplicamos uma fora F sobre uma superfcie de rea A exercemos uma presso p sobre esta igual a:

FpA

=

Presso de uma coluna de liquido (ou efetiva): Devido ao peso do liquido acumulado sobre uma superfcie, ele exercer uma presso sobre esta:

. .liqp g h= onde: h = altura da coluna do liquido. Em caso de a coluna estar exposta atmosfera aberta, ento a presso total (ou absoluta) sobre o ponto imerso sob a coluna ser:

. .liq atmp g h p= +

Princpio de Pascal: O acrscimo de presso dado ao ponto a transmite-se integralmente a todos os pontos do lquido. Assim:

Empuxo: Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num lquido recebe uma fora vertical, de baixo para cima, denominada empuxo, cujo mdulo igual ao peso da poro de lquido deslocada pelo corpo.

E = L . VDESL . g

TRABALHO

Trabalho: uma expresso de energia dada por:

. .cosW F d = (W: Work = trabalho) Esta expresso somente pode ser usada no caso de a fora F ser constante. No caso de F no ser constante, o trabalho por de ser calculado pela rea do grfico F x d:

WAreaN=

Casos particulares: a) Trabalho da fora peso A fora peso sempre vertical e dirigida para baixo no tendo portanto componente horizontal.

E

lquido

A1

F1

F2

A2

2

2

1

1AF

AF =



6

Desta forma, independentemente da trajetria seguida pelo corpo, o trabalho da fora peso expresso por: W AB

P = Py

b) Trabalho da fora elstica

A B

2 1 2 1( )( )2

N F F x xW A + = = =

=2 2

2 22 11 2( )2 2 2

kx kx k x x + =

Trabalho de um sistema de foras Quando um sistema de foras atuar em um corpo cada fora realiza trabalho independente das outras. Como o trabalho uma grandeza escalar, o trabalho total corresponde soma dos trabalhos de cada

uma das foras atuantes no corpo, isto 1

N

S II

W W=

= Teorema da energia cintica O trabalho da resultante das foras entre A e B a variao da energia cintica entre esses pontos.

WAB = cE , onde definida 2.

2Cm vE =

ENERGIA POTENCIAL A energia gasta ao levantar um corpo desde o solo at uma altura h fica retida no campo gravitacional. Pode-se observar este fato notando que ao soltarmos o corpo ele entra em movimento acelerado aumentando, deste modo, a energia cintica. Assim, define-se ento a energia potencial gravitacional (Epgravit.) de um corpo como sendo o trabalho realizado contra a fora gravitacional ao desloc-lo desde o solo (ponto de referncia) at a altura considerada. Da mesma forma define-se a energia potencial elstica Epelast. como o trabalho realizado ao se deformar a mola de um valor x. Ento:

Epgravit. = mgh e Epelast. = 2

2kx

O trabalho para estas foras independe da trajetria. Nesses casos s interessa a posio inicial e final. WAB = -Ep onde WAB o trabalho das foras que sero chamadas de conservativas (quando seu trabalho entre dois pontos independe da trajetria).

ENERGIA MECNICA Energia Mecnica: definida como a soma entre as energias cintica e potenciais do corpo ou sistema estudado. Assim:

M C PE E E= +

Sistema Conservativo: Em um sistema conservativo a energia mecnica total no se dissipa, isto :

0ME = , ou FinalInicial MM EE = Da pode-se concluir que:

C PE E =

Sistema No-Conservativo: Em um sistema no conservativo parte da energia mecnica total se dissipa, isto :

M DisE E = , ou DisMM EEE FinalInicial +=

Teorema da Energia Cintica: vlido para um sistema conservativo ou no, onde as foras envolvidas realizam um trabalho total equivalente variao da energia cintica.

Re tanC sul teE W = Observe que se somarmos os trabalhos de cada fora ou se encontrarmos a fora resultante vetorialmente e calcularmos o

trabalho dessa fora, o efeito o mesmo, embora no se possam somar os trabalhos vetorialmente:

Re tansul teFi Fi

W W=

POTNCIA E RENDIMENTO

Potncia: Pode ser definida pela quantidade de energia utilizada (transformada) em um determinado intervalo de tempo. Se a energia transformada um trabalho W (motor ou resistente), temos a relao:

W EPt t

= = Como em um sistema real a energia total ET de um sistema nunca convertida integralmente em trabalho havendo sempre uma dissipao ED, podemos calcular o rendimento observando a parcela de energia til EU efetivamente convertida em trabalho.

U U

T T

E PE P

= =

DUT EEE += logo, T U DP P P= +

IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO Centro de Massa: o ponto onde pode ser supostamente concentrada toda a massa de um sistema de corpos, para que certas anlises possam ser feitas. Suas coordenadas podem ser dadas por:

. . . ......

A A B B C CCM

A B C

X M X M X MXM M M+ + += + + +

. . . ......

A A B B C CCM

A B C

Y M Y M Y MYM M M+ + += + + +

. . . ......

A A B B C CCM

A B C

Z M Z M Z MZM M M+ + += + + +

Lembrando que em corpos homogneos (densidade uniforme) e simtricos, o centro de massa o centro geomtrico. Quantidade de movimento: A quantidade de movimento de um corpo est relacionada a sua massa inercial. Assim:

.Q m v=G G A quantidade de movimento de um sistema pode ser calculada como a soma das quantidades de movimento de cada corpo de sistema. Assim:

( )1

.n

SIST i i i CMi

Q m V m V=

= = G G G Princpio da Conservao da Quantidade de Movimento: A quantidade de movimento de um sistema isolado (sem foras externas) invarivel. Impulso: Quando aplicamos uma fora sobre um corpo ou sistema de corpos durante um intervalo de tempo, provocamos uma variao na quantidade de movimento deste:

I Q= GG onde: .I F t= G G

Colises: Considera-se o sistema isolado (o impulso das foras externas desprezvel)

0

Antes Depois

Q

Q Q

==

GG G

F1

F2

x

F

x1 x2

W

A

B

zero

+

y1

y2



7

(a)

(b )

AVG

BVG

A B

'AVG

'BVG

A B

Coliso !

Durante as colises pode haver conservao de Energia Cintica ou no. Devido esta perda de energia o coeficiente e chamado coeficiente de restituio elstica dado por:

' ' AfastamentoB AA B Aproximaao

vv vev v v

= = Coliso (completamente) Inelstica: No ocorre conservao de energia cintica e apresenta e = 0. Coliso Parcialmente Elstica: No ocorre conservao de energia cintica e apresenta e tal que: 0 < e 1. Este um caso especial onde a energia final maior que a inicial. Logo, para que esta ocorra necessrio que haja uma fonte de energia externa (ex.: energia qumica de uma exploso) .



8

APOSTILA DE REVISO FSICA PARTE 2

PTICA GEOMTRICA

Fontes de luz: Primrias ou corpos luminosos: Possuem luz prpria. Secundrias ou corpos iluminados: No possuem luz prpria. Classificao dos Feixes Luminosos: So classificados conforme seu comportamento:

Propagao da luz

Princpio da propagao retilnea da luz: Nos meios transparentes e homogneos a luz se propaga em linha reta. Princpio da independncia dos raios: Os raios luminosos, ao se cruzarem, no influem um sobre a propagao dos outros. Princpio da reversibilidade dos raios luminosos: Se um raio luminoso executa um certo caminho, um outro poder faz-lo em sentido contrrio ou A trajetria seguida pela luz independe do sentido de percurso. Meios de propagao Embora a luz, como onda eletromagntica no precise de um meio material para se propagar, quando esta se propaga nesses meios, esses podem fazer com que os raios luminosos sejam ou no enxergados de forma ntida, no ntida ou no sejam enxergados. Logo, estes meios podem ser:

REFRAO DA LUZ Refrao: o fenmeno de propagao causado pela mudana da velocidade da onda (no caso, a luz) quando ela atravessa a superfcie de separao entre dois meios de densidades diferentes (dioptro). A Refrao pode ocorrer com ou sem desvio da trajetria do raio de luz (quando a incidncia perpendicular).

Na Refrao Regular podemos calcular o ngulo de refrao atravs da Lei de Snell-Descartes:

1 2 .sen .senn i n r=

Onde

1 21 2

;c cn nv v

= =

ngulo Limite: Se n2>n1 ento podemos ter um ngulo que limita a refrao do meio 2 para o 1 resultando numa reflexo total na superfcie de separao dos meios. Este ngulo dado por:

==

1 2

2

1

sen sen90

sen

n L nnLn

Dioptro Plano: As distncias entre a imagem (i) observada em relao ao dioptro e o objeto (o) em relao ao dioptro relacionam-se com os ndices de refrao dos meios que definem esse dioptro pela

expresso : = =observador observadorobjeto objeto

h nhH h n .

PRISMAS

Prismas: Podemos observar o desvio produzido por um prisma sobre um raio luminoso incidente atravs de:

1 2( )desvio i i A = + 1 2A r r= +

1 2 1 2

2MNIMO

MNIMO

i i e r ri A

= ==

Transparentes: A luz atravessa homogeneamente. Translcidos: A luz atravessa estes corpos mas pode haver difuso dos raios. Atravs deles no vemos os objetos com nitidez. Opacos: A luz no atravessa estes corpos, antes refletida ou absorvida.

A luz se propaga, no vcuo, com velocidade c=3.108 m/s, aproximadamente.



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LMINAS DE FACES PARALELAS Assim como o prisma, uma lmina de faces paralelas provoca um desvio em um raio luminoso incidente segundo a equao abaixo:

sen( )cos

e i rdr

=

REFLEXO LUMINOSA

Reflexo Regular da Luz Na reflexo regular da luz, o ngulo entre o raio incidente e a Normal da superfcie refletora igual ao ngulo entre esta Normal com o raio refletido. Alm disso, o raio incidente e o raio refletido so coplanares.

ESPELHOS PLANOS

Propriedade fundamental: Nos espelhos planos as distncias do objeto e sua imagem ao espelho so sempre iguais. A imagem enantiomorfa em relao ao objeto.

Translao de Espelho Plano: Enquanto deslocamos um espelho de um ponto E para outro E, podemos observar a velocidade relativa entre o objeto e sua imagem:

Assim quando deslocamos um espelho, as imagens nele formadas se deslocam duas vezes mais, em relao ao objeto. Com isto a acelerao da imagem tambm o dobro da acelerao do espelho.

Rotao de espelho plano: Com o auxlio da figura abaixo pode-se mostrar que: = 2 , onde o ngulo entre a direo do raio refletido antes da rotao e a direo do raio refletido depois da rotao do espelho plano de um ngulo .

ESPELHOS ESFRICOS Raios notveis: Nos espelhos esfricos gaussianos podemos observar a repetio das seguintes reflexes luminosas:



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Para calcular a posio da imagem, do objeto, o raio de curvatura, a distncia focal ou ainda a ampliao linear podemos utilizar das seguintes equaes:

O sinal de f, p e p podem ser interpretados atravs do grfico abaixo, onde esto sobrepostos e compartilhando o mesmo Eixo Principal (EP) e Vrtice, dois espelhos sendo um cncavo e outro convexo:

Onde o eixo horizontal define f, p e p e, o eixo vertical define i e o.

LENTES ESFRICAS Raios notveis: Nas lentes esfricas gaussianas, analogamente aos espelhos esfricos, podemos observar a repetio das seguintes refraes luminosas:

Onde: O = Centro ptico F = Foco Objeto F = Foco Imagem A = Anti-Principal Objeto A = Anti-Principal Imagem

O sinal de p e p podem ser interpretados atravs do grfico abaixo, onde esto sobrepostos e compartilhando o mesmo EP e Vrtice, duas lentes sendo uma convergente e outra divergente:

Onde o eixo horizontal a sobreposio de dois eixos antiparalelos: um contnuo e outro tracejado. Estes definem p > 0 para a esquerda (tracejado) e p < 0 para a direita, e p < 0 para a esquerda e p >0 (contnuo) para a direita e, o eixo vertical define i e o,(estamos considerando que o raio incide na lente pelo lado esquerdo, o que define o espao objeto e sai da lente pelo lado direito, o que define o espao imagem). Para a distncia focal: f > 0 Lentes Convergentes f < 0 Lentes Divergentes Para lentes so vlidas tambm as equaes de Gauss:

1 1 1'f p p

= + 'i pA

o p= =

E ainda, podemos calcular a vergncia (ou divergncia) da lente atravs de:

1D Vf

= = unidade de V no S.I : di (dioptria) : 1 di = 1m-1

1- Todo raio de luz que incide paralelamente ao EP desvia na direo do foco imagem. 2- Todo raio de luz que incide na direo do foco objeto emerge da lente paralelamente ao EP. 3- Todo raio de luz que incide na direo de um Anti-Principal Objeto desvia na direo do Anti-Principal imagem. 4- Todo raio de luz que incide no vrtice do espelho no desvia.

p p



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Equao dos fabricantes de lentes: A frmula dos fabricantes de lentes ou frmula de Halley a equao para calcular a vergncia de uma lente, ou seja, o grau de uma lente.

1 2

1 1 11lenteext

nVf n R R

= = +

nlente: ndice de refrao da lente. next:ndice de refrao do meio externo que envolve a lente. R1 e R2: Raios de curvatura das faces da lente. Associao de lentes: Quando associamos sistemas ticos, um mesmo ponto pode funcionar como objeto e imagem. Observe a prxima figura.

A B D C

A ampliao total o produto das ampliaes de cada lente:

1 2. ..... NA A A A= A distncia focal equivalente dada por:

VEQ =1 2

1 1 1 1...eq Nf f f f

= + + +

DEFEITOS DA VISO E CORREES:

Normal

Miopia Hipermetropia

Miopia: O Ponto Remoto PR encontra-se no infinito e o Ponto prximo PP a menos de 25cm do globo ocular (O globo ocular mais profundo que o regular).

Ao corretiva: Lente Divergente de distncia focal prximof p= Hipermetropia: O Ponto Remoto PR virtual e o Ponto prximo PP a mais de 25cm (ponto prximo ideal, olho normal) do globo ocular (O globo ocular menos profundo que o regular). Ao corretiva: Lente Convergente de distncia focal:

r re

1 1 1

p o n to p o n top x im o p x im oid e a l r a l

f p p= +

Presbiopia: Com o envelhecimento, o PP tende a se afastar do olho Ao corretiva: Faz-se da mesma forma que em caso de Hipermetropia. No caso de miopia e hipermetropia ocorrerem junto com a Presbiopia, pode-se usar culos para perto e para longe ou lentes bi-focais. Astigmatismo: Defeito devido a planicidade da crnea, que apresenta diferentes raios de curvatura para cada seco considerada. Ao corretiva: Lentes Cilndricas. Estrabismo: Desvio do eixo ptico. Ao corretiva: Lentes Prismticas.

ELETROSTTICA

ELETRIZAO

Eletrizao Processo de perda ou ganho de partculas subatmicas com carga, geralmente eltrons, por um determinado corpo.

Carga Eltrica Quando um corpo possui falta ou excesso de eltrons em relao ao nmero de prtons, dizemos que tal corpo est eletricamente carregado. O excesso de eltrons caracteriza uma carga negativa, enquanto a falta de eltrons caracteriza uma carga positiva.

A unidade de carga eltrica no SI o Coulomb (C).

Atrao e Repulso entre cargas eltricas Mediante experincias, verificamos que cargas eltricas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas eltricas de sinais opostos se atraem.

Condutores Corpos com grande nmero eltrons livres, nos quais as partculas portadoras de carga eltrica tm muita facilidade de se movimentar, como, por exemplo, os metais.

Isolantes Corpos com reduzido nmero de eltrons livres, nos quais as partculas portadoras de carga eltrica tm certa dificuldade de se movimentar, como, por exemplo, os no-metais.

Processos de Eletrizao Processos de troca de cargas eltricas entre dois ou mais corpos. Nesses processos, devemos observar que no h criao nem destruio de cargas, ou seja, a carga eltrica total do sistema sempre conservada, fato este que conhecido por Princpio de Conservao das Cargas Eltricas.

Eletrizao por Atrito

Chama-se serie triboeltrica a relao ordenada de substncias em que, ao atritarmos duas delas, a que figura antes se eletriza positivamente e a que figura depois, negativamente.



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Serie Triboeltrica pele de gato - vidro polido - marfim - l - penas - madeira - papel -

seda - goma-laca - vidro despolido

Eletrizao por Contato Processo de eletrizao de dois corpos condutores, estando um deles eletrizado e o outro neutro, atravs do contato entre eles. O corpo neutro adquire uma carga eltrica de mesmo sinal que a do corpo j inicialmente eletrizado.

Eletrizao por Induo Fenmeno da induo eletrosttica Ao aproximar um corpo eletrizado, os eltrons pertencentes ao

corpo neutro so atrados por uma fora 1F enquanto os prtons se mantm na outra extremidade do corpo repelidos pela fora 2F , como mostra a figura abaixo:

Como 1 2d d< ento 1 2F F> e o corpo neutro atrado. Este fenmeno denominado induo eletrosttica. Processo de eletrizao de induo 1 passo: Ao aproximar o indutor carregado negativamente(B) ele induz uma separao de cargas na esfera A neutra (induzido) como mostrado abaixo

2 passo: Mantendo o indutor na mesma posio, ligamos o induzido terra. Note que os eltrons do induzido migram para a terra, descarregando essa carga negativa. A carga positiva do induzido continua concentrada esquerda devido atrao da carga negativa do indutor.

3 passo: Desconectamos o fio terra do induzido e afastamos o basto para bem longe. Desta forma, o induzido fica com um excesso de carga positiva.

FORA ELTRICA E CAMPO ELTRICO

Lei de Coulomb Dois corpos eletricamente carregados exercem um sobre o outro uma fora eltrica cuja intensidade diretamente proporcional ao mdulo de cada uma das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia que os separa. A fora ser de atrao se as cargas tiverem sinais opostos, e ser de repulso se as cargas tiverem mesmo sinal.

2

| | | |EL

Q qF kr=G

Campo Eltrico capaz de produzir uma fora eltrica numa carga de prova colocada na regio onde ele atua. Definimos o campo eltrico como o vetor:

FEq

=GG

onde q carga de prova. Uma carga eltrica puntiforme Q cria ao seu redor um campo eltrico cujo mdulo dado por:

2

| |QE kr

=G

O campo eltrico ser de afastamento se a carga for positiva, e de aproximao se a carga for negativa. Representamos este comportamento atravs das linhas de fora.

Observe a configurao das linhas de fora quando aproximamos duas cargas eltricas de mesmo mdulo, de acordo com o sinal delas: Cargas eltricas de mesmo sinal:



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Cargas eltricas de sinais opostos:

Campo eltrico gerado por placas paralelas muito longas (Campo eltrico uniforme):

A exigncia de as placas paralelas serem longas para podermos desprezar os efeitos da borda, e assim poder considerar que o campo eltrico uniforme, ou seja, um vetor constante (em mdulo, direo

e sentido).

Se um corpo est submetido ao de mais de um campo eltrico, o campo eltrico resultante que age sobre ele ser dado pela soma vetorial dos campos eltricos atuantes:

1 2RES nE E E E= + + +G G G G

POTENCIAL ELTRICO E ENERGIA POTENCIAL ELTRICA

Potencial Eltrico Dada uma carga eltrica Q , definimos o potencial gerado por essa carga a uma distncia r como a grandeza escalar dada por:

QV kr

=

Podemos, assim, olhar para o potencial gerado por essa carga eltrica como uma funo que associa a cada ponto do espao um nmero real que o potencial criado pela carga naquele ponto. Assim, se um determinado ponto P do espao est na regio onde atuam n cargas, o potencial resultante ali ser a soma do potencial gerado por cada carga:

1RES nV V V= + +

Observe que diferentemente do campo eltrico, que um vetor, o potencial eltrico um nmero real, positivo ou negativo, dependendo do sinal da carga eltrica que gera esse potencial.

Energia Potencial Eltrica Uma carga eltrica q colocada num ponto do espao submetido a um potencial PV adquire uma energia potencial eltrica dada por:

POT PE q V=

Se tal potencial foi gerado por uma carga Q a uma distncia r desse ponto, podemos escrever a energia potencial eltrica desse sistema como:

POTq QE k

r=

Trabalho no campo eltrico uniforme Uma carga eltrica imersa num campo eltrico uniforme, ao ser deslocada de um ponto A para um ponto B, sofre um trabalho da fora eltrica dado por:

( )A B POTEltrica

q V V E= =

Diferena de potencial no campo eltrico uniforme (ddp) Num campo eltrico uniforme, a diferena de potencial entre dois pontos A e B dada por:

A BE d V V =

CONDUTOR EM EQUILBRIO ELESTROSTTICO

Conseqncias :

O campo eltrico nulo no interior de um condutor em equilbrio eletrosttico O potencial eltrico constante no interior e na superfcie de um condutor em equilbrio eletrosttico. A carga eltrica se aloja na superfcie do condutor.

Um condutor eletrizado encontra-se em equilbrio eletrosttico quando no h movimento de cargas eltricas em seu interior.



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CAPACITORES

Capacitores Armazenam energia potencial eltrica, atravs do acmulo de cargas, quando submetidos a uma diferena de potencial fornecida por uma bateria. Posteriormente podemos aproveitar essa energia eltrica, por exemplo, descarregando-a num resistor.

Capacitncia A quantidade de carga (Q) que um capacitor consegue armazenar de acordo com a diferena de potencial fornecida (U) define a sua capacitncia (C):

Q C U=

Energia armazenada num capacitor A energia potencial eltrica que um capacitor consegue armazenar dada por:

2 2

2 2CC U QE Q U

C= = =

Capacitor de placas paralelas Sua capacitncia pode ser calculada em funo da rea de suas placas (A) e da distncia que as separa (d), sendo a permissividade eltrica do meio:

ACd

=

Associao de capacitores a) Em Srie

B) Em paralelo

ELETRODINMICA

CORRENTE ELTRICA E RESISTORES

Corrente Eltrica Movimento ordenado de cargas eltricas. Sentido convencional da corrente Aquele dos portadores de carga eltrica positiva, ou seja, de pontos de maior potencial para pontos de menor potenci

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