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DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM MATEMÁTICA FUNDAMENTADO NA TEORIA DA ATIVIDADE DE ESTUDO.

Prof. Dr. Héctor José García MendozaUniversidade Federal de Roraima - UFRR

[email protected]

https://w3.dmat.ufrr.br/hector

mailto:[email protected]

Grupo de Pesquisa: Didática da Resolução de Problemas em Ciências e Matemática

O grupo propõe explicar a relação dialética entre o processo de ensino

aprendizagem de conceitos, procedimentos, e atitudes na formação

das ações mentais e a criatividade dos estudantes através de um ensino

problematizador para construção de um sistema de ações mentais

adequado ao Ensino de Ciências e Matemática na Amazônia.


A través das seguintes publicações explicarei a evolução teoria de nossas pesquisas.

TINTORER, O.; MENDOZA, H. J. G. EVOLUÇÃO DA TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL DE VIGOTSKI À TEORIA DEFORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN. In: Ghedin, Evandro; Peternella, Alessandra.(Org.). Teorias Psicológicas e suas implicações à educação em ciências. 1ed.Boa Vista: Editora UFRR, 2016,v. 1, p. 157-170.

Comentário: No artigo explicamos os fundamentos teóricos assumido dentro da teoria Histórico – Cultural,ou seja, o sistema Vigotsky - Leóntiev - Galperin - Talízina

MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, Oscar. A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MATEMÁTICA. In:LONGAREZI, Andréa Maturano; PUENTES, Roberto Valdés. (Org.). Ensino, aprendizagem edesenvolvimento: fundamentos psicológicos e didáticos para o ensino desenvolvimental. 1ed.Uberlândia,MG: EDUFU, 2017, v. 1, p. 373-403.

Comentário: Os princípios de resolução de problema de Polya é convertido numa Atividade de Estudo paraa resolução de Problema Matemático fundamentado em Vigotsky – Leóntiev – Galperin – Talízina que foidenominado Atividade de Situações Problema em Matemática. É resultado de minha tese de doutorado


https://w3.dmat.ufrr.br/hector/Artigo9.pdf


MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A DIDÁTICA DA MATEMÁTICA FUNDAMENTADA NA TEORIA DEFORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN. In: Isauro Beltrán Núnez; Betânia LeiteRamalho. (Org.). P. Ya. Galperin e a teoria da assimilação mental por etapas: Pesquisa e experiências paraum ensino inovador. 1ed.Campina - SP: Mercado de Letras, 2018, v. 1, p. 125-153.

Comentário: Propor-se um sistema de ações para desenvolver a Didática da Matemática fundamentada nateoria de Galperin, centrada na resolução de problemas e guiada pela teoria geral de direção do processode estudo, com o fim de melhorar a preparação dos professores de Matemática na elaboração dasdisciplinas específicas ao que se denominou A Atividade de Situações Problema da Didática. Fundamenta-se a proposta em desenvolver três momentos: identificar o problema, planejar e construir a atividade desituações problema em Matemática.

MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A CONTRIBUIÇÃO DO ENSINO PROBLEMATIZADOR DE MAJMUTOV NAFORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN. Revista Obutchénie, v. 2, p. 166-192, 2018.

Comentário: Considero a contribuição teórica mais importante do grupo. Majmutov fundamenta aresolução de problema a partir do materialismo dialético, psicológico (teoria histórica – cultural) e didáticoenfatizando que o ensino deve estar orientado para a criatividade. A partir da teoria das contribuições deMajmutov foi modificada e enriquecida a Atividade de Situações Problema em Matemática e criada aAtividade de Situações Problema Docente.



http://dx.doi.org/10.14393/OBv2n1a2018-8

Nosso conhecimento da realidade objetiva dá início com as sensações e

as percepções, mas não acaba com elas e daí passa para o pensamento. O

descobrimento das relações e conexões entre os objetos é uma tarefa

essencial do pensamento (RUBINSTEIN, 1967, p. 378).

As leis do materialismo dialético fornecem os

fundamentos filosóficos para o estudo do

processo de ensino aprendizagem, podem

revelar-se através da lógica dialética como

método do conhecimento da realidade

(MAJMUTOV, 1980, p. 32-34)


Tarefas

Situação Problema Docente

Elementos Conhecidos Elementos Desconhecidos

Analises da Situação Problema Docente

Formulação do Problema Docente

Solução do Problema Docente

A contradição objetiva de umatarefa, entre os dados e ascondições, pode converter-se naforça motriz do pensamentosomente em caso de que setransforme na consciência doestudante, na contradição entreo conhecido e desconhecido.

Por conhecido se tem em consideração osdados da tarefa, os conhecimentos anteriorese a experiência pessoal do estudante; pordesconhecido, não só aquilo que não se dá nascondições e nos objetivos, senão na incógnita,e no procedimento para alcançar o objetivo,ou seja, o método de resolver o problema.

Isto significa que a tarefa, despois dereceber na consciência do estudante umconteúdo novo, se transforma em umfenômeno totalmente novo,, o ProblemaDocente .

Posteriormente é realizado um plano desolução do problema que inclui a seleção devariante de solução que pode ser através demétodos analíticos ou heurísticos.

O problema docente comocategoria psicológica é acausa primária dopensamento, o inicio daatividade mental.

Como categoria lógica é arelação entre o conhecidoe o desconhecido

As contradições doconhecimento noprocesso de ensinoaprendizagem

Um caminhão sobe uma rampa inclinada emrelação ao plano horizontal. Se a rampa tem30 m de comprimento e seu ponto mais altoestá 5m de altura, qual é a distância do inicioda rampa até da base da altura?


∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝐴𝐶Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐵𝐴𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐷𝐵

𝐵𝐴⇒

𝑐

𝑎=

𝑚

𝑐⇒𝑐2 = 𝑎𝑚 (I)

Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆DAC𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐷𝐴

𝐴𝐶⇒

𝑐

𝑎=

ℎ

𝑏⇒𝑎ℎ = 𝑏𝑐 (𝐼𝐼)

𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝐷𝐶

𝐴𝐶⇒𝑏

𝑎=

𝑛

𝑏⇒𝑏2 = 𝑎𝑛 𝐼𝐼𝐼

Da semelhança ∆𝐷𝐵𝐴 𝑒 ∆𝐷𝐴𝐶𝐷𝐴

𝐷𝐵=

𝐷𝐶

𝐷𝐴⇒

ℎ

𝑚=

𝑛

ℎ⇒ℎ2 = 𝑚𝑛 𝐼𝑉

De I e III obtemos 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (V)As igualdades I até V são chamadasrelações métricas no triângulo retângulo.

Relações Métrica no Triângulo Retângulo

Tarefa n°1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada emrelação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m decomprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura,qual é a distância da rampa até inicio da base da altura?

Tarefa n°2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e asprojeções dos catetos sobre a hipotenusa no trianguloretângulo de catetos 8 cm e 12 cm

Tarefa n° 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de açode mesma medida. Calcule a altura da torre , sabendoque a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos queprendem os cabos estão a 15 m do centro da base datorre

Tarefas

.

.

.N - Tarefas

Objetivo de ensino:Aplicar as relações métricas notriângulo retângulo na resoluçãode problemas

• Análises e sínteses

• Comparação

• Generalização e classificação

• Abstração e concretização

• Os conceitos, os juízos e

conclusões

• Assimilação dos conceitos

• Compreensão

• Solução de Problemas Racionais

• Qualidades do pensamento

Operações racionais do pensamento


A partir da contradição objetiva das tarefas deve-se formar o pensamento abstrato em matemática e posteriormente a transferência

Relação Objeto e Estudante

Elementos da Atividade

Motivação -----> Objetivo

Leóntiev

1. Sistema de ações

2. Operações para realizar as ações

3. Motivação dos alunos

4. Alcançar um objetivo

ATIVIDADE DE ESTUDO


Compreender o Problema

• ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; • Estudar os dados e suas condições• Determinar o(s) objetivo(s) do problema.

Construir o Modelo Matemático

• Determinar as variáveis e incógnitas.• Nominar as variáveis e incógnitas com suas unidades de medidas.• Construir o modelo matemático a partir das variáveis, incógnitas e condições.• Realizar a análise das unidades de medidas do modelo matemático.

Solucionar o Modelo Matemático

• Selecionar o(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo• Selecionar um programa informático que contenha os recursos necessários do(s) método(s) matemático(s) para solucionar o

modelo• Solucionar o modelo matemático.

Interpretar a Solução

• Interpretar o resultado;.• Extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema.• dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema.• Realizar uma reflexão baseado no(s) objetivo(s) do problema.• Analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a

possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático, solucioná-lo e interpretar sua solução.

Atividade de Situações Problema em Matemática


Formular o problema docente.

• analisar a situação problema para determinar os elementos conhecidos e desconhecidos; estudar osdados e as condições da situação problema,

• reconhecer o buscado a partir de problema fechado (objetivo definido) ou aberto (objetivo nãopreciso).

Construir o núcleo conceitual

• determinar o nível de partida dos estudantes relacionado com os conhecimentos sobre oelemento conhecido e sua atualização se for necessário

• encontrar nexos entre os conhecidos e desconhecido desde os pontos de vista conceitual eprocedimental através de novas tarefas mais simples como realização de experimentos, analogia,intuição e suposição de hipóteses.

Solucionar o problema docente

• aplicar o método lógico – analítico ou heurístico ou combinação de ambos para determinar osnexos entre o conhecido e desconhecidos e

• determinar o buscado.

Interpretar a solução

• verificar se a solução corresponde com o buscado e as condições do problema

• analisar os resultados obtidos para encontrar possíveis novas relações conceitual e/ouprocedimental com elementos anteriormente conhecidos.

Atividade de Situações Problema Docente


Tarefa nº1

R

E

A

L

P

O

T

E

N

C

I

A

L

Tarefa nº2

R

E

A

L

P

O

T

E

N

C

I

A

L

Tarefa nº3

R

E

A

L

P

O

T

E

N

C

I

A

L

Zona Proximal nº1

Zona Proximal nº2

Zona Proximal nº3

Zona de Desenvolvimento Proximal – Vigotsky


Tarefa nº1

C

O

N

H

E

C

I

D

O

D

E

S

C

O

N

H

E

C

I

D

O

Tarefa nº2

C

O

N

H

E

C

I

D

O

D

E

S

C

O

N

H

E

C

I

D

O

Tarefa nº3

C

O

N

H

E

C

I

D

O

D

E

S

C

O

N

H

E

C

I

D

O

Problema Docente nº1 Problema Docente nº2 Problema Docente nº3

Solução do Problema Docente nº1

Situação Problema Docente

Análises da Situação Problema Docente

Zona de Desenvolvimento Proximal – Vigotsky - Majmutov




Interação OBJETO e SUJEITO no PROCESSO DE ASSIMILAÇÃO

A través de uma atividade que é formada por um sistema de ações através de operações para alcançar um objetivo de ensino

ETAPAS DO PROCESSO DE ASSIMILAÇÃO

1ª Motivacional (Resolução de Problema)

2ª Formação da Base Orientadora da Ação (Professor Orienta e o estudante compreende,

mas compreender não significa saber fazer)

3ª Formação da ação em forma material ou materializada (saber fazer)

4ª Formação da ação em forma verbal (saber explicar)

5ª Formação da ação em verbal externa para si (transferir para novas situações)

6ª Formação da ação mental (modelos mentais, esquema, etc.)https://w3.dmat.ufrr.br/hector

Características das ações

Primárias

A forma

Caráter generalizado

Caráter assimilado

Caráter explanado

Material ou materializado

Perceptiva

Verbal externa

Interna

Secundárias

Caráter razoável

Caráter consciente

Caráter abstrato

Caráter de solidez

CARATERÍSTICAS DAS AÇÕES


Didática de Resolução Problema

O professor tem função de dirigir o processo de assimilação,deve ser cíclica e transparente (Talízina)

D1: “Objetivo de Ensino”D2: “Nível de Partida”D3: “Processo de Assimilação”D4: “Retroalimentação”D5: “Correção”

D3

D4

D5

ASPD

BOA E1

D3

D4

D5

ASPD

Interna E5. . .D1 D2

Formação por etapas das ações mentais (Galperin)

E0: “Motivacional”E1: “Elaboração da Base Orientadora da Ação (BOA)”E2: “Formação da ação em forma material ou materializada”E3: “Formação da ação verbal externa”E4: “Formação da ação na linguagem externa para si”E5: “Formação da ação na linguagem interna”.

Atividade de Situações Problema Docente (ASPD) (Mendoza eTintorer)

Formular o Problema Docente Construir o núcleo conceitual Solucionar o Problema Docente Interpretar a solução

Situação Problema, Formulação do Problema e Solução doproblema (Majmutov)

A contradição como a força motriz do processo de ensinoaprendizagem (Materialismo Dialético)

O pensamento criador (Rubinstein e Majmutov)Zona de Desenvolvimento Proximal (Vigotsky)Teoria da Atividade (Leóntiev)


∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝐴𝐶Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆𝐷𝐵𝐴𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐷𝐵

𝐵𝐴⇒

𝑐

𝑎=

𝑚

𝑐⇒𝑐2 = 𝑎𝑚 (I)

Da semelhança entre ∆𝐴𝐵𝐶 e ∆DAC𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐷𝐴

𝐴𝐶⇒

𝑐

𝑎=

ℎ

𝑏⇒𝑎ℎ = 𝑏𝑐 (𝐼𝐼)

𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝐷𝐶

𝐴𝐶⇒𝑏

𝑎=

𝑛

𝑏⇒𝑏2 = 𝑎𝑛 𝐼𝐼𝐼

Da semelhança ∆𝐷𝐵𝐴 𝑒 ∆𝐷𝐴𝐶𝐷𝐴

𝐷𝐵=

𝐷𝐶

𝐷𝐴⇒

ℎ

𝑚=

𝑛

ℎ⇒ℎ2 = 𝑚𝑛 𝐼𝑉

De I e III obtemos 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (V)As igualdades I até V são chamadasrelações métricas no triângulo retângulo.

Relações Métrica no triangulo retângulo

Tarefa n°1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada emrelação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m decomprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura,qual é a distância da rampa até inicio da base da altura?

Tarefa n°2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e asprojeções dos catetos sobre a hipotenusa no trianguloretângulo de catetos 8 cm e 12 cm

Tarefa n° 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de açode mesma medida. Calcule a altura da torre , sabendoque a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos queprendem os cabos estão a 15 m do centro da base datorre

Tarefas

.

.

.N - Tarefas

Objetivo de ensino:Aplicar as relações métricas notriângulo retângulo na resoluçãode problemas

Como organizar o processo deensino aprendizagem para aformação do pensamentoteórico matemático naresolução de problemas econceitos matemáticos ?

ASP em Relações Métrica notriangulo retângulo

•Formular o problema docente.•Construir o núcleo conceitual•Solucionar o problema docente•Interpretar a solução

D3

D4

D5

ASPD

BOA E1

D3

D4

D5

ASPD

Interna E5. . .D1 D2


Procedimentos Metodológicos Mistos (Qualitativa – Quantitativa)

Base Teórica

Qualitativa Quantitativa

Coleta de dados das

categorias

Coleta de dados das

variáveis

Análises dos

resultados

Análises dos

resultados

Conclusões

Considerar:

Resolução de Problema

Formação das ações

mentais

Validade da Pesquisa

Produto Educacional

como retroalimentação

Atividade de situações problema docenteFormular o problema docente.

analisar a situação problema para determinar os elementos conhecidos e desconhecidos; estudar os dados e as condições dasituação problema,reconhecer o buscado a partir de problema fechado (objetivo definido) ou aberto (objetivo não preciso).

Construir o núcleo conceitualdeterminar o nível de partida dos estudantes relacionado com os conhecimentos sobre o elemento conhecido e sua atualização sefor necessárioencontrar nexos entre os conhecidos e desconhecido desde os pontos de vista conceitual e procedimental através de novas tarefasmais simples como realização de experimentos, analogia, intuição e suposição de hipóteses.

Solucionar o problema docenteaplicar o método lógico – analítico ou heurístico ou combinação de ambos para determinar os nexos entre o conhecido edesconhecidos edeterminar o buscado.

Interpretar a soluçãoverificar se a solução corresponde com o buscado e as condições do problemaanalisar os resultados obtidos para encontrar possíveis novas relações conceitual e/ou procedimental com elementos anteriormenteconhecidos.

A pesquisa quantitativa direciona a pesquisa qualitativa

Na pesquisa quantitativa as ações da ASP sãoconvertidas em variáveis e suas operações emseus indicadores

Na pesquisa qualitativa as ações são ASP são convertidas em categorias e suas operaçõesem subcategorias

Categoria de análises da formaçãodas ações mentais são: a forma(material verbal externa e formainterna), generalizado, explanado eassimilado.

Categorias de análises das qualidades de formação das ações mentais são: a solidez, consciente, abstrato e razoável.

Qualitativa


Objetivo de Ensino

Qualitativa Quantitativa

Instrumento de

diagnostico

Instrumento de

diagnostico

Planejamento do sistema

didático

Execução do planejamento por

etapas

Avaliação formativas e

final

Construção dos

Instrumentos

Construção dos

Instrumentos

Execução do planejamento por

etapas

Avaliação formativas e

final

Produto Educacional

Momento nº1

Momento nº2

Momento nº3

Validade da Pesquisa Validade da Pesquisa

Triangulação

Momento nº4

Momentos da Pesquisa


Conclusões

A partir da teoria Histórico-Cultural o ensino problematizador é uma alternativa didática que

mobiliza uma quantidade considerável de processos cognitivos para a formação do

pensamento teórico, contribuindo para a melhoria na qualidade da aprendizagem.

A Atividade de Situações Problema Docente (ASPD) como a Atividade de Estudo está

orientada pelo objetivo de resolver problemas docentes, na zona de desenvolvimento

proximal, em um contexto de ensino aprendizagem, no qual exista uma interação entre o

professor, o estudante e a tarefa com caráter problematizador; com o uso da tecnologia

disponível e de outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo

de assimilação.


Referências Bibliográficas

DANTES, L. R. Matemática: contextos e aplicações. São Paulo: Atica, 2009

MAJMUTOV, M. J. La Enseñanza Problémica . Habana: Pueblo y Revolución,1983.

MENCHINSKAIA, N. A. El Pensamento. In: A. A. Smirnov; A. N. Leontiev; S. L.Rubinstein; B. M. Tieplov. Psicologia. Habana: Ediciones Pedagogica, 1961.

MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A contribuição do ensino problematizadorde Majmutov na formação por etapas das ações mentais de Galperin. RevistaObutchénie, v. 2, p. 166-192, 2018

RUBINSTEIN, J. L. Princípios de Psicologia General . Habana: Revolucionaria,1967.


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