Diferença entre MMC E MDC

Muitas vezes ao resolver uma equação ou um problema matemático recorremos as seguintes definições de mmc e mdc, ou melhor recorremos ao processo de resolução, mesmo sem saber do que se trata. É comum alunos me perguntarem se tira mdc quando na verdade deveriam utilizar o mmc e vice versa, o que acontece é que em muitos campos da matemática agimos de forma tão mecânica que o que de fato importa em determinado conceito não é absorvido, o mmc então é muito simples saber que significa mínimo múltiplo comum e o mdc máximo divisor comum, mas porque não poderia ser mmc máximo múltiplo comum e o mdc menor divisor comum? Você sabe responder esta pergunta? Sei que a maioria agora está pensando talvez até encontrem a resposta, pois é muito simples, quando falamos em múltiplos sabemos que eles são infinitos daí então não teria nunca como encontrar o maior, já encontrar o menor é apenas analisar se tal número é múltiplo de certos números, da mesma forma podemos verificar que o menor divisor é único, pois seria o 1, pois ele é divisor universal, divide todo e qualquer número, daí então se faz necessário encontrar aquele que é o maior entre dois números quaisquer. Geralmente utilizamos o mmc para fazer operações com frações onde nos deparamos com denominadores diferentes o que impossibilita uma soma ou subtração, mas também pode ser usado na resolução de problemas, já o mdc é mais usado nas resoluções de problemas. Abraços, qualquer dúvida estou por aqui!

Postado por Milena Almeida às 14:34

http://matematicasimplesassim.blogspot.com.br/2010/10/diferenca-entre-mmc-e-mdc.html

MDC e MMC

- MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide

simultaneamente a e b.O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).Óbvio que se tivermos o MDC de n números inteiros a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por MDC (a1, a2, a3, ... , an)

Exemplos:

1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: MDC(10,14) = 2.

2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14, 60) = 2

Notas:

1.1 - um número inteiro positivo p ¹ 1 é denominado número primo, se e somente se os seus divisores positivos são 1 e p. Pode-se provar que o conjunto dos números primos é um conjunto infinito.

Sendo P o conjunto dos números primos, podemos escrever:P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, ... }Observa-se que 2 é o único número par que é primo.

1.2 - todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética - TFA.

Exemplos:

15 = 5.3

1

40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2 120 |2 60|2 30|2 15|3 5|5 1|

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.Teremos:

408 |2 204 |2 102 |2 51|3 17|17 1|

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17

1.3 - O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.Como já vimos acima, temos:408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.Portanto, MDC (408, 240) = 24.

1.4 - o MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

1 1 2 3 408 | 240 | 168 | 72 | 24

--------------------------------------…

168 | 72| 24| 0

Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:408:240 = 1 com resto 168240:168 = 1 com resto 72168:72 = 2 com resto 2472:24 = 3 com resto zero.Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.

1.5 - se o MDC de dois números inteiros a e b for igual à unidade, ou seja, MDC (a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos. Ou seja:MDC (a, b) = 1 Û a e b são primos entre si (co-primos).Û a e b são primos entre si (co-primos).Exemplo: MDC (7, 5) = 1 \ 5 e 7 são primos entre si.

2 - MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum - MMC, indicado por MMC (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo:

Determine o MMC dos inteiros 10 e 14.Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: MMC(10,14) = 70.

2

Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC (10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que:10.14 = 2.70 = 140 = MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números inteiros positivos a e b, teremos sempre que o produto desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:

MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números inteiros positivos a e b são primos entre si (co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja MDC (a, b) = 1 e, portanto, teremos:1.MMC(a,b) = a . b \ MMC(a, b) = a . b , ou seja:

O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Exemplos:

MMC(3, 5) = 3.5 = 15 MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105

Dois exercícios simples:

1 - O máximo divisor de dois números é igual a 10 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. Se um deles é igual a 70, qual o outro?

Solução:

Ora, pelo que vimos acima, 10.210 = 70.n \ n = 30.

2 - Encontre um par ordenado (m,n) de números inteiros, que verifique a relação MDC(180, 1200) = 180m + 1200n.

Solução:

Inicialmente, vamos determinar o MDC entre 180 e 1200:Os divisores positivos de 180 são:1, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 60, 90 , 180. Os divisores positivos de 1200 são:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 80, 100, 120, 150, 200, 300, 400, 600, 1200.

Portanto, o máximo divisor comum - MDC - de 180 e 1200 é igual a 60, ou seja:MDC(180, 1200) = 60Nota: poderíamos, é claro, determinar o MDC por qualquer um dos métodos indicados neste texto.

Observe agora, que:

1200 = 180.7 - 60 1200 - 180.7 = - 60Multiplicando ambos os membros por ( - 1), fica:- 1200 + 180. 7 = 60180.7 - 1200 = 60

180.7 + 1200( - 1) = 60

Comparando com os dados do enunciado da questão, teremos:MDC (180, 1200) = 180m + 1200n = 60Logo, vem imediatamente que m = 7 e n = -1, e portanto, o par ordenado (7, -1) é uma solução inteira da equação 180m + 1200n = 60.

MDC é o máximo divisor comum e se calcula verificando quais são os divisores entre números e observando qual é o maior que aparece em todos.

MMC é o mínimo múltiplo comum e se calcula, fatorando os números simultaneamente e multiplicando os fatores.

Propriedade: o produto entre dois números é igual ao produto entre o MDC e o MMC desses números.

Exemplo: vejamos os números 4 e 6.

MDC entre 4 e 6 é 2 (4 é divisível por 1, 2 e 4; já 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6). Note que 2 é o maior divisor de 4 e de 6 ao mesmo tempo.

MMC entre 4 e 6 é 12 (4 e 6 divididos por 2 dão 2 e 3, divididos por 2 dão 1 e 3 e divididos por 3 dão 1 e 1,

3

os fatores são 2 x 2 x 3 = 12). Faça isso lado a lado no papel que é mais fácil.

4 x 6 = MDC x MMC4 x 6 = 2 x 1224 = 24

Obs: só funciona entre dois números essa propriedade.

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